SKKN - Phân loại và hướng dẫn giải bài tập tam giác đồng dạng

Tuy nhiên việc vận dụng kiến thức ấy vào giải những bài toán cụ thể ở học sinh còn rất nhiều hạn chế.. Trong giảng dạy tôi thấy để học sinh có thể tự minh giải đợc các bài toán bằng việc

I Đặt vấn đề

Trong chơng trình hình học lớp 8 THCS phần tam giác đồng dạng có 20 tiết trên tổng số 71 tiết học Vì vậy loại toán này chiếm vị trí quan trọng trong chơng trình cấp học Tuy nhiên việc vận dụng kiến thức ấy vào giải những bài toán cụ thể ở học sinh còn rất nhiều hạn chế

Trong giảng dạy tôi thấy để học sinh có thể tự minh giải đợc các bài toán bằng việc sử dụng kiến thức tam giác đồng dạng, cần giúp học sinh định hớng và tập trung khai thác kiến thức nêu trên bằng một số ví dụ cụ thể, đề tài này mong muốn đợc trao đổi kinh nghiệm mà bản thân tôi đã rút ra trong quá trình giảng dạy ở phân môn hình học lớp 8, việc khai thác và vận dụng kiến thức tam giác đồng dạng để giải

Các ví dụ và cách giải ở bài viết này chỉ là những ví dụ có tính minh họa cho vấn đề đã nêu còn có nhiều cách giải khác có thể hay hơn, xin dành lại cho các bạn đọc

II Nôi dung:

Các bài toán về tam giác đồng dạng tập trung 3 dạng toán chủ yếu sau:

1- Các bài toán về tính toán

2- Các bài tóa về chứng minh

3- Các bài toán khác

Sau đây là 11 ví dụ thể hiện ở các dạng nêu trên Ngoài ra bạn đọc còn

có thể tự giải bài tập theo kiến thức này

1 Các bài toán về tính toán:

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 12cm; AC = 15cm; BC = 18 cm Trên cạnh AB, đặt đoạn thẳng AM = 10cm; trên cạnh AC đặt đoạn thẳng AN = 8cm Tính độ dài đoạn thẳng MN

Giải

Xét  ABC và  ANM

Ta có = Nên

Mặt khác có A chung của hai tam giác nên

 ABC  ANM (c-g-c)

Ta có hay  MN = = 12 (cm)

Ví dụ 2: Hình thang ABCD (AB//CD) có AB = 4cm; CD = 16cm và

BD = 8cm, góc ADB bằng 40O Tính số đo góc C của hình thang

Giải:

Xét  ABD và BDC có

AB//CD ABD = BCD (so le) =

=

 = =

1

18cm

A

M

N

8cm 10cm

B A

16cm

4cm

40 O

8

Vậy  ABD BDC (g.c.g)  ABD = BCD = 40O hay C = 40O.

Ví dụ 3: Tam giác vuông ABC (A = 90O) có đờng cao AH và trung tuyến AM Tính diện tích tam giác AMH, biết rằng BH = 4cm, CH = 9cm

Giải:

Xét hai tam giác vuông

HBA và HAC

Ta có BAH = ACH (Góc có cạnh tơng ứng vuông góc) Nên  HBA  HAC

  HA2 = HB.HC = 4.9 = 36

 AH = 6(cm) Mặt khác AM là trung tuyến của ABC  BM = = 6,5(cm)

 HM = 6,5 - 4 = 2,5 (cm)

Vậy SAHM = AH HM = 6.2,5 = 6,5 (cm2)

2 Các bài toán chứng minh:

Ví dụ 4: Cho hình thang vuông ABCD (A = D = 90O), AB = 6cm,

CD = 12cm, AD = 17cm Trên cạnh AD đặt đoạn thẳng AE = 8cm Chứng minh BEC = 90O

Giải:

Xét hai tam giác vuông ABE và DEC

Ta có DE = AD - AE = 17-8=9(cm)

Từ đó ta có (vì )

Vậy  ABE  DEC

Do đó: AEB = DCE (1)

ABE = DEC (2)

Từ (1) và (2)  AEB + DEC = 90O nên BEC = 90O

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, AC = 4cm; BC = 6cm Kẻ tia

Cx vuông góc với BC (tia Cx và điểm A khác phía so với đờng thẳng BC) Lấy trên tia Cx điểm D sao cho BD = 9cm Chứng minh rằng BD//AC

Giải:

Xét hai tam giác vuông

ABC và CDB có

(vì )

Suy ra  ABC CDB

2

A

C

4

9

B A

E

12

6

17

B

D

C A

4 6

9

x

Và do đó có các góc

tơng ứng bằgn nhau CBD = ACB

Vậy BD// AC (vì có hai góc so le trong bằng nhau)

Ví dụ 6: Trong lục giác lồi ABCDEF, các góc ở đỉnh A, C, E bằng nhau và ABF = CBD, AFB = EFD Chứng minh rằng nếu A' là điểm đối xứng của A qua BF và không nằm trên đờng thẳng CE thì ACDE là hình bình hành

Giải:

EDF A'BF vì có

DEF = BA'F (= BAF)

và EFD = A'FB (= AFB)

Ta lại có: A'FE = EFB -A'FB

= EFB - EFD = DFB (2)

Từ (1) và (2) suy ra A'EF BDF (c.g.c)

Chứng minh tơng tự BCA' BDF

Nên A'EF BCA' (tính chất bắc cầu)

Suy ra: vậy A'C = DE (3)

Tơng tự ta có A'E = CD (4)

Từ (3) và (4) ta kết luận: ACDE là hình bình hành

Ví dụ7: Chứng minh rằng trung điểm hai đáy của một hình thang, giao

điểm hai đờng chéo và giao điểm hai cạnh bên kéo dài của hình thang đó thẳng hàng

Giải:

Trong hình vẽ bên ta phải

chứng minh bốn điểm

H,E,G,F thẳng hàng

Nối EG, FG ta đợc

ADG CBG (g.g) 

Hay (1)

Ta lại có EAG = FCG (so le trong) (2)

Từ (1) và (2)  AEG CFG (c.g.c)

Nên AGE = CGF Vậy E, G, F thẳng hàng (3)

Nối EH, FH Chứng minh tơng tự trên ta đợc  AEH BFH  AHE = BHF

Vậy H, E, F thẳng hàng (4)

Từ (3) và (4) ta kết luận H, E, G, F thẳng hàng

Ví dụ 8: Tam giác ABC có ba đờng cao AD, BE, CF đồng quy tại H Chứng minh rằng: AH DH = BH EH = CH FH

Giải:

3

E

D

F A

B

C

A'

C

H

E

G

F

E A

H

Ta có tam giác AFH và

tam giác CDH là hai tam giác

vuông có AHF = CHD vì

hai góc đối đỉnh

Nên AFH CDH (g.g)

  AH DH = CH.FH (1)

Chứng minh tơng tự ta có BFH CEH

  BH EH = CH.FH (2)

Từ (1) và (2) suy ra AH.DH = BH.EH = CH FH

Ví dụ 9: Lấy điểm M trên đờng chéo AC của tứ giác ABCD có B=D = 90O,

kẻ MN BC (NBC) và MPAD (PAD) Chứng minh

Giải:

Vì AB BC (gt)

MNBC (gt)

Nên MN//AB

 CNM CBA  (1)

Ta có MP//CD nên  AMP ACD

 (2) Cộng vế với vế của (1) và (2) ta đợc:

Vậy

3 Các bài toán khác:

Ví dụ 10: Dựng tam giác ABC biết B = 60O; C = 40O và đờng cao AH =h

Giải:

Cách dựng:

- Dựng AB'C' có B' =60O

C' = 40O

- Vẽ đờng cao AH'

- Trên tia AH' lấy điểm H

sao cho AH = h

- Dựng đờng thẳng d đi qua H và song song với

B'C cắt AB' và AC' lần lợt ở B,C

ABC là tam giác cần dựng

Chứng minh: Theo cách dựng có AB//B'C'

 ABC AB'C'  B = B' = 60O ; C =C' = 40O

AH' B'C'  AHBC và AH = H

4

D C

B N

A

C

C' H'

B'

B

H d

h

60 O

40 O

Phần còn lại ngời đọc tự giải tiếp

Ví dụ 11: Cho tam gac ABC có A = 60O, AB = 6cm, AC = 9cm Dựng tam giác đồng dạng với tam giác ABC theo tỷ số đồng dạng K=

Giải:

Cách dựng:

- Dựng xA'y = A = 60O

Trên A'x và A'y theo thứ tự

lấy các điểm B',C' sao cho

(lấy A'B' = AB = 2(cm))

(hay A'C' = AC = 3(cm))

Tam giác A'B'C' là tam giác phải chứng minh

Theo cách dựng ta có (1)

(2) A' = A Suy ra: và A' = A vậy A'B'C' ABC

(Trờng hợp thứ ba)

4 Bài tập áp dụng:

Bài 1: Giả sử AC là đờng chéo lớn củ hình bình hành ABCD Từ C, vẽ

đờng vuông góc CE với đờng thẳng AB, đờng vuông góc CF với đờng thẳng

AD (E,F thuộc phần kéo dài của các cạnh AB và AD) Chứng minh rằng AB.AE+AD.AF = AC2

Bài 2: Cho tam giác đều ABC Một đờng thẳng song song với AC cắt các cạnh AB, BC ở M và P Gọi D là tâm của PMB, E là trung điểm của AP Tính các góc của  DEC

Bài 3: Cho hình bảy cạnh đều A1 A1 A7

Chứng minh rằng:

Bài 4: Hình thang ABCD (BC//AD) có BC = 6cm; AD = 11cm và AB=4cm Tính độ dài đờng cao của hình thang biết BAD + CDA = 90O

Bài 5: Cho các hình bình hành ABCD, AMPN 9MAB và NAD, P ở trong hình bình hành ABCD) Gọi Q là giao điểm của DM và BN Chứng minh

điểm Q,P,C thẳng hàng

III Kết luận:

Việc xác định đợc và vận dụng đúng tam giác đồng dạng không phải là

dễ dàng trong mọi bài toán Trong quá trình giảng dạy ở các năm học vừa qua tôi đã thực nghiệm nội dung của đề tài này và thấy đợc tác dụng tính tích cực của nó Từ chỗ học sinh còn rất lúng túng để xác định đợc lời giải thì đến đây

5

A'

C'

y x

B'

60 O

các em đã khá chủ động trong vấn đề này Nhất là những bài toán hình học có nội dung chứng minh, đã trở thành quen thuộc với các em, làm cho không khí lớp học trở nên sôi động, học sinh tự tin hơn trong quá trình giải bài

Với tác dụng nhất định của nó, đề tài "Sử dụng tam giác đồng dạng để giải một số bài toán hình học lớp 8" vẫn còn tiếp tục đợc vận dụng trong những năm học tiếp theo Tuy vậy, do còn nhiều mặt hạn chế của tôi nên chắc chắn

đề tài không khỏi có những thiếu sót và hạn hẹp Rất mong ngời đọc góp ý, xây dựng./

Nga Hng, ngày 20 tháng 3 năm 2005

Ngời viết

Mai Thị Hải Yến

6

phòng giáo dục huyện nga sơn

Trờng THCS nga hng

- -Sử dụng kiến thức về tam giác đồng dạng để giải

một số bài toán hình học 8 THCS

********

Họ và tên: Mai Thị Hải Yến

Đơn vị: Trờng THCS Nga Hng-Nga Sơn

Năm học : 2004 - 2005

*********