Hướng dẫn tự học môn lý thuyết xác suất và thống kê toán đại học kinh tế quốc dân

BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN & XÁC SUẤT  Giới thiệu các khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất: phép thử, biến cố, kết cục  Khái niệm về xác suất và một số cách tính xác suất theo cách cổ điển,

Trang 1

 Tiếng Anh: Probability and Mathematical Statistics

 Số tín chỉ: 3 Thời lượng: 45 tiết

 Đánh giá:

• Điểm do giảng viên đánh giá: 10%

• Điểm kiểm tra giữa kỳ / bài tập lớn: 20%

• Điểm kiểm tra cuối kỳ (90 phút): 70%

 Không tham gia quá 20% số tiết không được thi

Trang 2

Thông tin học phần

 Thông tin chi tiết về Giảng dạy và học tập học phần:

 www.mfe.edu.vn  Văn bản quan trọng  “Hướng dẫn giảng dạy học tập học phần Lý thuyết xác suất

• Nội dung giảng dạy học tập cụ thể

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 3

Thông tin giảng viên

 Học vị Họ tên giảng viên

 Giảng viên Bộ môn Toán kinh tế - Khoa Toán kinh tế

- ĐH Kinh tế quốc dân

 Email: (giangvien)@neu.edu.vn

 Trang web: www.mfe.edu.vn/(họ tên GV)

Trang 3

Tài liệu

 [1] Nguyễn Cao Văn, Trần Thái Ninh, Ngô Văn Thứ

(2015), Giáo trình Lý thuyết xác suất và Thống kê

toán, NXB ĐHKTQD

 [2] Bùi Dương Hải (2016), Tài liệu hướng dẫn thực

hành Excel, Lưu hành hội bộ

 [3] Paul Newbold, William L Carlson, Betty Thorne

(2010), Statistics for Business and Economics, 7th

 Thế kỉ 16: Galilei O Galile (Italia)

Christian Huygens (Hà Lan), Jakob Bernoulli (Thụy Sĩ)

Bayes (Anh), Pierre Simon Laplace (Pháp)

Poisson (Pháp), Pafuni Chebyshev (Nga), Francis Galton, Karl Pearson (Anh)

(Anh), Andrei Kolmogorov (Nga)

Trang 4

NỘI DUNG

Phần 1 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

 Chương 1 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất

 Chương 2 Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất

 Chương 3 Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng

 Chương 4 Biến ngẫu nhiên hai chiều

 Chương 5 Các định lý giới hạn

Phần 2 THỐNG KÊ TOÁN

 Chương 6 Cơ sở lý thuyết mẫu

 Chương 7 Ước lượng các tham số của biến ngẫu nhiên

 Chương 8 Kiểm định giả thuyết thống kê

 Chương 1 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất

 Chương 2 Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất

 Chương 3 Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng

 Chương 4 Biến ngẫu nhiên hai chiều

Trang 5

Chương 1 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN & XÁC SUẤT

 Giới thiệu các khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất: phép thử, biến cố, kết cục

 Khái niệm về xác suất và một số cách tính xác suất theo cách cổ điển, theo thống kê

 Cách phân chia các biến cố phức tạp thành các biến

cố đơn giản hơn và tổng hợp thông tin để tính xác suất biến cố phức tạp

 Một số định lý, công thức và áp dụng trong các bài toán

Chương 1

NỘI DUNG CHƯƠNG 1

 1.1 Phép thử và các loại biến cố

 1.2 Xác suất của biến cố

 1.3 Định nghĩa cổ điển về xác suất

 1.4 Định nghĩa thống kê về xác suất

 1.5 Nguyên lý xác suất lớn và nhỏ

 1.6 Định lý nhân xác suất

 1.7 Định lý cộng xác suất

 1.8 Công thức Bernoulli

 1.9 Công thức xác suất đầy đủ và Bayes

Chương 1 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất

Trang 6

1.1 PHÉP THỬ VÀ CÁC LOẠI BIẾN CỐ

cơ bản để quan sát một hiện tượng nào đó có thể xảy

ra hay không gọi là một phép thử (experiment)

 Hiện tượng có thể xảy ra  biến cố (event)

• Biến cố chắc chắn (certain): kí hiệu U hay 

• Biến cố không thể có (impossible): kí hiệu V hay 

• Biến cố ngẫu nhiên (random): kí hiệu A, B,… hay

A1, A2,…

Chương 1 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.1

1.2 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

biến cố là một con số đặc trưng khả năng khách quan xuất hiện biến cố đó khi thực hiện một phép thử

Trang 7

1.3 ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN VỀ XÁC SUẤT

 Ví dụ: Gieo con xúc sắc đối xứng đồng chất, quan

tâm biến cố xuất hiện mặt có số chấm chẵn

một phép thử là tỷ số giữa số kết cục thuận lợi cho A

và tổng số các kết cục duy nhất đồng khả năng có thể xảy ra khi thực hiện phép thử đó

 ( A ) m

 Xác suất của biến cố chắc chắn: P(U) = 1

 Xác suất của biến cố không thể có: P(V) = 0

 Xác suất của biến cố ngẫu nhiên A: 0 < P(A) < 1

Chương 1 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.3 Định nghĩa cổ điển về xác suất

Trang 8

Các ví dụ

Chọn ngẫu nhiên một người, xác suất được nữ

 Ví dụ 1.2: Giả sử xác suất sinh con gái và trai là như

nhau Tìm xác suất gia đình có 3 con thì

• (a) có đúng 2 con gái

• (b) có đúng 2 con gái nếu con đầu lòng là gái

• (c) có đúng 2 con gái nếu con đầu lòng là trai

Các ví dụ

học đại học về kinh tế, 20 người học về kỹ thuật, 10 người học cả hai, còn lại không ai học đại học

 Tìm xác suất chọn ngẫu nhiên 1 người thì người đó

• (a) Chỉ học ĐH đúng 1 ngành

• (b) Học ĐH ít nhất 1 ngành

• (c) Học 2 ngành nếu người đó có học đại học

Trang 9

Các ví dụ

chính phẩm và 4 phế phẩm

 (a) Tính m và n và xác suất để lấy 2 sản phẩm thì

được 2 chính phẩm, theo 3 cách sau:

• Lần lượt có hoàn lại

• Lần lượt không hoàn lại

• Cùng một lúc

 (b) Nếu lấy cùng lúc 3 sản phẩm, tính xác suất được

2 chính phẩm và 1 phế phẩm

Ưu nhược điểm của định nghĩa cổ điển

 Ưu điểm:

• Không cần tiến hành phép thử

• Cho phép tính chính xác giá trị của xác suất

 Nhược điểm:

• Số cục duy nhất đồng khả năng có thể vô hạn

• Kết quả phép thử không phải các kết cục duy nhất đồng khả năng

Trang 10

1.4 ĐỊNH NGHĨA THỐNG KÊ VỀ XÁC SUẤT

hiện biến cố trong n phép thử là tỷ số giữa số phép

thử trong đó biến cố xuất hiện và tổng số phép thử được thực hiện

 ( A ) k

f

n

Định nghĩa

một phép thử là một số p không đổi mà tần suất f xuất hiện biến cố đó trong n phép thử sẽ dao động

rất ít xung quanh nó khi số phép thử tăng lên vô hạn

• Số liệu của 10000 công nhân công nghiệp thấy có

1200 người có bệnh về phổi Tần suất là 0,12 và

 ( A )  ( A )

Chương 1 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.4 Định nghĩa thống kê

Trang 11

Ưu nhược điểm của định nghĩa thống kê

 Ưu điểm:

• Không đòi hỏi những điều kiện như ĐN cổ điển

• Dựa trên các quan sát thực tế

Chương 1 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.4 Định nghĩa thống kê

1.5 NGUYÊN LÝ XÁC SUẤT LỚN VÀ NHỎ

 “Nguyên lý thực tế chắc chắn xảy ra của các biến cố

có xác suất lớn”: Nếu biến cố ngẫu nhiên có xác suất

gần bằng 1 thì thực tế có thể biến cố đó sẽ xảy ra trong một phép thử

 “Nguyên lý thực tế không thể có của các biến cố có

xác suất nhỏ”: Nếu một biến cố có xác suất rất nhỏ

thì thực tế có thể cho rằng trong một phép thử biến

cố đó sẽ không xảy ra

Trang 12

1.6 ĐỊNH LÝ NHÂN XÁC SUẤT

 Định nghĩa 1.6 Biến cố C là tích (intersection) của

hai biến cố A và B nếu C xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B cùng đồng thời xảy ra

• A = “lần 1 được CF”

• B = “lần 2 được CF”

• A.B = ?

Xác suất có điều kiện

điều kiện biến cố B đã xảy ra gọi là xác suất có điều kiện của A, hay xác suất của A trong điều kiện B

• Ký hiệu: P(A | B)

lượt 2 sản phẩm A, B là lần 1, 2 được chính phẩm

 Xác định P(B | A) khi:

• Lấy lần lượt có hoàn lại

Chương 1 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.6 Định lý nhân xác suất

Trang 13

Tính độc lập

lập (independent) với nhau nếu việc xảy ra hay

không xảy ra của biến cố này không làm thay đổi xác suất xảy ra của biến cố kia và ngược lại

 Hai biến cố không độc lập với nhau còn gọi là phụ

thuộc (dependent)

 Nếu A và B độc lập thì

P(A | B) = P(A)

và P(B | A) = P(B)

Định l{ nhân xác suất

tích xác suất của một trong hai biến cố đó với xác suất có điều kiện của biến cố còn lại

Trang 14

Hệ quả

 Hệ quả: Nếu P(B) > 0 thì xác suất của biến cố A với

điều kiện biến cố B đã xảy ra bằng:

 Tính xác suất “được hai chính phẩm” và xác suất

“lần 1 là chính phẩm trong điều kiện lần 2 là chính phẩm” khi:

• (a) Lấy lần lượt không hoàn lại

• (b) Lấy lần lượt có hoàn lại

Trang 15

Biến cố xung khắc

(mutually exclusive) với nhau nếu chúng không thể

đồng thời xảy ra trong một phép thử

 Ngược lại, hai biến cố gọi là không xung khắc

 Nếu A, B xung khắc thì: P(A.B) = 0

Ω Chương 1 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.6 Định lý nhân xác suất

Mở rộng

biến cố A1, A2,…, An nếu A xảy ra khi và chỉ khi cả n

biến cố đó cùng đồng thời xảy ra

Trang 16

hợp bất kỳ của các biến cố còn lại

Mở rộng

phần bằng tích các xác suất biến cố thành phần

P(A1.A2…An) = P(A1).P(A2 | A1)…P(A n | A1A2…An–1)

Trang 17

Mở rộng

 Định nghĩa 1.13 Nhóm n biến cố A1, A2,…, An được gọi là xung khắc từng đôi nếu bất kỳ hai biến cố nào trong nhóm này cũng xung khắc với nhau

xung khắc từng đôi trong số sau:

A1 = “có đúng 1 nam”, A2 = “có đúng 2 nam”

A3 = “tất cả là nam”, A4 = “có ít nhất 1 nam”

A5 = “có cả nam và nữ”

1.7 ĐỊNH LÝ CỘNG XÁC SUẤT

của hai biến cố A và B, nếu C chỉ xảy ra khi có ít nhất một trong hai biến cố A và B xảy ra

 Ký hiệu C = A + B

Ω

A + B Chương 1 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.7

Trang 18

Định ly cộng xác suất

suất hai biến cố trừ đi xác suất của tích hai biến cố

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A.B)

bằng tổng xác suất của các biến cố đó

P(A + B) = P(A) + P(B)

Chương 1 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.7 Định lý cộng xác suất

Mở rộng

biến cố A1, A2,…, An nếu A xảy ra khi có ít nhất một

trong n biến cố ấy xảy ra

• Ký hiệu:

từng đôi A1, A2,…, An bằng tổng xác suất của các biến

cố đó:



  i 1

Trang 19

Ví dụ 1.11

 Một dự án cần qua hai vòng thẩm định độc lập nhau, xác suất dự án bị trượt ở hai vòng lần lượt là 0,3 và 0,4 Dự án bị loại nếu có vòng đánh trượt

 (a) Tính xác suất dự án bị loại

 (b) Xác suất dự án được thông qua bằng bao nhiêu?

Nhóm đầy đủ

 Định nghĩa 1.16 Các biến cố A1, A2,…, An được gọi

là một nhóm đầy đủ (universal set, partitions) các

biến cố nếu trong kết quả phép thử sẽ xảy ra một và chỉ một trong các biến cố đó

 Hệ quả: Nếu các biến cố A1, A2,…, An tạo nên một nhóm đầy đủ các biến cố thì tổng xác suất của chúng bằng 1





1 ( Ai) 1

Trang 20

Biến cố đối lập

(complement) nếu chúng tạo nên một nhóm đầy đủ

các biến cố

bằng 1:

P(A) + P(Ā) = 1

 Viết biến cố và tính xác suất người đó

• (a) Bán được hàng ở cả hai nơi

• (b) Bán được hàng ở ít nhất một nơi

• (c) Bán được hàng ở đúng một nơi

Trang 21

 Viết biến cố, lập bảng, và tính xác suất:

Trang 22

Ví dụ 1.14

 Một người làm hai bài tập kế tiếp Xác suất làm đúng bài thứ nhất là 0,6 Nếu làm đúng bài thứ nhất thì khả năng làm đúng bài thứ hai là 0,9 nhưng nếu làm sai bài thứ nhất thì khả năng đúng bài thứ hai còn 0,3 Tính xác suất:

• (a) Làm đúng ít nhất một bài

• (b) Làm đúng chỉ 1 bài

• (c) Làm đúng bài 1 biết rằng làm đúng bài 2

• (d) Làm đúng cả hai, biết rằng có làm đúng ít nhất một bài

1.8 CÔNG THỨC BERNOULLI

xác suất bán được ở mỗi nơi đều bằng 0,8 Tính xác suất người đó:

 (a) Bán được ở đúng 1 nơi

 (b) Bán được ở đúng 2 nơi

 (c) Bán được ở ít nhất 1 nơi

Trang 23

1.9 CÔNG THỨC XS ĐẦY ĐỦ - BAYES

chính phẩm và 4 phế phẩm; hộp loại II chứa 8 chính phẩm và 2 phế phẩm

 (a) Chọn ngẫu nhiên một hộp và từ đó chọn 1 sản phẩm Tính xác suất để đó là chính phẩm

 (b) Nếu chọn được chính phẩm, xác suất để hộp được chọn là hộp I bằng bao nhiêu?

 (c) Nếu có 5 hộp, 2 hộp loại I và 3 hộp loại II, thì các câu (a), (b) kết quả bao nhiêu?

Trang 24

Công thức XS đầy đủ - công thức Bayes

 Biến cố A có thể xảy ra đồng thời với một trong các biến cố H1, H2,…, Hn Nhóm H1, H2,…, Hn là nhóm đầy

đủ các biến cố Khi đó xác suất đầy đủ:

 Công thức Bayes



 1 ( A ) ( Hi) ( A | Hi)

( ) ( ) ( | )

Chương 1 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.9 Công thức XS đầy đủ - Bayes

Công thức XS đầy đủ - công thức Bayes

 Giải ví dụ 1.16 bằng lập bảng

phẩm 4 phế phẩm), ba hộp loại II (8 chính phẩm 2 phế phẩm) và năm hộp loại III (5 chính phẩm 5 phế

Trang 25

TÓM TẮT CHƯƠNG 1

 Phép thử, biến cố ngẫu nhiên, xác suất P(A)

 Định nghĩa cổ điển: phương pháp liệt kê, sơ đồ, đại

số tổ hợp

 Định nghĩa thống kê

 Nguyên lý xác suất lớn và nhỏ

 Các quan hệ: tổng, tích, xung khắc, độc lập, nhóm đầy đủ, đối lập, có điều kiện

 Các định lý: xác suất tổng, tích, đối lập, có điều kiện

 Công thức Bernoulli, xác suất đầy đủ, Bayes

Bài tập cơ bản trong Giáo trình

 Trang 69: 1.93, 1.94, 1.97, 1.100, 1.102a, 1.105a

Trang 26

Chương 2 BIẾN NGẪU NHIÊN &

QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

 Biến ngẫu nhiên là khái niệm trung tâm của lý thuyết xác suất

 Hiểu được khái niệm và cách phản ánh quy luật của biến ngẫu nhiên, thông qua quy luật phân phối xác suất

 Khái niệm về các tham số đặc trưng cho đại lượng ngẫu nhiên trong kinh tế - kinh doanh

 2.1 Định nghĩa biến ngẫu nhiên

 2.2 Quy luật phân phối xác suất

• Bảng phân phối xác suất

• Hàm phân phối xác suất

Trang 27

2.1 ĐỊNH NGHĨA BIẾN NGẪU NHIÊN

(random variable) nếu trong kết quả của phép thử

nó sẽ nhận một và chỉ một trong các giá trị có thể có của nó tùy thuộc vào sự tác động của các nhân tố ngẫu nhiên

 Viết tắt là BNN

 Ký hiệu: X, Y, Z hoặc X1, X2,…

 Giá trị có thể có của X là x1, x2,…

 (X = x1), (X = x2) là các biến cố

Chương 2 Biến ngẫu nhiên – Quy luật… 2.1

Phân loại biến ngẫu nhiên

 Biến ngẫu nhiên là rời rạc (discrete) nếu các giá trị

có thể có của nó lập thành một tập hợp hữu hạn hoặc đếm được

• Ví dụ: Điểm số, Số người vào cửa hàng

• X = {x1, x2,…, x n }; n có thể = 

 Biến ngẫu nhiên là liên tục (continuous) nếu các giá

trị có thể có của nó lấp đầy một khoảng trên trục số

• Ví dụ: Thời gian, Khoảng cách, Năng suất

• X = (a, b)

Chương 2 Biến ngẫu nhiên – Quy luật… 2.1 Định nghĩa biến ngẫu nhiên

Trang 28

2.2 QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

 Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên là

sự tương ứng giữa các giá trị có thể có của nó và các xác suất tương ứng với các giá trị đó

 Ba cách thể hiện thông thường:

• Bảng phân phối xác suất (chỉ cho BNN rời rạc)

• Hàm phân phối xác suất (hàm phân phối tích lũy)

• Hàm mật độ xác suất (chỉ cho BNN liên tục)

Bảng phân phối xác suất

 Hay hàm khối lượng xác suất (mass probability)

Trang 30

Tính chất của F(x)

 F(x) thuộc đoạn [0, 1]

 F(x) là hàm không giảm: x1 < x2 thì F(x1)  F(x2)

• Hệ quả: P(a  X < b) = F(b) – F(a)

• Hệ quả: Nếu X liên tục: P(X = x) = 0

• Hệ quả: Nếu X liên tục: P(a  X  b) = P(a  X < b)

= P(a < X  b) = P(a < X < b)

 F(–) = 0 và F(+) = 1

• Hệ quả: Nếu X chỉ nhận giá trị trong [a, b] thì F(x)

= 0 với x  a và F(x) = 1 với x > b

Chương 2 Biến ngẫu nhiên – Quy luật… 2.2 Quy luật phân phối xác suất

Hàm mật độ xác suất f(x)



x F(x)

f(x)

Chương 2 Biến ngẫu nhiên – Quy luật… 2.2 Quy luật phân phối xác suất

Trang 32

2.3 CÁC THAM SỐ CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN

 Các tham số đặc trưng xu thế trung tâm: Kỳ vọng toán, trung vị, mốt

 Các tham số đặc trưng độ phân tán: Phương sai, độ lệch chuẩn, hệ số biến thiên

 Các tham số đặc trưng khác: Giá trị tới hạn, Hệ số nhọn, hệ số bất đối xứng

 Tại đây tập trung: Kỳ vọng, Phương sai, Độ lệch chuẩn, Giá trị tới hạn

Trang 33

Kz vọng toán

BNN X, ký hiệu là E(X), được tính :

n

i i i

Trang 34

Phương sai

ký hiệu V(X) được tính theo công thức:

 Phương sai có đơn vị là bình phương đơn vị của X

 Nếu X, Y cùng đơn vị, cùng ý nghĩa, V(X) > V(Y) thì:

Chương 2 Biến ngẫu nhiên – Quy luật… 2.3 Các tham số của biến ngẫu nhiên

Trang 35

Tính chất của phương sai

 Với C là hằng số; X, Y là biến ngẫu nhiên

deviation) của BNN X, ký hiệu σ X là căn bậc hai của phương sai

 Độ lệch chuẩn cũng đo mức độ dao động, phân tán

của X tương tự ý nghĩa phương sai, nhưng:

 Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với X

 Phương sai, độ lệch chuẩn đo độ biến động tuyệt đối

σ  ( )

Trang 36

Ví dụ 2.3

 Tính kì vọng, phương sai độ lệch chuẩn của X:

 (a) Với X là số lần bán được hàng trong ngày, có

bảng phân phối xác suất:

 (b) Với X là thời gian chờ đợi ở cửa hàng (giờ), có

Ví dụ 2.4

Một người chơi trò chơi phải bỏ tiền Nếu thắng sẽ được nhận 70 lần số tiền bỏ ra, nếu thua sẽ mất toàn

bộ số tiền Xác suất thắng bằng 1%

Tính kì vọng, phương sai của lợi ích về tiền khi:

(a) Chơi một lần, bỏ ra 1 triệu đồng

Trang 37

Hệ số biến thiên

variation) của X ký hiệu là CV được tính theo công

thức:

 Hệ số biến thiên đơn vị là %

 Hệ số biến thiên đo độ phân tán tương đối

 Có thể so sánh hệ số biến thiên của nhiều BNN khác nhau, không cần cùng đơn vị, ý nghĩa

hiệu là m d là giá trị nằm ở chính giữa phân phối xác suất

 Nếu X rời rạc: m d thỏa mãn: F(x i)  0,5 < F(x i+1)

 Nếu X liên tục: m d thỏa mãn:

Trang 38

Mốt (mode)

là giá trị ứng với xác suất lớn nhất (X rời rạc) hoặc hàm mật độ f(x) lớn nhất (X liên tục)

 BNN có thể không có mốt, có 1 mốt, hoặc nhiều mốt

Giá trị tới hạn

 Định nghĩa 2.10 Với X liên tục, giá trị tới hạn

(critical value) mức  (0  1) ký hiệu là xlà số thực sao cho:

Trang 39

Chương 2 Biến ngẫu nhiên – Quy luật…

Bài tập cơ bản trong Giáo trình

Chương 2 Biến ngẫu nhiên – Quy luật…

Trang 40

Chương 3 MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG

 Giới thiệu một số quy luật phân phối xác suất thông dụng nhất trong kinh tế, gồm hai nhóm:

 Các quy luật rời rạc: Không-một, Nhị thức, Poisson

 Các quy luật liên tục: Đều, Chuẩn, Khi-bình phương, Student, Fisher

 Các ứng dụng của các quy luật trong kinh tế

Chương 3

 3.1 Quy luật Không-một – A(p)

 3.2 Quy luật Nhị thức – B(n, p)

 3.3 Quy luật Poisson – P()

 3.4 Quy luật Đều – U(a, b)

 3.5 Quy luật Chuẩn – N(, σ2)

 3.6 Quy luật Khi bình phương – 2(n)

 3.7 Quy luật Student – T(n)

Chương 3 Một số quy luật thông dụng

Định dạng
Số trang	117
Dung lượng	3,08 MB