P7C2 PP tọa độ trong không gian www toantuyensinh com

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Để các vuông góc Oxy, cho điểm A 8; 6.. Phương trình đường thang qua A tao với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 12 đvd là: Câu 283.. Trong mặ

(A) di qua Mp và có vectơ chỉ phương " (a; b; c) Đường thẳng (A') di

qua M, và có vectơ chỉ phương u' (a; b; c), A và A' chéo nhau

Cách 1: * Viết phương trình mặt phẳng (œ) chứa A và song song với (A')

1 Ôn về phương pháp toa độ trong mặt phẳng

Câu 271 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho M,(1; 2), M,(2; 3),

M;(3;4) lần lượt là trung điểm của các cạnh NP, MP, MN của tam giác MNP

Toạ độ của các điểm M, N, P là:

Câu 273 Cho phương trình của đường thẳng (d): { y= ỹ teR

Vay phuong trinh tổng quát của đường thẳng (đ) là:

7

Câu 275 Cho đường thang (d) x - 2y - 2 = 0 và điểm M(1; 2) Tìm

điểm M' là hình chiếu của điểm M trên (d)

(đ;): ÿ y=- : † e1 đôi một cắt nhau tại A, B, C Toạ độ trọng tâm G của

tam giác ABC là

A.q;3) B (:š) C.d;2) D.C1;2)

Câu 278 Đề bài như đề bài câu 277 Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC

A (§:#) B (3; 12) CT3) D.@:<1)

Câu 279 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC và điểm

M(-1; 1) là trung điểm của AB Hai cạnh AC và BC theo thứ tự nằm trên hai

đường thẳng 2x + y - 2 = 0 và x + 3y - 3 = 0 Phương trình đường cao CH của

Câu 280 Với để bài của câu 279 Diện tích eủa tam giác ABC tính

theo đơn vị điện tích (đvdt) là: =

Câu 281 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Để các vuông góc Oxy, cho

điểm A (8; 6) Phương trình đường thang qua A tao với hai trục toạ độ một

tam giác có diện tích bằng 12 (đvd) là:

Câu 283 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có

phương trình đường thẳng (AB) là x - y - 2 = 0, (BC) là 5y - x + 2 = 0 và (AC)

là y + x - 8=0 Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

A.(- 4+ Ú - =25 B.- D + Óy - 4) =25

2 2

c.(x-3| +(y-4) -% D.(x +1)? + (y+ 4 =25

Câu 284 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật có

tâm I( :0) Phương trình đường thẳng AB là x - 2y + 2 = 0 và AB = 2AD

"Tìm toạ độ các đỉnh A và B biết A có tọa độ âm

A (-2; 0), (2; 2) B (2; 2), (-2; 0)

C (-1; 0), (0; 1) D (2; - 2), (1; )

73

Cau 285 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác vuông cân

AB= AC, biết M (1; -L) là trung điểm của BC và G (2:0) là trọng tâm của

tam giác ABC Tìm toa độ hai đỉnh B và C

A (3; 0), (-1; -1) B (4; 0), (-2; -2)

C (4; 0), (2; 2) D (2; 0), (-2; -2)

Câu 286 Trong mặt phẳng với hệ toạ dd Oxy phương trình đường

tron di qua hai diém A (1; 2), B (3; 0) và có tâm nằm trên đường thẳng

(đ): x+ 2y - I0 =0 là:

A.(x-3)? + (y - 4)? = V10 B.Œ- Ù + (y - 3 = 10

C.(x- 4) + đy - 3) = 10 D (x - 3) + (y - 4) = 10

Câu 287 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxy cho

(d): x- y + 1=0 và (C): x? + y? + 2x - 4y = 0 Tìm toạ độ điểm M thuộc (d)

sao

sao cho từ đó kẻ được hai tiếp tuyến với đường tron C tai hai diém A va B va

AMB = 60°

A (3; 4) B (-3; -2) C (3; -4) D (3; 4); (-3; -2) Câu 288 Trong mặt phẳng với hệ toa do Oxy cho đường tròn (C)

(x-LŸ + (y + 2)? = 9 va đường thẳng (d): 3x - 4y + m = 0 Tìm m để trên

{d) có duy-nhất một điểm P mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB đến (C)

(A, Bà hai tiếp điểm sao cho A PAB đều) (Trích đề thi Toán khối D 2007)

2 Phương pháp toạ độ trong không gian

Câu 289 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a M và N lần lượt là trung

Cau 291 Dé bai nhu cau 289 Góc tạo bởi MN va AC, BD lan lượt là:

A 30°; 60° B 60°; 30° C 45° 45° * D 90% 90°

Câu 292 Cho tứ điện ABCD Gọi A', B, C, D' là các điểm theo

thứ tự chia các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA theo tỉ số k: A'A =kA'B,

BB =kBC, CC = kC'D, DD =kDA Véi gid tri nao của k thì

bốn điểm A', B, C, D' đồng phẳng:

Câu 293 Cho hình lập phương ABCD A'BCT' cạnh 3 Gọi P, Q là

các điểm lần lượt xác định bởi AP = -AD, CQ =-CD Độ dài đoạn

thẳng PQ bằng:

Cau 294 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'BCD' Dat các véctơ cơ sở

BA =a, BB =b, BC = c Gọi M là điểm chia đoạn thẳng AC theo tỉ

số m, N là điểm chia đoạn thẳng CD theo tỉ sốn (MA =mMC, NC =nNP')

Tìm m và n để MN song song với BD

Câu 295 Tìm tọa độ hình chiếu của điểm M (1; - 3; - 5) trên mp Oxy

A.qG;-35) B.q;-30) C.(1;3,1) D.(1;-3;2) Câu 296 Cho A (-3; 2; -1) Toạ độ điểm A' đối xứng với A qua trục

yOy là:

đc Gai k0 2 Bị 3; 2) -1) (0:21) D (3; -2; -1) Câu 297 Cho M (-3; 2; -1) Toạ độ điểm M° đối xứng với M qua mặt phẳng Oxy là:

A.(3;2;-1) B.@;2;l1) €.(;2;-l) D.@;-2;-l)

Câu 298 Cho tam giác ABC có A(-4; -1; 2), B.(3; 5; -10) Trung điểm

cạnh AC thuộc trục tung, trung điểm cạnh BC thuộc mặt phẳng Oxz Thế thì

toạ độ đỉnh C là:

A (4; 5; -2) B (4; 5; 2) C (4; -5; 2) D (4; -5; -2)

T5

Câu 299 Cho tit dién ABCD cé A (2; 3; 1), B (4; 1; -2), C (6; 3; 7),

D (-5; -4; 8) D6 dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh D xuống đáy (ABC) là:

Câu 302 Trong không gian với hệ toa do Oxyz cho tứ diện OABC có

©O là gốc toạ độ, A 6 Ox, B eOy, C 6 Oz và mặt phẳng (ABC) có phương

trình 6x + 3y + 2z - 6 = 0 Thể tích của khối tứ diện tính theo (đvdt) bằng:

Câu 303 Sử dụng để bài của câu 302 thì phương trình mặt câu ngoại

tiếp tứ diện OABC là:

76

Câu 304 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d:

Câu 307 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Viết phương trình

Câu 308 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng

(a): ee a diém P (4; 1; 6

Toạ độ điểm P đối xứng với P qua (A) là:

A (2; 3; 2) B (2; -3; 2) C (2; -3;-2) D.(4;1;6)

Câu 309 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phang (a):

3x + y - 2z =0 Toạ độ điểm A' đối xứng với điểm A (1; 3; -4) qua (œ) là:

eo eee vàd; Jy=l+t

z=3 Xét vị trí tương đối của d, và d;

A.chéo nhau B cắt nhau € trùng nhau _ D song song 78

Câu 312 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng

(Ay): -x-y+4=0 Ghd y-z-2=0 7

Khoảng cách giữa hai đường thẳng (A,) va (A,) la:

ˆ |4x-8y+5z-3—0 ˆ |4x-§y+5z-3=0

Câu 314 Trong không gian cho hai đường thẳng:

(i \ 3 S2 TA) Ệ Ti pee x+1=0 ios cide A (OLN)

Phương trình đường thẳng (A) di qua A vuông góc với (A,) và cắt (A,) là

A Phan chung dành cho tất cả các thí sinh (40 câu)

Cam 1 Cho f(x) = — == "> typ xác dịnh cia ham STR: x? ~ 3x74 2x

A R\{0; 1; 2} B.R\{1; 2} C R\{O; 1} D R\{O}

X”-4x

Câu 2 Đạo hàm của hàm số y = x? + Ke 7 là

79

269 Hình tròn lớn của hình cầu S là hình tròn tạo bởi mặt phẳng cắt

hình cầu và đi qua tâm của hình cầu Gọi R là bán kính hình cầu thì hình tròn

Thay Rar) acére 2 fk = [2 Dép én ding / + a 2z

270 Gọi khoảng cách từ tâm cầu đến mặt phẳng 1A d, ta cé: d? = R?-

271 Gọi Œụ, yu), (Xx; va), (X; y,) lần lượt là toạ độ điểm M, N,,P của AMNP

Do M; (3; 4) 1a trig điểm của cạnh MN nên ta có

272 AB = (2; 1) nên vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB là

Vậy phương trình của đường thẳng AB là:

1.(x+1)+2(y-3)=0<©x+2y -5=0

Đáp án B đúng

273 Đường thẳng (đ) đi qua điểm M (3; 0) và có vectơ chỉ phương là

n =(1;2) Vậy vectơ pháp tuyến của đường thẳng (đ): n_ = (2; -L) và nó đi

qua điểm M nên có phương trình tổng quát là:

2(x - 3) - l(y - 0 =0 ©2x-y-6=0

Đáp án A đứng

274 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng (d) là n = (3; 2) nén vecto

chi phương của d là a (2; -3) va (d) di qua diém M(1; 1) nên phương trình

Đáp án B đúng

278 Toạ độ ba dinh của AABC là: A(1; 2), B(3; 4), C(-1; 5) Khi đó

phương trình các cạnh của AABC là

x=19+4t

AB:xcy +1=0,AC: 3e v2y-T=BG | y=- :

199

Đường cao (AH) đi qua A và vuông góc với BC, nên vectơ chỉ phương của BC, chính là vectơ pháp tuyến của AH => thia = (4; -1) Vay phuong

trình đường cao (AH): 4(x - 1) - (y= 2) =0

_ ©4x-y-2=0

3+3t

Phương trình đường cao (BH): Hou 4+2t teR

Vay toạ độ trực tâm H là nghiệm của hệ phương trình

AB = (-4; 2) ma CH L AB nén vecto AB Pek ia Vaca’

cao CH Vậy phương trình của CH là:

-(x-2) +2(y-2) =0 ©_ -20x+10y+4=0

hay 10x-5y-2=0

_ Đáp án B đúng

200

280 Có nhiều cách tính diện tích AABC Ở đây ta trình bày một cách

AB = (-4; 2) nên vectơ pháp tuyến của đường thẳng chứa cạnh AB là

n =(2; 4) Vậy phương trình cạnh (AB):

Đường thing đi qua điểm A(8; 6) và tạo với hai trục một tam giác có

diện tích là 12, nên ta có hệ phương trình:

Ta có hai đường thẳng thoả mãn điều kiện bài toán

Goi N là trung điểm của AC thì N = (6; 2)

Gọi M là trung điểm của AB thì M = (2:3)

Phương trình trung trực của đoạn thắng AB:

x+y-5=0

Phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AC:

x-y-4=0 Toa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp AABC là nghiệm của hệ

phương trình:

x+y-5=0 x-y-4=0

Vay A; B nằm trên đường tròn (x-5) +y= a"

Do đó toạ độ của A, B là nghiệm của hệ phương trình:

x-2y+2=0

A có toạ độ âm nên A (-2; 0), B (2; 2)

Vậy tọa độ B, C là nghiệm của hệ phương trình

TP = {yr i

=> B(4; 0), C (-2; -2)

Đáp án B đúng

286 Ta đã biết quỹ tích tâm các đường tròn đi qua hai điểm A(1; 2),

B(3; 0) là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB Gọi M là trung điểm

Vậy 1(-1;2) R= V5

Giả sử — điểm M e Med kẻ 2 tiếp tuyến MA, MB với BO; A, Bla tiếp

điểm va AMB = 60° = AMI = 30°

=> IM=2IA =2R =2V5

= M nằm trên đường tròn

(x+ D+ (y - 2# =20 M

Do đó toạ độ của điểm M là

nghiệm của hệ phương trình: N

(x +1)? + (y-2) =

204

i

° Bed : bìa”

Vay có hai điểm thoả mãn diều kiện bài toán

M(3; 4), M '(-3; -2) Đáp án D đúng

vẽ Tàn

288 Dé dang API = 30° > PI = 21A

(C): (x-1)? + (y +2 =9 > 1 (1; -2),R=3 > PI=6

Để trên d có một điểm P duy nhất mà từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến PA,

PB và APAB đều thì đường tròn (T; IP) tiếp xúc với (d) hay khoảng cách tir I

290 MN AB = [MN] [AB] cos (MIN , AB)

Tidaubaicho AA =kA'B <> OA -OA =k(OB -OA)

vat ØA - OA-kOB

AB TÁC, AD là 3 véctơ không đồng phẳng nên:

Ta đã biết Vagen = 5 Bh (6 day B= Sac = 14 là đường cao của tứ

diện ABCVD kẻ từ D đến mặt (ABC))

301 Từ phương trình tham số của (P) ta biết (P) đi qua điểm M,(0;2;1)

và hai vectơ chỉ phương u= (2; 1l; l) và v= (-1; -1; 2) Vậy vectơ pháp " của (P) là:

Gọi M là trung điểm của OC thi M = (3:0 3) Tap hop cdc tam mat

câu cách đều O va C là mặt phẳng (ơ) trung trực của đoạn thẳng OC, mat phẳng (œ) đi qua M và nhận Đ = (0; 0; 3) làm vectơ pháp tuyến nên

211

Mặt phẳng (œ) đi qua M (7; 0; 0) và vuông góc với (đ) nên nhận t C5; 2; 3) làm vectơ pháp tuyến, suy ra (œ) -5(x - 7) + 2y + 3z=0

> -5x + 2y + 3z+35=0 'Toạ độ hình chiếu M' của điểm M trên (đ) là nghiệm của hệ phương trình:

Đáp án A đúng

305 Trước hết phải xét xem vị trí tương đối của hai đường thẳng Dễ

dàng thdy u, #ku," (hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng không

cộng tuyến)

(A) và (A' cất nhau thì hệ phương tình sau có một nghiệm duy nhất:

x-y+z-1=0 (2) 3x+y-z+3=0 @)

Cộng vế với vế của () và (49) ta có 4x +20 eX=~ 2 Thếx =~2 vào

(1) ta được y = 0 Thế x = -2 y = 0 vào (2), (3) ta đều được z = 3 Vay

nghiệm của hệ là:

suy ra (A) cắt (A') tại Mạ(- 5 0; 2)

Vay mat phẳng œ là tồn tại và duy nhất

213

Như vậy mặt phẳng œ có hai vectơ chỉ phương đó là hai vectơ chỉ

phương của (A) và (A') là:

= (1z 0102142: 1À

r=) ER HR doa

'Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (œ):

3x -2y +6z+21 =0

Chon m = 19, n= 85 ta có phương trình phải tìm

189x + 28y + 48z - 591 =0 Đáp án D đúng

307 Đường thẳng đã cho thuộc chùm mặt phẳng:

m(5x - 4y -2z-5)+n(x+2z-2)=0 (m°+n?+0)

° (5m + n)x - 4my + (-2m + 2n)z + (-5m - 2n) = 0 (B) (*)

Hình chiếu của đường thẳng (A) trên mp (a) 14 giao cia mat phing (f)

chứa (A) vuông góc với (œ) và mặt phẳng (œ)

(B).L(œ) — nạ L nạ mà nạ =2; -1; 1)

Dy = (5m +n; -4m; -2m + 2n)

=> 2(5m + n)- 1(-4m) + 1 (-2m + 2n) =0

©>3m = -n Chọn m =-l =n=3

Thay vào (*) ta được mp (8): -2x + 4y + 8z - 1 =0

Vay hình chiếu của đường thẳng (A) trên (œ) là

Mat phang (a) qua P(4; 1; 6) va 8A

vuông góc với A có vectơ pháp tuyến n_= ị

Toa d6 giao diém I cita (A) va (œ) là nghiệm của hệ phương trình:

309 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

(a), n =(3; 1; -2) Qua điểm A dựng đường

thẳng (A) vuông góc với (œ) Vậy vectơ chỉ

phương a cha (A) là vectơ pháp của (œ):

‘Theo tinh chất đối xứng thì H là trung điểm của AA' nên dễ dàng tính

được tọa độ của A' = (-5; 1; 0)

Đáp án C đúng

= H(-2; 2; -2)

216

310 Vectơ chỉ phương của

Ai 0 =(1;2;-1)

Á;: tạ =(-7;2; 3)

Gọi vectơ chỉ phương của A (là

đường vuông góc chung của A,, A;)

w =[t, tạ] Hình 50

soe a ees ae Sims lca = (8; 4; 16)

Be ba 7g a pee

Mặt phẳng œ chứa A, và A nên có hai vectơ chỉ phương

tị =(;2;-1) và u =(8; 4; 16) và đi qua điểm (7; 3; 3)

Mặt phẳng B chứa A, va A có hai vectơ chỉ phương

u, =(-7; 2; 3) va u =(8; 4; 16) nên có vectơ pháp tuyến

ng E li a ih dị ’ HÌ = (20; 136, -44) = 4(5; 34; -11)

(B) di qua điểm (3; 1; 1) nên có phương trình

5(x - 3) + 34(y - 1)- 11(z- 1) =0 5x +34y - 11z - 38 =0

Vậy phương trình của đường thẳng (A) là:

cai

5x+34y-11z-38=0

Đáp án D đúng

217

311 Đường thẳng d, có vectơ chỉ phương u, = (2; -1; 1) va di qua

312 Khoảng cách giữa hai đường thẳng (A,) và (A;) là khoảng cách

giữa một điểm của đường thẳng (A;) đến mặt chứa đường thẳng (A,) và song

song với đường thẳng (A,)

Phương trình tham số của A;, A; là: