Xác Suất Thống Kê Kinh Tế (Đoàn Hồng Chương)

Trường hợp 2 bạn Hoa và Lan không ngồi cạnh nhau là phần bù của trường hợp trên... Gọi Ω là tập hợp các số gồm 3 chữ số abc trong đó chữ số đầu tiên có thể nhận giá trị 0 và A là tập hợp

XÁC SUẤT THỐNG KÊ KINH TẾ

Đoàn Hồng Chương1

Bộ môn Toán - TKKT, Đại học Kinh Tế - Luật

Chương 1

NHẮC LẠI VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP 1.1 Qui tắc cộng

Nếu một công việc có thể thực hiện theo k phương án A1, A2 , A k và mỗi

phương án có n i (i = 1, 2, , k) cách thực hiện thì số cách thực hiện công

việc là

n = n1 + n2 + + n k (1.1)

và trắng, cỡ 40 có ba màu đen, trắng và nâu Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn mua giày? (Đáp số: n = 2 + 3 = 5).

1.2 Qui tắc nhân

Nếu một công việc bao gồm k giai đoạn và mỗi giai đoạn có n i (i = 1, 2, , k)

cách thực hiện thì số cách thực hiện công việc là

của ban tổ chức, mỗi câu hỏi có 4 lựa chọn Hỏi mỗi thí sinh có bao nhiêu phương

án trả lời? (Đáp số: n = 45 = 1024).

1.3 Hoán vị

tử theo một thứ tự gọi là một hoán vị.

Tính chất 1.1 Số hoán vị của n phần tử là

• Qui ước: 0! = 1.

Giải Vì mỗi cách xếp học sinh vào một bàn dài là một hoán vị nên số cách

Ví dụ 1.4 Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 5 bạn học sinh vào một bàn dài biết

rằng 2 bạn Hoa và Lan muốn ngồi cạnh nhau? Hoa và Lan không ngồi cạnh nhau?

Giải Nếu 2 bạn Hoa và Lan ngồi cạnh nhau thì ta có thể giải bài toán theo

2 bước sau đây:

• Bước 1: Xem 2 bạn Hoa và Lan như là 1 người Khi đó số cách xếp là số

hoán vị của 4 phần tử

P4 = 4! = 24.

• Bước 2: Đổi chỗ 2 bạn Hoa và Lan Khi đó số cách xếp là số hoán vị của

2 phần tử

P2 = 2! = 2.

Vậy số cách xếp là n = P4.P2 = 48

Trường hợp 2 bạn Hoa và Lan không ngồi cạnh nhau là phần bù của trường hợp trên Do đó số cách xếp là hiệu của số cách xếp tùy ý 5 người và số cách xếp 2 bạn Hoa và Lan ngồi cạnh nhau

n = P5 − 48 = 5! − 48 = 72.

1.4 Chỉnh hợp

(1 ≤ k ≤ n) lấy từ n phần tử của tập hợp theo một thứ tự gọi là một chỉnh hợp

chập k của n.

A k n = n!

Ví dụ 1.5 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 7, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm

3 chữ số đôi một khác nhau?

Giải Ý tưởng giải bài toán này là nguyên lý phần bù Gọi Ω là tập hợp các

số gồm 3 chữ số abc trong đó chữ số đầu tiên có thể nhận giá trị 0 và A là

tập hợp các số thỏa đề bài Khi đó A (phần bù của A trong Ω) là tập hợp các

số gồm 3 chữ số trong đó chữ số đầu tiên bằng 0 Mỗi phần tử của Ω là một cách chọn có thứ tự 3 số trong tập hợp các số {0, 1, 2, 3, 4, 7} Số phần tử của

Ω là n(Ω) = A36 Đối với tập hợp A, vì chữ số đầu tiên bằng 0 nên mỗi phần

tử của A là một cách chọn có thứ tự 2 số trong tập hợp {1, 2, 3, 4, 7} Số phần

tử của A là n(Ω) = A25 Khi đó số phần tử của A là

n(A) = A36 − A25 = 100.

1.5 Tổ hợp

(1 ≤ k ≤ n) từ n phần tử của tập hợp gọi là một tổ hợp chập k của n.

C n k = n!

Tính chất 1.4.

văn nghệ gồm 5 nam và 5 nữ từ các học sinh nói trên Hỏi có bao nhiêu cách thực hiện việc này? (Đáp số: n = C305 .C205 ).

chữ số trong đó chữ số 8 xuất hiện 2 lần, các chữ số còn lại xuất hiện tối đa 1 lần?

Giải Với mỗi số tự nhiên thỏa mãn đề bài, ta biễu diễn thành một hàng

gồm 4 ô, trong đó có 2 ô chứa số 8, 2 ô còn lại là số tùy ý trong tập hợp

{1, 2, 3, 6, 7}.

   

Như vậy, bài toán có thể chia thành 2 bước như sau:

• B1: Chọn 2 ô trong 4 ô để xếp chữ số 8 Số cách chọn sẽ là C2

4

• B2: Chọn có thứ tự 2 số trong tập hợp {1, 2, 3, 6, 7} Số cách chọn là A2

5

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn đề bài là C42.A25 = 120 

1.6 Tổ hợp lặp

không phân biệt thứ tự, có thể trùng nhau được chọn ra từ n phần tử đã cho.

2 sản phẩm của cửa hàng Vì không có điều kiện ràng buộc nên khách hàng đó có

thể mua 2 sản phẩm a1, hoặc 2 sản phẩm a2 hoặc 1 sản phẩm a1 và 1 sản phẩm a3 Mỗi trường hợp được liệt kê ở trên chính là một tổ hợp lặp chập 2 của 3 phần tử Sau đây là liệt kê đầy đủ các trường hợp của bài toán:

a1a1, a2a2, a3a3, a1a2, a1a3, a2a3.



C n k = C n+k−1 k (1.8)

Ví dụ 1.9 Có 4 loại bút bi: xanh, đỏ, tím, vàng Hỏi có bao nhiêu cách chọn mua 6

chiếc bút? (giả sử số lượng bút bi mỗi loại lớn hơn 6).

Giải Vì khách hàng chọn 6 chiếc bút trong 4 loại và có thể chọn cùng một

màu nên mỗi cách chọn là một tổ hợp lặp chập 6 của 4 Số cách chọn là



C46 = C 4+6−16 = C96 = 84.

Ví dụ 1.10 Giả sử có 8 viên bi màu hoàn toàn giống nhau Nam muốn xếp các viên

bi này vào 5 ngăn kéo Hỏi có bao nhiêu cách xếp? (Đáp số: n =  C58 = C138 = 1287)

BẢNG TÓM TẮT ĐẠI SỐ TỔ HỢP

Chương 2

XÁC SUẤT VÀ CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT

§1 Phép thử và biến cố

1.1 Phép thử và biến cố

Định nghĩa 1.1 Phép thử ngẫu nhiên là một quá trình thực hiện một nhóm

các điều kiện để quan sát hiện tượng mà kết quả của nó không đoán trước được.

Định nghĩa 1.2 Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử gọi là không

Ví dụ 1.1 Xét phép thử tung hai đồng xu, nếu xét kết quả xuất hiện là mặt "sấp"

S hay "ngửa" N thì không gian mẫu sẽ là

Ω = {SS, SN, NS, NN}.

Quy ước: "ngửa" là mặt hiện giá trị của đồng xu và "sấp" là phía ngược lại.

mẫu sẽ là

Ω = {0; 1; 2}.

Ví dụ 1.3 Xét phép thử tung một đồng xu cho đến khi xuất hiện mặt sấp S Không gian mẫu của phép thử này sẽ là

Ω = {1; 2; 3; 4; }.

Định nghĩa 1.3 Biến cố là một tập hợp con của không gian mẫu Các biến cố

thường được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa: A, B, C,

không gian mẫu Ω.

Ví dụ 1.4 Xét phép thử tung 2 đồng xu của ví dụ (1.1) Khi đó

• Biến cố "có ít nhất một mặt S" là A = {SS, SN, NS}.

• Các biến cố sơ cấp là A1 = {SS}, A2 = {SN}, A3 = {NS}, A4 = {NN}.

• Biến cố Ω = {SS, SN, NS, NN} là biến cố chắc chắn.

• Biến cố "có 3 mặt sấp" là biến cố không thể.

1.2 Quan hệ giữa các biến cố

1 Biến cố giao

cố "A và B đồng thời xảy ra".

ở đồng xu thứ nhất", B là biến cố "xuất hiện mặt sấp ở đồng xu thứ hai" Khi đó

A ∩ B là biến cố "xuất hiện mặt sấp ở cả hai đồng xu".

hoặc Pháp văn, trong đó có 20 sinh viên giỏi Anh văn, 15 sinh viên giỏi Pháp văn Hỏi có bao nhiêu sinh viên giỏi cả hai môn (Đáp số: n = 5).

2 Biến cố hợp

nhất một trong hai biến cố A, B xảy ra".

Trường hợp A ∩ B = ∅ thì ta dùng kí hiệu A + B thay cho A ∪ B.

Ví dụ 1.7 Xét phép thử tung ba đồng xu Gọi A là biến cố "xuất hiện đúng hai mặt sấp trong ba đồng xu", B là biến cố "cả 3 mặt đều sấp" Khi đó A ∪ B là biến

cố "có ít nhất hai mặt sấp trong ba đồng xu".

3 Biến cố kéo theo

4 Biến cố xung khắc

Ví dụ 1.8 Xét phép thử trong ví dụ (1.7) Biến cố A ∩ B = ∅ nên A và B là hai biến cố xung khắc

Ví dụ 1.9 Xét phép thử tung một con súc sắc cân đối đồng chất Các biến cố nào

sau đây là xung khắc với nhau?

A: "xuất hiện mặt chẵn".

B: "xuất hiện mặt nhị".

C: "xuất hiện mặt lẻ".

D: "xuất hiện mặt nhất hoặc tam".

5 Biến cố bù

không xảy ra".

hiện ít nhất một lần" Khi đó biến cố bù A là "mặt sấp không xuất hiện".

i trúng bia" (i = 1, 2, 3) Khi đó biến cố

1 "có đúng một viên đạn trúng bia" là A = A A A ∪ A A A ∪ A A A

2 "có đúng hai viên đạn trúng bia" là B = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3.

3 "có 3 viên đạn trúng bia" là C = A1A2A3.

4 "không có viên đạn nào trúng bia" là D = A1.A2.A3.

6 Tính chất

có các tính chất sau:

1 Tính chất giao hoán A.B = B.A và A ∪ B = B ∪ A.

2 Tính chất kết hợp (A.B).C = A.(B.C) và (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).

3 Luật De-Morgan

a) A ∪ B = A.B.

b) A.B = A + B.

c) A1 ∪ A2 ∪ ∪ A n = A1.A2 A n

d) A1.A2 A n = A1 ∪ A2 ∪ A n

4 A + A = Ω và A.A = ∅.

Giải Ta có B.A ⊂ B, do đó với mỗi x ∈ A + B.A, suy ra x ∈ A hoặc x ∈ B.

Vậy A + B.A ⊂ A ∪ B Ngược lại, nếu x ∈ A ∪ B thì x ∈ A hoặc x ∈ B\A.

§2 Xác suất và công thức tính

Xác suất là một đại lượng thể hiện mức độ xảy ra (thường xuyên hay ít

khi) của một biến cố Số gán cho biến cố A, kí hiệu là P (A), gọi là xác suất của biến cố A.

2.1 Định nghĩa xác suất

sơ cấp đồng khả năng và biến cố A gồm có n(A) biến cố sơ cấp Khi đó xác suất của biến cố A là

P (A) = n(A)

đúng một mặt sấp S", nghĩa là

A = {SN, NS}.

Khi đó xác suất của biến cố A là

P (A) = n(A)

n(Ω) =

2

4 =

1

2.

Ví dụ 2.2 Một lô hàng có 50 sản phẩm trong đó có 3 phế phẩm Chọn ngẫu nhiên

5 sản phẩm để kiểm tra Tính xác suất để cả 5 sản phẩm đều tốt.

Giải Gọi A là biến cố "5 sản phẩm đều tốt" Không gian mẫu của bài toán

trên là tập hợp các cách chọn tùy ý 5 sản phẩm trong 50 sản phẩm Khi đó

n(Ω) = C505 Mỗi cách chọn được 5 sản phẩm tốt là một tổ hợp chập 5 của 47

sản phẩm tốt Số cách chọn 5 sản phẩm tốt là n(A) = C475 Vậy xác suất chọn

được 5 sản phẩm tốt là P (A) = C

5 47

C505 =

1419

tính xác suất để 3 bạn nam

a) Đứng cạnh nhau.

b) Không đứng cạnh nhau.

c) Không có ai đứng cạnh nhau.

Giải Nếu xếp 3 bạn nam và 4 bạn nữ một cách tùy ý thì mỗi cách xếp là

một hoán vị của 7 người Vậy n(Ω) = 7! cách xếp.

a) Gọi A là biến cố "3 bạn nam đứng cạnh nhau" Chúng ta thực hiện như

sau:

• Bước 1: Xem 3 bạn nam là một người Khi đó số cách xếp là P5 = 5!

• Bước 2: đổi chỗ của 3 bạn nam Số cách xếp là P3 = 3!

Số cách xếp 3 bạn nam cạnh nhau là n(A) = 3!.5!.

Vậy xác suất để 3 bạn nam đứng cạnh nhau là P (A) = 3! × 5!

1

7.

b) Gọi B là biến cố "3 bạn nam không đứng cạnh nhau" Khi đó B là biến

cố bù của A nên số phần tử của B là hiệu của n(Ω) và n(A) Vậy

n(B) = 7! − 5!.3! = 4320.

Xác suất để 3 nam không đứng cạnh nhau là

P (B) = 4320

7! =

6

7.

c) Với yêu cầu xếp 3 bạn nam không có ai đứng cạnh nhau, chúng ta thực

hiện như sau: