Tóm tắt lý thuyết,bài tập đại số và hình học 12 cả năm

tài liệu word tóm tắt lý thuyết,bài tập đại số và hình học 12 cả năm tham khảo

PHẦN I: GIẢI TÍCH CHƯƠNG 0: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN ÔN LẠI

II Phương trình bậc hai: ax2 +bx c+ =0(a¹ 0)

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

a

- + D

=

Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai:

Nếu “b chẵn” (ví dụ b=4;2 3;2 ; 2(m - m+1); ) ta dùng công thức nghiệm thu gọn.

P x x

a

ìïï = + ïïï

 Nếu a b c+ + = thì phương trình có nghiệm: 0

1 2

1

x c x a

é =êê

ê =ê

 Nếu a b c- + = thì phương trình có nghiệm: 0

1 2

1

x

c x

a

é êê

ê ê

=-Dấu của nghiệm số: ax2+bx c+ =0(a¹ 0)

 Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt

000

P S

P S

ìï D ³ïïï

Û íïï >>

ïïî

 Phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt

000

P S

P S

ìï D ³ïïï

Û íïï <>

ïïî

 Phương trình có 2 nghiệm cùng dấu

00

 Phương trình có 2 nghiệm trái dấu Û P< 0

III Dấu của đa thức:

Dấu của nhị thức bậc nhất: f x( )ax b a ( 0)

x

 

b a





“Tổng bà, tích ca”Phải cùng, trái trái”

Dấu của tam thức bậc hai: f x( )ax2bx c a ( 0)

( )

f x cùng dấu a 0 trái dấu a 0

“Tổng bà, tích ca”Trong trái, ngoài cùng”

Dấu của đa thức bậc ³ 3: Bắt đầu từ ô bên phải cùng dấu với hệ số a của số mũ cao nhất, qua nghiệm đơn đổi dấu, qua nghiệm kép không đổi dấu.

IV Điều kiện để tam thức không đổi dấu trên R.

Cho tam thức bậc hai: f x( )=ax2+bx c a+ ( ¹ 0)

V Phương trình lượng giác cơ bản

é = +ê

u a

p p

= Û =

= Û = +

=- Û = +tanu=tanvÛ = +u v kp tanu a= Û =u arctana kp+cotu=cotvÛ = +u v kp cotu a= Û =u arccota kp+

VI Phương trình và bất phương trình chứa trị tuyệt đối

= Û í

ï =ïî

B A

A

A B

ìï ³ïïï

u u

“anh bạn ăn cơm bằng chén”

CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỀ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM

SỐ

§1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

A- KIẾN THỨC CƠ BẢN:

1 Định nghĩa: Giả sử hàm số y= f x( ) xác định trên khoảng K.

 Hàm số f được gọi là đồng biến (tăng) trên khoảng K nếu:

y

x

b a

O

y

x

b a

Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị

đi lên từ trái sang phải

Nếu hàm hàm số nghịch biến trên K thì đồ

thị đi xuống từ trái sang phải

2 Định lý: Giả sử hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên khoảng K.

a) Nếu f x'( ) 0,> " Îx K thì hàm số f đồng biến trên khoảng K.

b) Nếu f x'( ) 0,< " Îx K thì hàm số f nghịch biến trên khoảng K.

c) Nếu f x'( ) 0,= " Îx K thì hàm số f không đổi (f là hàm hằng) trên khoảng K.

Lưu ý: Ở ý a) và b) của định lý trên f x'( ) có thể bằng 0 tại một số hữu hạn điểm thì kết

luận vẫn đúng

B- BÀI TẬP:

Vấn đề 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Phương pháp: Để xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y= f x( ), ta thực hiện các

bước như sau:

 Tìm tập xác định

 Tính đạo hàm y' Giải phương trình y =' 0.

 Lập bảng biến thiên

 Từ bảng biến thiên kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

-=+

l)

12

x y

14

x y x

-=-

c)

2 2

11

y

x

=-

u)

216

x y

 Hàm số đồng biến trên R

'

0' 0,

0

y y

a

ìï D £ïï

0

y y

a

ìï D £ïï

cx d

+

=+

cx d

-=

+ có dấu phụ thuộc vào dấu của tử.

 Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

+

=

-a) Nghịch biến trên từng khoảng xác định

b) Đồng biến trên từng khoảng xác định

Định m để hàm số:

a)

22

x m y

mx y

x m

-=+ nghịch biến trên từng khoảng xác định

Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên R:

mx y

x m

-=

- - nghịch biến trên khoảng (1;+¥ ).

(*)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

4

mx y

x m

+

=+ nghịch biến trên

khoảng (- ¥ ;1).

(*)Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y=- x3+3x2 +3mx- 1 nghịch biến

trên khoảng (0;+¥ ) (ĐH Khối A-2013)

(*)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x= 3+3x2- mx- 4 đồng biến

trên khoảng (- ¥ ;0).

(*)Tìm m để hàm số y=2x3- 3(2m+1)x2+6 (m m+1)x+1 đồng biến trên khoảng(2;+¥ ).

§2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A- KIẾN THỨC CƠ BẢN:

1 Định nghĩa: Cho hàm số y= f x( ) xác định và liên tục trên tập D (D Ì R) và x0Î D.

 Nếu tồn tại khoảng ( ; )a b Ì D và x0Î ( ; )a b sao cho f x( )<f x( )0 ,

0 ( ; ) \ { }0

" Î thì ta nói hàm số f x( ) đạt cực đại tại x0.

 Nếu tồn tại khoảng ( ; )a b Ì D và x0Î ( ; )a b sao cho f x( )>f x( )0 ,

 Nếu hàm số f x( ) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0được gọi là điểm cực

đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f x( )0 được gọi là giá trị cực đại (giá

trị cực tiểu) của hàm số và được ký hiệu là f CĐ(f CT) hay y CĐ(y CT), cònđiểm M x f x0( 0; ( )0 )

được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị

hàm số

 Các điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

2 Định lý:

Định lý 1: Giả sử hàm số y= f x( ) liên tục trên khoảng ( ; )a b chứa điểm x0 và có

đạo hàm trên khoảng ( ; )a b .

 Nếu f x'( )đổi dấu từ dương sang âm khi x qua x0 thì hàm số f x( ) đạt cực

đại tại x0.

 Nếu f x'( )đổi dấu từ âm sang dương khi x qua x0 thì hàm số f x( ) đạt cực

tiểu tại x0.0

'( ) 0''( ) 0

'( ) 0''( ) 0

 Dựa vào dấu của y x''( )i suy ra các điểm cực trị:

o Nếu y x >''( ) 0i thì hàm số đạt cực tiểu tại x i.

o Nếu y x <''( ) 0i thì hàm số đạt cực đại tại x i.

Chú ý: Quy tắc 2 thường dùng đối với hàm số lượng giác hoặc việc xét dấu f x'( ) phức tạp.

'( ) 0''( ) 0

'( ) 0''( ) 0

3 Hàm số y=f x( )

đạt cực tiểu tại x Û0

0 0

'( ) 0''( ) 0

 Hàm số có 2 cực trị (cực đại và cực tiểu) Û phương trình y =' 0 có 2

nghiệm phân biệt

' '

00

y y

 Hàm số không có cực trị Û Phương trình y =' 0 vô nghiệm hoặc có

nghiệm kép

' '

00

y y

a

ìï D £ïï

Û íï

¹ïïî

x

b x

a

é =êê

-ê =ê

 Hàm số có 3 cực trị Û Phương trình y =' 0có 3 nghiệm phân biệt Û

Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 0

2

b a

(*) Tìm giá trị của tham số m để đồ thị của hàm số y x= 3+x2+(m+2)x

a) Có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía của trục tung

Với a, b vừa tìm được hãy xác định các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số.

Xác định giá trị tham số m để hàm số y mx= 4- 16x2 đạt cực trị tại x =2 Khi đó

hàm số đạt cực đại hay cực tiểu tại x =2.

Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị các hàm số:

(*)Tìm các giá trị của tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu Lập phương trình

đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị:

a)y=3x2 +3(m- 3)x2+ -11 3m(ĐHQG –2001)

b)y=2x3- 3(3m+1)x2+12(m2+m x) +1(ĐHTS – 1999)

c) y=- x3+3mx2 +3(1- m x m2) + 3- m2

§3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ B- KIẾN THỨC CƠ BẢN:

Cho hàm số y= f x( ) xác định trên tập D.

 Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y= f x( ) trên tập D nếu f x( )£ M

với mọi x thuộc D và tồn tại x0Î D sao cho f x( )0 =M

Ký hiệu max ( )

D

 Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y= f x( ) trên tập D nếu f x( )³ m

với mọi x thuộc D và tồn tại x0Î D sao cho f x( )0 =m

Ký hiệu min ( )

D

D- BÀI TẬP:

Vấn đề 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên 1 đoạn

Phương pháp: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y= f x( ) trên 1 đoạn [ ; ]a b :

Tìm tập xác định DÉ [ ; ]a b Þ Hàm số liên tục trên đoạn [ ; ]a b

b) y=cos3x- 6cos2x+9cosx+5

c) y=sin3x- cos2x+sinx+2

d) y=cos2x- sinx+3 trên đoạn [0; ]p

e) y=2sinx+sin2x trên đoạn

30;

Dựa vào bảng biến thiên, so sánh và kết luận

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

 Đường thẳng x x= 0 được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng)của đồ thị hàm số y= f x( ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả

mãn:

 Nếu Q x =( ) 0 có nghiệm x0thì đồ thị có tiệm cận đứng x x= 0.

 Nếu bậc(P x( )) bậc(Q x( )) thì đồ thị có tiệm cận ngang.

B- BÀI TẬP:

Tìm tất cả các tiệm cận của đồ thị của hàm số sau:

a)

1

x y

x y x

+

=

22

x y

x

=+

e) 2

x y

x

=

71

x y

-=

21

y x

=+

29

x y

b) Tìm các điểm trên (C) sao cho điểm đó cách đều các đường tiệm cận của (C)

§5 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ A- KIẾN THỨC CƠ BẢN:

Các bước chung khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:(6 dấu *)

 Tập xác định:

 Giới hạn (và tiệm cận đối với hàm phân thức

ax b y

cx d

+

=+ )

 Đạo hàm: y'

 Đối với hàm bậc 3, bậc 4: Giải phương trình y =' 0 tìm nghiệm.

 Đối với hàm phân thức

ax b y

Nhận xét về chiều biến thiên và cực trị

 Bảng giá trị:(5 điểm đối với hàm bậc 3, bậc 4; 6 điểm đối với hàm phân thức

ax b y

cx d

+

=

+ )

Chú ý: Đối với hàm bậc ba, nếu phương trình y =' 0 vô nghiệm thì khi lập bảng giá trị

ta giải phương trình y ='' 0 để tìm điểm x0 là điểm chính giữa của bảng giá trị.(điểm M x y0( 0; 0)

được gọi là điểm uốn của đồ thị)

Vấn đề 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương Các dạng đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương y ax= 4+bx2+c a( ¹ 0)

g)

4

2 12

x

h)y x= 4- 4x2 +1i)

3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số phân thức:

a)

31

x y

x

-=-

c)

2

x y

y x

=-

g)

2

x y

x y x

-=+

§6 MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

I SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ

Vấn đề 1 : Tìm giao điểm của hai đường.

Phương pháp :

 Cho hai đồ thị ( ):C y1 =f x1( ) và ( ) :C2 y= f x2( )

 Phương trình hoành độ giao điểm của ( )C1 và ( )C2 là : f x1( )=f x2( )(*)

 Giải phương trình (*) ta được hoành độ giao điểm, thế vào 1 trong 2 hàm số

1( )

y= f x hoặc y=f x2( ) được tung độ giao điểm.

1 Tìm giao điểm của hai đường :

1( ):

p).( ):C y x= 3- x2- 5x+ và ( ):6 d y=4x- 3

q).( ):C y x= 3- 12x+ và 16 ( ):P y=4x2- 8x

r).

2( 1)( ):

 Phương trình hoành độ giao điểm của ( )C1 và ( )C2 là : f x1( )=f x2( )(*)

 ( )C1 và ( )C2 cắt nhau tại n điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*)

có n nghiệm phân biệt.

w). y x= 3+3x2+mx+2 ;m y=- +x 2 cắt nhau tại ba điểm phân biệt

x). y x= 3- 2x2 +4x- 1;y mx m= - +2 cắt nhau tại ba điểm phân biệt

y). y x= 4- 2x2- 1; y m= cắt nhau tại bốn điểm phân biệt.

3 Tìm m để đồ thị hàm số:

a) y= -(x 1)(x2- mx m+ 2- 3) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

z). y mx= 3+3mx2- (1 2 )- m x- cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.1

aa). y x= 3+3x2+mx m+ - cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.2

bb). y x= 4- (2m- 3)x2 +m2- 3m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.

cc). y x= 4- m m( +1)x2+m3 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.

Chứng minh đồ thị các hàm số sau luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt với mọi giá trị của m

x y

x

-=-a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho

ee). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y mx= + cắt đồ thị của2hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt

 Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của hai đồ thị :

ï =ïî

 Bảng kết quả :

( )

Lưu ý: Nếu bài toán chỉ yêu cầu tìm các giá trị của m để phương trình có đúng 3

nghiệm, 4 nghiệm,… ta không cần lập bảng kết quả như trên mà chỉ cần chỉ rõ

các trường hợp thỏa đề (Dựa vào đồ thị ta thấy (C) và (d) cắt nhau tại đúng 3 điểm, đúng 4 điểm …)

Cho hàm số y x= 3- 3x+2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

gg). Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình:

ii) Dựa vào đồ thị (C), tìm m để phương trình x3- 3x+3m+ = có đúng 1 nghiệm.1 0

jj).Dựa vào đồ thị (C), tìm m để phương trình x3- 3x m- 2+3m+ = có đúng 22 0nghiệm

kk). Dựa vào đồ thị (C), tìm m để phương trình x3- 3x+2m+ = có ít nhất 23 0nghiệm

Cho hàm số y x= 4- 2x2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

ll) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình:

Cho hàm số y x= 3- 3x- (1)1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

mm). Dựa vào đồ thị (1), biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình

y=- x + x+ + = m

Cho hàm số y=- x4 +2x2+3

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

nn). Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: x4- 2x2 + - = m 1 0

Cho hàm số y=2x3+3x2- 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

oo). Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: 2x3+3x2 +2m= 0

Cho hàm số y x= 4- 3x2+2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

pp). Tìm điều kiện của m để phương trình - x4+3x2- 2m= có 4 nghiệm phân0biệt

Cho hàm số y=- x3- 3x2+4

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

qq). Tìm điều kiện của m để phương trình x3+3x2+ -1 3m= có 1 nghiệm duy0nhất

II VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hoành độ tiếp điểm x0

 Tính đạo hàm 'y

 Thay x0 vào y tính y0

 Thay x0 vào 'y tính f x'( )0

 Phương trình tiếp tuyến: y=f x x x'( )(0 - 0)+y0

Dạng 2: Viết phương tiếp tuyến khi biết tung độ tiếp điểm y0.

 Giải phương trình f x( )0 =y0 tìm x0.

 Thay x0 vào 'y tính f x'( )0

 Phương trình tiếp tuyến: y=f x x x'( )(0 - 0)+y0

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k

 Giả sử tiếp điểm là M x y0( ; )0 0

 Giải phương trình f x'( )0 =k tìm x0.

 Thay x0 vào y ta tìm được y0.

 Phương trình tiếp tuyến: y=f x x x'( )(0 - 0)+y0

Lưu ý:

 Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax b+ thì f x'( )0 =a.

 Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y ax b a= + ( ¹ 0) thì

1'( ) 1 '( )

a

=-

Cho hàm số y x= 3- 3x2 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C):

a) Tại các giao điểm của (C) với trục hoành

rr). Tại điểm có hoành độ bằng 4

ss). Biết tiếp tuyến có hệ số góc k =- 3

tt).Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=9x+2013.

uu). Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

1 20143

y= x

-Cho đường cong ( ):C y x= 4- 2x2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C):

a) Tại điểm có hoành độ bằng 2.

vv). Tại điểm có tung độ bằng 3

ww). Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=24x+2007.

Cho hàm số:

31

x y x

+

=

+ :

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

xx). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ y = 2

Cho hàm số:

1

x y x

+

=

- :

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

yy). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung

Cho hàm số: y=- x3+3x2 +2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

zz). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm (0; 2)A - .

aaa). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song vớiđường thẳng 9x- 4y- 4 0=

Cho hàm số

1

x y x

-=

- :a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

bbb). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm (2;1)M .

Viết phương trình các đường thẳng vuông góc với đường thẳng

4

y= x+

và tiếp xúc với đồ thị (C) hàm số y=- x3+3x2- 4x+2

Cho hàm số y x= 3- 3x2+ :1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

ccc). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm x0 là nghiệm của phươngtrình ''( )f x = 0

Cho hàm số

11

x y x

-=+a) Viết phương trình tiếp tuyến D của (C) tại điểm (0; 1)M -

b) (*)Tiếp tuyến D cắt Ox , Oy lần lượt tại A và B Tính diện tích tam giác OAB.

MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP Cho hàm số y=- x3+6x2- 9x+ có đồ thị (C).3

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

ddd). Gọi A là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ bằng 4, viết phương trình tiếptuyến với đồ thị (C) tại điểm A

Cho hàm số

1

x y x

+

=

+

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 3-

c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với phân giác gócphần tư thứ nhất

d) Tìm m để đường thẳng y mx= + cắt (C) tại 2 điểm phân biệt.1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

eee). Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x2- 6x2+9x- + = 3 m 0

fff). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung

ggg). Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ 2;6]- .

Cho hàm y x= 4- 4x2 + có đồ thị (C)3

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C)

hhh). Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình - x4+4x2+ =3 m

iii). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm cực đại

Cho hàm số y x= 4- 2x2có đồ thị (C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C)

jjj). Dùng đồ thị (C) tìm m để phương trình x4- 2x2 =mcó 4 nghiệm phân biệt.

kkk). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 2

Cho hàm số

11

x y x

ppp). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9.

qqq). Tìm điều kiện của m để phương trình x3- 3x+ +1 2m= có 3 nghiệm phân0biệt

Cho hàm số y=2x3+3x2- 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

rrr). Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 2x3+3x2 +2m= 0

sss). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành

ttt). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đườngthẳng y=12x- 1

Cho hàm số y=- x3+3x2- 2 có đồ thị (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thằng

9x- 4y- 4 0= c) (*)Xác định tọa độ các điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại điểm

M đi qua điểm (0; 3)A - .

Cho hàm số

23

x y x

+

=

- có đồ thị (C).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.

b) (*)Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ điểm A -(6; 4)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với trục hồnh

c) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3- 3x+5m= 0

Cho hàm số

12

I Lũy thừa với số mũ nguyên:

Lũy thừa với số mũ nguyên dương: Cho a là 1 số thực tùy ý, n là 1 số nguyên dương, ta định nghĩa:

n nthừa số

a = 144424443a a a

n

a : lũy thừa bậc n của a, a gọi là cơ số, n là số mũ.

Lũy thừa với số mũ nguyên âm: Với a ¹ , n là 1 số nguyên dương, ta định0

n n a khi n leû a

a khi n chaün

ìïï

=íïïî

a = a

IV

Lũy thừa với số mũ vô tỉ: Cho a là 1 số thực dương, a là 1 số vô tỉ

Người ta chứng minh được rằng luôn tồn tại 1 dãy số hữu tỉ r n sao cho

IX Tính chất của lũy thừa với số mũ thực:

Lũy thừa với số mũ thực có đầy đủ các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên Ngoài ra:

 Nếu a > thì a1 a >a b Û a b>

F =

g) ( )5 54

82

b b b

a)

3 1 12

32

x+ =

b)

4 3

I Khái niệm lôgarit:

Định nghĩa: Cho hai số dương ,a b với 1 a ¹ Số a thỏa mãn đẳng thức

a a =b được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là loga b.

loga

a a = Ûb a= b

Chú ý: loga b xác định

001

b a a

ìï >

ïïï

Û íï >

ï ¹ïïî

a

=5) log ( ) loga bc = a b+loga c

(lôgarit của tích bằng tổng các lôgarit)

6) loga b loga b loga c

-(lôgarit của thương bằng hiệu các lôgarit)

7)

loglog

logc

a

c

b b

X Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên:

 Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10 log b10 được viết là logb hoặc lg b

 Lôgarit tự nhiên (hay lôgarit Nêpe) là lôgarit cơ số e

loge b được viết là ln b Trong đó:

1lim 1 2,718281828459045

c) 3 2

1 3

1log

2

-j) 14 3 2

log (log 4.log 3)

Tính giá trị biểu thức sau

a)loga2 4 a

b) 3

2 1

a a

1

log 2 3

1log log 216 2log 10 4log 3

I Hàm số lũy thừa: Hàm số y=x a với a Î R được gọi là hàm số lũy thừa.

Ví dụ: y= , x y x= , 2 4

1

y x

=,

1 3

y x= , y x= 2, y=x p

Tập xác định của hàm số lũy thừa tùy thuộc vào giá trị của a :

Số mũ  Hàm sốy x= a

Tập xác địnhD

Ví dụ: 2x

y = ,

12

x

y= ÷æöçç ÷ç ÷è ø÷

 Tập xác định: D =R

 Tập giá trị: T = +¥(0; )

 Khi a > hàm số đồng biến, khi 01 < < hàm số nghịch biến.a 1

 Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang

Biến thiên

y

x O

XIII Đạo hàm của hàm số lũy thừa, mũ, lôgarit.

Hàm sơ cấp Hàm hợp (u u x= ( ))

( )x a =a x a- 1 '

2

u u

x x

e y e

=-

i)

2 2

ln1

x y

y x=

-c) y=(x2+ -x 2)p d) y=(2x2- x+1)13

e) y=(x2- 2x+2)e x f) y=(sinx- cos )x e2x

=

Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức tương ứng đã cho :

a) y e= sinx; y'cosx y- sinx y- '' 0=

uuu). y=ln cos ;( x) y'tanx y- '' 1 0- =

vvv). ln sin ;( ) ' ''sin tan 0

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

a) y x e= x trên đoạn [ 1; 2]

-yyy).

x x

e y

=+ trên đoạn [ln 2 ; ln 4]

Một số phương pháp giải phương trình mũ:

a) Phương pháp đưa về cùng cơ số: Với a > và 0 a ¹ :1

Lưu ý:

1

x x

a

a

- =

Dạng 3: m a 2x +n ab.( )x +p b 2x =0Chia 2 vế phương trình cho b 2x(hoặc a2x,( )ab ) Phương trình trở thành: x

XIV Phương trình lôgarit:

Lưu ý đặt điều kiện: loga b xác định

001

b a a

ìï >

ïïï

Û íï >

ï ¹ïïî

Phương trình lôgarit cơ bản: Với a > và 0 a ¹ , ta có:1

a x b= Û =x a

Một số phương pháp giải phương trình lôgarit:

a) Phương pháp đưa về cùng cơ số: Với a > và 0 a ¹ :1

 Nếu ( )f x ¹ thì 0 logaéëf x( )ù =û2n 2 log ( )n a f x

 Chỉ dùng các biến đổi sau đây khi ( ) 0, ( ) 0f x > g x > :

o Đưa a ra ngoài: logaéëf x( )ù =ûa alog ( )a f x

o Tách: logaéëf x g x( ) ( )ù=û log ( ) log ( )a f x + a g x

- Các phép biến đổi sau đây có thể “vô tư”:

o Đưa a vào trong: alog ( ) loga f x = aéëf x( )ùûa

o Nhập: log ( ) log ( ) loga f x + a g x = aéf x g x( ) ( )ù

o Nhập:

( )log ( ) log ( ) log

2x - x- =16 2c) 32x-3=9x2+ -3x 5 d) 2x2- +x 8=41 3 - x