02 bài giảng số 2 không gian vecto euclide và các dạng bài tập

Tích vô hướng – Không gian véc tơ EuclideI.. Định nghĩa 2.2: Không gian véc tơ E trên trường số thực  được gọi là không gian véc tơ Euclide nếu trên E có một tích vô hướng.. Định nghĩa

Bài giảng số 2 Tích vô hướng – Không gian véc tơ Euclide

I Tóm lược lý thuyết

Định nghĩa 2.1: Cho E là không gian véc tơ trên trường số thực  , một tích vô hướng trên E là một ánh xạ  , : E E  

( , )x y x y,  thoả mãn các điều kiện sau:

i) x y,    y x, ,

ii)  x y z,   x z,    y z, ,

iv) x x,    0 x E và x x,   0 x0

Định nghĩa 2.2: Không gian véc tơ E trên trường số thực  được gọi là không gian véc tơ Euclide nếu trên E có một tích vô hướng

Định nghĩa 2.3: Độ dài của một véc tơ x của không gian véc tơ Euclide E với tích

vô hướng < , > được xác định bởi: x  x x, 

Tính chất 2.4: Độ dài của véc tơ trong không gian Euclide E có các tính chất đơn

giản sau:

i) x  0 x 0; ii)  x   x , trong đó   ; iii)  x y,   x y (Bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacovxki); iv) x y  x  y (Bất đẳng thức tam giác)

Định nghĩa 2.5: Đối với hai véc tơ x và y của không gian véc tơ Euclide thì ta gọi

góc  giữa x và y được xác định bởi công thức:

,

x y

Định nghĩa 2.6: Hai véc tơ u và v của không gian véc tơ Euclide E là trực giao

nhau nếu u v,  0

Định nghĩa 2.7: Giả sử E là không gian véc tơ Euclide hữu hạn chiều Một cơ sở

1 2

{ ,v v ,, }v n là cơ sở trực giao của E nếu v v i, j  0 với mọi i j, 1, 2,,n

thoả mãn i j Nó là cơ sở trực chuẩn nếu thoả mãn thêm điều kiện v  i 1 với

mọi i = 1, 2,…, n

Mệnh đề 2.8: Giả sử E là không gian Euclide hữu hạn có cơ sở trực chuẩn là

1 2

{ ,v v ,, }v n thì với mọi véc tơ uE, ta có:

u u v v  u v v  u v v

Định lý 2.9: Nếu hệ véc tơ { ,v v1 2,, }v n của không gian véc tơ Euclide hữu hạn

chiều E là trực giao từng đôi một thì hệ đó độc lập tuyến tính

Mệnh đề 2.10: Cho { ,v v1 2,, }v n là hệ véc tơ trực giao từng đôi một trong không

gian véc tơ Euclide E Ta có:

Với n = 2, ta có đẳng thức Pitago như sau: v1 2  v2 2  v1v2 2

Định lý 2.11: Mỗi không gian véc tơ Euclide hữu hạn chiều đều có một cơ sở trực chuẩn

Phương pháp trực giao hoá Gram-schmidt

Giả sử { ,u u1 2,, }u n là một cơ sở bất kì của không gian véc tơ Euclide hữu hạn chiều E

Đặt v1 u1. Gọi véc tơ v2 u2 1 1v, trong đó 1 thoả mãn v v 2, 1 0, ta có:

2 1 1, 1 0

u  v v

2 1

,

Tổng quát hoá lên, ta tìm v s1 u s11 1v 2v2  s v s trực giao với các véc tơ

v1, v2, …, vs, điều này là tương đương với tìm các số thực 1,2, , s sao cho

1

i s

v v

  với mọi i = 1, 2, …, s

Ta có v v i, s1 0  v u i, s1  1v v i, 1  i v v i, i   s v v i, s 0

2 1

,



  với i = 1, 2, …, s

Vậy vs+1 = us+1 - 1 1

2 1

, s

v u v



v1 - 2 1

2 2

, s

v u v



v2 - …- 1

2

,

s s

s

v u v



vs với s = 1,…, n -1

Hệ véc tơ { ,v v1 2,, }v n là hệ cơ sở trực giao Đặt i

i i

v e v

 với i = 1, 2, …, n thì {e1, e2, …, en} là hệ cơ sở trực chuẩn của không gian véc tơ Euclide E

Định nghĩa 2.12: Cho không gian véc tơ Euclide E, F là một không gian con của

E Véc tơ xE được gọi là trực giao với F nếu nó trực giao với mọi véc tơ của F

Ta kí hiệu xF

Tập tất cả các véc tơ vuông góc với F trong E kí hiệu là F

Định nghĩa 2.13: Hai không gian con U và V của không gian véc tơ Euclide E được gọi là trực giao với nhau nếu một véc tơ bất kì thuộc U trực giao với một véc

tơ bất kì thuộc V

Tính chất 2.14: Giả sử F là một không gian con k - chiều của không gian véc tơ Euclide n- chiều E thì F là một không gian con (n-k) - chiều của E và F trực

giao với F trong E

Nếu F = {0} thì F E

 , còn nếu F = E thì F {0}



II Các ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1:

x x x E  và y  y y E Xét biểu thức: ( , )x y 2x y1 15x y2 2  x y1 2 x y2 1

Chứng minh rằng  là tích vô hướng trên E

Giải:

( , )x y E ,

  thì ( , )x y  

( , )x y E ,

  ( , )y x  y x1 15y x2 2  y x1 2  y x2 1 ( , ).x y

( , , )x x y E , ( ,  ) ,

( x x y, ) 2( x x y) 5( x x y) ( x x y) ( x x y)

1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 (2x y 5x y x y x y ) (2x y 5x y x y x y )

' ' ( , )x y ( , )x y

2

1

0

0

x









Hay x  0 Vậy  là một tích vô hướng trên E

Ví dụ 2:

Các véc tơ u, v, w của không gian véc tơ Euclide E với tích vô hướng chuẩn

tắc thoả mãn các điều kiện sau:

Tính giá trị của các biểu thức sau:

1)  u v v, w 2) 2w v 3) u2v4w

Giải:

1) Theo tính chất của tích vô hướng ta có:

 u v v, wu v,   u w,   v v,   v w, 2 5 v 2 3 8

2

2

Ví dụ 3:

Cho tích vô hướng ( , )x y 2x y1 15x y2 2  x y1 2 x y2 1 trên không gian véc

tơ Euclide 2

1) Tính độ dài và góc giữa hai véc tơ f1(1, 1) và f 2( 1, 1).

2) Xác định một cơ sở trực giao của 2 đối với tích vô hướng trên

3) Cho véc tơ u(1,1), xác định toạ độ của u đối với cơ sở trên

Giải:

1) Cho x( ,x x1 2),ta có 2 2 2

1 2 1 2

Vậy f1  5, f2 3 Góc giữa hai véc tơ là:

1 2

1 2

1 2

cos( , )

5

f f

f f



2) Gọi e1(1, 0), e2(0, 1)là cơ sở của 2 Áp dụng quá trình trực giao hoá

Gram-schmidt ta có:

1 ( , )1 1 2

e  e e  Đặt 1 1 1 ( 1 , 0)

Cho u2 e2 ( , )e v v2 1 1, ta có ( , )2 1 1 2 2 1 1 ( ,1)1

2

Và 2 ( ,2 2) 3

2

2 2

u v u

Vậy {v1, v2} là cơ sở trực giao cần tìm của 2 đối với tích vô hướng 

3) Tìm toạ độ của u(1,1)đối với cơ sở {v1, v2}

    vậy toạ độ của u đối với cơ

sở {v1, v2} là ( 1 , 3 )

Cách 2: Ta có u ( , )u v v1 1 ( ,u v v2) ,2 trong đó

1

1 ( , )

2

u v

2

u v

  Vậy ( 1 , 3 )

u

Ví dụ 4:

Cho ánh xạ f :2( )x 2( )x  xác định như sau:

0 0 1 1 2 2 ( , )

f p q  a b a b a b 1) Chứng minh rằng f là một tích vô hướng trên 2( );x

2) Hãy trực giao hóa Gram-schmidt hệ cơ sở:

1 3 4 5 , 2 9 12 5 , 3 1 7 25

u   x x u   x x u   x x của 2( )x để được một cơ

sở trực giao của 2( ).x

Giải:

1) f là một tích vô hướng trên 2( )x

0 0 1 1 2 2

f q p b a b a b a  f p q

0 1 2 , 0 1 2 , 0 1 2

pa a xa x qb b xb x r c c xc x

 

   ta có:

f  p q r   a  b c   a  b c   a  b c

(a c0 0 a c1 1a c2 2) +  (b c0 0 b c1 1b c2 2)

2 2 1 0

2 2 1

a

2 2 1 0

2 2 1

a

f p r( , )f q r( , ).

iii) f r( ,pq) c0( a0   b0)c1( a1  b1)c2( a2  b2)

= c a0 0 c a1 1c a2 2) +(c b0 0 c b1 1c b2 2) f r p( , )f r q( , )

iv) f(p, p) = 2 2 2

0 1 2 0

a  a a  và f p p ( , ) 0 a0 a1 a2  hay p = 0 0 2) Áp dụng quá trình trực giao hoá Gram-schmidt, ta có:

1 3 4 5

v   x x

1 2

1 1

f v u

f v v

4 3

x

 

Hệ véc tơ {v1, v2, v3} là cơ sở trực giao cần tìm của 2( ).x

Ví dụ 5:

Cho  – kgvt E  2( )x , với mọi cặp   2

Xét ' ' " "

, (0) (0) (1) (1)

1) Chứng minh rằng biểu thức trên xác định một tích vô hướng trên E 2) Xác định cơ sở trực giao của E đối với tích vô hướng trên từ cơ sở

1, x x, của 2( ).x

Giải:

1) Cho các đa thức P Q Q, , 1E và  ,  

i) P Q,  

(0), (0), (1), (1)

P Q P Q và " " '' ''

, , (0), (0), '(1), '(1), ,

ii)  P, Q  Q1  P(0)( Q Q1)(1)P'(1)( Q  Q1) '(1)P"( Q Q1)"

1

[ (0) (0) (1) (1) ] [ (0) (0) (1) (1) ]

(



Vậy <, > là tích vô hướng trên E

2)  2

1, x x, là cơ sở chính tắc của E Dùng phương pháp trực giao hoá Schmidt

như sau:

0 1, 0, 0 0(0) 0(0) 1

Đặt P  và 0 1 Q1   x x P, 0  P0 Vì  x P, 0  0 Q1 x

1, 1 1(0) 1(0) 1 1 1,

2 , 0 0 , 1 1

Q  x   x P  P   x P  P Vì 2

0

x P

1

x P

   nên 2

2 2

Q  x  x

Vì Q2,Q2  nên 4 Q 2 2 Vậy nếu đặt

2 2 2

x

P   thì ta có hệ véc tơ x {P0, P1, P2} là cơ sở trực chuẩn của E cần tìm

Ví dụ 6:

Cho không gian véc tơ Euclide V  2( )x là tập các đa thức có bậc không vượt quá hai với hệ sô thực Xét biểu thức:

1

1



1) Chứng minh rằng biểu thức (1) xác định một tích vô hướng trên V;

2) Tìm cơ sở và số chiều của không gian con trực giao với véc tơ p  1 1;

3) Xác định một cơ sở trực giao của V

Giải:

1) Với mọi p x1( ), p x2( ) 2( )x ta có

1

1



1, 2

p p

   

Với mọi p x1( ), p x q x2( ), ( ) 2( )x và mọi  ,  , ta có

  p q1,    p q2,  1

2 1



     với mọi p x( ) 2( ),x ta có:

1 2

1



nếu p x ( ) 0, tức là  x0 , ( )p x0 0, khi đó

1

1



điều này mâu thuẫn với (2) Vậy p x ( ) 0 với mọi x   hay p = 0

2) Giả sử p(x) là đa thức thuộc không gian con trực giao với p  , vậy ta có: 1 1

1 2 1

3 2

1 1







a 3c

Vậy mỗi đa thức thuộc không gian con trực giao với đa thức p  có dạng 1 1 2

(1 3 )

pc  x bx

Không gian con trực giao với p  có dạng: 1 1 2

{ , 1 3 }

span x  x 3) Xét hệ véc tơ cơ sở  2

1, x x, của 2( )x , dùng phương pháp trực giao hoá Gram –schmidt ta có:

1

1



2

q 

Cho

1

1 2

, 1

xdx x

, ta có

1 2

1

2 ,

3



3

p  Đặt 2 3

2

3

2

3

p x   x   x x x x 

Ta có:

1

1



3 3

p

p

Vậy { ,q q q1 2, 3} là cơ sở trực giao cần tìm

Ví dụ 7:

Cho không gian véc tơ Euclide M2 2 ( ) với tích vô hướng

11 11 12 12 21 21 22 22 ,

21 22 21 22

,

1) Hãy tìm tham số m để hai véc tơ 1 , 1 0





trực giao với nhau;

2) Với m tìm được hãy kiểm tra lại đẳng thức Pitago

Giải

        Để A và B trực giao với

nhau thì <A, B>= 0  m 2 +m = 0 0

1

m m





   



2) Với m = 0, thì 0 1 , 1 0

A   B 



A B   

AB   AB A, B  4 2.Dễ thấy: A 2  B 2  AB 2

A   B 

AB   

A   A A  , B   B B,   6, AB  AB A, B  13

Dễ thấy: A2  B 2  AB 2

Ví dụ 8:

Cho không gian véc tơ Euclide 4 với tích vô hướng chuẩn tắc Xác định

cơ sở trực giao của không gian con trực giao với không gian nghiệm của hệ

phương trình: 1 2 3 4

1 2 3 4

0 0







Giải:

Giải hệ phương trình trên ta có 1 3

2 4

 





 



Suy ra nghiệm tổng quát của hệ có dạng:

( , , , ) (1, 0, 1, 0) (0,1, 0, 1) ( , )

Vậy không gian nghiệm H của hệ phương trình thuần nhất là:

H = span{v1 (1, 0, -1, 0), v2 (0, 1, 0, -1)}

Giả sử y ( ,y y1 2, y y3, 4) H

1

y v



Vậy H {( , , , ) | ,c d c d c d } span u{ 1(1, 0, 1, 0),u2(0, 1, 0, 1)}

Dễ thấy <u1, u2 >  0, nên {u1, u2} là cơ sở trực giao cần tìm của H

Ví dụ 9:

Trong không gian véc tơ Euclide M2 2 ( ) với tích vô hướng

11 11 12 12 21 21 22 22 ,

21 22 21 22

,

, cho không gian con W xác định bởi

0 : 0

ta

tb

 với a, b khác không

Hãy tìm cơ sở W.Từ đó suy ra một cơ sở trực chuẩn của W

Giải:

W có véc tơ cơ sở là 0

0

a T

b

Giả sử H m n W ,



 

ta có H W hay H T,  0

0

    

0,

   tức là mkb và q ka với mọi k



Cơ sở của W

là { 1 0 , 2 0 1 , 3 0 0

b

a



}

Dễ thấy {E1, E2, E3} là hệ trực giao vậy hệ: {

2 2

2 2

0

0

b

a







} là một

cơ sở trực chuẩn của W

Ví dụ 10:

Giả sử E là không gian véc tơ Euclide với hạng hữu hạn Cho U1, U2 là những không gian con của V Chứng minh rằng:

1) (U1 U2) U1 U2

2) (U1 U2) U1 U2

Giải

2 2

x U









Suy ra: U1 U2 (U1 U2)

Mặt khác nếu:









x U U

Vậy ta có (U1 U2) U1 U2

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh

2) Ta có: x U1 U2 x (U1 U2) U1 U2

x (U1 U2)

Vậy: U1 U2 (U1 U2)

  

III Bài tập tự giải

Bài 1: Các véc tơ u, v, w của không gian véc tơ Euclide E với tích vô hướng chuẩn

tắc thoả mãn các điều kiện sau:

Tính giá trị của các biểu thức sau:

1) 2v w u, 3 2w 2)   u v 2 , 4w u v 3) uv

Bài 2: Kiểm tra xem các biểu thức sau đây, biểu thức nào xác định một tích vô

hướng ?

1) 2

1 1 2 2 :u v,  2u v u v ;



2) 2

1 1 1 2 2 1 2 2 :u v, u v u v u v u v ;



1 1 2 2 3 3 :u v,  u v u v u v

4

     với mọi véc tơ u, v thuộc không gian véc tơ Euclide E

Bài 4: Tìm một cơ sở trực chuẩn của không gian con bù trực giao với không gian

nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất trong 4sau:

1 2 3

1 2 3 4

1 2 3 4











Bài 5: Áp dụng phương pháp trực giao hoá Gram-schmidt để tìm một cơ sở trực

chuẩn của các không gian Euclide từ các hệ cơ sở sau:

1) {u1(2, 2, -1), u2 (4, 1, 1), u3 (1, 10, -5)} của 3

;



2) {u1(0, 2, 1, 0), u2 (1, -1, 0, 0), u3 (1, 2, 0, -1), u4(1, 0, 0, 1)} của 4

,

 cho không gian con:

W  x y  x y Tìm không gian con trực giao W đối với tích vô

hướng: , 1 1 2 2 1( 1 2 2 1)

2

Bài 7: Cho E là không gian véc tơ Euclide, E1 và E2 là các không gian con của E

sao cho E1E2  E Chứng minh rằng E1 E2 E

E   với tích vô hướng chuẩn tắc Hãy tìm các không gian con bù

trực giao với các không gian con Ei của E sau:

1) E1 = span {(3, 2, 0, 4), (1, 0, 0, -2), (0, 1, 3, 2)};

2) E2 = {(x1, x2, x3, x4) 4

|

  2x1 +3x2 –x4 = 0}

Bài 9: Chuẩn hoá các véc tơ sau:

1) x e1 2 2e2 3 3e3 8e4 5 5e5;

2) 3 2

1sin 2sin cos 3sin cos 4cos

Bài 10: Giả sử {e1, e2, …, en} là một cơ sở trực chuẩn của không gian véc tơ

Euclide E chứng minh rằng với mọi uE, ta có:

1

u u e   u e 