Đường phân giác của góc BAC cắt BC tại D, cắt đường tròn O tại E.. a Chứng minh tứ giác MACN nội tiếp được trong một đường tròn.. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận logic c
Trang 1SỞ GD & ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2016 - 2017
ĐỀ CHÍNH THỨC Khóa ngày 08/6/2016
Môn: TOÁN (CHUYÊN)
SBD:………… Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề có 01 trang, gồm 05 câu
2
a
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của P khi (3 2 4) 2 3
3 1
−
Câu 2 (2,5 điểm)
a) Giải phương trình 12 2x 2017 1 3x 2016
b) Cho phương trình x -2 2 2( m+1)x+m + =2 8 0 (1) (m là tham số) Tìm m để
phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x ,x thỏa mãn: 1 2
Câu 3 (1,0 điểm) Cho , , a b c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca+ + =3abc
Chứng minh rằng: 31 31 31 3
2
a b + b c + c a ≤
Câu 4 (3,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC ( AB AC< ) nội tiếp đường tròn tâm O Đường phân giác của góc BAC cắt BC tại D, cắt đường tròn (O) tại E Gọi M là giao điểm của AB
và CE Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt AD tại N và tiếp tuyến tại E của đường tròn (O) cắt CN tại F
a) Chứng minh tứ giác MACN nội tiếp được trong một đường tròn.
b) Gọi K là điểm trên cạnh AC sao cho AB = AK Chứng minh AO⊥DK
c) Chứng minh rằng 1 1 1
CF CN= +CD
Câu 5 (1,0 điểm).Trong 100 số tự nhiên từ 1 đến 100 hãy chọn n số ( n≥2) sao cho hai
số phân biệt bất kỳ được chọn có tổng chia hết cho 6 Hỏi có thể chọn n số thỏa mãn điều kiện trên với n lớn nhất bằng bao nhiêu?
Trang 2SỞ GD & ĐT QUẢNG BÌNH
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2016 -2017
Môn: TOÁN (CHUYÊN) Khóa ngày 08/6/2016
(Hướng dẫn chấm gồm có 4 trang)
Yêu cầu chung
* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi câu Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận logic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết rõ ràng.
* Trong mỗi câu, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì điểm 0 đối với những bước sau có liên quan.
* Điểm thành phần của mỗi câu được phân chia đến 0,25 điểm Đối với điểm là 0,5 điểm thì tùy tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm.
* Đối với Câu 4, học sinh không vẽ hình thì cho điểm 0 Trường hợp học sinh có vẽ hình, nếu vẽ sai ở ý nào thì điểm 0 ở ý đó.
* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tùy theo mức điểm từng câu
* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các câu
2
a
−
( )
2
a
a a
−
4(a 1)
a
−
1b
Ta có:
3 2 2
3 1
−
0,5
Trang 3Câu Nội dung Điểm
Khi đó: 4 3 2 2 1( )
8
2 1
2a
ĐK: x≥ −672; x≠0
Ta có:
2
x
x
0
3x 2016 2x 2017 + x ≠
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=1
0,25
2b
Ta có Δ ' =3m2 +4m− =7 (m−1 3) ( m+7)
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi
3
m '
m
>
< −
Vì x ,x là hai nghiệm của phương trình (1) nên1 2
Theo hệ thức Vi-ét ta có 1 2 2
1 2
x x m
0,25
1 4 1 1 2 4 1 2 25 x1 8 x2 8 25
1 2 1 2
1 31
m
Kết hợp (*) ta được m = 31.
0,25
Từ giả thiết ta có 1 1 1 3
a b c+ + =
a b + b c + c a ≤ a ab + b bc + c ca
0,25
Trang 41 1
a b b c c a
0,25
0,5
4a
Vì AD là tia phân giác của ·BAC nên · MAN =NAC·
Mà ·NAC MCN=· (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp
cùng chắn một cung)
0,5
Vậy tứ giác MACN nội tiếp được trong một đường tròn. 0,25
Gọi I AO= ∩DK I DK( ∈ )
Trang 5Câu Nội dung Điểm
Suy ra · 1· 0 ·
90 2
AKI = AOC= −OAK nên ·AKI OAK+· =900
4c
Ta có: ·BCE CEF= · nên BC//EF hay DC//EF 0,25
Do đó: EF NF
CD = NC suy ra EF CN CF
−
CF 1 1 1
CD CN
Gọi a a1, , ,2 a là n số thỏa mãn đề bài n
Vì 6, 12, 18 thỏa mãn đề bài nên chỉ cần xét n≥3 0,25 Theo giả thiết thì a1+a a2, 1 +a a3, 2 +a3 đều chia hết cho 6 nên
1 2 3
2a +(a +a ) 6M suy ra 2a M do đó 1 6 a M 1 3
Lập luận tương tự thì mọi số a a1, , ,2 a đều chia hết cho 3, nghĩa là khi chia n
cho 6 chúng có dạng 6k hoặc 6 k+3( k là số tự nhiên).
0,25
Trong n số đang xét không thể có hai số thuộc cả hai dạng trên, vì lúc đó
tổng của chúng không chia hết cho 6
Vậy chỉ có hai dãy số (n≥3) thỏa mãn đề bài là:
1) Các số đó đều có dạng 6k , với 1≤ ≤k 16 , gồm 16 số
2) Các số đó đều có dạng 6k+3, với 0≤ ≤k 16 , gồm 17 số
Kết luận: Có thể chọn dãy với n lớn nhất là n = 17 số thỏa mãn đề bài.
0,5
Lưu ý: Nếu học sinh chỉ xét 2 dạng 6k và 6k + 3 mà không lập luận để loại
trừ các trường hợp khác thì cho 0,5 điểm.