Xây dựng hệ thống bài tập đạo hàm và ứng dụng nhằm phát triển năng lực cho học sinh

H CHÍ MINHTR NGă IăH CăSÀI GÒN BÙI KIM TÙNG NGăD NG NH MăPHÁTăTRI NăN NGăL Că... 5 Ch ngăI KI NăTH CăCHUNG 1.ă nhăngh a,ăvaiătròăvàăýăngh aăc aăđ oăhàm .... 11 3.ăTh cătr ngăvi căd yă

Y BAN NHÂN DÂN TP H CHÍ MINH

TR NGă IăH CăSÀI GÒN

BÙI KIM TÙNG

NGăD NG NH MăPHÁTăTRI NăN NGăL Că

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên c u c a chúng tôi, các s li u và k t

qu nghiên c u nêu trong lu n v n là trung th c, đ c các đ ng tác gi cho phép s

d ng và ch a t ng đ c công b trong b t kì m t công trình nào khác

TP.H Chí Minh, ngày 02 tháng 5 n m 2016

TÁC GI LU N V N

V ăTh Ph ngăDung

Bùi Kim Tùng

Trong quá trình nghiên c u và th c hi n khóa lu n, chúng tôi đƣ c g ng n l c

h t s c mình hoàn thành t t khóa lu n nƠy, chúng tôi đƣ nh n đ c s đ ng viên, giúp đ t n tình c a Quý th y, cô, gia đình vƠ b n bè Nhơn đơy chúng tôi xin đ c g i

l i c m n chơn thƠnh nh t

u tiên, chúng tôi xin g i l i c m n chơn thƠnh đ n Quý th y, cô trong Khoa Toán – ng d ng tr ng i h c SƠi Gòn đƣ t n tình gi ng d y su t b n n m h c đ chúng tôi có đ c n n t ng tri th c c ng nh kinh nghi m cu c s ng quý báu làm hành trng cho chúng tôi sau này

c bi t, chúng tôi xin chân thành c m n TS Ph m S Nam Th y lƠ ng i đƣ

gi ng d y nh ng ki n th c n n t ng, t n tình giúp chúng tôi hoàn thành khóa lu n m t cách t t nh t Ti p xúc v i th y chúng tôi h c h i đ c cách th c làm vi c khoa h c, s nhi t tình, tính c n th n trong nghiên c u và nh ng bài h c b ích trong cu c s ng

Chúng tôi c ng xin đ c g i l i c m n đ n gia đình vƠ b n bè đƣ luôn quan tơm

đ ng viên, khích l tinh th n chúng tôi trong su t th i gian th c hi n khóa lu n

Cu i cùng, chúng tôi xin g i l i c m n chơn thƠnh đ n Quý th y, cô trong h i

đ ng ch m khóa lu n đƣ dƠnh th i gian quý báu đ xem xét và góp ý cho nh ng đi m còn thi u sót giúp chúng tôi rút đ c kinh nghi m cho khóa lu n c ng nh quá trình nghiên

c u sau này R t mong nh n đ c s ch b o t n tình c a Quý th y, cô c ng nh s góp ý chân thành c a các b n Xin chân thành c m n

TP H Chí Minh, ngày 02 tháng 5 n m 2016

Tác gi khóa lu n

V Th Ph ng Dung – Bùi Kim Tùng

M CăL CăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăTrang

Trangăph ăbìa i

L iăcamăđoan ii

L iăc mă n iii

M căl c 1

Danhăm căcácăc măt ăvi tăt t 3

M ă U I.ăLýădoăch năđ ătài 4

II.ăM cătiêuănghiênăc u 5

III.ăNhi măv ănghiênăc u 5

IV.ă óngăgópăc aălu năv n 5

Ch ngăI KI NăTH CăCHUNG 1.ă nhăngh a,ăvaiătròăvàăýăngh aăc aăđ oăhàm 6

1.1 nh ngh a 6

1.2 Ý ngh a 7

1.3 Vai trò c a đ o hƠm trong ch ng trình Toán ph thông 9

1.4 Vai trò c a đ o hƠm trong cu c s ng 9

2.ăCácăkháiăni măvàăphânălo iăc păđ ănh năth c 10

2.1 Khái ni m n ng l c 10

2.2 Các c p đ nh n th c 11

3.ăTh cătr ngăvi căd yăh căgi iăbàiăt păđ oăhàmăvàă ngăd ngă ăcácătr ngăTHPT 3.1 V vi c h c c a h c sinh 12

3.2 V gi ng d y c a giáo viên 13

3.3 Bi n pháp 13

Ch ngăII XỂYăD NGăH ăTH NGăBÀIăT Pă OăHÀMăVÀă NGăD NGăNH MăPHÁTă

TRI NăN NGăL CăCHOăH CăSINH

1.ăBàiăt păliênăquanăđ năkháiăni măđ oăhàm 14

2.ăBàiăt pă ngăd ngăđ oăhàm 23

2.1 ng d ng đ o hƠm đ xét tính đ n đi u hƠm s 23

2.2 ng d ng đ o hƠm đ tìm c c tr 32

2.3 ng d ng đ o hƠm ch ng minh ph ng trình có nghi m 39

2.4 ng d ng đ o hƠm gi i ph ng trình 43

2.5 ng d ng đ o hƠm gi i b t ph ng trình 49

2.6 ng d ng đ o hƠm gi i h ph ng trình 54

2.7 ng d ng đ o hƠm tìm tham s đ ph ng trình, b t ph ng trình, h ph ng trình có nghi m 62

2.8 ng d ng đ o hƠm ch ng minh b t đ ng th c 80

2.9 ng d ng đ o hƠm tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hƠm s 99

2.10 ng d ng đ o hƠm đ gi i bƠi t p có liên quan đ n th c ti n 113

K TăLU N 118

TÀIăLI UăTHAMăKH O 119

DANHăM CăCÁCăKệăHI U,ăCH ăCÁIăVI TăT T

M ă U

I Lýădoăch năđ ătài

Môn Toán lƠ môn h c t o nhi u c h i giúp h c sinh (HS) phát tri n n ng l c

vƠ ph m ch t trí tu , rèn luy n cho HS t duy tr u t ng, chính xác, h p logic, ph ng pháp khoa h c trong suy ngh , suy lu n, t đó rèn cho HS trí thông minh, sáng t o

Trong ch ng trình Gi i tích l p 12 – THPT, n i dung đ o hƠm vƠ ng d ng

gi vai trò ch đ o, chi m m t kh i l ng ki n th c vƠ th i gian c a ch ng trình môn Toán, ki n th c v đ o hƠm chi m t tr ng khá l n trong các đ thi THPT qu c gia vƠ

đ thi tuy n sinh vƠo các tr ng i h c, Cao đ ng vƠ Trung c p chuyên nghi p B i

v y, vi c s d ng đ o hƠm c a hƠm s đ gi i toán lƠ m t n i dung r t c n thi t vƠ h u ích đ i v i các em HS l p 12

o hƠm lƠ n i dung c b n trong ch ng trình toán ph thông, lƠ m t trong hai phép tính c b n c a gi i tích o hƠm lƠ công c giúp chúng ta nghiên c u các tính

ch t c a hƠm s nh tính đ ng bi n, ngh ch bi n, tính l i lõm, c c tr , các đi m t i h n

c a hƠm s V n d ng tính ch t c a đ o hƠm còn giúp HS gi i đ c các bƠi toán i s

nh : gi i ph ng trình, b t ph ng trình, b t đ ng th c…

NgoƠi ra, đ o hƠm còn ng d ng trong l nh v c khác nh : bƠi toán tính v n t c, gia t c

c a m t chuy n đ ng v t lý, bƠi toán c c tr trong kinh t , trong chuy n đ ng…

Th c t d y h c Toán tr ng THPT cho th y còn nhi u h c sinh g p khó kh n khi s d ng ki n th c đ o hƠm đ gi i bƠi t p, m t trong nh ng nguyên nhơn chính lƠ

do các em không hi u sơu s c khái ni m vƠ nh ng ng d ng c a ki n th c nƠy

Chính vì nh ng lý do nêu trên chúng tôi đƣ ch n đ tƠi đ nghiên c u:

“Xây d ng h th ng bài t p đ o hàm và ng d ng nh m phát tri n n ng l c cho h c sinh”

II M cătiêuănghiênăc u

M c tiêu c a khóa lu n lƠ phơn lo i các d ng bƠi t p v đ o hƠm vƠ xơy d ng h

th ng bƠi t p phù h p v i các c p đ nh n th c nh m giúp HS phát tri n n ng l c trong h c Toán

III Nhi măv ănghiênăc u

Khóa lu n nghiên c u vƠ trình bƠy các n i dung sau:

+ H th ng các ki n th c c b n v đ o hƠm

+ Xơy d ng h th ng bƠi t p đ o hƠm vƠ ng d ng nh m phát tri n n ng l c cho HS

IV óngăgópăc aălu năv n

V m t lý lu n, t ng h p các ki n th c v n ng l c, c p đ nh n th c vƠ phơn tích ý ngh a c a ki n th c đ o hƠm trong ch ng trình ph thông

V m t th c ti n, khóa lu n lƠ tƠi li u tham kh o cho GV vƠ HS trong gi ng d y

vƠ h c t p v khái ni m đ o hƠm vƠ ng d ng

1.1.2 ă nhăngh aăđ oăhàmăc păcao

Gi s hƠm s y f x có đ o hƠm t i m i đi mx a b; Khi đó, h th c

1.2.1.2 Bài t p liên quan:

Lo i 1: Ph ng trình ti p tuy n t i ti p đi mM x y 0; 0

Lo i 2: Ph ng trình ti p tuy n khi bi t h s góc

Lo i 3: Ti p tuy n đi qua đi m A cho tr c

1.2.2.ăụăngh aăv tălý

1.2.2.1.V n t c t c th i

V n t c t c th i là đ o hàm c a v trí theo th i gian.

Xét chuy n đ ng th ng xác đ nh b i ph ng trình s  s t ( ), v is  s t ( ) lƠ m t hƠm s có

đ o hƠm V n t c t c th i c a chuy n đ ng t i th i đi m t0 lƠ đ o hƠm c a hƠm s

t lƠ đ o hƠm c a hƠm s QQ t t it0:I t 0 Q t' 0

1.2.3.ăụăngh aăc ăh căc aăđ oăhàmăc păhai

o hƠm c p hai f ''( ) t lƠ gia t c t c th i c a chuy n đ ngs  f t ( )t i th i đi m t Xét chuy n đ ng xác đ nh b i ph ng trìnhs  f t ( ), trong đós  s t ( )lƠ m t hƠm s có

đ o hƠm đ n c p hai V n t c t c th i t i t c a chuy n đ ng lƠv t  f' t L y s gia

1.3.ăVaiătròăc aăđ oăhàmătrongăch ngătrìnhăToánăph ăthông

Trong ch ng trình Gi i tích THPT, đ o hƠm vƠ ng d ng c a đ o hƠm gi vai trò ch đ o o hƠm lƠ công c m nh giúp chúng ta nghiên c u nhi u tính ch t

c a hƠm s nh tính đ ng bi n, ngh ch bi n, c c tr , l i lõm, đi m u n…

Ph ng pháp đ o hƠm giúp chúng ta gi i nhi u bƠi toán đ i s nh : gi i ph ng trình,

b t ph ng trình, ch ng minh b t đ ng th c, tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t

1.4.ăVaiătròăc aăđ oăhàmătrongăcu căs ng

Khái ni m đ o hƠm có nhi u ng d ng trong đi n t h c, đ ng l c h c, kinh t

h c, trƠn ch t l ng, ki u m u dơn s , lý thuy t s p hƠng, Vì th , đ o hƠm lƠ m t công

c quan tr ng giúp gi i quy t nhi u bƠi toán trong nhi u l nh v c Do v y đ o hƠm có nhi u ng d ng r ng rƣi trong cu c s ng Ch ng h n:

+ Nhi t đ thay đ i trong th i gian nh t đ nh

+ V t t c c a m t v t th r i t do trong kho ng th i gian nh t đ nh

+ Dòng đi n qua m ch trong th i gian nh t đ nh

+ S bi n thiên c a th tr ng ch ng khoán trong kho ng th i gian nh t đ nh

+ S gia t ng dơn s trong kho ng th i gian nh t đ nh

+ Nhi t đ gia t ng theo t tr ng trong bình gas

+…

Sau đơy, chúng tôi đ a ra m t s ví d đi n hình:

 V t lý đi n t :

N u ta xem Q(t) lƠ m t hƠm s bi u di n đi n tích có trong 1 đo n dơy d n m t th i

đi m t, thì đ o hƠm Q'(t) s cho ta c ng đ dòng đi n ch y qua đo n dơy đó

D th y, khi xét kho ng th i gian gi a hai th i đi m t1, t2b t kì, l ng đi n tích ch y qua ti t di n c a đo n dơy lƠ: Q t( )2 Q(t )1

Khi đó, c ng đ dòng đi n trung bình (t c lƠ, l ng đi n tích trên m t đ n v th i gian) trong kho ng th i gian nƠy đ c đ nh ngh a nh sau: 2 1

 Các bƠi toán kinh t :

Qua s li u thông kê, ng i ta nh n đ nh r ng, doanh thu c a công ty FPT sau t n m tính t đ u n m 2010 lƠ: 2

( ) 5 7 90

R t  t  t t đ ng Hƣy tính t c đ thay đ i ph n tr m doanh thu c a công ty vƠo đ u n m 2016 ?

250.000 VND/m , thƠnh b ng tôn, giá 2

100.000 VND/m , b m t b ng nhôm không han

150.000 VND/m V y kích th c c a bình ch a n c nh th nƠo đ s ti n xơy

d ng nó lƠ ít nh t ?

Nh v y: o hƠm cung c p cho chúng ta m t công c m nh đ nghiên c u nhi u v n

đ trong th c t Do v y, trong d y h c khái ni m đ o hƠm thông qua các bƠi t p c n giúp h c sinh th y rõ ng d ng nƠy

2 Cácăkháiăni măvàăphânălo iăm căđ ănh năth c

2.1.ăKháiăni măn ngăl c

Các nhƠ tơm lí h c cho r ng n ng l c lƠ t ng h p các đ c đi m, thu c tính tơm lí

c a cá nhơn phù h p v i yêu c u đ c tr ng c a m t ho t đ ng nh t đ nh nh m đ m b o cho ho t đ ng đó đ t hi u qu cao

Ng i ta chia n ng l c thƠnh n ng l c chung, c t lõi vƠ n ng l c chuyên môn, trong đó n ng l c chung c t lõi lƠ n ng l c c b n c n thi t lƠm n n t ng đ phát tri n

n ng l c chuyên môn N ng l c chuyên môn lƠ n ng l c đ c tr ng m t l nh v c nh t

Ng i h c có kh n ng áp d ng thông tin đƣ bi t vƠo tình hu ng, đi u ki n m i

T khóa đánh giá: V n d ng, áp d ng, tính toán, ch ng minh, gi i thích, xơy d ng…

Ng i h c có kh n ng chia các n i dung, các thông tin thƠnh nh ng ph n nh

T khóa: ánh giá, cho ý ki n, bình lu n, t ng h p, so sánh…

t đ c c p đ nh n th c cao nh t nƠy ng i h c có kh n ng t o ra cái m i, xác l p thông tin, s v t m i trên c s nh ng thông tin, s v t đƣ có

T khóa: Thi t l p, t ng h p, xơy d ng, thi t k , đ xu t…

D a vƠo các m c đ nh n th c, trong d y h c toán, nh m giúp h c sinh phát tri n n ng

l c, chúng tôi thi t k các bƠi t p theo các c p đ nh n th c trên [2]

3.ăTh cătr ngăvi căd yăh căgi iăbàiăt păđ oăhàmăvàă ngăd ngă ăcácătr ngăTHPTă

3.1.ăV ăvi căh căc aăh căsinh:

M c dù đa s HS đƣ có ý th c v t m quan tr ng c a môn Toán, tuy nhiên ch t

l ng h c t p môn Toán ch a th t s cao, v n ch a đ ng đ u Ch t l ng ch t ng

đ i n đ nh l p ch n vƠ l p nơng cao Còn đa s các l p thu c ch ng trình chu n

ch t l ng th ng r t th p Theo suy ngh c a chúng tôi, có nh ng nguyên nhơn sau: + N ng l c c a h c sinh trong các l p không đ ng đ u, trong khi đó các bƠi t p trên

l p vƠ trong sách giáo khoa ch a th c s phù h p v i các đ i t ng h c sinh

+ HS th ng m c ph i nh ng sai sót r t c b n trong quá trình h c t p, ch ng h n lƠm sai t các phép bi n đ i đ n gi n, cách gi i ph ng trình, b t ph ng trình c b n… + Có nhi u l h ng ki n th c vì v y HS d chán n n vƠ không thích h c Toán Kh

n ng ti p thu c a HS còn h n ch vƠ ch a linh đ ng trong vi c x lý các tình hu ng Toán h c đ n gi n nên k t qu h c t p còn r t h n ch

3.2.ăV ăgi ngăd yăc aăgiáoăviên:

+ GV ch a có các bƠi t p phù h p đ giúp HS y u, kém hi u h n v khái ni m đ c

h c Các bƠi t p m c đ nh n bi t, thông hi u r t ít khi xu t hi n trong các ví d minh h a cho bƠi gi ng vƠ trong bƠi t p v nhƠ

+ GV th ng đ a ra cơu h i nêu v n đ nh ng ch a th c sát tình hu ng th c t + Trong quá trình gi ng d y GV chú ý nhi u đ n vi c truy n th kh i l ng ki n th c

vƠ ít chú tr ng đ n cách d n d t HS tìm hi u khám phá vƠ l nh h i ki n th c

+ Trong quá trình gi ng d y th c t p t i các tr ng THPT chúng tôi nh n th y nhi u

GV chu n b bƠi r t công phu, bên c nh đó v n còn m t s GV chu n b n i dung vƠ bƠi gi ng ch a đúng v i tr ng tơm, ch a th t chu đáo Trong qua trình gi ng d y ch a

kh i d y đ c ni m say mê vƠ h ng thú h c t p Ch a góp ph n tích c c vƠo vi c xác

Ch ngăII XỂYăD NGăH ăTH NGăBÀIăT Pă OăHÀMăVÀă NGăD NGăNH MăPHÁTă

TRI NăN NGăL CăCHOăH CăSINH 1.ăBàiăt păliênăquanăđ năkháiăni măđ oăhàm

1.1.ăBàiăt pănh năbi t

HoƠn thƠnh bƠi tr c nghi m v đ nh ngh a đ o hƠm qua các cơu h i sau đơy:

( ) ( ) lim

1.2.ăBàiăt păthôngăhi u

Hoàn thành các câu sau b ng cách đi n vƠo ch tr ng

1

x

f x f

f x

 

 



V y f '(0)   1.

( ) ( ) '( ) lim

B c 1: Xét tính liên t c c a hƠm s t i đi m x0

B c 2: Tính đ o hƠm bên trái:

0

0 0

0

( ) ( ) '( ) lim

0

( ) ( ) '( ) lim

BƠi t p 2: Dùng đ nh ngh a tính đ o hƠm c a hƠm s  

sin 0

0 0tan 0

V y hƠm s y f x( ) có đ o hƠm t i đi m x0 0và f '(0) 1 

BƠi t p 3: Cho hƠm s  

2

x x

x  , tr c h t hƠm s y f x( ) ph i liên

t c t i đi m 0

1 2

x  và

1 2

BƠi t p 4: Cho hƠm s

BƠi t p 1: Tính đ o hƠm c a hƠm s 3

2 Bài t pă ngăd ngăđ oăhàm

2.1.ă ngăd ngăđ oăhàmăđ ăxétătínhăđ năđi uăhàmăs

2.1.1.ăBàiăt pănh năbi t

HoƠn thƠnh bƠi tr c nghi m v ng d ng đ o hƠm đ xét tính đ n đi u c a hƠm s qua các cơu h i sau đơy:

Câu 1: Cho hƠm s y f x( )có đ o hƠm trên kho ng K HƠm s f x( )đ ng bi n trên kho ng K khi nƠo?

Câu 4: HƠm s đ ng bi n đ c bi u th b ng m i tên theo h ng:

A i lên t trái sang ph i

B i lên t ph i sang trái

C i xu ng t trái sang ph i

D i xu ng t ph i sang trái

áp án: A

Câu 5: HƠm s ngh ch bi n đ c bi u th b ng m i tên theo h ng:

A i lên t trái sang ph i

B i lên t ph i sang trái

2.1.3.ăBàiăt păv năd ng

BƠi t p 2: Xét s bi n thiên c a hƠm s

2

10

x y

gi i quy t bƠi toán (*) ta th ng đi theo hai h ng:

H ngă1: Cô l p tham s đ kh o sát, t đó rút ra k t lu n

H ngă2: a f x'( )v d ng tích c a các hƠm b c nh t, b c hai đ xét d u

23

y x mx  x m a) ng bi n trên

V y hƠm s đƣ cho đ ng bi n trên khi m  1,1

b) y '  0 có t i đa 2 nghi m nên hƠm s đ ng bi n trên kho ng0,

HD:

y  x  m x m  m , y '  0 có t i đa 2 nghi m HƠm s đ ng bi n trên2, do đóy'  0, x 2,

Trong bài toán nƠy không th cô l p đ cmnên ta dùng cách 2

HƠm s đ ng bi n trên khi

2

23

m  m  m 

2 m

y  m x  m x m ; y '  0 có t i đa 2 nghi m

HƠm s ngh ch bi n trên nên y '    0, x

Nh n th yy'ch a lƠ tam th c b c hai nên ta ph i xét hai tr ng h p:

+ TH1: m  1khi đóy'    3 0, x nên hƠm s ngh ch bi n trên

+ TH2: m  1khi đóy'lƠ tam th c b c 2 nên hƠm s ngh ch bi n trên

+ N u trongy'ch ch a tham s mb c nh t, ta s cô l p đ cmnên có th dùng cách 1

đ gi i quy t bƠi toán

+ N u không cô l p đ cmvƠ d u c ay' lƠ d u c a m t tam th c b c hai có ch a

Ki năth căb ăsung:

+ HƠm s h x( )đ ng bi n trên đo n a b, thìh a( )h x( )h b( ), x  a b, + HƠm s h x( )ngh ch bi n trên đo n a b, thìh a( )h x( )h b( ), x  a b,

BƠi t p 2 : Ch ng minh r ng: cos 1 2, 0

Suy ra h x( )đ ng bi n trên Do đóh x'( )0có không quá m t nghi m

M t khách'(0)0nênx  0lƠ nghi m duy nh t c ah x'( )0

2.2 ngăd ngăđ oăhàmăđ ătìmăc cătr

2.2.1.ăBàiăt pănh năbi t

HoƠn thƠnh bƠi tr c nghi m v ng d ng đ o hƠm đ tìm c c tr qua các cơu h i sau: Câu 1: N u hƠm s f x( )đ t c c đ i t i đi m x0thì x0,f x( )0 l n l t đ c g i lƠ?

f x – 0 + 0 – 0 +

( )

f x

 6 

HƠm s đ t c c đ i t ix 1;x1vƠ giá tr c c đ iyCD  f( 1) 8

HƠm s đ t c c ti u t ix  0vƠ giá tr c c đ iy  f(0)6

f x – 0 – 0 +

( )

f x

 

–65

V y

HƠm s đ t ti u đ i t ix  3vƠ giá tr c c ti uyCT  f(3) 65

HƠm s đƣ cho không có c c đ i

HƠm s đ t c c đ i t ix   2vƠ giá tr c c đ iyCD  f( 2)  9

HƠm s đ t c c ti u t ix  0vƠ giá tr c c đ iyCT  f(0) 1

T các bài t p trên ta có nh n xỨt:

+ i v i hƠm b c ba thì ph ng trình f x'( )0có 2 nghi m phơn bi t lƠ đi u ki n c n

vƠ đ đ hƠm s có c c tr

+ i v i hƠm b c b n vì đ o hƠm lƠ hƠm b c ba nên hƠm ch có th có m t c c tr

ho c ba c c tr HƠm s có m t c c tr khi ph ng trình f x'( )0có m t ho c hai nghi m (m t nghi m đ n, m t nghi m kép) HƠm s có ba c c tr khi ph ng trình

t p xác đ nh nên hƠm s không có c c tr