Khoá luận tốt nghiệp dạy học khái niệm toán học ở tiểu học theo tiếp cận năng lực của học sinh

Thực tiễn cho thấy, việc dạy học khái niệm toán học ở tiểu học hiện nay hàu hết các giáo viên đều chọn cách truyền thụ tri thức bằng cách giảng giải là chủ yếu, giáo viên đóng vai trò là

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC

NGUYỄN THỊ THU HƯƠNG

DẠY HỌC KHÁI NIỆM TOÁN HỌC

Ở TIỂU HỌC THEO TIẾP CẬN

KHÓA LUẬN TÓT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: P hương pháp dạy học toán ở tiểu học

LỜ I CẢ M ƠN

Em xin gửi lòi cảm ơn chân thành tói các thày cô giáo trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, các thầy cô giáo khoa Giáo dục Tiểu học đã tạo điều kiện cho

em trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu tại trường

Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới ThS Nguyễn Văn Đệ, người đã hướng dẫn, động viên, tận tình giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này

Đồng thời, em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo, các em học sinh trường Tiểu học Nam Hồng đã giúp đỡ em trong quá trình thực nghiệm sư phạm

Do thời gian và trình độ cò hạn chế nên đề tài không tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được sự đóng góp của quý thầy cô và các bạn để

đề tài được hoàn thiện hơn

LỜ I CA M Đ O A N

Khóa luận tốt nghiệp: Dạy học khái niệm toán học ở tiểu học theo tiếp

cận năng lực của học sinh là kết quả nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng

dẫn của ThS Nguyễn Văn Đệ Kết quả khóa luận này chưa được công bố

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Đối tượng nghiên cứ u 2

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

5 Phạm vi nghiên cứu 2

6 Phương pháp nghiên cứu 3

7 Cấu trúc khóa luận 3

Chương 1: C ơ SỞ LÍ LUẬN VÀ THựC TIỄN 4

1.1 Dạy học theo tiếp cận năng lực 4

1.1.1 Nguồn gốc của năng lực 4

1.1.2 Một số khái niệm 4

1.1.3 Dạy học theo tiếp cận năng lực 14

1.2 Một số vấn đề về dạy học khái niệm 16

1.2.1 Khái niệm 16

1.2.2 Con đường hình thành khái niệm 16

1.2.3 Nội hàm và ngoại diên của khái niệm 18

1.2.4 Các yêu cầu của một định nghĩa khái niệm 19

1.2.5 Vị trí, yêu cầu của dạy học khái niệm 20

1.2.6 Phân loại khái niệm 20

Tiểu kết chương 1 22

Chương 2: DẠY HỌC KHÁI NIỆM TOÁN HỌC Ở TIỂU HỌC THEO TIẾP CẬN NĂNG L ự c CỦA HỌC SINH 23

2.1 Hệ thống khái niệm toán học ở tiểu h ọ c 23

2.1.1 Số tự nhiên 23

2.1.2 Phân s ố 23

2.1.3 Số thập phân 24

2.1.4 Các khái niệm về hình học 25

2.2 Thiết kế tình huống dạy học các khái niệm theo tiếp cận năng lực của học sinh 26

2.2.1 Ví dụ 1 26

2.2.2 Ví dụ 2 32

2.2.3 Ví dụ 3 37

Tiểu kết chưcmg 2 41

Chương 3: THựC NGHIỆM SƯ PHẠM 42

3.1 Mục đích thực nghiệm 42

3.2 Đối tượng thực nghiệm 42

3.3 Lớp thực nghiệm 43

3.4 Giáo viên 44

3.5 Thòi gian thực nghiệm, khảo sát 44

3.6 Kết quả 45

KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 48

TÀI LIỆU THAM KHẢO 50

MỞ ĐẦU

1 Lí do chon đề tài ■

Công cuộc đổi mới của đất nước đã và đang đặt ra cho ngành Giáo dục và Đào tạo nhiệm vụ to lớn và hết sức nặng nề đó là đào tạo nguồn nhân lực chất lượng cao đáp ứng yêu cầu của sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước Để thực hiện nhiệm vụ này, bên cạnh việc đổi mới mục tiêu, nội dung chương trình và sách giáo khoa ở mọi bậc học, chúng ta đã quan tâm nhiều đến việc đổi mới phương pháp dạy học Từ các vị lãnh đạo Đảng, Nhà nước, lãnh đạo các cấp của ngành Giáo dục và Đào tạo đến các nhà nghiên cứu, các nhà giáo đều khẳng định vai trò quan trọng và sự cần thiết của việc đổi mới phương pháp dạy học nhằm nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện của nhà

trường Điều này đã được thể chế hóa trong Luật Giáo dục: "Phương pháp

giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng cho người học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ỷ chỉ vươn lên ".

Để theo kịp xu thế phát triển chương trình tiểu học của các nước trong khu vực và các nước phát triển trên thế giới, cũng như góp để đảm bảo nguồn nhân lực Việt Nam có đủ sức cạnh tranh và họp tác khi hội nhập quốc tế Nền giáo dục Việt Nam đã định hướng và thực hiện bước chuyển từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực của người học - từ chỗ quan tâm tới việc học sinh “học được gì” đến chỗ quan tâm tới việc học sinh “làm được gì thông qua việc học” nhằm giúp học sinh thấy được sợi dây gắn kết giữa việc học vói áp dụng vào thực tế

Dạy học môn Toán theo hướng tiếp cận năng lực người học là một trong những vấn đề mới mẻ và đang được quan tâm nhiều, đặc biệt đối vói giai đoạn giáo dục cơ sở, bắt buộc như GDTH Với định hướng trên, hiện nay, việc tổ chức dạy và học môn Toán ở trường tiểu học khiến cho giáo viên gặp

nhiều khó khăn trong việc tìm ra phương pháp dạy học phù họp, đặc biệt là trong dạy học khái niệm toán học Thực tiễn cho thấy, việc dạy học khái niệm toán học ở tiểu học hiện nay hàu hết các giáo viên đều chọn cách truyền thụ tri thức bằng cách giảng giải là chủ yếu, giáo viên đóng vai trò là trung tâm của quá trình dạy học mà không phát huy được vai trò tích cực của người học.Vì vậy, trong quá trình học Toán, rất nhiều học sinh còn bộc lộ những yếu kém, hạn chế về phát triển năng lực.

Từ các lý do trên chúng tôi xin mạnh dạn đi sâu nghiên cứu đề tài giáo dục

“Dạy học khái niệm toán học ở tiểu học theo tiếp cận năng lực của học sinh” Nhằm đề xuất một số biện pháp dạy học môn Toán ở tiểu học, giúp tháo gỡ một phàn khó khăn trong dạy học môn Toán ở trường tiểu học

2 Mục đích nghiên cứu

Thiết kế một số tình huống dạy học khái nệm toán học ở tiểu học nhằm phát triển các năng lực của học sinh nói chung, năng lực toán học nói riêng, hình thành kĩ năng giải quyết vấn đề trên cơ sở kiến thức đã học

3 Đối tượng nghiên cứu

Việc dạy học khái niệm toán học ở tiểu học theo tiếp cận năng lực của học sinh

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lý luận của việc dạy học theo tiếp cận năng lực, nội dung dạy học khái niệm toán học ở tiểu học

- Thiết kế một số tình huống dạy học khái niệm toán học ở tiểu học theo tiếp cận năng lực cho học sinh

- Thực nghiệm khoa học

5 Phạm vỉ nghiên cứu

- Nội dung dạy học khái niệm toán học ở tiểu học

- HS trường tiểu học Xuân Hoà, Phúc Yên, Vĩnh Phúc

6 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận

- Phương pháp điều tra, quan sát

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

- Phương pháp thống kê toán học

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm

7 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, phần nội dung của khoá luận có cấu trúc như sau:

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2: Dạy học khái niệm toán học ở tiểu học theo tiếp cận năng lực của học sinh

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Chương 1: c ơ SỞ LÍ LUẬN VÀ THựC TIỄN 1.1 Dạy học theo tiếp cận năng lực

1.1.1 Nguồn gốc của năng lực

Từ cuối thế kỉ XIX đến nay đã có nhiều ý kiến khác nhau về bản chất và nguồn gốc của năng lực Hiện nay đã có xu hướng thống nhất trên một số quan điểm cơ bản, quan trọng về lí luận cũng như thực tiễn

Một là, những yếu tố bẩm sinh, di truyền là điều kiện càn thiết ban đầu

cho sự phát triển năng lực Đó là điều kiện cần nhưng chưa đủ

Hai là, năng lực của con người có nguồn gốc xã hội, lịch sử Con người

từ khi sinh ra đã có sẵn những tố chất nhất định cho sự phát triển các năng lực tương ứng, nhưng nếu không có môi trường xã hội thì cũng không phát triển được Xã hội đã được các thế hệ trước cải tạo, xây dựng và để lại các dấu ấn

đó cho các thế hệ sau trong môi trường Văn hóa - Xã hội

Ba là, năng lực có nguồn gốc từ hoạt động và là sản phẩm của hoạt động

Sống trong môi trường xã hội tự nhiên do các thế hệ trước tạo ra và chịu sự tác động của nó, con người ở thế hệ sau không chỉ đơn giản sử dụng hay thích ứng với các thành tựu của các thế hệ trước để lại, mà còn cải tạo chúng và tạo

ra các kết quả “vật chất” mới hoàn thiện hơn cho các hoạt động tiếp theo

Tóm lại, ngày nay khoa học cho rằng năng lực là hiện tượng có bản chất,

nguồn gốc phức tạp Các tố chất và hoạt động của con người tương tác qua lại với nhau để tạo ra các năng lực

a) Năng lực

Năng lực được định nghĩa theo nhiều cách khác nhau do sự lựa chọn dấu hiệu khác nhau

Theo tâm lí học: Năng lực là tổng họp các đặc điểm, thuộc tính tâm lý của

cá nhân phù họp vói yêu cầu đặc trưng của một hoạt động nhất định nhằm

đảm bảo cho hoạt động đó đạt hiệu quả cao Các năng lực hình thành trên cơ

sở của các tư chất tự nhiên của cá nhân, nó đóng vai trò quan ừọng Năng lực của con ngưòi không phải hoàn toàn do tự nhiên mà có, phàn lớn do công tác, tập luyện hình thành

Kết quả nghiên cứu các công trình tâm lí học và giáo dục học cho thấy, từ nền tảng là các tư chất ban đầu học sinh bước vào hoạt động Qua quá trình hoạt động mà dần hình thành cho mình những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo cần thiết và ngày càng phong phú, rồi từ đó nảy sinh những khả năng mới với mức độ cao hơn Đến một lúc nào đó, học sinh đủ khả năng để giải quyết những yêu cầu khác xuất hiện trong học tập và cuộc sống thì khi đó học sinh

đã có được một năng lực nhất định Dưới đây là một số cách hiểu về năng lực:

• Năng lực là phẩm chất tâm lý tạo ra cho con người khả năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao

• Năng lực là một tổ hợp những đặc điểm tâm lý của con người đáp ứng được yêu cầu của lhoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn thành có kết quả một hoạt động nào đó (theo tác giả Phạm Minh Hạc)

• Năng lực là những đặc điểm cá nhân của con người đáp ứng yêu càu của một loại hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn thành xuất sắc một loại hoạt động nào đó (theo tác giả Trần Đình Châu)

Cả ba định nghĩa đều có điểm chung là năng lực chỉ nảy sinh và quan sát được trong hoạt động giải quyết những yêu cầu mới mẻ và do đó nó gắn liền với tính sáng tạo, tuy có khác nhau về mức độ

Phần lớn các công trình nghiên cứu tâm lý học và giáo dục học đều thừa nhận rằng con người có những năng lực khác nhau vì có những tố chất riêng Tức là thừa nhận sự tồn tại của những tố chất tự nhiên của cá nhân thuận lợi cho sự hình thành và phát triển những năng lực khác nhau

Ngoài ra còn một số quan niệm về năng lực:

• Năng lực được xây dựng trên cơ sở tri thức, thiết lập qua giá tri, cấu trúc như là các khả năng, hình thành qua trải nghiệm/củng cố qua kinh nghiệm, hiện thực hóa qua ý chí (John Erpenbeck 1998).

• Năng lực là khả năng cá nhân đáp ứng các yêu cầu phức họp và thực hiện thành công nhiệm vụ trong một bối cảnh cụ thể (OECD, 2002)

• Năng lực là các khả năng và kỹ năng nhận thức vốn có ở cá nhân hay có thể học được để giải quyết các vấn đề đặt ra trong cuộc sống Năng lực cũng hàm chứa trong nó tính sẵn sàng hành động, động cơ,

ý chí và ừách nhiệm xã hội để có thể sử dụng một cách thành công

và có trách nhiệm các giải pháp ừong những tình huống thay đổi (Weinert, 2001)

• Năng lực là khả năng vận dụng những kiến thức, kinh nghiệm, kỹ năng, thái độ và hứng thú để hành động một cách phù họp và có hiệu quả trong các tình huống đa dạng của cuộc sống (Québec- Ministère de l’Education, 2004)

• Năng lực là khả năng vận dụng đồng bộ các kiến thức, kỹ năng, thái

độ, phẩm chất đã tích lũy được để ứng xử, xử lý tình huống hay để giải quyết vấn đề một cách có hiệu quả (Lê Đức Ngọc, 2014)

Bản chất của năng lực là khả năng của chủ thể kết họp một cách linh hoạt, có tổ chức họp lí các kiến thức, kĩ năng với thái độ, giá trị, động cơ, nhằm đáp ứng những yêu càu phức họp của một hoạt động, bảo đảm cho hoạt động đó đạt kết quả tốt đẹp ừong một bối cảnh (tình huống) nhất định Biểu hiện của năng lực là biết sử dụng các nội dung và các kĩ thuật trong một tình huống có ý nghĩa, chứ không tiếp thu lượng tri thức rời rạc

Có rất nhiều những quan niệm khác nhau về năng lực Tuỳ theo mỗi

góc nhìn, mỗi quan niệm lại có một cách hiểu Theo chúng tôi: Năng lực là

những thuộc tỉnh độc đáo của cá nhân phù hợp với những yêu cầu đặc trưng

của một hoạt động nào đó, nhằm đảm bảo việc hoàn thành có kết quả tốt trong lĩnh vực hoạt động ẩy.

Hai là, theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học), tức là năng lực hoạt động sáng tạo toán học, tạo ra những kết quả mói, khách quan có giá trị lớn đối với xã hội loài người

Giữa hai mức độ toán học đó không có sự ngăn cách tuyệt đối Nói đến năng lực học tập toán không có nghĩa là không đề cập đến năng lực sáng tạo Nhiều học sinh có năng lực đã nắm giáo trình một cách độc lập và sáng tạo,

đã tự đặt ra và giải những bài tập không phức tạp lắm, đã tự tìm ra các con đường, các phương pháp sáng tạo để chứng minh các định lý, độc lập suy ra các công thức Sau đây là một số định nghĩa về năng lực toán học:

• Năng lực học tập toán học là các đặc điểm tâm lý cá nhân (trước hết là các đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu hoạt động toán học và giúp cho việc nắm giáo trình toán, kiến thức, hình thành kĩ năng, kĩ xảo tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc

• Năng lực toán học được hiểu là những đặc điểm tâm lý cá nhân (trước hết là những đặc diểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu của hoạt động toán học và ttong những điều kiện vững chắc như nhau là nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng tạo toán học với tư cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, vững vàng sâu sắc kiến thức, kỹ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực toán học

Nói đến học sinh có năng lực toán học là nói đến học sinh có trí thông minh trong việc học toán Tất cả học sinh đều có khả năng và phải nắm được chương trình toán học, nhưng các khả năng này khác nhau tuỳ vào từng học sinh Các khả năng này không phải cố định, không thay đổi; các năng lực này không phải nhất thành, bất biến mà hình thành và phát triển trong quá trình học tập, rèn luyện để nắm được hoạt động tương ứng Vì vậy cần nghiên cứu

để nắm được bản chất của năng lực và con đường hình thành, phát triển, hoàn thiện của năng lực

Tuy nhiên, ở mỗi người lại có sự khác nhau về mức độ năng lực toán học

Do vậy, trong dạy học toán, vấn đề quan trọng là chọn lựa nội dung và phương pháp thích họp để giúp cho mọi đối tượng học sinh đều được nâng

cao dàn về mặt năng lực toán học v ề vấn đề này nhà Toán học Xô viết nổi

tiếng, Viện sĩ A.N.Kolmogorov cho rằng: “Năng lực bình thường của học sinh trung học đủ để cho các em đó tiếp thu, nắm được toán học ừong trường trung học với sự hướng dẫn tốt của thày giáo hay và sách tốt”

c) Các quan điểm về cấu trúc năng lực Toán học

Thứ nhất, Quan điểm của V.A.Krutecxki

V.A.Krutecxki - nguyên Phó Viện trưởng Viện nghiên cứu Tâm lý học thuộc Viện Hàn lâm khoa học giáo dục Liên Xô trước đây, đã nghiên cứu tâm

lí năng lực toán học với công trình độ sộ “Tâm lý năng lực toán” Luận án tiến

sĩ của ông được Hội đồng bác học Liên Xô đánh giá rất cao Công trình là kết quả của việc nghiên cứu lý luận và thực tiễn, có tiến hành thực nghiệm hết sức công phu được tiến hành từ năm 1955 đến 1968 Ông đã nghiên cứu sâu

sắc về mặt lý luận, tham khảo hơn 747 tài liệu ưong và ngoài nước, v ề mặt

thực tiễn, quan sát tự nhiên, theo dõi sự phát triển của học sinh có năng khiếu Toán học, thực nghiệm trên 157 học sinh giỏi, trung bình và kém, nghiên cứu tình trạng học tập của học sinh (qua tài liệu) về các bộ môn của khoảng 1000

học sinh từ lớp 7 đến lớp 10; toạ đàm với 62 giáo viên dạy Toán, phỏng vấn bằng giấy đối với 56 giáo viên toán, phỏng vấn bằng giấy đối với 21 nhà toán học, nghiên cứu và phân tích tiểu sử của 84 nhà Toán học và vật lý học nổi tiếng trong và ngoài nước Chính vì độ tin cậy trên về những kết luận khoa học của V.A.Krutecxki nên khoá luận sẽ kế thừa kết quả và là cơ sở quan trọng của đề tài.

Kết quả chủ yếu và quan trọng nhất là ông đã chỉ ra cấu trúc năng lực toán học của học sinh bao gồm những thành phần sau (dựa trên quan điểm lý thuyết thông tin):

• v ề mặt thu nhận thông tin toán học

Đó là năng lực tri giác hình thức hoá tài liệu toán học, năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài toán

• v ề mặt chế biến thông tin toán học

- Năng lực tư duy logic ừong lĩnh vực các quan hệ số lượng và không gian, hệ thống kí hiệu số và dấu, năng lực tư duy bằng các kí hiệu toán học

- Năng lực khái quát hoá nhanh và rộng các đối tượng, quan hệ toán học

và các phép toán

- Năng lực rút gọn quá trinh suy luận toán học và hệ thống các phép toán tương ứng, năng lực tư duy bằng các cấu trúc rút gọn

- Tính linh hoạt của quá trình tư duy trong hoạt động toán học

- Khuynh hướng vươn tới tính rõ ràng, đơn giản, tiết kiệm, hợp lý của lời giải

- Năng lực nhanh chóng và dễ dàng sửa lại phương hướng của quá trình tư duy, năng lực chuyển từ tiến trình tư duy thuận sang tiến trình tư duy đảo (trong suy luận toán học)

• v ề mặt lưu trữ thông tin toán học

Trí nhớ toán học (trí nhớ khái quát về các: quan hệ toán học, đặc điểm về loại, sơ đồ suy luận và chứng minh, phương pháp giải toán, nguyên tắc, đường lối giải toán).

• v ề thành phần tổng hợp khái quát

Khuynh hướng toán học của trí tuệ

Các thành phần nêu trên có quan hệ mật thiết với nhau, ảnh hưởng lẫn nhau và hợp thành hệ thống định nghĩa một cấu trúc toàn vẹn của năng lực toán học

Sơ đồ triển khai của cấu trúc năng lực toán học có thể được biểu thị bằng một công thức khác, cô đọng hơn: Năng lực toán học được đặc trưng bởi tư duy khái quát, gọn, tắt và linh hoạt trong lĩnh vực quan hệ toán học, hệ thống

kí hiệu số và dấu, và bởi khuynh hướng toán học của trí tuệ

Cùng với cấu trúc nói trên, V.A.Krutecxki cũng đưa ra những gợi ý về phương pháp bồi dưỡng năng lực toán học cho học sinh

Nghiên cứu quan diểm của V.A.Krutecxi về năng lực toán học có thể thấy một số vấn đề quan trọng sau:

cá nhân

3) Khi nói đến năng lực tức là nói đến năng lực trong một loại hoạt động nhất định của con người Năng lực toán học cũng vậy, nó chỉ tồn tại trong

hoạt động toán học và chỉ trên cơ sở phân tích hoạt động toán học mới thấy được biểu hiện của năng lực toán học.

4) Hiệu quả hoạt động trong một lĩnh vực nào đó của con người thường phụ thuộc vào một tổ họp năng lực Kết quả học tập toán cũng không nằm ngoài quy luật đó, ngoài ra còn phụ thuộc vào một số yếu tố khác, chẳng hạn niềm say mê, thái độ học tập, sự khuyến khích hỗ trợ của giáo viên, của gia đình và xã hội

* v ề mặt thực tiễn

1) Trong lĩnh vực đào tạo con người phải nghiên cứu năng lực của mỗi người ừong lĩnh vực đào tạo, phải biết những phương pháp tốt nhất để bồi dưỡng năng lực đó

2) Năng lực toán học là năng lực tạo thành các mối liên tưởng khái quát, tắt, linh hoạt, ngược và hệ thống chúng dựa trên tài liệu toán học Các năng lực đã nêu biểu hiện với các mức độ khác nhau ở các em học sinh giỏi, trung bình, kém Ở các em năng khiếu và giỏi thì các mối liên tưởng đó được tạo thành ngay tức khắc sau một số ít bài tập, ở các em trung bình thì muốn hình thành các mối liên tưởng cần cả một hệ thống bài tập và phải có sự rèn luyện.Thứ hai, quan điểm của A.N.Kôlmôgôrôv

Trong cuốn sách v ề nghề nghiệp của nhà Toán học, A.N.Kôlmôgôrôv đã

chỉ ra rằng, năng lực ghi nhớ máy móc một số lượng lớn các sự kiện, công thức, cộng và nhân nhẩm hàng dãy dài các số có nhiều chữ số không quan hệ đến năng lực toán học Trong thành phần các quan hệ toán học ông nêu ra:

- Năng lực biến đổi thành thạo các biểu thức chữ phức tạp, năng lực tìm kiếm các cách hay để giải các phương trình không phù họp với qui tắc giải thông thường, hoặc như các nhà toán học gọi là năng lực tính toán hay năng lực “ angôrit”;

Trí tưởng tượng hình học hoặc “ trực giác hình học”;

Nghệ thuật suy luận lôgic, được phân nhỏ hợp lý, tuần tự Có thể nói rằng tiêu chuẩn của sự trưởng thành logic càn thiết cho nhà toán học là hiểu nguyên nhân quy nạp toán học và có kỹ năng vận dụng nó một cách đúng đắn;

- Ông còn nhấn mạnh rằng: Các khía cạnh khác nhau của năng lực toán học thường gặp trong các tổ họp khác nhau và năng lực này thường bộc

lộ rất sớm và đòi hỏi phải luyện tập liên tục

Thứ ba, quan điểm của A.I.Marcusevich

Viện sĩ A.I.Marcusevich đã chỉ ra 6 phẩm chất sau đây của trí tuệ và tính cách cần được giáo dục cùng vói việc dạy toán:

Có kỹ năng biết tách ra cái bản chất của vấn đề và loại bỏ các chi tiết không cơ bản (kỹ năng trừu tượng hoá);

- Kỹ năng xây dựng được sơ đồ của hiện tượng sao cho trong đó chỉ giữ lại những gì cần thiết cho việc giải thích vấn đề về mặt Toán học, đó chính là các quan hệ thuộc, thứ tự, số lượng và độ đo, phân bố không gian (kỹ năng sơ đồ hoá);

- Kỹ năng rút ra các hệ quả logic từ các tiên đề đã cho (tư duy suy diễn);

- Kỹ năng phân tích vấn đề đã cho thành các trường hợp riêng, kỹ năng phân biệt được khi nào chúng bao quát được mọi khả năng, khi nào chúng chỉ là các ví dụ chứ không bao quát hết mọi khả năng;

- Kỹ năng vận dụng các kết quả rút ra từ những suy luận lý thuyết cho những vấn đề cụ thể và đối chiếu các kết quả đó với các kết quả dự kiến, kỹ năng đánh giá ảnh hưởng của việc thay đổi các điều kiện đến

độ tin cậy của các kết quả;

- Khái quát các kết quả nhận được và đặt ra những vấn đề mói ở dạng khái quát;

Thứ tư, quan điểm của X.L.Svacxbuốc

X.L.Svacxbuốc sau khi khái quát hoá ý kiến của các nhà toán học, đã nghiên cứu các yếu tố sau đây ừong sự phát triển toán học:

- Các biểu tượng không gian;

- Tư duy trừu tượng;

- Chuyển thành sơ đồ toán học;

- Tư duy suy diễn;

- Phân tích, xem xét các trường hợp riêng;

- Áp dụng các kết luận;

- Tính phê phán;

- Ngôn ngữ toán học;

- Kiên trì khi giải toán;

Thứ năm, quan điểm của B.V.Gơnhedencô

Viện sỹ B.V.Gơnhedencô trong một loạt bài báo đãng trên Tạp chí “Toán học trong nhà trường” ừong các năm từ 1962 đến 1965 đã đưa ra các tính chất sau đây của tư duy toán học:

- Năng lực nhìn thấy được tính không rõ ràng của suy luận, thấy được sự thiếu vắng các mắt xích cần thiết của chứng minh;

- Có thói quen lý giải logic một cách đầy đủ;

- Chia nhỏ một cách rõ ràng tiến trình suy luận;

- Sự cô đọng;

- Sự chính xác của ký hiệu

Thứ sáu, quan điểm của UNESCO

Theo quan điểm của Tổ chức UNESCO thì 10 yếu tố cơ bản của NLTH

- Năng lực dịch chuyển dữ kiện kí hiệu;

- Năng lực biểu diễn dữ kiện bằng các kí hiệu;

- Năng lực theo dõi một hướng suy luận hay chứng minh;

- Năng lực xây dựng một chứng minh;

- Năng lực áp dụng quan niệm cho bài toán toán học;

- Năng lực áp dụng cho bài toán không toán học;

- Năng lực phân tích bài toán và xác định các phép toán có thể áp dụng;

- Năng lực tìm cách khái quát hoá toán học

1.1.3 Dạy học theo tiếp cận năng lực

Dạy học theo tiếp cận năng lực: nay còn gọi là dạy học định hướng kết quả đầu ra được bàn đến nhiều từ những năm 90 của thế kỷ 20 và ngày nay đã trở thành xu hướng giáo dục quốc tế Giáo dục theo tiếp cận năng lực nhằm mục tiêu phát triển năng lực người học Dạy học theo tiếp cận năng lực không quy định những nội dung dạy học chi tiết mà quy định những kết quả đầu ra mong muốn của quá trình giáo dục, trên cở sở đó đưa ra những hướng dẫn chung về việc lựa chọn nội dung, phương pháp, tổ chức và đánh giá kết quả dạy học nhằm đảm bảo thực hiện được mục tiêu dạy học tức là đạt được kết quả đầu ra mong muốn

Dạy học tiếp cận năng lực nhằm đảm bảo chất lượng đầu ra của việc dạy học, thực hiện mục tiêu phát triển toàn diện các phẩm chất nhân cách, chú trọng năng lực vận dụng tri thức trong những tình huống thực tiễn nhằm chuẩn bị cho con người năng lực giải quyết các tình huống của cuộc sống và nghề nghiệp Chương trình này nhấn mạnh vai trò của người học với tư cách chủ thể của quá trình nhận thức

1.1.4 Đặc trưng phân biệt dạy học theo định hướng nội dung và dạy học theo tiếp cận năng lực

Khác với chương trình định hướng nội dung, chương trình dạy học định hướng tiếp cận năng lực tập trung vào việc mô tả chất lượng đàu ra, có thể coi

là “sản phẩm cuối cùng” của quá trình dạy học Việc quản lý chất lượng dạy học chuyển từ việc điều khiển “đầu vào” sang điều khiển “đầu ra”, tức là kết quả học tập của HS

Bảng 1.1: So sánh một số đặc trưng cơ bản của chương trình định hướng

nội dung và chương trình định hướng tiếp cận năng lực

Chương trình định hướng

nội dung

Chương trình định hướng tiếp cận năng lựcMục tiêu

giáo dục

Mục tiêu dạy học được mô tả

không chi tiết và không nhất

thiết phải quan sát, đánh giá

được

Kết quả học tập cần đạt được

mô tả chi tiết và có thể quan sát, đánh giá được; thể hiện được mức độ tiến bộ của HS một cách liên tục

Nội dung

giáo dục

Việc lựa chọn nội dung dựa

vào các khoa học chuyên môn,

không gắn với các tình huống

thực tiễn Nội dung được quy

định chi tiết trong chương

trình

Lựa chọn những nội dung nhằm đạt được kết quả đầu ra đã quy định, gắn với các tình huống thực tiễn Chương trình chỉ quy định những nội dung chính, không quy định chi tiết

Phương

pháp dạy

học

GV là người truyền thụ tri

thức, là trung tâm của quá trình

dạy học HS tiếp thu thụ động

những tri thức được quy định

sẵn

- GV chủ yếu là người tổ chức,

hỗ trợ HS tự lực và tích cực lĩnh hội tri thức Chú trọng sự phát triển khả năng giải quyết vấn đề, khả năng giao tiếp, ;

- Chú ừọng sử dụng các quan điểm, phương pháp và kỹ thuật

dạy học tích cực; các phương pháp dạy học thí nghiệm, thực hành.

Đánh giá

kết quả

học tập

củaHS

Tiêu chí đánh giá được xây

dựng chủ yếu dựa trên sự ghi

nhớ và tái hiện nội dung đã

học

Tiêu chí đánh giá dựa vào năng lực đàu ra, có tính đến sự tiến bộ trong quá trình học tập, chú trọng khả năng vận dụng trong các tình huống thực tiễn

1.2 Môt sổ vấn đề về day hoc khái niêm

1.2.1 Khái niêm

Khái niệm là một hình thức của tư duy phản ánh những thuộc tính chung, chủ yếu, bản chất của đối tượng Khái niệm được coi là đúng nếu như nó phản ánh đúng sự vật, hiện tượng tồn tại trong thực tế Khái niệm được diễn tả bằng lời, hoặc bằng kí hiệu theo sự thỏa thuận trong một ý nghĩa nào đó và được xác định một cách nghiêm ngặt

1.2.2 Con đường hình thành khái niệm

a) Hình thành khái niệm bằng con đường quy nạp

Hình thành khái niệm theo con đường quy nạp là đi từ VD cụ thể đến tổng quát hình thành khái niệm Ở Tiểu học GV chủ yếu hình thành khái niệm bằng con đường quy nạp.

Quy trình tiếp cận một khái niệm theo con đường quy nạp

+ GV đưa ra những VD cụ thể để HS thấy sự tồn tại hoặc tác dụng của một loạt đối tượng nào đó;

+ GV hướng dẫn HS phân tích, so sánh và nêu bật những đặc điểm chung của các đối tượng đang được xem xét Có thể đưa ra đối chiếu một vài đối tượng không có đủ các đặc điểm đã nêu;

+ GV gọi mở để HS phát biểu một định nghĩa bằng cách nêu tên và các đặc điểm đặc trưng của khái niệm

Ví dụ: Hình thành khái niệm phân số xuất phát từ ví dụ sau: “chia hình tròn thành 6 phần bằng nhau, tô màu 5 phần Ta nói đã tô năm phàn sáu hình tròn”

ta viết 5/6(đọc là năm phần sáu, ta gọi 5/6 là phân số, có tử là 5 và mẫu là 6) Khái quát định nghĩa phân số: “mỗi phân số có tử số và phân số Tử số là số

tự nhiên viết trên gạch ngang Mau số là số tự nhiên khác 0 viết dưới gạch ngang”

b) Hình thành khái niệm theo con đường suy diễn

Hình thành khái niệm bằng con đường suy diễn là nêu khái niệm và đưa ra

ví dụ để minh họa khái niệm Chẳng hạn GV đưa ra khái niệm số lẻ là số không chia hết cho 2 rồi nêu ví dụ cho HS 11(11 = 2 x 5 + 1), 13 (13 = 2 x 6

+ 1),

Quy trình tiếp cận một khái niệm theo con đường suy diễn:

- Xuất phát từ một khái niệm đã biết, thêm vào nội hàm của khái niệm đó một số đặc điểm mà ta quan tâm;

- Phát biểu định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới và định nghĩa nó nhờ một khái niệm tổng quát hơn;

- Đưa ra một số ví dụ đơn giản để minh họa cho khái niệm vừa được định nghĩa.

Các khái niệm được hình thành có hai dạng là khái niệm trừu tượng và khái niệm cụ thể

- Khái niệm trừu tượng: Những tính chất chung của đối tượng được tách

ra và không để ý đến các tính chất chung của chúng

- Trong khái niệm trừu tượng được hình thành bằng cách trên ta không chỉ giữ lại các tính chất chung để tạo nên khái niệm mà còn chứa trong

nó những dấu hiệu đặc biệt và riêng của nó Loại này gọi là khái niệm

cụ thể

• Ví dụ: Khi tạo ra khái niệm tứ giác ta chỉ giữ lại các tính chất chung là bốn đoạn thẳng, khép kín không thẳng hàng, còn các tính chất khác người ta không để ý đến Tuy nhiên khái niệm trừu tượng “tứ giác” vẫn có những dấu hiệu riêng chứa trong nó như sự bằng nhau hay không giữa cáccạnh, độ lớn của các góc so với góc vuông - ► từ khái niệm tứ giáctheo con đường cụ thể đi đến các loại tứ giác khác như hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông Đây là những khái niệm cụ thể so với khái niệm trừu tượng “tứ giác”

1.2.3 Nôi hàm và ngoai diên cửa khái niêm

Khái niệm là hình thức tư duy phản ánh một lớp đối tượng, do đó một khái niệm có thể được xem xét theo hai phương diện: bản thân lớp đối tượng xác định khái niệm được gọi là ngoại diên còn toàn bộ thuộc tính chung của lớp đối tượng này được gọi là nội hàm của khái niệm Nội hàm của khái niệm

là toàn thể những thuộc tính bản chất được phản ánh trong khái niệm Ngoại diên của khái niệm là toàn thể những cá thể có chứa những thuộc tính bản chất được phản ánh trong khái niệm

Giữa nội hàm và ngoại diên có mối quan hệ mang tính qui luật, nội hàm càng được mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp và ngược lại.

Ví dụ 1: “Hình bình hành có hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau” Nội hàm: Hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau; ngoại diên: Tất cả các hình có cặp cạnh song song và bằng nhau có thể có như hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông

Ví dụ 2: “Hình chữ nhật có 4 góc vuông, có hai cạnh dài bằng nhau và hai cạnh ngắn bằng nhau” Nội hàm: 4 góc vuông, 2 cạnh dài bằng nhau, 2 cạnh ngắn bằng nhau; ngoại diên: tất cả các hình chữ nhật có thể có (hình chữ nhật, hình vuông)

Neu ngoại diên của khái niệm A là một bộ phận của khái niệm B thì khái niệm A được gọi là khái niệm chủng của khái niệm B, còn khái niệm B được gọi là khái niệm loại của khái niệm A

1.2.4 Các yêu cầu của một định nghĩa khái niệm

Yêu cầu 1: Định nghĩa phải tương xứng

- Định nghĩa theo qui tắc này nghĩa là phạm vi của khái niệm định nghĩa

và khái niệm được định nghĩa phải bằng nhau

- Định nghĩa không tương xứng là định nghĩa mà phạm vi của khái niệm quá hẹp hay quá rộng so vói khái niệm được định nghĩa

Yêu cầu 2: Định nghĩa không được vòng quanh

Định nghĩa theo qui tắc này có nghĩa là phải dựa vào khái niệm đã biết đã được định nghĩa

Yêu cầu 3: Định nghĩa phải tối thiểu

Định nghĩa theo qui tắc này tức là trong nội dung khái niệm định nghĩa không chứa những thuộc tính có thể suy ra từ các thuộc tính còn lại

Yêu cầu 4: Định ngĩa không dùng lối phủ định nếu loài không được phân chia thành hai tập hợp triệt (tức là khái niệm loài không bao gồm hai khái niệm mâu thuẫn).

1.2.5 Vị trí, yêu cầu của dạy học khái niệm

Trong môn toán khái niệm đóng vai trò nền tảng Việc hình thành các khái niệm là tiền đề để tạo nên khả năng vận dụng hiệu quả các kiến thức đã học, đồng thời góp phần phát triển trí tuệ và thế giói quan duy vật biện chứng cho HS

Việc DH khái niệm toán phải đạt các yêu cầu sau:

- Nắm vững các tính chất đặc trưng của khái niệm

- Biết nhận dạng và thể hiện một khái niệm

- Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của khái niệm cùng với những kí hiệu

- Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể, trong giải toán

và ứng dụng thực tiễn

- Nắm được mối liên hệ giữa khái niệm vừa học với những khái niệm có liên quan

Phân loại khái niệm là thao tác logic nhằm vạch ra ngoại diên của khái niệm bằng cách chỉ ra những khái niệm cụ thể nằm trong khái niệm trừu tượng đã có bằng những tiêu chuẩn xác định

Các điều kiện để phân loại khái niệm:

- Trong quá trình phân loại chỉ dựa theo một tiêu trí nhất định

- Những khái niệm thu được theo một sự phân loại nào đó phải độc lập vói nhau

- Việc phân loại phải triệt để và phân chia theo một tuần tự nhất định

Ví dụ : Phân chia khái niệm “tứ giác”: