Nhóm 17 tìm hiểu logic mờ minh họa trên bài toán điều khiển máy giặt tự động

Logic mờ được công bố lần đầu tiên tại Mỹ vào năm 1965 do giáo sư Lotfi Zadeh. Kể từ đó, logic mờ đã có nhiều phát triển qua các chặng đường sau : phát minh ở Mỹ, áp dụng ở Châu Âu và đưa vào các sản phẩm thương mại ở Nhật. Ứng dụng đầu tiên của logic mờ vào công nghiệp được thực hiện ở Châu Âu, khoảng sau năm 1970. Tại trường Queen Mary ở Luân Đôn – Anh, Ebrahim Mamdani dùng logic mờ để điều khiển một máy hơi nước mà trước đây ông ấy không thể điều khiển được bằng các kỹ thuật cổ điển. Và tại Đức, Hans Zimmermann dùng logic mờ cho các hệ ra quyết định. Liên tiếp sau đó, logic mờ được áp dụng vào các lĩnh vực khác như điều khiển lò xi măng, … nhưng vẫn không được chấp nhận rộng rãi trong công nghiệp. Kể từ năm 1980, logic mờ đạt được nhiều thành công trong các ứng dụng ra quyết định và phân tích dữ liệu ở Châu Âu. Nhiều kỹ thuật logic mờ cao cấp được nghiên cứu và phát triển trong lĩnh vực này.

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

CHƯƠNG I MỞ ĐẦU 2

CHƯƠNG II: LOGIC MỜ 3

I Giới thiệu 3

II Tập mờ 4

1.Khái niệm tập mờ 4

2 Các dạng hàm thuộc tiêu biểu 6

3 Các khái niệm liên quan 7

4 Các phép toán trên tập mờ 7

III Số Mờ 8

1 Định nghĩa 9

2 Các phép toán 9

3 Nguyên lý suy rộng của Zadeh 9

IV Logic Mờ 10

1 Khái niệm 10

2 Biến ngôn ngữ 12

3 Mệnh đề mờ 13

4 Các phép toán mệnh đề mờ 13

5 Phép toán kéo theo mờ 14

6 Luật mờ 15

7 Cơ sở tri thức 16

8 Logic mờ 16

9 Nguyên lý xử lý các bài toán mờ 17

CHƯƠNG III: ỨNG DỤNG CỦA LOGIC MỜ VÀO BÀI TOÁN 20

ĐIỀU KHIỂN MÁY GIẶT TỰ ĐỘNG 20

1 Xây dựng biến ngôn ngữ 21

2 Xây dựng các luật mờ 21

3 Xây dựng hàm thành viên 23

4 Chọn phương pháp suy diễn mờ và giải mờ 27

CHƯƠNG IV: KẾT LUẬN 29

1 Lợi ích của việc sử dụng logic mờ 29

2 Giới hạn của logic mờ 29

3 Kết luận 29

CHƯƠNG V: TÀI LIỆU THAM KHẢO 30

CHƯƠNG I MỞ ĐẦU

Con người giao tiếp bằng ngôn ngữ tự nhiên, mà bản chất của ngôn ngữ tự nhiên

là mơ hồ và không chính xác Tuy vậy, trong hầu hết tình huống, con người vẫn hiểunhững điều mà người khác muốn nói với mình Khả năng hiểu và sử dụng ngôn ngữ tựnhiên, thực chất là hiều và xử lý đúng thông tin không chính xác chứa trong đó, có thểcoi là thước đo mức độ hiểu biết, thông minh của con người Con người cũng luôn mơước máy tính, người bạn, người giúp việc đắc lực của mình, ngày càng thông minh vàhiểu biết hơn Vì vậy, nhu cầu làm cho máy tính hiểu và xử lý được những thông tinkhông chính xác, xấp xỉ áng chừng là một nhu cầu bức thiết

Logic mờ ra đời đã cung cấp một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu và xây dựnghệ thống có khả năng xử lý thông tin không chính xác Nhờ có logic mờ mà con ngườixây dựng được những hệ điều khiển có tính linh động rất cao Chúng có thể hoạt độngtốt ngay trong điều kiện có nhiều nhiễu hoặc những tính huống chưa được học trước.Nhờ có logic mờ mà con người xây dựng được những hệ chuyên gia có khả năng suyluận như những chuyên gia hàng đầu và có khả năng tự hoàn thiện thông qua việc thunhận tri thức mới

Ngày nay logic mờ có phạm vi sử dụng rộng rãi trên thế giới, từ những hệ thốngcao cấp phức tạp như hệ dự báo, nhận dạng, robot, vệ tinh, du thuyền, máy bay…đếnnhững đồ dùng hằng ngày như máy giặt, máy điều hòa nhiệt độ, máy chụp hình tựđộng,…Những trung tâm lớn về lý thuyết cũng như ứng dụng của logic mờ hiện nay làMỹ, nhật và châu âu

Ở Việt Nam, việc nghiên cứu về lý thuyết cũng như ứng dụng của logic mờ đã cólịch sử gần hai thập kỷ và đã thu hoạch được những thành tựu to lớn Tuy vậy vẫn cầnthiết phải phát triển hơn nữa cả về chiều sâu lần chiều rộng

Chúng em xin chân thành cảm ơn Thầy Nguyễn bá Nghiễn đã giúp đỡ chúng em thựchiện đề tài Tìm hiểu các kỹ thuật tính toán mềm, đi sâu vào logic mới, ứng dụng vàobài toán điều khiển máy giặt tự động Trong quá trình làm bài không tránh được saisót, rất mong Thầy và các bạn đóng góp ý kiến để bài làm của chúng em được tốt hơn

CHƯƠNG II: LOGIC MỜ

I Giới thiệu

Logic mờ được công bố lần đầu tiên tại Mỹ vào năm 1965 do giáo sư Lotfi Zadeh.Kể từ đó, logic mờ đã có nhiều phát triển qua các chặng đường sau : phát minh ở Mỹ,

áp dụng ở Châu Âu và đưa vào các sản phẩm thương mại ở Nhật

Ứng dụng đầu tiên của logic mờ vào công nghiệp được thực hiện ở Châu Âu,khoảng sau năm 1970 Tại trường Queen Mary ở Luân Đôn – Anh, Ebrahim Mamdanidùng logic mờ để điều khiển một máy hơi nước mà trước đây ông ấy không thể điềukhiển được bằng các kỹ thuật cổ điển Và tại Đức, Hans Zimmermann dùng logic mờcho các hệ ra quyết định Liên tiếp sau đó, logic mờ được áp dụng vào các lĩnh vựckhác như điều khiển lò xi măng, … nhưng vẫn không được chấp nhận rộng rãi trongcông nghiệp

Kể từ năm 1980, logic mờ đạt được nhiều thành công trong các ứng dụng ra quyếtđịnh và phân tích dữ liệu ở Châu Âu Nhiều kỹ thuật logic mờ cao cấp được nghiêncứu và phát triển trong lĩnh vực này

Cảm hứng từ những ứng dụng của Châu Âu, các công ty của Nhật bắt đầu dùnglogic mờ vào kỹ thuật điều khiển từ năm 1980 Nhưng do các phần cứng chuẩn tínhtoán theo giải thuật logic mờ rất kém nên hầu hết các ứng dụng đều dùng các phầncứng chuyên về logic mờ Một trong những ứng dụng dùng logic mờ đầu tiên tại đây

là nhà máy xử lý nước của Fuji Electric vào năm 1983, hệ thống xe điện ngầm củaHitachi vào năm 1987

Những thành công đầu tiên đã tạo ra nhiều quan tâm ở Nhật Có nhiều lý do để giảithích tại sao logic mờ được ưa chuộng Thứ nhất, các kỹ sư Nhật thường bắt đầu từnhững giải pháp đơn giản, sau đó mới đi sâu vào vấn đề Phù hợp với việc logic mờcho phép tạo nhanh các bản mẫu rồi tiến đến việc tối ưu Thứ hai, các hệ dùng logic

mờ đơn giản và dễ hiểu Sự “thông minh” của hệ không nằm trong các hệ phương trình

vi phân hay mã nguồn Cũng như việc các kỹ sư Nhật thường làm việc theo tổ, đòi hỏi

phải có một giải pháp để mọi người trong tổ đều hiểu được hành vi của hệ thống, cùngchia sẽ ý tưởng để tạo ra hệ Logic mờ cung cấp cho họ một phương tiện rất minh bạchđể thiết kế hệ thống Và cũng do nền văn hóa, người Nhật không quan tâm đến logicBoolean hay logic mờ; cũng như trong tiếng Nhật , từ “mờ’ không mang nghĩa tiêucực.

Do đó, logic mờ được dùng nhiều trong các ứng dụng thuộc lĩnh vực điều khiểnthông minh hay xử lý dữ liệu Máy quay phim và máy chụp hình dùng logic mờ đểchứa đựng sự chuyên môn của người nghệ sĩ nhiếp ảnh Misubishi thông báo về chiếc

xe đầu tiên trên thế giới dùng logic mờ trong điều khiển, cũng như nhiều hãng chế tạo

xe khác của Nhật dùng logic mờ trong một số thành phần Trong lĩnh vực tự động hóa,Omron Corp có khoảng 350 bằng phát minh về logic mờ Ngoài ra, logic mờ cũngđược dùng để tối ưu nhiều quá trình hóa học và sinh học

Năm năm trôi qua, các tổ hợp Châu Âu nhận ra rằng mình đã mất một kỹ thuật chủchốt vào tay người Nhật và từ đó họ đã nỗ lực hơn trong việc dùng logic mờ vào cácứng dụng của mình Đến nay, có khoảng 200 sản phẩm bán trên thị trường và vô sốứng dụng trong điều khiển quá trình – tự động hóa dùng logic mờ

Từ những thành công đạt được, logic mờ đã trở thành một kỹ thuật thiết kế “chuẩn”

và được chấp nhận rộng rãi trong cộng đồng

II Tập mờ

1.Khái niệm tập mờ

Một tập hợp trong một không gian nào đó, theo khái niệm cổ điển sẽ chiakhông gian thành 2 phần rõ ràng Một phần tử bất kỳ trong không gian sẽ thuộc hoặckhông thuộc vào tập đã cho Tập hợp như vậy còn được gọi là tập rõ Lý thuyết tậphợp cổ điển là nền tảng cho nhiều ngành khoa học, chứng tỏ vai trò quan trọng củamình Nhưng những yêu cầu phát sinh trong khoa học cũng như cuộc sống đã cho thấyrằng lý thuyết tập hợp cổ điển cần phải được mở rộng

Ta xét tập hợp những người trẻ Ta thấy rằng người dưới 26 tuổi thì rõ ràng làtrẻ và người trên 60 tuổi thì rõ ràng là không trẻ Nhưng những người có tuổi từ 26 đến

60 thì có thuộc tập hợp những người trẻ hay không? Nếu áp dụng khái niệm tập hợp cổđiển thì ta phải định ra một ranh giới rõ ràng và mang tính chất áp đặt chẳng hạn là 45để xác định tập hợp những người trẻ Và trong thực tế thì có một ranh giới mờ để ngăncách những người trẻ và những người không trẻ đó là những người trung niên Nhưvậy, những người trung niên là những người có một “độ trẻ” nào đó Nếu coi “độ trẻ”của người dưới 26 tuổi là hoàn toàn đúng tức là có giá trị là 1 và coi “độ trẻ” của ngườitrên 60 tuổi là hoàn toàn sai tức là có giá trị là 0, thì “độ trẻ” của người trung niên sẽcó giá trị p nào đó thoả 0 < p < 1

Như vậy nhu cầu mở rộng khái niệm tập hợp và lý thuyết tập hợp là hoàn toàntự nhiên Các công trình nghiên cứu về lý thuyết tập mờ và logic mờ đã được L.Zadehcông bố đầu tiên năm 1965, và sau đó liên tục phát triển mạnh mẽ

định bởi hàm μ A :X->[0,1]

μ A được gọi là hàm thuộc, hàm liên thuộc hay hàm thành viên (membership

function)

Với x ¿ X thì μ A (x) được gọi là mức độ thuộc của x vào A

Như vậy ta có thể coi tập rõ là một trường hợp đặc biệt của tập mờ, trong đó hàmthuộc chỉ nhận 2 giá trị 0 và 1

Ký hiệu tập mờ, ta có các dạng ký hiệu sau:

 Liệt kê phần tử: giả sử U={a,b,c,d} ta co thể xác định một tập mờ A=0.1

Lưu ý: các ký hiệu ∑ và ∫ không phải là các phép tính tổng hay tích phân, mà

chỉ là ký hiệu biểu thị tập hợp mờ

Ví dụ Tập mờ A là tập “số gần 2” xác định bởi hàm thuộc μ A=e−(x −2)2

ta có thể ký

hiệu: A = { (x ,−( x−2 )2)|x∈U} hoặc A = ∫

−∞

+∞

−( x−2)2/ x

2 Các dạng hàm thuộc tiêu biểu.

Theo lý thuyết thì hàm thuộc có thể là một hàm bất kỳ thoả μ A :X->[0,1].Nhưng trong thực tế thì có các dạng hàm thuộc sau đây là quan trọng và có tính ứngdụng cao hơn cả

Nhóm này gồm đơn điệu tăng và đơn điệu giảm Ví dụ tập hợp người già có hàm thuộcđơn điệu tăng theo tuổi trong khi đó tập hợp người trẻ có hàm thuộc đơn điệu giảmtheo tuổi Ta xét thêm ví dụ minh hoạ sau: Cho tập vũ trụ E = Tốc độ ={20,50,80,100,120 } đơn vị là km/h Xét tập mờ F=Tốc độ nhanh xác định bởi hàm

thuộc μ nhanh như đồ thị

Như vậy tốc độ dưới 20km/h được coi là không nhanh Tốc độ càng cao thì độ thuộccủa nó vào tập F càng cao Khi tốc độ là 100km/h trở lên thì độ thuộc là 1

1 0.85 0.

5

100

E 120

3 Các khái niệm liên quan.

Giả sử A là tập mờ trên vũ trụ U, có hàm thuộc μ A thì ta có các khái niệm sau:

sao cho μ A (x) > 0

 Biên của A là một tập rõ bao gồm tất cả các phần tử x ¿ U sao cho 0 < μ A (x) <1

 Độ cao của A, ký hiệu height(A) là cận trên đúng của μ A (x) height(A)=sup

x∈U μ A(x)

 Tập mờ A được gọi là tập mờ chuẩn tắc (normal fuzzy set) nếu height(A)=1 Tức

là tập mờ chuẩn tắc có nhân khác rỗng

4 Các phép toán trên tập mờ.

Giả sử A và B là các tập mờ trên vũ trụ U thì ta có các định nghĩa sau:

- Quan hệ bao hàm

A được gọi là bằng B khi và chỉ khi ∀ x ¿ U, μ A (x) = μ B (x)

A được gọi là tập con của B, ký hiệu A ¿ B khi và chỉ khi ∀ x ¿ U, μ A (x) ¿

x1 ¿ U1 , x2 ¿ A2 , …, x1 ¿ A1

(4)

- Phép chiếu

Giả sử A là tập mờ trên không gian tích U1 ¿ A2 Hình chiếu của A trên

U1 là tập mờ A1 với hàm thuộc được xác định bởi:

Tập mờ M trên đương thẳng thực R là tập số mờ nếu:

a) M là chuẩn hoá, tức là có điểm x sao cho μ M(x) = 1

b) Ứng với mỗi a α ¿ R, tập mức {x: M(x) ¿ α } là đoạn đóng

Người ta thường dùng các số mờ tam giác, hình thang và dạng Gauss

3 Nguyên lý suy rộng của Zadeh.

Để làm việc với các hệ thống có nhiều biến vào, nguyên lý suy rộng của Zadeh là rấtquan trọng

Định nghĩa: Cho Ai là tập mờ với các hàm thuộc μ Ai trên không gian nền Xi,(i=1 n) Khi đó tích A1xA2x An là tập mờ trên X=X1xX2x Xn với hàm thuộc:

μ A(x)=min{ μ Ai(xi); i=1 n} Trong đó x=(x1,x2, xn)

Giả sử mỗi biến đầu vào xi lấy giá trị là Ai(i=1 n) Hàm f:X->Y chuyển các giá trị đầuvào là Ai thành giá trị đầu ra B Khi đó B là tập mờ trên Y với hàm thuộc xác định bởi:

μ B(x)=max{min( μ Ai(xi)); i=1 n : x ¿ f −1 (y)} nếu f −1 (y) ¿ φ

μ B(x)=0 nếu f −1 (y) = φ

Trong đó f −1 (y) = {x ¿ X : f(x)=y}

Ta có thể áp dụng nguyên lý suy rộng cho định nghĩa suy rộng của phép cộng như mộthàm 2 biến mờ Tương tự cho các phép toán trừ, nhân, chia

Từ các phép toán cơ bản người ta xây dựng nên số học mờ Có nhiều cách xây dựngmột số học mờ Sau đây là số học mờ dựa trên khái niêm α -cuts (lát cắt alpha) α

-cuts của số mờ là khoảng đóng thực với mọi 0< α <=1

Các tính chất số học mờ dựa trên khoảng đóng:

Gọi A=[a1,a2], B=[b1,b2], C=[c1, c2], O=[0,0], 1=[1,1] ta có:

Lôgic mờ (Fuzzy logic) được phát triển từ lý thuyết tập mờ để thực hiện lập luận

một cách xấp xỉ thay vì lập luận chính xác theo logic vị từ cổ điển Người ta hay nhầmlẫn mức độ đúng với xác suất Tuy nhiên, hai khái niệm này khác hẳn nhau; độ đúngđắn của lôgic mờ biểu diễn độ liên thuộc với các tập được định nghĩa không rõ ràng,chứ không phải khả năng xảy ra một biến cố hay điều kiện nào đó

Lý thuyết tập mờ (FUZZY SET THEORY) là một phương pháp luận linh hoạt nó làmột cách tiếp cận xử lý suy diễn phỏng đoán và sự không chắc chắn, thiếu chính xác,

và biến động kết hợp với các chuyên gia để đưa ra các kết quả chính xác và nhanhnhất

Để minh họa sự khác biệt, xét tình huống sau: Bảo đang đứng trong một ngôi nhà cóhai phòng thông nhau: phòng bếp và phòng ăn Trong nhiều trường hợp, trạng thái củaBảo trong tập hợp gồm những thứ "ở trong bếp" hoàn toàn đơn giản: hoặc là anh ta

"trong bếp" hoặc "không ở trong bếp" Nhưng nếu Bảo đứng tại cửa nối giữa haiphòng thì sao? Anh ta có thể được coi là "có phần ở trong bếp" Việc định lượng trạngthái "một phần" này cho ra một quan hệ liên thuộc đối với một tập mờ Chẳng hạn, nếuBảo chỉ thò một ngón chân cái vào phòng ăn, ta có thể nói rằng Bảo ở "trong bếp" đến99% và ở trong phòng ăn 1% Một khi anh ta còn đứng ở cửa thì không có một biến cốnào (ví dụ một đồng xu được tung lên) quyết định rằng Bảo hoàn toàn "ở trong bếp"hay hoàn toàn "không ở trong bếp"

Lôgic mờ cho phép độ liên thuộc có giá trị trong khoảng đóng 0 và 1, và ở hìnhthức ngôn từ, các khái niệm không chính xác như "hơi hơi", "gần như", "khá là" và

"rất" Cụ thể, nó cho phép quan hệ thành viên không đầy đủ giữa thành viên và tậphợp Tính chất này có liên quan đến tập mờ và lý thuyết xác suất

Một ví dụ khác để minh họa cho sự mềm dẻo của Logic mờ là việc xác định lứa tuổi:

Boolean Logic Fuzzy Logic

Hình 9: Sự khác nhau giữa hai loại Logic trong việc xác định lứa tuổi

Nhìn ở hình vẽ trên, nếu như đối với Boolean Logic (tương ứng với Crisp Sets) quyđịnh tuổi dưới 23 mới được coi là “trẻ tuổi” thì ở Fuzzy Logic (tương ứng với FuzzySets) , có sự xác định mềm dẻo hơn khi không quy định khắt khe chính xác bao nhiêutuổi mới là trẻ Điều này hợp hơn với thực tế bởi vì đôi khi tuổi tác còn do con ngườicảm nhận, có người coi dưới 23 tuổi là trẻ còn có người coi trên 23 tuổi một vài nămvẫn là trẻ, hoặc dưới 23 tuổi một vài năm đã không còn là trẻ nữa.Qua đó ở ví dụ này

ta thấy các giá trị Fuzzy mềm dẻo hơn rất nhiều so với Crisp sets, phù hợp hơn vớingười dùng

Các luật trong hệ logic mờ mô tả tri thức của hệ Chúng dùng các biến ngôn ngữnhư là từ vựng để mô tả các tầng điều khiển trong hệ Việc giải thích các luật mờ cũng

là việc trình bày cách tính các khái niệm ngôn ngữ

Khái niệm biến ngôn ngữ đã được Zadeh đưa ra năm 1973 như sau:

 Một biến ngôn ngữ được xác định bởi bộ (x, T, U, M)

trong đó: x là tên biến Ví dụ: “nhiệt độ”, “tốc độ”, “độ ẩm”,…

 T là tập các từ là các giá trị ngôn ngữ tự nhiên mà x có thể nhận

Ví dụ: x là “tốc độ” thì T có thể là {“chậm”, “trung bình”, “nhanh”}

 U là miền các giá trị vật lý mà x có thể nhận

Ví dụ: x là “tốc độ” thì U có thể là {0km/h,1km/h, …, 150km/h}

 M là luật ngữ nghĩa, ứng mỗi từ trong T với một tập mờ At trong U

Từ định nghĩa trên chúng ta có thể nói rằng biến ngôn ngữ là biến có thể nhận giá trị làcác tập mờ trên một vũ trụ nào đó

3 Mệnh đề mờ.

Trong logic cổ điển (logic vị từ cấp một), một mệnh đề phân tử P(x) là một phát

biểu có dạng “x là P” trong đó x là một đối tượng trong một vũ trụ U nào đó thoả tínhchất P Ví dụ “x là số chẵn” thì U là tập các số nguyên và P là tính chất chia hết cho 2.Như vậy ta có thể đồng nhất một mệnh đề phân tử “x là P” với một tập (rõ)

A = { x ¿ U | P(x) } Từ đó ta có:

P(x) = λ (x)Trong đó λ là hàm đặc trưng của tập A ( x ¿ A  λ (x) = 1) Giá trị chân lýcủa P(x) chỉ nhận một trong hai giá trị 1 và 0 (true và false) tương ứng với sự kiện xthuộc A hoặc không

Trong trường hợp P là một tính chất mờ chẳng hạn như “số lớn” thì ta sẽ có mộtmệnh đề logic mờ phần tử Khi đó tập hợp các phần tử trong vũ trụ U thoả P là một tập

mờ B có hàm thuộc μ B sao cho:

P(x) = μ B (x)Lúc này P(x) có thể nhận các giá trị tuỳ ý trong [0,1] Và ta thấy có thể đồng nhấtcác hàm thuộc với các mệnh đề logic mờ.

4 Các phép toán mệnh đề mờ.

Trong logic cổ điển, từ các mệnh đề phân tử và các phép toán ¿ (AND), ¿(OR), ¬ ¿ ¿ (NOT) ta có thể lập nên các mệnh đề phức Ta có:

¬ ¿ ¿ P(x) = 1 – P(x)

P(x) ¿ Q(y) = min(P(x), Q(y))

P(x) ¿ Q(y) = max(P(x), Q(y))

P(x) =>Q(y) = ¬ ¿ ¿ P(x) ¿ Q(y) = max(1-P(x), Q(y))

P(x) =>Q(y) = ¬ ¿ ¿ P(x) ¿ (P(x) ¿ Q(y)) = max(1-P(x), min(P(x),Q(y)))

Như vậy, ta sẽ có mở rộng một cách tự nhiên từ logic cổ điển sang logic mờ với quytắc tổng quát hoá dùng hàm bù mờ cho phép phủ định, hàm T-norm cho phép giao ()

và S-norm cho phép hợp () Sự mở rộng này dựa trên sự tương quan giữa mệnh đềlogic mờ với hàm mờ và các phép toán trên tập mờ Ta có:

5 Phép toán kéo theo mờ.

Các phép toán kéo theo có vai trò quan trọng trong logic mờ Chúng tạo nên cácluật mờ để thực hiện các phép suy diễn trong tất cả các hệ mờ Do một mệnh đề mờtương ứng với một tập mờ nên ta có thể dùng hàm thuộc thay cho các mệnh đề

 Sau đây là một số phép kéo theo quan trọng được sử dụng rộng rãi:

 Phép kéo theo Dienes – Rescher

Nếu áp dụng công thức (1) với S-norm max và C là hàm bù chuẩn cho ta có phép kéo

theo Dienes – Rescher

μ A (x) => μ B (y) = max(1- μ A (x), μ B (y))

 Phép kéo theo Lukasiewicz

Nếu áp dụng công thức (1) với S-norm là hàm hợp Yager với w=1 và C là hàm bù

chuẩn cho ta có phép kéo theo Lukasiewicz:

μ A (x) => μ B (y) = min(1, 1- μ A (x)+ μ B (y))

 Phép kéo theo Zadeh

Nếu áp dụng công thức (2) với S-norm là max, T-norm min hoặc tích và C là hàm bù

chuẩn cho ta có phép kéo theo Zadeh:

μ A (x) => μ B (y) = max( 1- μ A (x), min( μ A (x), μ B (y))) (a)

μ A (x) => μ B (y) = max( 1- μ A (x), μ A (x) μ B (y)) (b)

 Kéo theo Mamdani

Ta có thể coi mệnh đề μ A (x) => μ B (y) xác định một quan hệ 2 ngôi R ¿UxV Trong đó U là không gian nền của x (vũ trụ chứa x), V là không gian nền của y

(vũ trụ chứa y) Khi đó giá trị chân lý của mệnh đề μ A (x) => μ B (y) là giá trị hàmthuộc của cặp (x,y) vào R Theo công thức xác định hàm thuộc của quan hệ mờ ta có:

μ A (x) => μ B (y) = T( μ A (x), μ B (y))