Tài liệu bđt cực hay của hsg quốc gia

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Phần 1: Các bất đẳng thức quen thuộc

1 Bất đẳng thức AM-GM (Côsi) cho 2 và 3 số không âm:

Định lý: cái này quá quen thuộc rồi có lẽ không cần nhắc lại

Cần lưu ý là trong kì thi THPTQG ta chỉ được phép sử dụng bất đẳng thức

AM-GM cho 2 hoặc 3 số không âm chứ không được sử dụng dưới dạng tổng quát Vì vậy nếu cần dùng cho 4 số không âm chẳng hạn ta có thể áp dụng AM-GM hai lần (thực tế thì cũng rất ít khi cần dùng AM-GM cho quá 3 số)

b Với hai bộ ba số thực ( ; ; )a b c và ( ; ; )x y z , ta có:

(a b c )(x  y z )(axbycz)Đẳng thức xảy ra: a b c

  

Cần lưu ý là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz không được phép sử dụng trực tiếp trong kì thi THPTQG mà ta cần phải chứng minh trước khi sử dụng Với trường hợp hai cặp số thực ta dễ dàng chứng minh bằng cách biến đổi tương đương, còn đối với bộ ba

số thực trở lên ta có thể chứng minh như theo cách chứng minh tổng quát là sử dụng tam thức bậc 2 (ở đây có lẽ không cần nhắc lại cách chứng minh)

2.1 Một bất đẳng thức khác cũng hay được sử dụng là bất đẳng thức

Chọn x=a, c=a+b ta được đpcm

7 (a b c ab)( bcca)9abc  AM-GM cho 2 ngoặc

8 Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác, khi đó:

abc a b c a b c   a b c

Cách chứng minh quen thuộc

Có thể mở rộng cho a b c, ,  R

 Chứng minh: với a, b, c không âm thì trong ba số x=a+b-c; y=a-b+c; z=-a+b+c

không thể có quá một số âm Thật vậy, giả sử có x<0 và y<0

18 Cho a, b, c dương thỏa abc=1 Khi đó: a b2 b c2 c a2   a b c

Phần 3: Tuyển chọn một số câu bất đẳng thức hay

Các bài toán dưới đây là những bài BĐT hay đa phần được mình trích từ một số đề thi thử của các trường THPT, đề thi thử của THTT, một số bài lấy từ các topic của diendantoanhoc (riêng 3 bài 6, 7, 8 là tự sáng tạo từ những ý tưởng sẵn có) Vì lý do chủ quan, mình không thể trích dẫn chính xác nguồn của mỗi bài toán được Các bạn thông cảm!

Toàn bộ lời giải là do mình biên soạn lại nên có thể có nhiều chỗ thiếu sót, lập luận chưa chặt chẽ hoặc một số lời giải chưa hay, dài dòng không cần thiết Mong nhận được sự góp ý

Câu 1: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa: a2 b2 6c2 4 (c a  b)

3 62

Đẳng thức xảy ra:

5

13

351

42

t P

t t

t

f t

t t

3 3

Câu 9 : Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn: 12 2 12 12

2 2 2

12

Câu 11 : Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn: 4(a3 b3) c3 2(a b c ac)( bc2)

2( )

Giải:

Ta có: 5x2 9 (x yz) 18 yz5(y2 z2)4yz14yz5(y2 z2)

4yz7(y2 z2) 5( y2 z2)2(yz)2Suy ra: 5x2 9 (x y z) 2(yz)2  0 (x2y2 )(5z x    y z) 0 x 2(y z)

Suy ra:

2 2

Câu 15 : Cho 3 số thực không âm x, y, z thỏa mãn: x>y và (xz y)( z) 1

*Bề ngoài có vẻ phức tạp nhưng lời giải lại vô cùng ngắn gọn !

Điểm mấu chốt là việc áp dụng BĐT phụ 12 12 8 2

*Đây là một bài toán rất hay và nổi tiếng tuy nhiên có vẻ không phù hợp với việc ôn thi đại học lắm Nhưng vì mình có tìm được một lời giải khiến mình rất tâm đắc nên mạn phép đưa vào đây để mọi người tham khảo Bài này có nhiều cách giải khác nhau, cách của mình là một lời giải khá đẹp với những đánh giá sơ cấp và một phép đổi biến đơn giản !

Chuẩn hóa abc=1

Khảo sát f(z) dễ dàng thu được: f z( ) f( 1) 10   P 10

Dấu đẳng thức xảy ra: ( ; ; )x y z (2;2; 1) và các hoán vị

Giải:

*Bài này ta sử dụng kĩ thuật chuẩn hóa BĐT Đây là kĩ thuật thường được dùng trong các

kì thi HSG nhưng thi ĐH thì không được phép sử dụng trực tiếp mà phải qua một vài lập luận nhỏ… (cái này mình bắt chước anh Bùi Thế Việt)

(18 9)( 1)

025(2 6 9)

Câu 24 : Cho phương trình: x4 ax3bx2 cx 1 0

Chứng minh rằng nếu phương trình có nghiệm thì: 2 2 2 4

Câu 25 : Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa: a2 b2 c2 3ab

Từ (2) và (3), suy ra: 2a2 4b2 2c2 4bca2 2b2 c2 2bc

Như vậy (1) đúng, suy ra : P  2

Dấu đẳng thức xảy ra:     a b c 1

23( )3

3

*Bài này khá khó và rườm rà !

Câu 27 : Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn: x  y 1 z

2 2

Dễ dàng chứng minh f(t) đồng biến, từ đó suy ra: f t( ) f(3) 10  P 10

Dấu đẳng thức xảy ra:     a b c 10

1

56

36

1 ( 1)( 2)( 3) 07

*Bài này dễ nhưng có ý tưởng khá hay

Câu 32 : Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa: a  b c 3

abc P

Câu 33 : Cho 3 số thực không âm x, y, z thỏa mãn : x2 y2 z2  3

t

f t

t t

c a P

Câu 37 : Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa: a    b c 1

2 2

(1 )(3 1)(9 30 37)'( )

Câu 38 : Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa: xyxz 1 x

*Bài này có ý tưởng ở đánh giá đầu tiên giống bài 30

Câu 40 : Cho 3 số thực a b c , , [1;2]thỏa: a    b c 4

c c

2