Biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn hóa Biến ngẫu nhiên U nhận giá trị trong khoảng −∞; +∞ gọi là tuân theo quy luật phân... Xác suất để biến ngẫu nhiên X phân phối chuẩn nhận giá trị sai lệ
Trang 1Đ7: Quy luật phân phối chuẩn
1.Định nghĩa:
Biến ngẫu nhiên liên tục X nhận các giá trị trong khoảng (−∞; +∞) gọi là phân phối theo quy luật chuẩn với các tham số à và σ nếu hàm mật độ của nó có dạng
f (x) = 1
σ√ 2πe
−(x−à)2
2σ2
Kí hiệu: N(à; σ2)
Khảo sát hàm số f(x) và vẽ đồ thị ta có nhận xét:(********minh họa bằng đồ thị) -Đồ thị đối xứng qua đường x = à
-Hàm số đạt cực đại bằng 1
σ√2π khi x = à -Có hai điểm uốn tại x = à + σ và x = à − σ
- Luôn nằm phía trên trục Ox và nhận Ox làm tiệm cận ngang
2.Các tham số đặc trưng
-Kỳ vọng toán:
E(X) =
Z +∞
−∞
xf (x)dx = 1
σ√ 2π
Z +∞
−∞
xe−(x−à)22σ2 dx
Thực hiện phép đổi biến: Z = x−à
σ
E(X) = √1
2π
Z +∞
−∞
(σz + à)e−z22 dz
= √1 2π
Z +∞
−∞
(σz + à)e−z22 dz +√à
2π
Z +∞
−∞
e−z22 dz = 0 + à = à
E(X) = à
-Phương sai:
V (X) = 1
σ√ 2π
Z +∞
−∞
(x − à)2e−(x−à)22σ2 dx = σ2 -Độ lệch chuẩn: σx = σ
Như vậy hai tham số à và σ2 chính là kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên X Ngoài ra ta nhận thấy, khi tăng σ thì đồ thị thấp xuống và phình ra Khi giảm σ thì đồ thị cao lên và hẹp lại Điều này phù hợp với ý nghĩa của phương sai
3 Biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn hóa
Biến ngẫu nhiên U nhận giá trị trong khoảng (−∞; +∞) gọi là tuân theo quy luật phân
Trang 2phối chuẩn hóa nếu hàm mật độ của nó có dạng
ϕ(u) = √1
2πe
− u2 2
Dễ thấy : E(U)=0, V(U)=1
Nhận xét: Đồ thị hàm ϕ(u) nhận trục tung làm trục đối xứng
ϕ(−u) = ϕ(u), giá trị ϕ(u) được tính sẵn trong bảng phụ lục
Với u ≥ 4, lấy ϕ(u) ≈ 0
Hàm phân bố xác suất:
φ(u) = √1
2π
Z u
−∞
e−u22 du 4.Công thức xác suất để biến ngẫu nhiên X∼ N(à; σ2) nhận giá trị trong khoảng (a,b)
Giả sử:X ∼ N(à; σ2)
P (a < X < b) = 1
σ√ 2π
Z b a
e−(x−à)22σ2 dx
Đặt z = x−à
σ ⇒ x = σz + à, dx = σdz
Ta có:
P (a < X < b) = √1
2π
Z b−àσ
a−à σ
e−z22 dz
Đặt φ0(u) = √1
2π
Ru
0 e−z22 dz Suy ra:
φ0(u) = φ0(b − à
σ ) − φ0(
a − à
σ ) Ghi chú:
+φ0−u = −φ0(u),
+Nếu u>5, φ0(u) ≈ φ0(5) = 0, 5
+Giá trị φ0(u)được cho sẵn trong bảng phụ lục
Ví dụ: φ0(−1, 52) = −φ0(1, 52) = −0, 4357
+φ(u) = 0, 5 + φ0(u)
+P (U < a) = φ(a) = 1
2 + φ0(a)
P (U > a) = 1 − φ(a) = 12 − φ0(a)
P (a < U < b) = φ0(b) − φ0(a)
P (X < b) = φ0(b−àσ ) − φ0(−∞) = 0, 5 + φ0(b−àσ )
Trang 3P (X > a) = φ0(+∞) − φ0(a−àσ ) = 0, 5 − φ0(a−àσ )
5.Xác suất của sự sai lệch giữa biến ngẫu nhiên và kỳ vọng của nó
Xác suất để biến ngẫu nhiên X phân phối chuẩn nhận giá trị sai lệch so với kỳ vọng toán của nó về giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương cho trước
P (|X − à| < ) = P (à − < X < à + ) = 2φ0(σ)
Quy tắc 2σ, 3σ
+Nếu = 2σ, ta có P (|X − à| < 2σ) = 2φ0(2) = 0, 9544
+Nếu = 3σ, ta có P (|X − à| < 3σ) = 0, 9974
Nhận xét:
+95,44% các giá trị của X phân phối chuẩn sẽ nằm trong khoảng (à − 2σ; à + 2σ) +99,74% các giá trị của X phân phối chuẩn sẽ nằm trong khoảng (à − 3σ; à + 3σ)
Ví dụ:
Người ta tiện một loại chi tiết máy với chiều dài quy định là a=20cm Biết độ dài X của chi tiết được sản xuất ra tuân theo phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn σ = 0, 2cm
a Tính xác suất để độ dài chi tiết nằm trong khoảng (19,7;20,3)
b Tính xác suất để độ dài chi tiết sản xuất ra lớn hơn 20,5 cm
c.Tính xác suất để độ dài chi tiết được sản xuất ra lệch với độ dài quy định không quá 0,3 cm
Giải:
Ta có X ∼ N(à = 20; σ=0, 22)
a P (19, 7 < X < 20, 3) = φ0(20,3−200,2 ) − φ0(19,7−200,2 ) = 2φ0(1, 5) = 0, 8664
b P (X > 21) = 0, 5 − φ0(20,5−200,2 ) = 0, 5 − 0, 4938 = 0, 0062
c.P (|X − 20| < 0, 3) = 2φ0(0,30,2) = 2φ0(1, 5) = 0, 8644
Kết quả này cho thấy 87% chi tiết được sản xuất ra có độ dài trong phạm vi 19,7-20,3cm Tức là nếu dung sai (sai số cho phép) là 0,3 cm thì tỷ lệ phế phẩm là 13%
Hỏi Nếu muốn đảm bảo tỷ lệ phế phẩm không quá 5% thì dung sai cho phép phải là bao nhiêu
Ta phải tìm α sao cho
P (|X − 20| < α) ≥ 0, 95 ⇒ 2φ0(0,2α ) ≥ 0, 95
⇒ φ0(0,2α ) ≥ 0, 475
⇒ α
0,2 ≥ 1, 96
Trang 4⇒ α ≥ 0, 392
Tức là dung sai phải lớn hơn hoặc bằng 0,392cm
6.Phân phối xác suất của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập tuân theo cùng một quy luật
-Giả sử X1, X2 là hai biến ngẫu nhiên độc lập và X1 ∼ N (à1, σ12), X2 ∼ N (à2, σ22) Khi đó biến ngẫu nhiên X = X1+ X2 ∼ N (à1+ à2; σ2
1+ σ2
2) -Nếu n biến ngẫu nhiên X1, X2, Xn độc lập lẫn nhau và tuân theo một quy luật phân phối xác suất nào đó thì biến ngẫu nhiên X = Pn
i=1Xi sẽ phân phối xấp xỉ chuẩn với E(X) =Pn
i=1E(Xi)và V (X) = Pn
i=1V (Xi)khi n>30
7.Sự hội tụ của quy luật nhị thức và quy luật Poisson về quy luật chuẩn
Khi sử dụng quy luật nhị thức, nếu n khá lớn thì việc tính toán theo công thức Bernoulli
sẽ gặp khó khăn Nếu p nhỏ đến mức np ≈ npq thì có thể dùng quy luật Poisson để thay thế
Nhưng nếu p không nhỏ (p>0,1) Lúc đó có thể dùng quy luật chuẩn để thay thế cho quy luật nhị thức nếu thỏa mãn hai điều kiện:
n > 5
|q1−pp −q1−pp |√1
n < 0, 3
và biến ngẫu nhiên X coi như xấp xỉ chuẩn với kì vọng toán à = np và phương sai
σ2 = npq
Từ đó
P (X = x) = Cnxpxqn−x≈ √1
npqϕ(
x − np
√ npq ) Công thức trên gọi là định lý Laplace
Mặt khác:
P (x ≤ X ≤ x + h) = Px+ Px+1+ + Px+h ≈ φ0(x + h − np√
npq ) − φ0(
x − np
√
(1) gọi là định lý tích phân Laplace
Ví dụ 1:
Gieo 3200 lần một đồng xu cân đối đồng chất Gọi X là số lần xuất hiện mặt sấp trong
3200 lần gieo đó
a Tìm số lần xuất hiện mặt sấp có khả năng nhiều nhất Tính xác suất tương ứng
Trang 5b Tìm xác suất sao cho giá trị của X nằm trong khoảng (1600 + 5√2; 1600 + 10√
2) Giải:
a.X tuân theo quy luật nhị thức với n=3200,p=0,5
Theo công thức tìm mốt ta có np + p − 1 ≥ m0 ≥ np + psuy ra m0 = 1600
P3200(1600) = C320016000, 516000, 51600 ≈ √ 1
3200.0, 5.0, 5ϕ(0) = 0, 014
b P (1600 + 5√2 < X < 1600 + 5√
2)
= φ0(1600+10
√
2−1600
√
3200.0,5.0,5 ) − φ0(1600+5
√ 2−1600
√ 3200.0,5.0,5 )
= φ0(0, 5) − φ0(0, 25) = 0, 0927
Ví dụ 2:
Trọng lượng X(g) của sản phẩm do một máy tự động sản xuất là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn X ∼ N(100, 1) Sản phẩm gọi là đạt tiêu chuẩn nếu trọng lượng của nó đạt
từ 98,04g đến 101,96g
a Tính tỷ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn
b Lấy ngẫu nhiên 100 sản phẩm của máy Tính xác suất để có ít nhất 95 sản phẩm đạt tiêu chuẩn
Giải:
a.P (98, 04 ≥ X ≥ 101, 96) = φ0(101,96−1001 ) − φ0(98,04−1001 ) = 2φ0(1, 96) = 0, 95 b.Gọi Y là số sản phẩm đạt tiêu chuẩn trong số 100 sản phẩm được lấy, Y phân phối nhị thức với n=100;p=0,95 xác suất để có ít nhất 95 sản phẩm đạt tiêu chuẩn
P (95 ≥ Y ≥ 100) = φ0(√100 − 100.0, 95
100.0, 95.0, 05) − φ0(
95 − 100.0, 95
√ 100.0, 95.0, 05)
= φ0(2, 2944) − φ0(0) = 0, 4884
Đ8: Quy luật phân phối khi bình phương-χ2(n) Biến ngẫu nhiên liên tục χ2 gọi là phân phối theo quy luật khi bình phương với n bậc
tự do nếu hàm mật độ xác suất của nó được xác định bằng biểu thức sau:
f (x) =
0 với x ≤ 0
1
2n2 Γ(n)ex2xn2 −1 với x > 0
Trang 6trong đó Gamma(x) = R−∞
0 tx−1e−tdt là hàm Gamma, và nếu n là một số nguyên thì Γ(n + 1) = n!
+E(χ2) = n
+V (χ2) = 2n
+Giá trị tới hạn khi bình phương mức α kí hiệu χ2(n)
α thỏa mãn:
P (χ2 > χ2(n)α ) = α Các giá trị tới hạn χ2(n)
α được tính sẵn trong bảng phụ lục
Ví dụ: χ2(15)
0,025 = 27, 49, χ2(30)
0,975 = 16, 79
có nghĩa là P (χ2(15) > 27, 49) = 0, 025, P (χ2(30) > 16, 79) = 0, 975
+Khi số bậc tự do n tăng lên, quy luật khi bình phương sẽ xấp xỉ với quy luật chuẩn +Nếu χ2
1 và χ2
2 là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối theo quy luật khi bình phương với số bậc tự do tương ứng là n1, n2 thì biến ngẫu nhiên tổng
χ2 = χ21+ χ22 cũng phân phối theo quy luật khi bình phương với n = n1+ n2 bậc tự do
+ Nếu các biến ngẫu nhiên Xi cùng phân phối theo quy luật chuẩn hóa thì
χ2 =
n
X
i=1
Xi2 phân phối theo quy luật khi bình phương với n bậc tự do
Đ9: Quy luật Student-T(n)
Biến ngẫu nhiên liên tục T gọi là phân phối theo quy luật Student với n bậc tự do nếu hàm mật độ xác suất của nó được xác định bằng biểu thức sau:
n
2) pπ(n − 1)Γ(n−1
2 )[1 +
t2
n − 1]
− n
2 với mọi t +Đồ thị hàm f(t) đối xứng qua trục tung
+ E(T)=0
+V (T ) = n
n−2
+Giá trị tới hạn Student mức α kí hiệu t(n)
α thỏa mãn:
P (T > t(n)α ) = α
Trang 7α = −t(n)1−α
Ví dụ: t(15)
0,025= 2, 131, t(25)
0,95= −t(25)0,05 = −1, 708
có nghĩa là: P (T (15) > 2, 131) = 0, 025, P (T (25) > −1, 708) = 0, 95
+ Khi số bậc tự do n tăng lên (n>30), phân phối T sẽ hội tụ rất nhanh về phân phối chuẩn hóa Do đó khi n kha lớn (n>30) có thể dùng phân phối chuẩn hóa thay thế phân phối T + Giả sử U ∼ N(0, 1), V ∼ χ2(n), U, V độc lập thì biến ngẫu nhiên
T = qU
V n
phân phối theo quy luật Student với n bậc tự do
Đ9: Quy luật Fisher-SnedecorF (n1, n2) Biến ngẫu nhiên liên tục F gọi là phân phối theo quy luật Fisher-Snedecor với n1 và
n2 bậc tự do nếu hàm mật độ xác suất của nó được xác định bằng biểu thức sau:
f (x) =
0 với x ≤ 0
n1+n2 2
(n 2 +n 1 x)(n1+n2)2
với x > 0 trong đó
C = Γ(
n 1 +n 2
2 )nn12
1 nn22
2
Γ(n−12 ).Γ(n2
2 ) +E(F ) = n 2
n 2 −2
+V (F ) = 2n 2 (n 1 +n 2 −2
n 1 (n 2 −2) 2 (n 2 −4)
+Giá trị tới hạn Fisher-Snedecor mức α kí hiệu f(n 1 ,n 2 )
α thỏa mãn:
P (F > f(n1 ,n 2 )
Các giá trị tới hạn được tính sẵn
+
f(n1 ,n 2 )
f(n2 ,n 1 ) 1−α
Ví dụ:
f0,025(15,10)= 3, 52, f(20,15)
f0,05(15,20)
+Giả sử các biến ngẫu nhiên U, V độc lập và cùng phân phối theo quy luật khi bình
Trang 8phương với các bậc tự do tương ứng là n1,n2 thì biến ngẫu nhiên
F =
U
n 1
V
n 2
phân phối theo quy luật Fisher-Snedecor với n1 và n2 bậc tự do