10 bài hình thi vào thpt chuyên toán hoc247

a Chứng minh AM.AD không đổi b Chứng minh tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD nằm trên một đường cố định.. a Tính BE.BF theo R b Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp c Chứng minh tâ

Câu 1: Cho tam giác nhọn ABC (ABAC) nội tiếp đường tròn (O;R) M là điểm di động

trên cung nhỏ BC Vẽ MH BC tại H, MI AB tại I, MK AC tại K

a) Chứng minh rằng I, H, K thẳng hàng

b) Xác định vị trí điểm M để tổng BC AC AB

MH MK MI nhỏ nhất

Câu 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) AB ACR 2 M là điểm di động

trên cung nhỏ AC D là giao điểm của AM và BC

a) Chứng minh AM.AD không đổi

b) Chứng minh tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD nằm trên một đường cố

định

c) Xác định vị trí điểm M để 2AMAD nhỏ nhất

Câu 3: Cho đường tròn (O;R), đường kính AB cố định, CD là một đường kính thay đổi

không trùng với AB Tiếp tuyến của (O) tại B cắt AC, AD lần lượt tại E, F

a) Tính BE.BF theo R

b) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp

c) Chứng minh tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE di động trên một đường cố

định

Câu 4: Cho tam giác ABC có  A 60o Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với

các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F ID cắt EF tại K Đường thẳng qua K và song

song với BC cắt AB, AC lần lượt tại M, N

a) Chứng minh tứ giác IMAN nội tiếp

b) Gọi J là trung điểm cạnh BC Chứng minh ba điểm A, K, J thẳng hàng

c) Gọi r là bán kính của đường tròn (I), S là diện tích tứ giác IEAF Tính S theo r

Chứng minh rằng

4

IMN

S

Câu 5: Cho BC là dây cung cố định của đường tròn (O;R) (BC 2R) A là điểm chuyển

động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn AD, BE, CF là các đường cao của

10 Bài Toán bồi dưỡng HSG 9 và Luyện thi lên lớp 10 Chuyên

Chuyên đề: Hình học

tam giác ABC cắt nhau tại H I là trung điểm của BC

a) Chứng minh rằng bốn điểm E, F, D, I thuộc cùng một đường tròn và . .AB

4R

ABC

BC AC

b) Xác định vị trí điểm A sao cho chu vi tam giác DEF lớn nhất

c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC Chứng minh rằng 2

3

d) AO cắt BC tại T Chứng minh DB TB 2 AB

Câu 6: Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường

tròn (O)(B, C là tiếp điểm) Vẽ cát tuyến ADE (D, E thuộc (O), D nằm giữa A và E Tia

AD nằm giữa hai tia AO và AB) AO cắt BC tại H, cắt (O) tại I, L (I nằm giữa A và L)

a) Chứng minh rằng P, H, O, E cùng thuộc một đường tròn

b) Vẽ dây DK song song với BC Chứng minh rằng K, H, E thẳng hàng

c) Từ D vẽ đường thẳng song song với BE, cắt AB tại F và cắt BC tại G Chứng minh rằng

D là trung điểm của FG

d) Chứng minh rằng các đường thẳng BC, DL, EI đồng quy

Câu 7: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) có các tia AB, DC cắt nhau tại E; các

tia AD, BC cắt nhau tại F Gọi M là giao điểm (khác C) của hai đường tròn (BCE); (CDF)

Chứng minh rằng:

a) E, M, F thẳng hàng

b) A, D, E, M cùng thuộc một đường tròn

A A D=EF

d) OM EF

Câu 8: Cho BC là dây cung cố định của đường tròn (O;R), A di động trên cung nhỏ BC

a) Xác định vị trí A để diện tích tam giác ABC lớn nhất

b) Xác định vị trí A để chu vi tam giác ABC lớn nhất

c) Xác định vị trí A để 2 2

AB AC nhỏ nhất d) Giả sử BAC ACB 90o Chứng minh rằng 2 2 2

4R

Câu 9: Cho BC là dây cung cố định của đường tròn (O;R) (BC 2R) A là điểm di động

trên cung lớn BC I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Tia AI cắt đường tròn (O)

tại M, cắt BC tại D

a) Chứng minh MD.MA không đổi

b) Xác định vị trí A để bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC lớn nhất

c) Gọi r r1, 2 lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác ABD, ACD Xác định vị

trí của A để r1r2 lớn nhất

Câu 10: Cho tam giác ABC M là điểm di động trên cạnh BC Đường tròn ngoại tiếp tam

giác ACM cắt AB tại D, giao điểm của CD và BE là N Đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABM cắt AC tại E Hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác NBC, NDE cắt nhau tại N, K

Xác định vị trí của M để tổng KB KC KM đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 1:

a) Xét tứ giác BIHM ta có:

90o

   

Hai góc này cùng nhìn cung BM dưới hai góc bằng nhau nên BIHM là tứ giác nội tiếp

Tương tự đối với tứ giác HCKM, ta có:

180o

   

Hai góc đối nhau có tổng số đo là 180o

nên tứ giác HCKM nội tiếp

Mặc khác tứ giác ABMC cũng là tứ giác nội tiếp nên ABM  MCK (tính chất góc ngoài)

    (cùng phụ với 2 góc bằng nhau)

lại có: IMB IHB



 (hai góc nội tiếp của mỗi tứ giác nội tiếp cùng chắn một cung)

Vậy: IHB CHK

mà chúng ở vị trí đối đỉnh nên: I, H, K thẳng hàng

b) Gọi D là điểm thuộc cạnh BC sao cho CMD  BMA

Ta có hệ thức: AC AB BD DC BC

2

PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI

Mà BC cố định, để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất thì MH phải đạt giá trị lớn nhất

 H nằm chính giữa cung nhỏ BC

Câu 2:

a) Theo giả thiết ta có AB ACR 2

Xét AOC có OA OC R AC, R 2  AOC vuông cân tại O

Tương tự cũng suy ra AOB vuông cân tại O

90o 90o 180o

        

 B, O, C thẳng hàng, ABC vuông cân tại A

Xét AMB& ABD ta có:

D

D(g.g)

AB chung

AMB AB









D

b) Ta có AMB 45o (góc nội tiếp chắn cung AB)

90o

BMC

  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

D 180o 180o 45o 90o 45o

        

Mặc khác CMD là góc nội tiếp chắn cung CD của đường tròn (I)

d D D 90o

   

lại có CID cân tại I

Vậy CID vuông cân tại I

D=45o

   (ở vị trí đồng vị, vậy AB//CI)

Điểm A, B, C đều cố định, vậy tâm I di động trên đường thẳng song song với AB

Vậy khi M nằm giữa A và D thì 2AMAD đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 3:

a) Ta có: CAB 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

Áp dụng hệ thức lượng vào AEF vuông tại A và đường cao AB:

b) Xét tam giác ABF vuông tại B có đường cao BD

   (cùng phụ với DBA)

Mặc khác DBA DCA (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD)

    

 Tứ giác CEFD nội tiếp

c) Gọi G là trung điểm của dây EF

IEF cân tại IIGEF

Vậy I nằm trên đường thẳng d vuông góc với AB cố định hay song song với EF (1)

Gọi H là giao điểm của CD và AG

Ta có: AG là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác AEF vuông tại H

Dễ dàng chứng minh được AFB ACH

mà AFB AEF  90o

90o

    

Hay AH CD

Tứ giác AOIG có các cặp cạnh đối song song  AOIG là hình bình hành

(2)

  

Từ (1) và (2) ta suy ra Tâm I của (CDE) di động trên đường thẳng song song EF và cách

EF một khoảng bằng bán kính

Câu 4:

a) Dễ dàng chứng minh được hai tứ giác MKIF và IKEN là các tứ giác nội tiếp

Vì vậy, FMI  FKI (góc nội tiếp chắn cung FI)

lại có FKI là góc ngoài của tứ giác IKEN nội tiếp nên FKI  INA

Vậy: FMI  INA  IMAN là tứ giác nội tiếp

b) Ta có IE IF=r  IEFcân tại I

Vậy ta dễ dàng chứng minh được IFK IMK KNI KEN

nên IMN cân tại I, mặc khác MKIK

Vậy K là trung điểm của MN

Chứng minh được AMN ABC MN( / /BC)

Tia AK đi qua trung điểm của BC hay A, K, J thẳng hàng

c)Xét IFA vuông tại F có  IAF=30o, mà IF=r AF=IF.tanAIF=IF.tan60=r 3

A IF

4

r

Xét IMF vuông tại F, ta có IM IF

Vậy ta có

4

IMN

S

Câu 5:

a)Ta có: D EFC= HFD; D

2

EOC

cung C

    Tứ giác EFDI nội tiếp

Vẽ đường kính AK

D

ABC

AK

b) Ta chứng minh được AF 1 .E 1 .EF

OE

.( EF+DF)=

ABC

S  R DE chu vi tam giác DEF

Vậy chu vi tam giác DEF lớn nhất khi A là điểm chính giữa của cung lớn BC

c) Sử dụng đường thẳng Euler trong tam giác ABC nội tiếp (O) có AK là đường kính :

90 o

    (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tứ giác BHCK ta có :

BH // CK ( vì cùng vuông góc với AC )

CH // BK ( vì cùng vuông góc với AB )

Do đó tứ giác BHCK là hình bình hành

===> H , I , K thẳng hàng và IH = IK

Ta lại có:

2

AH

OI  ( đường trung bình KAH )

2

GA

GI  (tính chất trọng tâm của ABC)

   (so le trong vì AH // OI )

Do đó GAH GIO c g c( )

   (góc tương ứng của hai tam giác đồng dạng )

Chúng ở vị trí đối đỉnh nên H, G, O thẳng hàng

Và cũng từ hai tam giác đồng dạng trên 2 2

3

  

Mà OH R nên 2

3

d) Áp dụng định lý Ptoleme, ta suy ra các hệ thức sau :

.

Nên : DB TB AB KC KB

    

 

Theo Cauchy KC KB 2 KC KB 2

KB KC  KB KC  Vậy : DB TB 2.AB dpcm

Câu 6:

a) ABO vuông tại B có BH AO nên 2

AB AH AO

D E ( )

D E(2)

AB A A

Từ (1) và (2) AD EA  AH AO. nên tứ giác DHOE nội tiếp hay các điểm D, H, O, E cùng

thuộc một đường tròn

b) Dễ dàng chứng minh được DKCB là hình thang cân mà AH là đường trung trực của BC

nên AH là trục đối xứng của hình thang cân DKCB

Khi đó: AHK AHD

Mặc khác: AHD  A OE (Vì tứ giác DHOE nội tiếp)

=O ED (vì tam giác ODE cân tại O)

= OHE (góc nội tiếp cùng chắn cung OE)

Do đó: AHK OHE

   

Từ đó suy ra ba điểm H, K, E thẳng hàng

c) Gọi M là giao điểm của DE và BC

Tam giác HDE có HM, HA lần lượt là phân giác trong và ngoài của tam giác HDE

E

  (vì cùng bằng DH

Mặc khác

D / /

E D / /

DF A

DF BE

BE A

DG M

DG BE

BE ME







Từ các điều trên suy ra DF DG nên D là trung điểm của FG

d) Dễ chứng minh được DL là tia phân giác H ED

Vậy I là điểm chính giữa của cung nhỏ DK nên EI là tia phân giác DEH

Xét H ED có HB, EI, DL là các đường phân giác trong của tam giác nên chúng đồng quy

Câu 7:

a) Từ các tứ giác ABCD, BCME, DEMF nội tiếp nên:

D 180o

       

180o

     nên E, M, F thẳng hàng

b) Tứ giác EMCB nội tiếp nên FM F E FC FB.

Tứ giác ABCD nội tiếp nên F FD A FC FB.

Do đó FM F E FD A(1)F suy ra tứ giác ADME nội tiếp nên các điểm A, D, M, E thuộc

cùng một đường tròn

c) Chứng minh tương tự câu b ta có EB E A EM.EF(2)

d) Ta có: AOC  2 A CD  A CD  A CD  EBC EMA

Do đó: AOC AMC EBC EMA+ AMC 180o nên tứ giác AMCO nội tiếp

Tứ giác AMCO nội tiếp có OAOC nên MO là tia phân giác của AMC

Mặc khác: AME  A ED  DMF

Nên OME  90o Hay OM EFdpcm

Câu 8:

a) Vẽ AH BC H( BC)

Vì BC cố định nên diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất khi AH lớn nhất

 H nằm chính giữa cung BC

b) Chứng minh tương tự câu a, ta cũng suy ra H nằm chính giữa cung BC

c) Vẽ trung tuyến AM của ABC Ta có 2 2( 2 2) 2

2

Do BC cố định nên 2 2

AB AC nhỏ nhất khi 2

AM nhỏ nhất Lúc đó A nằm chính giữa cung nhỏ BC

d) Vẽ đường kính BD của đường tròn (O)

    và 90o

90

   

90

    nên ACB DBC suy ra CD  AB

Câu 9:

a)Xét ABM& BDM có:

(

AMB chung







2

D

A di động nhưng do I là tâm đường tròn nội tiếp ABC nên M cố định và là điểm chính

giữa cung BC Vậy MB cố định

b) Dựng IS  AB tại S (S thuộc AB) Vậy IS là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC

2

BAC

Mặc khác, AI AMMI AMMB 2R MB

Vậy để bán kính nội tiếp đường tròn nội tiếp tam giác ABC lớn nhất khi AM là đường

kính, tức là A là điểm chính giữa cung lớn BC

c) Vẽ O T1  AB tại T (T thuộc AB)

4

BAC

Tương tự: 2 ( D D) tan

4

BAC

Do đó, 1 2 ( 2AD ) tan

2

BAC

r r lớn nhất khi và chỉ khi ABAC lớn nhất và AD lớn nhất

Tức là A là điểm chính giữa cung lớn BC

Câu 10:

Tứ giác ADNE nội tiếp Gọi I là giao điểm của AK và BC

Dễ chứng minh được 2 2

.

 I là trung điểm của BC

2

IB IK

IA

Gọi H là hình chiếu của K trên BC, ta có KM KH

Do đó, KB KC KMKB KC KH

Vậy để tổng trên đạt giá trị nhỏ nhất khi M là chân đường vuông góc hạ từ K đến BC

CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM 2017 TRÊN HỌC247

- Chương trình luyện thi được xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, các em yêu thích toán và muốn thi

vào lớp 10 các trường chuyên

- Nội dung được xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 các trường chuyên của cả nước trong

những năm qua

- Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm các thầy nổi tiếng có nhiều năm kinh nghiệm trong việc ôn luyện học

sinh giỏi

- Hệ thống bài giảng được biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa học, hợp lý mang lại kết

quả tốt nhất

- Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên

- Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn

- Mỗi lớp từ 5 đến 10 em để được hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất

- Đặc biệt, các em còn hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên của HỌC247