Hướng dẫn tự học môn toán cao cấp cho các nhà kinh tế 2 đại học kinh tế quốc dân

HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠNCác nội dung cơ bản: Các khái niệm cơ bản về hàm số một biến số: hàm số; miềnxác định; miền giá trị; hàm ngược; hàm số đơn điệu; hàm số bị chặn; hàm số chẵn và hàm số l

Trang 1

TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2

Bộ môn Toán cơ bản - Khoa Toán kinh tế - Neu

11/2016

Trang 2

ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂNKHOA TOÁN KINH TẾ

BỘ MÔN TOÁN CƠ BẢN

BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2

Trang 3

Thông tin về học phần

Tên tiếng Anh: Mathematics for Economics 2

Số đơn vị học trình: 3 đơn vị học trình (45 tiết)

Nội dung học phần: Học phần gồm 6 chương

Chương 1, Chương 2 đề cập đến phép tính giới hạn và phép tính viphân của hàm số một biến số Chương 3, Chương 4 trình bày cáckiến thức cơ bản về hàm số nhiều biến số và cực trị hàm số nhiềubiến Chương 5 trình bày về phép toán tích phân và chương cuốitrình bày các kiến thức cơ bản về phương trình vi phân

Môn học tiên quyết: Toán cao cấp cho các nhà kinh tế 1

Trang 4

Thông tin về giảng viên

Giảng viên: Họ và tên giảng viên

Đơn vị: bộ môn Toán cơ bản, khoa Toán kinh tế

Văn phòng Khoa: Phòng 403 nhà 7, trường ĐH Kinh tế quốc dân

- 207 đường Giải phóng, quận Hai Bà Trưng, Hà Nội

Website của Khoa: www.mfe.edu.vn

Email: Email của giảng viên

Số điện thoại: Số điện thoại của giảng viên (có thể có hoặc

không)

Trang 5

Phân bổ thời gian giảng dạy

Chú ý

Bài kiểm tra giữa kỳ được làm vào tuần thứ 10

Nội dung kiểm tra từ bài 1 chương 1 đến hết bài 3 chương 4

Bài kiểm tra tự luận, thời gian làm bài 60 phút

Trang 6

Cơ cấu đánh giá điểm

Trang 7

Tài liệu

Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, NXB ĐH KTQD

Mathematical Economics, Third edition, Mc Graw-Hill, Inc

Trang 8

11/2016

Trang 9

CHƯƠNG 1 HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN

Các nội dung cơ bản:

Các khái niệm cơ bản về hàm số một biến số: hàm số; miềnxác định; miền giá trị; hàm ngược; hàm số đơn điệu; hàm số

bị chặn; hàm số chẵn và hàm số lẻ; phép hợp hàm; hàm số sơcấp; một số hàm số trong kinh tế học

Dãy số và giới hạn của dãy số

Giới hạn của hàm số: khái niệm giới hạn của hàm một biến số

và các quy tắc tính giới hạn

Hàm số liên tục: khái niệm hàm số liên tục và các tính chất

cơ bản của hàm số liên tục

Trang 10

Học xong chương này, sinh viên có thể:

Tìm được miền xác định, tập giá trị của hàm số

Nhớ được khái niệm và tìm được hàm ngược của hàm số

Nhớ được và phân biệt được các hàm số sơ cấp cơ bản: biểuthức, miền xác định, tập giá trị

Nhớ được một số đặc trưng cơ bản của hàm số: tính đơn

điệu; tính bị chặn; hàm số chẵn, hàm số lẻ; tính tuần hoàn.Lập được hàm hợp từ các hàm số

Phân tích được hàm số sơ cấp qua các hàm số sơ cấp cơ bản.Nhớ được một số mô hình hàm số trong phân tích kinh tế:

hàm sản xuất ngắn hạn, hàm cung - hàm cầu, hàm chi phí,hàm doanh thu và hàm lợi nhuận

Trang 11

Tính được một số giới hạn dạng vô định.

Nhớ được khái niệm vô cùng bé, vô cùng bé cùng bậc, vô

cùng bé bậc cao hơn

Nhớ được khái niệm hàm số liên tục tại một điểm, trên mộtkhoảng

Kiểm tra được tính liên tục của hàm số; áp dụng xét được

tính liên tục của hàm số tại một điểm, trên một khoảng

Nhớ được các tính chất cơ bản của hàm số liên tục

Trang 12

11/2016

Trang 13

Bài 1 Các khái niệm cơ bản

về hàm số một biến số

Trang 14

1 Biến số

- Khi nghiên cứu các đại lượng thay đổi nhận giá trị bằng số ta

thường sử dụng ký hiệuđể đại diện cho giá trị của đại lượng đó:

x ∈ X , (X 6= ∅, X ⊂ R)

Tập X được gọi là miền biến thiêncủa biến số Mỗi số thực thuộc

X được gọi là mộtgiá trị của biến số

- Trong giải tích toán học, biến số (biến) thường được ký hiệu bởicác chữ cái in thường: x, y, z, và miền biến thiên X thường làcác khoảng số

- Một số biến số kinh tế thường gặp:

p, QD, QS, K , L, TC , TR, π, U

Trang 17

x: đối số, biến độc lập; y: hàm số,biến phụ thuộc.

Người ta thường sử dụng đồ thị hàm số để minh hoạ bằng hình

ảnh các đặc trưng cơ bản của sự phụ thuộc hàm số

Trang 18

3 Khái niệm hàm ngược

Cho hàm số f : X → Y = f (X )

Nếu với mọi y0 ∈ Y đềutồn tại duy nhất x0 ∈ X thoả mãn

y0 = f (x0) được xác định bởi quy luật x0= g (y0) thì g được gọi là

hàm ngược của hàm số f Ký hiệu: x = f−1(y )

tư thứ nhất.

Trang 19

3 Khái niệm hàm ngược (2)

Trang 20

Ta còn dùng khái niệm hàm đồng biến (hàm nghịch biến).

Trang 21

Hàm y = sin x bị chặn trên R: | sin x| ≤ 1, ∀x ∈ R.

Ta còn có khái niệm hàm số bị chặn trên ,hàm số bị chặn dưới

Trang 23

4 Một số đặc trưng của hàm số (4)

d) Tính tuần hoàn

tại a ∈ R, a 6= 0 thỏa mãn: f (x) = f (x + a), ∀x ∈ X

Ví dụ

Hàm f (x) = sin x tuần hoàn với chu kỳ 2π

Trang 24

y = sin x, y = cos x; y = tan x, y = cot x.

y = arcsin x; y = arccos x; y = arctan x; y = arccot x

Trang 26

5 Các hàm số sơ cấp (3)

c) Các hàm số sơ cấp

Các hàm số sơ cấp nhận được từ các hàm sơ cấp cơ bản qua một

số hữu hạn phép toán sơ cấp

Trang 27

6 Một số hàm thường gặp trong kinh tế

Trang 28

Trang 29

11/2016

Trang 30

Bài 2 Dãy số và giới hạn của dãy số

Trang 31

1 Khái niệm dãy số

- ĐN: Dãy số vô hạn là một dãy vô hạncác số thực được liệt kêtheo thứ tự

x1, x2, , xn,

Số ở vị trí thứ n được gọi là số hạng thứ n và ký hiệu là xn

Dãy số: {xn}n≥1, (xn) với xn= f (n) làsố hạng tổng quát

Ví dụ

Dãy xn= 1

n: 1,1

2,13, Dãy xn= (−1)n: −1, 1, −1,

Dãy xn= n2 : 1, 4, 9,

Trang 32

2 Giới hạn của dãy số

Khoảng V (a) = (a − r, a + r) với r > 0 nào đó được gọi là một lâncận của điểm a

Định nghĩa

Số thực a được gọi làgiới hạn của dãy {xn} nếu mọi lân cận V (a)của điểm a đều tồn tại chỉ số N (phụ thuộc V (a)) để tất cả các sốhạng của dãy có chỉ số lớn hơn N đều thuộc V (a)

Ký hiệu: lim

Trang 33

2 Giới hạn của dãy số (2)

Ta có định nghĩa tương đương (khi a hữu hạn):

Trang 34

Trang 35

Trang 36

Trang 37

3 Đại lượng vô cùng bé

Khái niệm vô cùng bé

Trang 38

4 Các định lý cơ bản

Các tính chất cơ bản của dãy hội tụ:

(1) Giới hạn của dãy số hội tụ là duy nhất

Trang 41

4 Các định lý cơ bản (4)

Các quy tắc tính giới hạn (đối với dãy hội tụ):

Xét {xn}, {yn} hội tụ: lim

Trang 42

Sự tồn tại giới hạn của dãy số

a) Tiêu chuẩn Cauchy

Trang 43

Sự tồn tại giới hạn của dãy số (tiếp)

b) Sự tồn tại giới hạn của dãy đơn điệu

Định lý

Một dãy số đơn điệu tăng luôn tồn tại giới hạn

+) Dãy bị chặn trên thì giới hạn đó là hữu hạn

+) Dãy không bị chặn trên thì giới hạn đó là vô hạn

Ví dụ

n)n+1 là dãy đơn điệu giảm, bị chặndưới

Trang 44

5 Số e

n)n là dãy đơn điệu tăng, bị chặn trên

Do đó tồn tại giới hạn của dãy là một giá trị hữu hạn Ký hiệu:

limn→∞xn:= e

Số e là một số thực, e = 2, 718281828459

Trang 46

11/2016

Trang 47

Bài 3 Giới hạn của hàm số

Trang 48

1 Khái niệm giới hạn của hàm số

Định nghĩa

Số thực b được gọi là giới hạn của hàm số y = f (x) khi x tiến đến

a nếu:

Với mọi dãy số {xn} ⊂ Df \ {a} dần đến a thì dãy giá trị tương

ứng của hàm số là {f (xn)} đều có cùng giới hạnb

∀{xn} ⊂ Df \ {a} mà xn→ a ta luôn có f (xn) → b

Ký hiệu: lim

x →af(x) = b

* Chú ý: a có thể thuộc hoặc không thuộc MXĐ

Trang 49

1 Khái niệm giới hạn của hàm số (2)

Trang 50

1 Khái niệm giới hạn của hàm số (3)

Định nghĩa (Giới hạn một phía)

Trang 51

2 Giới hạn của các hàm sơ cấp cơ bản

+) Nếu a thuộc MXĐ của hàm sơ cấp cơ bản f (x) thì

Trang 52

Nếu hàm số f (x) có giới hạn hữu hạn khi x → a thì f (x) sẽ bị

chặn trong V (a, ε) = (a − ε, a + ε) với ε > 0 đủ nhỏ

Trang 58

3 Các định lý cơ bản về giới hạn (7)

Định lý (Nguyên lý kẹp)

Nếu tồn tại δ > 0 sao cho u(x) ≤ f (x) ≤ v(x) với mọi

x ∈ {x ∈ R : 0 < |x − a| < δ} và limx →au(x) = lim

x →av(x) = b thìlim

Trang 62

5 Vô cùng bé và vô cùng lớn (2)

Bậc của vô cùng bé: Với α(x), β(x) là 2 VCB khi x → a

Kết quả: Với β(x) = o[α(x)], γ(x) = o[α(x)] khi x → a

aβ(x) = o[α(x)]; β(x) ± γ(x) = o[α(x)]; β(x).γ(x) = o[α(x)];

Trang 63

Khi k = 1: β(x) và α(x) là các VCB tương đương, ký hiệu

β(x) ∼ α(x)

Định lý

β(x) ∼ α(x) ⇔ β(x) = α(x) + o[α(x)]

Trang 64

β∗(x).Khi đó:

lim

x →a

α(x)β(x)= limx →a

α∗(x)

β∗(x).

Trang 65

b) Vô cùng lớn: đọc giáo trình.

Trang 66

Các thuật ngữ then chốt

Giới hạn của hàm số

Giới hạn bên trái

Giới hạn bên phải

Vô cùng bé

Vô cùng bé tương đương

Vô cùng bé bậc cao hơn

Trang 67

11/2016

Trang 68

Bài 4 Hàm số liên tục

Trang 69

1 Khái niệm hàm số liên tục

Trang 70

Nhận xét: Các hàm số sơ cấp liên tục tại mọi điểm thuộc miềnxác định của hàm số đó

Hàm số f (x) liên tục tại điểm x0 khi và chỉ khi hàm số liên tục

phải và liên tục trái tại x0

Trang 71

Trang 72

Nhận xét: Đồ thị hàm số liên tục là một đường liền nét

Trang 73

2 Phép toán sơ cấp đối với hàm liên tục

Tất cả các phép toán sơ cấp bảo toàn tính liên tục của các hàm số.Chú ý: Kết quả trên có thể không đúng với tính gián đoạn

Trang 74

3 Các tính chất cơ bản của hàm số liên tục trên một đoạn đóng

Định lý

Nếu f (x) liên tục trên [a, b] và f (a) 6= f (b) thì ∀γ nằm giữa f (a)

và f (b) luôn tồn tại ít nhất c ∈ (a, b) sao cho f (c) = γ

Hệ quả

Nếu f (x) liên tục trên [a, b] và f (a).f (b) < 0 thì tồn tại ít nhất

c ∈ (a, b) sao cho f (c) = 0

Trang 75

Ví dụ

x +1 có nghiệm trong khoảng (0, 1)

Bài tập

Giả sử hàm số f (x) liên tục trên khoảng (a, b) và các điểm

x1, x2, , xn∈ (a, b) Chứng minh rằng tồn tại điểm c ∈ (a, b)

n f(x1) + · · · + f (xn)

Trang 76

Trang 77

4 Các tính chất cơ bản của hàm số đơn điệu, liên tục trên một khoảng

- Hàm ngược x = f− 1(y ) là hàm liên tục, đơn điệu tăng (hoặc

giảm) trên khoảng Y

Trang 78

4 Các tính chất cơ bản của hàm số đơn điệu, liên tục trên một khoảng

Ví dụ

Hàm số f (x) = ln(x + ex) có hàm ngược trên (0, +∞)

Định lý

Nếu một hàm f (x) xác định, đơn điệu (ngặt) trong khoảng (a, b)

và MGT của nó là khoảng (c, d) thì hàm số đó liên tục trên (a, b)

Trang 79

Hàm số liên tục tại một điểm

Hàm số gián đoạn tại một điểm

Hàm số liên tục phải tại một điểm

Hàm số liên tục trái tại một điểm

Hàm số liên tục trên một miền

Trang 80

11/2016

Trang 81

CHƯƠNG 2 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

Các nội dung cơ bản:

Đạo hàm của hàm số: khái niệm và ý nghĩa hình học; các

công thức đạo hàm cơ bản và các quy tắc tính đạo hàm

Vi phân của hàm số: khái niệm vi phân và liên hệ với đạo hàm.Các định lý cơ bản về hàm số khả vi: định lý Fermat; định lýRolle; định lý Lagrange và công thức số gia hữu hạn; định lýCauchy

Đạo hàm và vi phân cấp cao: khái niệm; công thức Taylor

Ứng dụng của đạo hàm trong toán học: tính giới hạn dạng vôđịnh; xác định hướng tăng, giảm của hàm số; tìm các điểmcực trị

Sử dụng đạo hàm trong phân tích kinh tế: đạo hàm và giá trịcận biên; hệ số co dãn; phân tích tối ưu

Trang 82

Học xong chương này, sinh viên có thể:

Phát biểu được khái niệm đạo hàm tại một điểm, đạo hàm

trên một miền

Nhớ được bảng đạo hàm cơ bản

Vận dụng được các quy tắc tính đạo hàm: đạo hàm của tổng,hiệu, tích, thương và đạo hàm của hàm hợp

Tìm được vi phân tại một điểm và viết được biểu thức vi

phân

Tìm được đạo hàm và vi phân cấp cao của hàm số

Khai triển được hàm số theo công thức Taylor hoặc công thứcMaclaurin

Trang 83

Vận dụng được quy tắc Lôpitan tìm các giới hạn dạng vô định.Nhớ được mối liên hệ giữa đạo hàm và tính đơn điệu của hàmsố

Nhớ được khái niệm cực trị của hàm số; điều kiện cần và đủ

Nhớ được nội dung của quy luật lợi ích cận biên giảm dần

Giải được bài toán tìm mức sản lượng và tìm mức sử dụng laođộng tối ưu hóa lợi nhuận

Trang 84

11/2016

Trang 85

Bài 1 Đạo hàm của hàm số

Trang 86

1 Khái niệm đạo hàm

a) Đạo hàm tại một điểm

Hàm số y = f (x) xác định trong khoảng (a, b), x0 ∈ (a, b).

Nhận xét

f′(x0) = limx→x 0

f(x) − f (x0)

x− x0

Trang 87

1 Khái niệm đạo hàm (2)

Trang 88

Hàm số f (x) = |x| không có đạo hàm tại x0 = 0

Trang 89

b) Tính liên tục của hàm số có đạo hàm

Định lý

Hàm số có đạo hàm tại x0 thì liên tục tại điểm đó

Điều ngược lại chưa chắc đúng

Ví dụ

Hàm số f (x) = |x| (đã xét ở ví dụ trên) liên tục nhưng không cóđạo hàm tại x0 = 0

c) Đạo hàm và độ dốc của đường cong:

Nếu hàm số f (x) có đạo hàm tại x0 thì giá trị f′

(x0) là số đo độdốc của đường cong y = f (x) tại điểm M0(x0, f (x0))

Trang 90

d) Đạo hàm trong một khoảng X

Giả sử tồn tại đạo hàm f′

(x) với mọi x ∈ X Khi đó, hàm số đạo hàm y′

= f′(x) xác định trên X

Trang 91

2 Các công thức và quy tắc tính đạo hàm

)′

= cos x(3) (ax

)′

= ax

ln a, a > 0, a 6= 1 (8) (cos x)′

= − sin x(4) (ex

xln a, a > 0, a 6= 1 (10) (cot x)′

= −sin12

x

Trang 92

2 Các công thức và quy tắc tính đạo hàm (2)

a) Bảng các đạo hàm cơ bản (tiếp):

(11) (arcsin x)′

√

1 − x2(12) (arccos x)′

1 − x2(13) (arctan x)′

1 + x2(14) (arccot x)′

= −1 + x1 2

Trang 93

b) Các quy tắc tính đạo hàm:

* Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Giả sử u(x), v(x) là các hàm có đạo hàm

Trang 94

Trang 95

c) Phép tuyến tính hoá khi tính đạo hàm

Thực hiện phép lấy logarit giúp tìm đạo hàm đơn giản hơn

⇒ y′

Trang 96

Ví dụ

1 Tìm đạo hàm của hàm số y = x5− 3√x+ 2 ln x −cos x1 ;

Trang 97

Đạo hàm của hàm số

Độ dốc của đường cong

Trang 98

11/2016

Trang 99

Bài 2

Vi phân của hàm số

Trang 100

1 Khái niệm vi phân

với k không phụ thuộc ∆x thì ta nói h/số f (x) khả vitại điểm x0;

df(x0) = k.∆x được gọi làvi phân của hàm số tại điểm x0

Nhận xét: ∆f (x0) ∼ k.∆x, khi ∆x → 0

Trang 101

1 Khái niệm vi phân (2)

Trang 102

1 Khái niệm vi phân (3)

b) Liên hệ với đạo hàm

Trang 107

11/2016

Trang 108

Bài 3 Các định lý cơ bản

về hàm số khả vi

Trang 109

1 Bổ đề Fermat

Bổ đề (Fermat)

c ∈(a,b) và tồn tại đạo hàm của hàm số tại điểm c thì f′(c) = 0

Nhận xét

Bổ đề Fermat chỉ ra điều kiện cần cho một điểm cực trị

(trong khoảng) của một hàm số khả vi

Tại một điểm cực trị (trong khoảng) của hàm số khả vi tiếptuyến tại đó của đồ thị hàm số là một đường thẳng nằm

ngang

Định dạng
Số trang	415
Dung lượng	2,73 MB