03 bài giảng số 3 ma trận trực giao và các dạng toán liên quan

Tóm lược lý thuyết Định nghĩa 3.1: Một ma trận vuông A với hệ số thực và thoả mãn điều kiện: A1 A t được gọi là ma trận trực giao.. i A là ma trận trực giao khi và chỉ khi hệ véc tơ c

Bài giảng số 3 Ma trận trực giao – Ma trận đối xứng

I Tóm lược lý thuyết

Định nghĩa 3.1: Một ma trận vuông A với hệ số thực và thoả mãn điều kiện: A1 A t

được gọi là ma trận trực giao

Mệnh đề 3.2: Nếu A là ma trận trực giao với hệ số thực thì A1 là ma trận trực giao và

det( )A  1

Mệnh đề 3.3: Giả sử rằng bu u1, 2,,u nvà cv v1, ,2 ,v n là hai cơ sở trực chuẩn của không gian véc tơ Euclide E,thì ma trận chuyển P từ cơ sở c cơ sở b là một ma trận trực giao

Mệnh đề 3.4: Cho A là ma trận vuông cấp n với hệ số thực

i) A là ma trận trực giao khi và chỉ khi hệ véc tơ cột của A lập thành một cơ sở

trực chuẩn của nvới tích vô hướng chuẩn tắc của n

ii) A là ma trận trực giao khi và chỉ khi hệ véc tơ dòng của A lập thành một cơ sở

trực chuẩn của n với tích vô hướng chuẩn tắc của n

Mệnh đề 3.5: Giả sử A là ma trận cấp n với hệ số thực Trên không gian véc tơ Euclide n

 với tích vô hướng chuẩn tắc, ta có các mệnh đề sau là tương đương:

i) A là ma trận trực giao

ii) Với mọi n

iii) Với mọi , n

u v   , ta có Au Av, u v, 

Định nghĩa 3.6: Một ma trận A vuông cấp n với hệ số thực được gọi là chéo hoá trực giao được nếu tồn tại một ma trận trực giao P với hệ số thực sao cho 1 t

 là

ma trận chéo với hệ số thực

Mệnh đề 3.7: Nếu A là ma trận vuông với hệ số thực, chéo hoá trực giao được thì A là

ma trận đối xứng

Mệnh đề 3.8: Cho A là ma trận vuông cấp n với hệ số thực A là chéo hoá trực giao được khi và chỉ khi A là đối xứng

Mệnh đề 3.9: Nếu A là ma trận đối xứng với hệ số thực thì tất cả các giá trị riêng của A

đều thực

Mệnh đề 3.10: Nếu u1, u2 là các véc tơ riêng của ma trận đối xứng A tương ứng với hai

giá trị riêng khác nhau thì u u1, 2  0 Nói cách khác các véc tơ riêng của ma trận đối

Mệnh đề 3.11: Cho A là ma trận đối xứng cấp n với hệ số thực Khi đó với mọi véc tơ

,

n

v   ta luôn có  Av v,  

Quá trình chéo hoá trực giao

Giả sử A là một ma trận đối xứng cấp n với hệ số thực

Bước 1: Xác định n nghiệm thực  1, 2,, n của đa thức đặc trưng det(AI), tìm n

véc tơ riêng độc lập tuyến tính u u1, 2,,u ncủa A tương ứng với các giá trị riêng này

như trong quá trình chéo hoá ma trận

Bước 2: Áp dụng quá trình trực giao hoá Gram-schmidt đối với hệ véc tơ riêng

u u1, 2,,u nđể được hệ véc tơ trực giao v v1, ,2 ,v n của A

Bước 3: Trực chuẩn hoá hệ véc tơ trực giao v v1, ,2 ,v ncủa A để được hệ véc tơ trực

chuẩn w w1, 2,,w ncủa A Đây là một cơ sở trực chuẩn của n Thêm nữa, viết:

1 2

P w w w và

1

n

D





 ở đây 1,, n là giá trị riêng của A và

1, 2, , n

n

w w  w  là các véc tơ riêng trực chuẩn hoá, thì P AP t D

II Các ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Cho ma trận A a b b a

a b b a

    

Giải:

Gọi v 1 , v 2 là các véc tơ cột của ma trận A Ma trận A là trực giao khi và chỉ khi :

1 2

2

a b b a a b b a

v v



Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi giá trị của a ma trận sau

2

2 2

2

1

1 2

a



là ma trận trực giao Hãy tìm 1

A

Giải:

Xét hệ véc tơ cột của ma trận A gồm các véc tơ: {

2

2

2

2

2

2

1 2

2

1 2

a

a a

a





}

dễ thấy {v1, v2, v3} là một cơ sở của 3và đối với tích vô hướng chuẩn tắc, ta có:

1







Vậy các véc tơ {v1, v2, v3} là một cơ sở trực chuẩn của 3nên A là ma trận trực giao

Ta có:

2

2 2

1

1 2

t

a





Ví dụ 3:

Xét ma trận:

A

1) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng tương ứng của ma trận A

2) Tìm một cơ sở trực chuẩn của 3gồm các véc tơ riêng của A

3) Tìm ma trận P sao cho P AP t là ma trận chéo

Giải

1) Các giá trị riêng của ma trận A là nghiệm của đa thức đặc trưng sau:

2

2 ( 4) ( 2) 0









 



 

3

2



 





Chọn x  thì véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng 23 1,  là 1

3 2 1

v

 

  

Với   , toạ véc tơ riêng tương ứng là nghiệm của hệ: 4





 Nghiệm tổng quát của hệ có dạng: a b, , 3a 2ba(1, 0, 3)b(0, 1, 2)

Vậy các véc tơ riêng ứng với giá trị riêng 4 là : 2

1 0 3

v

 

 

  

 

 

, 3

0 1 2

v

 

 

  

 

 

2) Nếu v1 và v2 là hai véc tơ riêng của A ứng với hai giá trị riêng 2 và 4 thì

1 2 ( 6, 4, 2)

v v   là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng 4

Vậy hệ véc tơ { ,v v v1 2, 1 v2} là một hệ cơ sở trực giao Ta trực chuẩn hoá bằng cách đặt



, thì ta thu được hệ véc tơ

1 1

1

2 2

2

3

2



 

 

 

 

 

     

 

là một cơ sở trực chuẩn của 3 gồm các véc tơ

riêng của A

3) Lập ma trận: 1 2 3

2

2

Dễ thấy P là ma trận trực giao nên P t P1 và

2 0 0

0 4 0

0 0 4

t

P AP



Ví dụ 4: Hãy chéo hoá trực giao ma trận sau:

7 24 0 0

24 7 0 0

0 0 7 24

0 0 24 7

A





Giải:

Giá trị riêng của ma trận A là nghiệm của phương trình đặc trưng:













 



 





2 2

( 7)( 7)[( 7)( 7) 24 ] 24 [( 7)( 7) 24 ] 0 [( 7)( 7) 24 ] 0 25

Với  25, toạ độ véc tơ riêng tương ứng là nghiệm của hệ:

( , )

a b





Vậy hai véc tơ riêng tương ứng của giá trị riêng 25 là : 1 2

,

   

   

   

   

   

    Với   25, toạ độ véc tơ riêng tương ứng là nghiệm của hệ:

( , )

c d







Vậy hai véc tơ riêng tương ứng của giá trị riêng 25 là: 3 4

,

   



Dễ thấy u u u u1, 2, 3, 4là một hệ véc tơ trực giao

Bằng cách đặt:



,

ta nhận được một hệ trực chuẩn {v1, v2, v3, v4} là các véc tơ riêng của A

Đặt: 1 2 3 4



thì P là ma trận trực giao và ta có

1

t

P AP P AP



Ví dụ 5: Cho a, b, c là 3 số thực thoả mãn điều kiện a2 b2 c2 1 Chứng minh rằng

ma trận sau là ma trận trực giao:

2

2

2

Giải:

Xét hệ véc tơ gồm các véc tơ cột của ma trận A sau:

2

2

2

       

Dễ thấy {v1, v2, v3} là một cơ sở của 3



Ta có:

1

Vậy: v 1 1

Tương tự, ta có: v2  v3 1

Mặt khác

1 2

0

  

Tương tự , ta có: v v2, 3   v v3, 1  0

Vậy {v1, v2, v3} là một cơ sở trực chuẩn của 3 nên A là ma trận trực giao

Ví dụ 6: Cho B là ma trận cấp m n với hệ số thực Chứng minh rằng ma trận

Giải:

Ta có t  t t B B t

A  B B   A , vậy A là ma trận đối xứng

Gọi là một giá trị riêng của A và x là một véc tơ riêng tương ứng, ta có:

Ax x  B t Bx  x  x t B t Bx t

 hay ( ) (t ) t

Bx Bx  x x

Vì ( ) (t )

Bx Bx và x t x đều không âm nên  cũng không âm

Ví dụ 7: Chứng minh rằng nếu A là ma trận đối xứng thực cấp n, có các giá trị riêng d 1 ,

d 2 , …, d n và D là ma trận chéo có đường chéo là các giá trị riêng của A thì tồn tại ma trận B cấp n sao cho t

Giải:

Vì A là ma trận đối xứng nên A chéo hoá trực giao được, vậy tồn tại ma trận P là

ma trận trực giao sao cho A = PDP -1 = PDP t với D = và d  (theo ví dụ i 0

6)

Ta phân tích:

1

n

d

D

d



1

n

d

d

1

t

n

d

d



Vậy: A = P

1

t

n

d

d

 P t =BB t = B t B

với

1

n

d

d

Ví dụ 8: Cho v là một véc tơ đơn vị và A là ma trận sao cho Au  u 2 u v, v với mọi

u 3

1) Chứng minh rằng A là ma trận trực giao;

2) Tính det(A)























n

d

d

 1





















n

d

d

 1





















n d

d

 1

Giải:

1) Ta có:

2

3

          

    

Vậy theo mệnh đề 3.5 ta có A là ma trận trực giao

2) Vì A là ma trận trực giao nên A t A = A -1 A = I Vậy det(A t )det(A) = 1

Mặt khác det(A t ) = det(A), từ đó suy ra det(A)2 = 1, hay det A =  1

III Bài tập tự giải

Bài 1: Áp dụng quá trình chéo hoá trực giao đối với mỗi ma trận sau:

1 4 2

4 1 2

B



   

   

3)

1 1 0 0

1 1 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

C



4)

1

4

D

Bài 2: Hãy tìm các ma trận trực giao cấp hai của M2 2 ( ) và tìm giá trị riêng, véc tơ riêng của các ma trận trực giao đó

Bài 3: Chứng minh rằng ma trận:

0 cos sin

0 sin cos

là ma trận trực giao và tìm

các giá trị riêng và véc tơ riêng của A

Bài 4: Hãy chứng minh sự tương đương của các phát biểu trong mệnh đề 3.5

Bài 5: Chứng minh rằng nếu P là ma trận trực giao và đối xứng thì P2 = I

Bài 6: Chứng minh rằng với mọi t, ma trận sau:

2

2 2

2

1 1

1 1

1

t t

là ma trận trực giao Hãy tìm một cơ sở của 3 gồm các véc tơ riêng của ma trận trên

























2 6 6

6 11 0

6 0 5

A

Bài 8: Chứng minh rằng nếu A là ma trận trực giao và có det(A) = 1 thì A có giá trị riêng

bằng 1

Bài 9: Chứng minh rằng nếu A là ma trận vuông trực giao cấp n thì Tr(A)  n

Bài 10: Chứng minh rằng hai véc tơ riêng ứng với hai giá trị riêng phân biệt của một ma

trận đối xứng là trực giao nhau