21 bài giảng HPT vi phân tuyến tính không thuần nhất với hệ số hằng

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH KHÔNG THUẦN NHẤT VỚI HỆ SỐ HẰNG Th.S... Giả sử Y*x là nghiệm riêng của hệ phương trình I.

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

KHÔNG THUẦN NHẤT VỚI HỆ SỐ HẰNG

Th.S Đỗ Viết Tuân-HVQLGD

1 Định nghĩa: Hệ phương trình vi phân tuyến tính không

thuần nhất có dạng

I

𝑑𝑦1

𝑑𝑥 = 𝑎11𝑦1 + 𝑎12𝑦2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑦𝑛 + 𝑓1 𝑥

𝑑𝑦2

𝑑𝑥 = 𝑎21𝑦1 + 𝑎22𝑦2…+ ⋯ + 𝑎2𝑛𝑦𝑛 + 𝑓2 𝑥

𝑑𝑦𝑛

𝑑𝑥 = 𝑎𝑛1𝑦1 + 𝑎𝑛2𝑦2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛𝑦𝑛 + 𝑓𝑛 𝑥 Trong đó 𝑎𝑖𝑗 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 và 𝑓𝑖(𝑥) 𝑖 = 1,  𝑛 là các hàm xác định và liên tục trên (a, b)

Dạng ma trận

 Đặt 𝑌 =

𝑦1

𝑦2

⋮

𝑦𝑛

, 𝑑𝑌

𝑑𝑥 =

𝑑𝑦1 𝑑𝑥

𝑑𝑦2 𝑑𝑥

⋮

𝑑𝑦𝑛 𝑑𝑥

,

𝐴 =

𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛

𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛

𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … 𝑎𝑛𝑛

, F(x) =

𝑓1(𝑥)

𝑓2(𝑥)

⋮

𝑓𝑛(𝑥)

 Khi đó 𝐼 ⇔ 𝑑𝑌

𝑑𝑥 = 𝐴𝑌 + 𝐹(𝑥) (II)

2 Phương pháp giải hệ

 Bước 1: Giải hệ thuần nhất 𝑑𝑌

𝑑𝑥 = 𝐴𝑌, tìm hệ nghiệm cơ bản: 𝑌1,  𝑌2, … ,  𝑌𝑛

 Bước 2: Tìm nghiệm riêng Y* của (II) bằng

phương pháp biến thiên hằng số lagrange

 Bước 3: Kết luận nghiệm tổng quát

𝑌 = 𝐶1𝑌1 + 𝐶2𝑌2 + ⋯ + 𝐶𝑛𝑌𝑛 + 𝑌∗    𝐶𝑖 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

*

Y  C (x)Y C (x)Y    C (x)Y

3 Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình vi phân:

𝑑𝑦1

𝑑𝑥 = 4𝑦1 + 𝑦2 − 𝑒2𝑥

𝑑𝑦2

𝑑𝑥 = −2𝑦1 + 𝑦2

Lời giải

 Xét hệ thuần nhất

𝑑𝑦1

𝑑𝑥 = 4𝑦1 + 𝑦2

𝑑𝑦2

𝑑𝑥 = −2𝑦1 + 𝑦2

Ma trận hệ số: 𝐴 = 4 1

 Phương trình đặc trưng: 4 − 𝜆 1

0 ⇔ 4 − 𝜆 1 − 𝜆 + 2 = 0

⇔ 𝜆2 − 5𝜆 + 6 = 0 ⇔ 𝜆 = 2

𝜆 = 3

Tìm nghiệm cơ bản

 Với 𝜆 = 2, tọa độ vectơ riêng là nghiệm của hệ

2𝑥1 + 𝑥2 = 0

−2𝑥1 − 𝑥2 = 0 ⇔ 𝑥2 = −2𝑥1

Vectơ riêng 𝑣1 1;   − 2 nghiệm cơ bản

𝑌1 = 𝑒2𝑥

−2𝑒2𝑥

 Với 𝜆 = 3, tương tự vectơ riêng 𝑣2 1;   − 1 nghiệm cơ bản 𝑌2 = 𝑒3𝑥

−𝑒3𝑥

Tìm nghiệm riêng

 Gọi 𝑌∗ = 𝐶1(𝑥)𝑌1+𝐶2(𝑥)𝑌2 là một nghiệm riêng

Khi đó 𝑌∗= 𝐶1 𝑥 𝑒2𝑥 + 𝐶2 𝑥 𝑒3𝑥

−2𝐶1 𝑥 𝑒2𝑥 − 𝐶2 𝑥 𝑒3𝑥

Thay Y* vào hệ ban đầu ta có:

𝐶′1(𝑥)𝑒2𝑥 + 𝐶′2(𝑥)𝑒3𝑥 = −𝑒2𝑥

−2𝐶′1(𝑥)𝑒2𝑥 − 𝐶′2(𝑥)𝑒3𝑥 = 0 ⇔

𝐶′1(𝑥) = 1 𝐶′2(𝑥) = −2𝑒−𝑥

⇔ 𝐶′1(x) = 1

𝐶′2(𝑥) = −2𝑒−𝑥 ⇔

𝐶1(𝑥) = 𝑥

𝐶2(𝑥) = 2𝑒−𝑥

Nghiệm tổng quát

 Suy ra vậy nghiệm

𝑌∗ = 𝑥𝑒2𝑥 + 2𝑒2𝑥

−2𝑥𝑒2𝑥 − 2𝑒2𝑥

 Nghiệm tổng quát: 𝑌 = 𝐴𝑌1 + 𝐵𝑌2 + 𝑌∗

= 𝐴𝑒2𝑥 + 𝐵𝑒3𝑥 + 𝑥 + 2 𝑒2𝑥

−2𝐴𝑒2𝑥 − 𝐵𝑒3𝑥 − 2𝑥 + 2 𝑒2𝑥 (A,B = const)

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình

𝑑𝑦1

𝑑𝑥 = 2𝑦1 + 4𝑦2 + 𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑑𝑦2

𝑑𝑥 = −𝑦1 − 2𝑦2 + 𝑠𝑖𝑛𝑥

Lời giải

Xét hệ phương trình thuần nhất

 

1

2

dy

dx I

dy

y 2y dx









Xét phương trình đặc trưng của (I) là:

2

 

        

Với khi đó tọa độ của véctơ riêng là nghiệm của hệ phương trình sau:

0

 

1 2

x 2x





Suy ra vecto riêng là (2; -1) hệ phương trình (I) có một nghiệm cơ bản là:

1

2 Y

1

 

  

 

Giả sử một nghiệm cơ bản nữa của hệ phương trình (I) có dạng là:

0x

Y

a b x

a b x e

Ta thay vào (I) khi đó ta có:

b 2 a b x 4 a b x b 2a 4a 2b 4b x

b a b x 2 a b x b a 2a b 2b x

  



  



Ta chọn a 1; a1  2   1 b2  1; b1  2

Y

1 x

    

Nghiệm tổng quát của hệ phương trình (I) là:

Giả sử Y*(x) là nghiệm riêng của hệ phương trình (I) Khi đó Y*(x) có dạng:

*

Y



Trong đó , là nghiệm của hệ phương trình sau:

2C' x 1 2x C' x cosx







1

C (x) C (x)2

 

 

2 1

C' x 2sinx cosx C' x 3sinx cosx 2xsinx xcosx



 



2 1

C x 3sinx cosx x 2sinx cosx dx



 







 

2 1

C x 2cosx sinx

C x 3sinx cosx x 2sinx cosx dx



 

1 2

C x 2cosx sinx

C x 3cosx sinx x 2sinx cosx dx



 

Đặt I   x 2sinx cosx dx  

du 2sinx cosx dx v 2cosx sinx





Đặt

Khi đó: I  2xcosx xsinx   2cosx sinx dx 

2xcosx xsinx 2sinx cosx

Suy ra: C x1    2xcosx xsinx 3sinx 2cosx  

* x

4x cosx xsin x 6sin x 4 cosx 1 2x 2 cosx sin x Y

2x cosx xsin x 3sin x 2 cosx 1 x 2 cosx sin x



8xcosx 6cosx 5sinx 4xcosx 2sinx 4cosx

Nghiệm tổng quát của hệ phương trình (I) là:

*

1 1 2 2

2C 1 2x C 8x cosx 6 cosx 5sin x

Y C Y C Y Y

C 1 x C 4x cosx 2sin x 4 cosx

Vậy hệ phương trình (I) có nghiệm là

2C 1 2x C 8x cosx 6 cosx 5sin x Y

C 1 x C 4x cosx 2sin x 4 cosx



4 Luyện tập

Bài tập: Giải các hệ phương trình vi phân tuyến tính

sau:

𝑎)  

𝑑𝑦1

𝑑𝑥 = 5𝑦1 − 3𝑦2 + 2𝑒3𝑥

𝑑𝑦2

𝑑𝑥 = 𝑦1 + 𝑦2 + 5𝑒−𝑥

𝑏)  

𝑑𝑦1

𝑑𝑥 = −2𝑦1 + 𝑦2 − 𝑒2𝑥

𝑑𝑦2

𝑑𝑥 = −3𝑦1 + 2𝑦2 + 6𝑒2𝑥

Luyện tập

1

1 2

2

1 2

dy

2y y dx

c)

dy

4y y dx







