Trung đoàn CHI LĂNG [ĐƯỜNG THẲNG THCS]

Kiến hức nền ản về hệ số g c của đườn hẳn ,cô g hức độ dài hệ hức ượn ro g am giá v ô g,côn hức ượng giá ,đườn ròn,hàm số bậ haiparabol phươn rìn n hiệm ng yên... Bàitoán diện ích am giá

TÀI LIỆU THAM KHẢO TOÁN HỌC PHỔ THÔNG

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

- - - - - - - - - - - - - - -

-CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ (HỆ TRUNG HỌC CƠ SỞ)

BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC NHẤT (ĐƯỜNG THẲNG) TRUNG ĐOÀN CHI LĂNG – QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN [TÀI LIỆU PHỤC VỤ KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 1 THPT, LỚP 1 HỆ THPT CHUYÊN]

CHỦ ĐẠO: ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

 HÀM SỐ HẰNG

 SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ BẬC NHẤT

 VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC NHẤT (ĐƯỜNG THẲNG)

 BIỆN LUẬN VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

 MỘT SỐ BÀI TOÁN GẮN KẾT YẾU TỐ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

 BÀI TOÁN NHIỀU CÁCH GIẢI

CREATED BY GIANG SƠN (FACEBOOK) 0 6 3 7 3 0; GACMA1 3 9 8@GMAIL.COM (GMAIL)

THÀNH PHỐ THÁI BÌNH – MÙA THU 2 1

-

“ Non sông Việt Nam có trở nên tươi đẹp hay không, dân tộc Việt Nam có bước tới đài vinh

quang để sánh vai với các cường quốc năm châu được hay không, chính là nhờ một phần lớn ở

công học tập của các em ”

( Trích thư Chủ t ch Hồ Chí Minh ).

[1] Lược dịch lời Sa d m Hus ein (1 3 – 2 0 ), Cố Chủ t ch Đảng Ba’ath, Cố Th tướng, Cố Tổng thống

Cộng hò I a thời kỳ 1 7 – 2 0 Dẫn theo Hồi ký Gia đìn , b n bè và đ t nước của Đồng chí Nguy n Thị

Bìn , Nguy n Phó chủ t ch nước Cộng hò Xã hội ch nghĩa Việt Nam thời kỳ 1 9 – 2 0

Tron k u n kh Toán h c sơ c p nói ch n và Đạisố ph h ng nóiriêng,Hàm số và Đồ hịlà dạntoán cơ bản nhưn h vị có p ạm vi trải rộng, p o g ph , lên hệ chặt chẽ với nhiều b p ận k á của toán h c sơ c p cũn n ư oán học hiện đại

Tại ViệtNam,nội d n hàm số và đ hịlà mộtbộ p ận hữu cơ,quan rọ g,được ph biến giản dạy chính hức ron chươn rình sá h giáo kh a Toán bước đầu à ớp 7, iếp sau à c c ớp 9,10,1 ,12 son

so g với c c kh ilượng kiến hức iên quan.Cá kỹ năng đ ivới hàm số,đồ hịđược uyện ập một c ch đều đặn,bàibản và hệ h ng sẽ rấthữu ch,k ô g chỉtro g bộ môn Toán mà cò p ục v đắ ực ch c c

mô k oa học ự n iên k á như hóa học, vật lý, địa ý, sinh h c, Đối với chươn rìn Đại số ớp 9 THCS hiện hành, hàm số và đồ hị giữ vai trò chín yếu ron Đề hi kiểm ra chất lượn h c kỳ, Đề hi

tu ển sin ớp 10 THPT hệ đạitrà và hệ THPT Ch yên.Đốivới c c ớp c o hơn,n id n này sẽ được mở

rộ g rở hành kiến hức chín yếu ron chươn rìn Đại số - Giải t ch xu ên suốt c c ớp 1 , 1 , bao gồm hàm số bậ c o và bài toán hìn h c giảit ch,mộtbài toán man ín p ân oạic o ro g kỳ hituyển sin đạihọc – c o đẳn ,k hi THPT Qu c gia hàn năm,mộtkỳ hiđầy c m go,kịch ính và bất n ờ,nlại là một c u rất được q an âm của c c bạn học sinh, p ụ h y h,c c hầy cô, giới chu ên mô và đ nđảo bạn đọc yêu Toán

Tron phạm vi hàm số và đồ hị ài lệu này á giả ập ru g rìn bày một lớp c c bài toán khảo sát

sự biến hiên,vẽ đồ hị hàm số bậ n ất (tức à dạng đường hẳn ),vấn đề vị trítươn đối giữa hai đườnthẳng, h ặ vị trí tươn đối giữa đườn hẳn và đườn con ,một số bài toán gắn kết yếu ố ượn giá ,hìn h c giảit ch.Như đã nóiở rên,mục đích kh a h c chính của àil ệu nhằm ph c v cho q á rìn dạy

và h c,kiểm ra,kỳ hituyển sinh ớp 9 THPT,n oàira á giả đã cố gắn nâng c o,mở rộ g và p áttriển từn bàitoán heo đ ng n id n chủ đạo hàm số bậ THPT,ch q an cho rằn điều này sẽ gó p ần giớithiệu,định hướng,p á bỏ bỡ n ỡ,tạo ra c inhìn đa chiều đ ivớibàitoán đ hị và hàm số,với n ữn n i

du g như cực rị ươn giao, tếp u ến, giá rị lớn nhất nh n ất hàm số mai sau, thiết n hĩ yếu ố này

gó p ần àm iền đề ư d y hàm số, ư d y hình học giảitch ở c p THPT ro g ươn ai c c em h c sinTHCS, n oài ra còn man ính mở rộn , đào sâu,hướng đến mo g muố bạn đ c n hiên cứu đầy đủ về đường hẳn , tăn cường sự sán ạo, đột phá, phát hu hơn nữa ro g oán h c và c c ứn dụ g ronhàng oạtc c mô kh a học ự n iên

I.KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1 Kỹ h ậtnhân,chia đơn hức,đa hức,hằng đẳng hức

2 Nắm vững c c p ương p áp phân ích đa hức hành nhân ử

3 Nắm vữn c c p ương pháp giải biện uận phươn rìn bậ nhất bậ hai bậ c o, p ương rìnchứa ẩn ở mẫu

4 Sử dụ g hành hạo c c ký hiệu oán h c,logic (k hiệu h i uyển,kéo heo,tương đươn )

5 Kiến hức nền ản về mặtp ẳng ọa đ ,hàm số bậ n ất đườn hẳn

6 Kỹ năn vẽ đ hịhàm số

7 Kiến hức nền ản về hệ số g c của đườn hẳn ,cô g hức độ dài hệ hức ượn ro g am giá

v ô g,côn hức ượng giá ,đườn ròn,hàm số bậ haiparabol phươn rìn n hiệm ng yên

8 Kiến hức nền ảng về giá rị tuyệt đối c n hức, ước ượn – đánh giá, hàm số - đ hị bất đẳnthức – cực rị giá rịlớn n ất giá rịnh n ất

-

I KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ HÀM SỐ,MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC NHẤT

1 Địn n hĩa hàm số:Đạilượn y ph hu c đại lượn hay đổi x sao cho với1 giá rịcủa x h được

1 giá rị của y ương ứng, thường được k hiệu y f x  , hay còn gọi là một qu ắ gán mỗigiá rịcủa A cho đ n mộtp ần ử của B (A và B à haita ph hợp c c số,A,B k á ập rỗ g)

 Bản giá rịtươn ứn (biểu đồ)

 Côn hức, ch ý có nhữn hàm số được ch bởi n iều cô g hức khá n au rên n ữn ập xáđịn khá n au

5 Tập giá rị của hàm số x ất p át từ giá rị lớn nhất (GTLN), giá rị nh n ất (GTNN) của hàm số trên ập xá địn D ươn ứn , hường được ký hiệu W, hídụ

_

-

5duy chiều sâu,áp d n inh h ạtc c kiến hức,kỹ năng về bất đẳn hức,hằng đẳng hức để

yx  x đồ g biến rên k oảng 1; 

Tổ g haihàm số đ n biến à mộthàm số đ n biến

Cá bạn ưu ý hàm số có hể đồ g biến rên mộtkh ảng nào đ ,tu nhiên nếu n i“Khoản đ n biến của hàm số” được hiểu à ất c c c k oảng mà hàm số có hể đồ g biến.Để ìm k oản đ n biến đầy đủ của hàm số,c n có ro g ay côn cụ đạo hàm – k ảo sáthàm số của ớp 12 THPT.Việ chứn minh ín đơn điệu đ i vớic c ớp n ỏ hơn bắtb ộc sử d n định n hĩa n ư đã nêu,tức à

Thídụ chứng min hàm số đ n biến rên 

 Nếu sử dụ g địn ng ĩa ch n a sẽ gặp k ó k ăn bởivì số mũ c o của 5





 lu n n hịch biến rên ập xá định / 2 .

-

 Hàm số y x22x6ng ịch biến rên kh ảng ;1

 Hàm số 2

yx n hịch biến rên k oản ;0

8 Hàm số y f x đơn điệu rên ập xá định D ức à hàm số y f x  xá định, lên ục, hoặ

đ n biến,h ặ ng ịch biến rên ập xá định.Thíd c c hàm số sau à đơn điệu

1 Hàm số ẻ à hàm số y f x thỏa mãn f x f x , x D, đ hị hàm số ẻ ồ ại tâm đ ixứn

1 Hàm số đơn giản ykconstđược gọilà hàm số hằng,đ hịcủa hàm số so g so g vớitrục hoàn

Ox.Min họa qua đườn hẳng y  3

1 Gốc ọa độ à O (0;0),phươn rình haitrục ọa đ

 Sự biến hiên:Hàm số đ n biến rên (hoặ n hịch biến rên ),tùy heo dấu của hệ số a.

 Bản giá rị có haikiểu bảng ùy heo giao điểm n u ên hay giao điểm hữu ỷ

-

Đồ hịhàm số kh n được vượtquá haitrục ọa đ Cá k hiệu x và y viếtbên rên h ặ bên dướic c

t a, tu ệt đ i kh n vượt trước mũi của ia Thực ế, tro g quy rình sự biến hiên còn c n có bản biến thiên, vấn đề ny ,k i tếp c n chương rình Đại số 1 , c c bạn sẽ àm quen và vận dụ g ốt hơn đế xử ý nhiều bàitoán giá rịlớn n ất giá rịnh n ất

1 Hàm số bậ nhất yax b a0có đồ hị là đường hẳng (d) hì a được gọi là hệ số góc của đườn hẳn (d), hơn nữa atan ,với  là g c ạo bởi đườn hẳn (d) và ia Ox – chiều dương của rục Ox,g c ấy heo qu ước ượn giá ức à n ược chiều kim đ ng hồ ính ừ ia Ox

 Đườn hẳng (d) ạo với ia Ox g c  n ọ khi tan 0a0

 Đườn hẳng (d) ạo với ia Ox g c  tù khi tan0a0

2 Haiđườn hẳn 1

2

::

2 Ba đường hẳng đ n q y k i ch n cù g đi q a một điểm, mở rộn ch n đường hẳng đ n qu

k i ch n cùn đi qua một điểm M Cá bạn nên ìm giao điểm M của hai đường hẳn đơn giản trước rồisau đ ch đườn hẳng p ức ạp hơn điq a M đã ìm được

2 Đườn hẳn (d) bấtkỳ điq a điểm M x y 0; 0và có hệ số góc bằn k

2 Bài toán điểm cố định M (x;y) của một h đường hẳn chứa ham số m.Khi đ a cò n i điểm M

(x;y) à điểm cố định mà đường hẳng uô đi qua với mọi giá rị của m, h ặ g i là điểm mà mọiđườn hẳn uô xoay quanh với mọi giá rị m Chú g a phải đưa p ương rìn đườn hẳn

n u ên h y về dạng mf x y ; g x y ; 0, rõ ràng điều kiện iên qu ết chín à mọi vị trí chứa tham số m đều cùn số mũ,nếu k ô g hìk ô g ồn ạiđiểm cố địn

m ym x m mx ,m khá số mũ (3,2 và 1),k ôn ồ ạiđiểm cố định

Thídụ:Tìm điểm cố địn mà đường hẳng d m:y2m1x m 1luô điq a vớimọigiá rịcủa m

Giả sử M x y 0; 0là điểm cố địn mà đường hẳng d m:y2m1xm1luô điqua vớimọigiá rịm.Khiđó

 là điểm cố định mà h đường hẳng đã cho uô u n điqua

Lưu ý c c bạn độc giả có hể g i đơn giản điểm M (x;y) để ránh rù g vớig c ọa độ O cũ g được biểu hị

2 Đốivớic c điểm nằm rên haitrục ọa đ ,ch ng a có k oản c ch được ín như sau

M M

-

Cá g c phần ư được đán số La Mã I,I ,I I,IV ín heo chiều ngược chiều kim đ ng h và ín

từ phảisang rái dấu của hoành độ,tu g độ của c c điểm h ộc ừng g c hể hiện rên hình vẽ

 M (x;y) hu c g c p ần ư hứ n ất(kh n ính biên) k i 0

0

x y

 Phương rìn đường p ân giá của góc phần ư hứ nhất(trùn vớigóc phần ư hứ I I à yx

 Phương rìn đường p ân giá của góc phần ư hứ I (trùn vớigóc p ần ư hứ IV) à y  x

2 Bàitoán diện ích am giá ạo bởiđ hịhàm số bậ nhất (d) vớihaitrục ọa độ (diện ích am giátạo bởi(d) chắn hai trục ọa đ )

_

-

11

 Xéttrường hợp (d) điq a g c ọa độ, ìm ham số,loại

 Xéttrường hợp (d) so g son vớitrục hoàn , ìm ham số, oại

 Xéttrường hợp (d) so g son vớitrục ung, ìm ham số,loại

 Ng àiba k ả năn rên,xétđiều kiện ham số và hực hiện q y rìn

 Gọi A à giao điểm của (d) vớitrục Oy,A h a mãn 0; 

 Có diện ích ớn hơn,n ỏ hơn mộtsố ch rước

 Có diện ích h ộc một k oảng giá rịnào đ

 Có diện ích gấp k ần diện ích một hình phẳn nào đó

3 Bàitoán về độ dài c n am giá ạo bởiđ hịhàm số bậ n ất (d) vớihai trục ọa đ (độ dài c ntam giá ạo bởi(d) chắn haitrục ọa độ)

 Xéttrường hợp (d) điq a g c ọa độ, ìm ham số,loại

 Xéttrường hợp (d) so g son vớitrục hoàn , ìm ham số, oại

 Xéttrường hợp (d) so g son vớitrục ung, ìm ham số,loại

 Ng àiba k ả năn rên,xétđiều kiện ham số và hực hiện q y rìn

 Gọi A à giao điểm của (d) vớitrục Oy,A h a mãn 0; 

-

 Yêu c u bàitoán có ỷ ệ c c c n à m n: : m2n2 , hực ế p ù hợp với định ý Pythagores

 Đặtđộ dàihaic nh góc vu n à m và n a có c nh dàin ất(c n hu ền) à

2 2

m n

 Tỷ ệ haic n g c v ô g à

.:

 Lưu ý bàitoán ỷ ệ haic nh g c vu n bằng mộtsố cho rước

 Lưu ý bàitoán ỷ ệ haic nh g c vu n huộc một k oảng cho rước

3 Bàitoán về g c của am giá ạo bởi đ hị (d) của hàm số bậ nhất vớihai trục ọa độ (c c góc của tam giá ạo bởi(d) chắn haitrục ọa độ)

 Xéttrường hợp (d) điq a g c ọa độ, ìm ham số,kết luận g c

 Xéttrường hợp (d) so g son vớitrục hoàn , ìm ham số, oại

 Xéttrường hợp (d) so g son vớitrục ung, ìm ham số,loại

 Góc OABthực hiện ương ự, rán xa việ sử dụ g hệ số g c để k ô g bị hiếu rường hợp.

3 Bàitoán về kh ản c ch ừ g c ọa độ O đến đồ hị(d) của hàm số bậ n ất

Trước iên a p ải xét trường hợp đường hẳn (d) so g son với hai trục ọa đ , vì lúc này chưa chắ chắn 100% đồ hị hàm số đã c thai trục ọa độ hay kh ng,hơn nữa d kh n c t hai trục ọa

đ a vẫn có k oản c ch bìn hườn Nếu bỏ qua sẽ bịmấtđến haitrườn hợp,n uy hiểm  

 Xéttrường hợp (d) điq a g c ọa độ, ín k oản c ch ừ O đến d

 Xéttrường hợp (d) so g son vớitrục hoàn , ín kh ảng c ch ừ O đến d.

 Xéttrường hợp (d) so g son vớitrục ung, ính k oản c ch ừ O đến d.

 Ng àiba k ả năn rên,xétđiều kiện ham số và hực hiện q y rìn

3 Bàitoán về kh ản c ch ớn n ấttừ gốc ọa độ O đến đ hị(d) của hàm số bậ n ất

Đốivớibàitoán này,ch ng a có haiphươn án ựa chọ :Xây dựng cô g hức k oản c ch ừ gốc ọa

đ O đến đườn hẳn (d) hoặ sử dụ g điểm cố định kết hợp q an hệ đường xiên – hình chiếu rontam giá v ôn

Trước iên a phảixéttrườn hợp đườn hẳng (d) son son vớihai trục ọa đ cho đầy đủ,vìlúc này chưa chắ chắn 1 0% đ hịhàm số đã c thai trục ọa độ hay kh n và k ô g biếtkh ảng c ch n có giá rịlớn n ấthay kh n  

 Xéttrường hợp (d) điq a g c ọa độ, ín k oản c ch ừ O đến d

 Xéttrường hợp (d) so g son vớitrục hoàn , ín kh ảng c ch ừ O đến d.

 Xéttrường hợp (d) so g son vớitrục ung, ính k oản c ch ừ O đến d.

 Ng àiba k ả năn rên,xétđiều kiện ham số và hực hiện q y rìn

 Xây dựng côn hức k oản c ch ừ gốc ọa độ O đến đường hẳng (d) n ư mục 28

1

b OH

a



 là mộtbiểu hức chứa bậ haicủa ham số m c rên ử số và mẫu số.Trường hợp bất đắ dĩ c c bạn p ải p ân ích khéo éo heo hủ h ật được xây dựng (điều này ágiả xin k ô g rìn bày vì vượt quá nội du g ài lệu) hoặ xử ý heo p ươn án miền giá rị hàm

2 2 2

1

b OH

n ững ý ưởng sáng ạo,tên iến nó óe ên,rồi lạivụt tắtđingay vì n ững ín oán cồ g kền đè nặn phía sau .Để ý k ch n a có hể xétbiểu hức đơn giản hơn khiquay ạibước ru g gian

 Sử d n điểm cố định kếthợp quan hệ đường xiên hìn chiếu ron am giá v ô g

Tro g hìn vẽ rên,M (x;y) à điểm cố định mà đường hẳng (d) uô uô điqua,và ấtnhiên,điểm

M này phảiđược chuẩn bịtrước.Khô g q á kh ,c c bạn vẫn hực hiện

Kẻ OH v ô g g c vớiAB (H h ộc AB)

Theo quan hệ giữa đườn xiên và hình chiếu ro g am giá vu n OHM a có OH OM

OH ớn n ấtk i OH OM H M OM dtạiđiểm M

_

-

15Viết p ương rình đườn hẳng OM điqua gốc ọa đ Phương rình này đôikhi cũn đặ biệt lắm,nếu OM dạn ngang hoặ dọc, nếu rù g với trục Oy hì d rõ ràn vu n góc với trục Oy, tức à son so g vớitrục h ành,dạn hức y y M nếu OM rùn vớitrục Ox hì d rõ ràn v ô g g c với

Ox, ức à so g so g vớitrục un ,dạng hức xx M Nếu OM điqua gốc ọa đ có dạng chéo ức à

1:

k

     , úc này chỉc n ích hệ số g c của (d) và k à – 1 à OK đú g k ô g 

3 Bàitoán ươn giao giữa đường rò (C) âm O,bán kín R và đồ hị(d) của hàm số bậ n ất

Vụ này cũ g c n phảixéttrường hợp (d) so g son với c c rục ọa đ ,vìcó ẽ khả năn (d) c thaitrục ọa độ chỉ là 96,69% hôi  .Ch đườn hẳn d c t hai trục ọa độ chỉ man ính bắ c u

p ục v ch việ ính k oảng c ch ừ gốc O đến d.Dù kh n son so g vớihai trục ọa độ hìviệ

c thaiđiểm hay hế nào đinữa vẫn xảy ra n ư bìn hường

 Xéttrường hợp (d) điq a g c ọa độ, ín k oản c ch ừ O đến d,kếtluận

 Xéttrường hợp (d) so g son vớitrục hoàn , ín kh ảng c ch ừ O đến d,kếtluận

 Xéttrường hợp (d) so g son vớitrục ung, ính k oản c ch ừ O đến d,kết uận

 (C) và d k ô g c tnhau k ik oản c ch ừ O đến (d) ớn hơn bán kín R

Lúc này d cò được g ilà iếp uyến của đường ròn (C)

 (C) và d c tn au ạihaiđiểm p ân biệtk ik oản c ch ừ O đến (d) n ỏ hơn bán kính R

Lúc này d cò được g ilà c ttuyến của đườn rò (C)

 (C) và d c tn au ạihaiđiểm p ân biệttheo dây cu g MN vớiđ dài MN 2lch rước

Theo iên hệ giữa đườn kính và dây cun a có H à ru g điểm của đoạn hẳn MN

Như vậy MH 2 : 2l l, áp d n định ý Pythag res ro g am giá v ô g OHM (v ô g ại H)

3 Xây dựn cô g hức k oảng c ch giữa haiđiểm bấtkỳ ro g mặtphẳn ọa độ n ư hế nào ?

Dễ hấy AC x2x1 ,BC y2y1 ,sử d ng rịtuyệt đ ido chưa rõ dấu của x x y y1, 2, 1, 2

Để ín kh ảng c ch giữa haiđiểm A và B chú g a sử d ng định ý Pythag res ron am giá ABC

_

-

17Dấu đẳng hức xảy ra khi ad bc

Chứn minh bằng biến đổitươn đươn :

Chứn minh bằng côn hức k oản c ch

Tron mặt p ẳn vớihệ ọa đ Ox xétc c điểm O0; 0 , M a b ; ,N c; dta có

Minh h a:TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC S x22x 2 x24x5

Tìm ọa độ điểm H,áp dụ g côn hức ính kh ảng c ch MH

3 Xây dựn cô g hức k oảng c ch ừ g c ọa độ O đến mộtđường hẳng :ax by  c 0ch rước

Tiến hành viếtphươn rình đườn hẳn OM và ìm ọa độ giao điểm T heo M x y 0; 0.

3 Bàitoán chứng minh giao điểm haiđườn hẳn nằm rên mộtđồ hịcố định.

 Thíd giao điểm M m m ; 4 3 y4x3.Đây à mộtđườn hẳn

 Thíd a ìm được giao điểm M của haiđườn hẳn  2 

n ưn để riệt iêu ham số m rấtkh 

Hãy quay rở ạihaiđườn hẳn và để ý

4 Bài toán ìm giao điểm M của hai đường hẳng hỏa mãn một đẳn hức nào đó, bất đẳn hức nào

đ hoặ biểu hức nào đ đạtcực rị ron đó mộtđườn hẳng có dạn đơn giản

Thí d ìm điểm m để đường hẳn (d) chứa m có hìn hức o đ ng nào đ ,sao cho (d) c tđường thẳn :yx4tạiđiểm M (x;y) sao cho biểu hức   2 2

S f x y x  y  đạtgiá rịnh nhất

 Mộtsố bạn có hể có cơ bắp khỏe mạnh sẽ àm bàibản heo anh “q y rình”,tức à xétphươn rình

h ành độ giao điểm của haiđườn hẳn (d) và đường hẳng :yx4,chạy ra điểm M (x;y) có x

và y đều biểu hịtheo m,thay x và y đ vào S,khiđ có hể xảy ra c c ìn hu n nh n ỏ sau đây

 M (x;y) có x và y đều có dạn bậ n ấtcủa m,khiđó ìm cực rịS v ư heo hằn đẳn hức,bình hườn

 M (x;y) có x và y bước đầu có dạng bậ hai khi đó S có dạng bậ b n ẩn m,vẫn cứ ìm cực trịv ư heo hằng đẳng hức,bình hường

 M (x;y) bước đầu có dạn phân hức, k iđó S có dạn phân hức, mẫu hức à am hức bậhai hơi n ăn răn ý n ưn vẫn có phươn pháp miền giá rị hàm số h ặ kỹ huật đặt ẩn

ph đưa về hằng đẳn hức heo ẩn p ụ mới

 M (x;y) bước đầu có dạn đa hức bậ ba,phân hức p ức ạp,hay S ự dưn ăn ên bậ ba,

bậ bố , hế hìquá vui vìchắ à đan ch ẩn bịt n hần b cu c vìxá địn à kiệtsức với

4 Bài toán ìm điều kiện ham số m để đườn hẳng (d) chia mặt p ẳng ọa đ hàn hai nửa mặt

p ẳng ron đ ,haiđiểm A,B ch rước nằm cùn p ía h ặ khá p ía đ i vớibờ (d)

_

-

21Trườn hợp hai điểm k á p ía, c c bạn có hể hấy nếu gọi C à giao điểm của (d) và đường hẳn(AB) hì C nằm ron đ ạn hẳng AB, hay ức à C nằm giữa A và B Khi đ dễ hấy hai điều kiện sau

4 Bài toán ìm điều kiện ham số m để đườn hẳng (d) chia mặt p ẳng ọa đ hàn hai nửa mặt

p ẳng ron đ ,haitro g ba điểm A,B,C cho rước nằm cù g phía h ặ khá p ía đốivớibờ (d)

Xét trườn hợp điển hình,điểm C và cụm haiđiểm A,B nằm k á p ía so vớibờ (d)

Thế hì(d) c tđoạn hẳn AC ạiD và c t đ ạn hẳng BC ạiE

Khi đ a có hệ haiđiều kiện được g ép ừ 1 iều kiện bấtkỳ rong c c điều kiện của haicột

4 Bàitoán ìm ọa độ điểm M h ộc đường hẳng cho rước sao cho am giá AMB vu n ạiM

 Rõ ràn M h ộc đườn rò đường kính AB Tham số h a (biểu diễn) điểm M heo đườn hẳn ,

IM R ABIM  AB để h được điểm M

4 Đối với hàm số chứa dấu giá rị tuyệt đ i c n ập bảng xét dấu để đơn giản hóa hàm số, vẽ ừng

p ần đ hịtrên ừn miền đồ hị đan xét sau đ g ép ại b đic c p ần hừa (có hể vẽ bằn nétđứt)

-

4 Ng iệm của phươn rìn f x mlà ọa độ giao điểm của haiđồ hịhàm số y f x ;ym,tron

đ ymlà hàm số hằn ,có đồ hịlà đường hẳn son so g vớitrục h ành

4 Côn hức run điểm I của đ ạn hẳng AB ;

 Viếtđược tnhấthaitron ba đường run uyến,chẳn hạn CN và AM,CN c tAM ạiG

 Tìm ọa đ điểm G chia ron đ ạn hẳng ru g u ến heo ỷ ệ 1:2, th n q a cô g hức kh ản

c ch haiđiểm và điều kiện nằm giữa (tu g độ h ặ hoàn độ).Cáinày cũ g hơibịnản 

4 Bàitoán ìm ọa độ chân đườn phân giá ro g của mộtgóc nào đ ro g am giá ABC

Thíd ìm chân đườn p ân giá D của p ân giá ro g g c A a hực hiện

 Tín độ dàic c đ ạn hẳn AB,AC heo côn hức k oảng c ch (cũn c n xây dựn rước n é )

 Sử dụ g ín chấtp ân giá ron của g c A a có BD AB

DC  AC

 Sử dụ g điều kiện D nằm giữa B và C nữa để oại mộtđiểm D x B x D x C

 Sử d n ín chấtphân giá và nằm giữa BD AB k BD k DC

 Viếtphươn rình đườn hẳng BC và đườn hẳn AC.

 Viếtphươn rình đườn c o BF điq a B và vu ng góc vớiđườn hẳn AC

 Viếtphươn rình đườn c o AE điq a A và vu ng góc vớiđườn hẳn BC

 Cá đường hẳn vu ng g c ở rên viếttheo kiểu ích hệ số góc bằn – 1

 AE và BF c tnhau ại H,H à rực âm à xo g  .Cũ g khá gian nan đ ivớilớp 9 THCS

5 Bàitoán ìm ọa độ âm đường ròn ng ạitếp am giá n ọ ABC

 Viếtphươn rình đườn hẳn AB,BC

 Tìm ọa độ ru g điểm N của AB,trun điểm M của BC

 Viếtphươn rình ru g rực của đoạn hẳn AB (điqua N và v ô g g c vớiAB)

 Viếtphươn rh h ru g rực của đoạn hẳng BC (điq a M và v ô g góc vớiBC)

 Haiđường run rực ở rên c tnhau ạiO (p ụ hu c hình vẽ) à x n

 Bán kính đườn rò n oạitếp à kh ảng c ch OA,hoặ OB,OC

5 Bài toán ìm ọa độ điểm C h ộc đường hẳn (d) cho rước sao cho ổ g đ dài AC + BC n ắn

n ất ro g đ A,B à haiđiểm cho rước

Trường hợp A,B k á p ía so vớiđường hẳng (d)

 AB c t(d) ạiđiểm C, ìm C bằn c ch viếtphươn rình AB và ch AB c t(d)

-

 Ch n mộtđiểm C1 rên (d) hì AC1BC1ABtheo bấtđẳng hức ro g am giá ABC1

 Dấu đẳn hức xảy ra k i ABC1suy biến hành đoạn hẳn AB, n hĩa à ba điểm A, B, C hẳnhàng

Trường hợp A,B cùn p ía so vớiđường hẳng (d)

 Lấy điểm A1đ ixứn vớiđiểm A q a đường hẳng (d)

 Điểm A1tm được bằng c ch viết p ương rìn đường hẳn đi q a A và v ô g g c với (d),đường hẳn này c t(d) ạiH,H à ru g điểm của đ ạn hẳn A A1

 Đường hẳng A B1 c tđường hẳng (d) ạiC,rõ ràng ACCBA C1 CBA B1

 Tron c c rườn hợp k á , rõ ràn AC1BC1A C1 1BC1A B1 theo bất đẳn hức ro g am giá A C B1 1

 Như vậy điểm C c n ìm à giao điểm của đường hẳn A B1 và (d),với A1xá địn như rên

5 Bài toán ìm ọa đ điểm C huộc đườn hẳng (d) cho rước sao ch CA CB lớn nhất ro g đó A,

B à haiđiểm ch rước

 Theo hình min h a ở mục 4 ,ta Lấy điểm A1đốixứn vớiđiểm A q a đường hẳng (d)

 Chọ điểm C1trên (d) dễ hấy C A C B1  1  C A1 1C B1 A B1

- - -

5 PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG.

5 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG.

 Haiđườn hẳn có ve tor pháp uyến n1a b1; 1,n2 a b2; 2

-

I I MỘT SỐ BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH.

Bàito n 1.Ch hàm số: ym2xm5 (1);vớim à ham số hực

1 Vẽ đ hịhàm số (1) ro g rườn hợp m 3

2 Tìm giá rị của m để hàm số đã cho đ n biến rên 

3 Tìm giá rị của m để hàm số đã cho n hịch biến rên .

4 Tìm điểm cố định mà đồ hịhàm số (1) u n uô điq a với mọigiá rịm

5 Ký hiệu (d) à đồ hịcủa hàm số (1).Tìm m để

a) Đườn hẳng (d) điqua điểm M2; 4

b) Đườn hẳng (d) son so g vớiđườn hẳng :y2x3

c) Đườn hẳng (d) v ô g góc vớiđườn hẳn  l :ymx3

d) Đườn hẳng (d) c ttrục h ành ạiđiểm có hoàn độ bằn 2

e) Đườn hẳng (d) c ttrục un ạiđiểm có u g độ bằn 3

6 Giả sử đ hị (d) c thai trục ọa độ Ox,Oy heo hứ ự ại haiđiểm A và B k á g c ọa độ O Tìm tọa đ c c điểm A và B heo m và ìm m sao cho OA2OB

Bàito n 2.Ch hàm số: y2m3x5 (1);vớim à ham số hực

1 Tìm m để hàm số đã cho ng ịch biến rên 

2 Chứng min rằng đ hịhàm số (1) k ông hể điqua gốc ọa độ O vớimọigiá rịm

3 Vẽ đ hịhàm số (1) ro g rườn hợp m 2

4 Tìm m để đồ hịhàm số (1) có hệ số g c âm

5 Ký hiệu (d) à đồ hịcủa (1).Hãy ìm m sao cho

a) Đườn hẳng (d) điqua điểm M4; 7

b) Đườn hẳng (d) son so g vớiđườn hẳng  l :y3xm2

c) Đườn hẳng (d) v ô g góc vớiđườn hẳn : 2xy19

d) Đườn hẳng (d) c ttrục h ành ạiđiểm có hoàn độ bằn 1

e) Đườn hẳng (d) c ttrục un ạiđiểm có u g độ bằn 4

6 Tìm giá rịcủa m để (d) c tđường hẳn :yx3 ạiđiểm A x y ; sao cho P2x2y21đạt giá trịnh n ất

7 Tìm m để (d) c tđườn hẳn :y2x5tạiđiểm B x y ; sao cho 2 2

2

C x y đạtgiá rịn ỏ n ất

8 Giả sử đ hị (d) c t hai trục ọa độ Ox,Oy heo hứ ự ạihai điểm A và B.Tìm ọa đ c c điểm A

và B heo m và m m sao cho 2OA3OB

Bàito n 3.Ch hàm số: y2m1x m 7 (1);vớim à ham số hực

1 Tìm m để hàm số đã cho à hàm số bậ n ất

2 Tìm m để hàm số đã cho đồ g biến rên ập số hực

3 Tìm m để hàm số đã cho ng ịch biến rên ập số hực

4 Xá địn m để đ hịhàm số (1) có hệ số g c bằng 2 0

5 Tìm điểm cố định mà đồ hịhàm số (1) u n điqua vớimọigiá rịm

6 Gọid à đ hịcủa hàm số đã cho.Tìm m sao cho

a) Đườn hẳng d c ttrục hoàn ạiđiểm có h ành đ bằng 4

b) Đườn hẳng d có un độ gốc bằng 2

c) Đườn hẳng d so g son vớiđường hẳn : 2x3ym0

d) Đườn hẳng (d) c tđườn hẳn  l :y3x1 ạiđiểm có hoàn độ bằn 2

e) Đườn hẳng (d) c tđườn hẳn   :y x 2tạiđiểm có un đ bằng 1

_

-

27

7 Giả sử đồ hị(d) c thai trục ọa độ Ox,Oy heo hứ ự ạihaiđiểm A và B khá g c ọa đ Tìm ọa

đ c c điểm A và B heo m và ìm m sao cho 3OAOB

8 Tìm m để (d) c tđườn hẳn :y x 3 ạiđiểm A x y ; sao ch x  y

Bàito n 4.Ch hàm số: ym2x n (1);vớim và n à c c ham số hực

Ký hiệu đồ hịhàm số (1) à d

1 Vẽ d ron rườn hợp m1;n3

2 Vớigiá rịnào của m hìhàm số đã ch đồ g biến rên ?

3 Vớigiá rịnào của m hìhàm số đã ch ng ịch biến rên ?

4 Tìm giá rị của m và n để:

a) Đườn hẳng d có hệ số góc bằng 5

b) Đườn hẳng d điq a haiđiểm A1; 2 , B3; 4

c) Đườn hẳng d son so g với đường p ân giá góc phần ư hứ nhất đ ng hời đi q a điểm

A (1;2)

d) Đườn hẳng d vu ng g c vớiđường p ân giá g c p ần ư hứ hai

e) Đườn hẳn d c t trục u g ại điểm M có u g độ bằng 3 và c t trục hoành ại điểm có hoàn độ bằng 2

5 Khi nm3, t m giá rị của m và n để đườn hẳng d c t đườn hẳng :y3x2tại một điểm nằm rên parabol   2

c) Đườn hẳng d điq a haiđiểm A (2;3) và B (1;4)

d) Đườn hẳn d c ttrục hoàn ại điểm có h ành đ bằn 3,c ttrục un ại điểm có un đbằng 4

e) Đườn hẳn d v ô g g c với đường phân giá góc p ần ư hứ nhất (tro g mặt phẳn ọa độ)

f Đườn hẳng d so g son vớiđường p ân giá g c p ần ư hứ hai(tron mặtp ẳng ọa đ )

2 Cho n 0 Tìm c c giá rị m để đường hẳng d c t đườn d:x  y 2 0tại điểm M x y ; sao chbiểu hức 2 2

-

a) Đườn hẳng d điq a điểm M (2;7)

b) Đườn hẳng d kh ng điq a điểm N (3;5)

c) Đườn hẳng d c ttrục hoàn ạiđiểm có h ành đ bằng 20 0

d) Đườn hẳng d so g son vớiđường hẳn y6x12

e) Đườn hẳng d vu ng g c vớiđồ hịhàm số y 2 x

f Đườn hẳng d ạo vớita Ox mộtg c  có tan 1

4 Tìm ấtc c c giá rịcủa m để đường hẳng d c tđườn hẳn   :y x 1tại điểm M (x;y) sao chbiểu hức 2 2

Px  y  đạtgiá rịnh nhấtBàito n 7.Ch hàm số: y2m1xm (1);với m à ham số hực

Ký hiệu đồ hịhàm số (1) à đường hẳng d

1 Tìm m để hàm số (1) à hàm số hằn

2 Tìm m để hàm số (1) à hàm số n hịch biến rên ập số hực

3 Tìm m để đường hẳn d son son vớitrục h ành

4 Vớigiá rịnào của m hìd điqua điểm K  7;5.Vẽ d vớim vừa ìm được

5 Tìm giá rị m sao ch :

a) Đườn hẳng d son son vớiđườn phân giá góc phần ư hứ hai

b) Đườn hẳng d vu ng g c vớiđường p ân giá g c p ần ư hứ n ất

c) Đườn hẳng d ạo vớitrục h ành mộtgóc  có tan 2

d) Đườn hẳng d so g son vớiđường hẳn l y: 3x 2 0

e) d đ n qu vớihaiđườn hẳn d1:y4x5;d2: 3xy10tạimộtđiểm

6 Xá định ọa độ điểm cố địn M (x;y) mà đườn hẳng d u n đi q a dù m ấy bất k giá rị nào.Tín độ dàiđ ạn hẳn OM dựa rên cơ sở định ý Pythag res

7 Tìm ọa đ c c giao điểm A,B của đường hẳn d và haitrục ọa độ Ox,Oy (A,B đều khá O).Tìm giá rịcủa m để am giá OAB có diện ích bằng 1

8 Tín đ dài đườn c o OH của am giá OAB heo hệ hức ượn , từ đ ìm giá rị của m để đường thẳn d iếp xúc vớiđườn ròn âm O (O à g c ọa đ ),bán kính 1

2

R  Bàito n 8.Ch hàm số: ymxm2 (1);với m à ham số hực

Ký hiệu đồ hịhàm số (1) à d

1 Vớigiá rịnào của m hìhàm số đã ch ng ịch biến rên .

2 Tìm m để đường hẳn d hỏa mãn

a) Điqua điểm D (– 5;4)

b) Cắtđường p ân giá g c p ần ư hứ n ất (tron mặt phẳn ọa độ) ại điểm E có h ành độ bằng 2

c) So g son vớiđường hẳn   :y9m4x3

d) Vu n g c với đường hẳng   4

:ym x2

e) Cắtđường hẳng :y3x2tạiđiểm M (x;y) hỏa mãn x2y2 20

3 Xá địn ọa độ điểm cố định M (x;y) mà đườn hẳn d điqua vớimọim

Tín diện ích am giá OMN vớiđiểm N (0;4),O à g c ọa đ

4 Xét trường hợp đường hẳng d c t trục hoành và rục un heo hứ ự ại P và Q khá g c O.Tìm tọa đ c c điểm P và Q,đồ g hờit m ấtc c c giá rịm để am giá OPQ có diện ích bằn 1

3

5 Tìm m để đường hẳn d iếp xúc vớiđườn ròn âm O (O à g c ọa đ ),bán kín 2

5

R 

_

-

29Bàito n 9.Tro g mặtphẳn vớihệ ọa độ Ox ,O à gốc ọa độ,cho ba đườn hẳng

1 Tìm m để đường hẳn d2điq a điểm G (1;3)

2 Tìm m để đường hẳn d2vu n góc vớiđườn p ân giá góc p ần ư hứ hai

3 Tìm giá rị của m để ba đườn hẳng đã cho đ n q y

4 Tìm điểm cố địn mà đườn hẳn d2lu n uô điqua vớimọigiá rịcủa m.Từ đó ìm giá rịcủa m

để kh ảng c ch ừ g c ọa đ O đến d2là ớn n ất

5 Tìm c c giao điểm A và B của đườn hẳng d3vớihaitrục ọa đ Từ đó ín đ dài đườn c o OH

của am giá OAB heo hệ hức ượng am giá vu n

6 Xétđiểm M (3;8),lập p ương rình đường hẳn  điqua M và son son vớiđường hẳng d3,c thaitrục ọa độ ại C và D.Tính độ dài đườn c o OK của am giá OCD,từ đ suy ra k oản c ch

từ điểm M đến đường hẳng d3

7 Viếtphươn rìn đườn hẳn điqua M và v ô g góc với đườn hẳng d3, ìm hình chiếu N của điểm M rên d3, ừ đó n kh ảng c ch ừ điểm M đến đườn hẳn d3 (phươn án k á c u 4).Bàito n 1 Ch hàm số: ym3x5 (1);vớim à ham số hực

Ký hiệu đồ hịhàm số (1) à d

1 Tìm giá rị của m để hàm số đ n biến rên 

2 Tìm giá rịcủa m để đườn hẳn d c ttrục h ành và rục un ần ượt tạihaiđiểm A và B sao ch

A có h àn đ dươn ,B có un độ âm

3 Xá địn ấtc giá rịcủa m để:

a) Đườn hẳng d điq a điểm M (2;3)

b) Đườn hẳng d so g son vớiđường p ân giá g c p ần ư hứ hai(tron mặtp ẳng ọa đ ).c) Đườn hẳng d vu ng g c vớiđường hẳn :y3m4x6

d) Đườn hẳng d c tđườn con  C :x 1 y tại điểm M (x;y) có ọa đ h a mãn

2

x  x y y e) Kh ảng c ch ừ g c ọa đ O đến đường hẳng d bằn 5 2

2

f Kh ảng c ch ừ g c ọa đ O đến đường hẳng d đạtgiá rịlớn nhất Tìm giá rịđó

Bàito n 1 Ch hàm số: y2m5x3 (1);vớim à ham số hực

Ký hiệu đồ hịhàm số (1) à d

1 Vớigiá rịnào của m hìhàm số đã ch ng ịch biến rên .

2 Vớigiá rịnào của m hìhàm số đã ch đồ g biến rên 

-

g) Tiếp x c vớiđường rò âm O (O à gốc ọa độ),bán kính 3

10

R 

4 Tìm ấtc giá rịm để đường hẳng d ạo vớihaitrục ọa mộttam giá OAB có diện ích bằng 2

5 Tìm ất c c c giá rị thực của m để đườn hẳng d c t đườn :y2x3tại điểm M (x;y) sao chbiểu hức 2 2

Bàito n 1 Ch hàm số y4m1x5m2 (1);vớim à ham số hực

Ký hiệu đồ hịhàm số (1) à d

1 Tìm m để hàm số (1) đồ g biến rên ập số hực 

2 Tìm m để đường hẳn d hỏa mãn

a) Điqua điểm A (2;9)

b) So g son vớiđường hẳn   :y 5x4

c) Vu n g c với đường hẳng  : 1 2

3

y  x

d) So g son vớiđường hẳn :y5mx3m5

e) Cắtđường phân giá của g c phần ư hứ haitạiđiểm có un độ bằng 5

f Tiếp x c vớiđường rò âm O (O à gốc ọa độ),bán kính 3

10

R 

3 Giả sử M x M;y M à điểm cố địn mà đường hẳn d uô đi q a với mọi giá rị m.Tín ổ g c c

k oản c ch ừ điểm M đến haitrục ọa đ

4 Tìm kh ản c ch ớn n ấttừ g c ọa đ O đến đườn hẳn d

5 Tìm ất c c c giá rị của m để đườn hẳn d c t đường co g   2

C y x  xtạiđiểm K (x;y) h a mãn biểu hức 2

Px  y đạtgiá rịn ỏ n ấtBàito n 1 Ch hàm số   2

a) Điqua gốc ọa độ O

b) Cắt đường p ân giá góc phần ư hứ n ất (tro g mặt p ẳng ọa độ) ại điểm có h ành đbằng 1

c) So g son vớiđường hẳn   :y4x2m9

d) Vu n g c với đường hẳng  : 4 2

5

y  x

e) Cắtđường hẳng y2x3tạimộtđiểm nằm rên rục un

f Cắt đường hẳn y x 1tại điểm M (x;y) sao ch biểu hức Sx22y2 x 2nhận giá rị

nh n ấtg) Cắtđường hẳng :y2x1tạiđiểm M nằm rên đườn con   3

C yx  x

6 Tìm m để đường hẳn d đ n q y vớihaiđường hẳng d1:y7x 6 0; d2:y3x 2 0

_

-

31Bàito n 1 Ch hàm số ym2x m 1 (1);vớim à ham số hực

1 Vớigiá rịnào của m để hàm số (1) đồ g biến rên ập số hực

2 Tìm m để đồ hịhàm số (1) điqua điểm M (2;6)

7 Tìm m để đồ hịhàm số (1) à iếp u ến của đường rò âm O (O à gốc ọa độ),bán kín R  2

8 Tìm giá rịcủa m để hàm số (1) đ n biến,đ n hời đ hịhàm số (1) ạo vớit a Ox mộtgóc ượng giác thỏa mãn tan 3

3



Bàito n 1 Ch hàm số y5m2xm2 (1);vớim à ham số hực

1 Vớigiá rịnào của m để hàm số (1) đồ g biến

2 Tìm m để hàm số (1) à hàm số hằn

3 Tìm m để đồ hịhàm số (1) h a mãn

a) Vu n g c với đường hẳng   :y2x1

b) So g son vớiđường hẳn  λ :y4mx7

c) Điqua giao điểm M của haiđườn hẳn d1:x3y20; d2: 2x3y 1 0

d) Đồ g qu vớiđườn hẳn y4x4và parab l   2

:

P yx e) Cắt ia Oy ạiđiểm N sao cho đ dài NB  5với B  1; 0

f Là iếp uyến của đường ròn âm O (O à g c ọa độ),bán kín 1

  Tìm m để đồ hị hàm số (1) c t hai trục ọa đ ại hai điểm E,F

(kh n rù g gốc ọa độ O) sao cho diện ích am giá OEF bằn hailần diện ích am giá OPQ

5 Giả sử đồ hị hàm số (1) c t đường hẳn  φ : yxtại H và c t trục un ại K,t m m để am giá

OHK à am giá v ô g c n

Bàito n 1 Ch hàm số y2m1x3n2 (1);vớim và n à c c ham số hực

Ký hiệu đồ hịhàm số (1) à d

1 Tìm m để (1) à hàm số bậ n ất

2 Tìm m và n để đường hẳn d điqua haiđiểm A (2;5) và B (3;7).Vẽ d vớim và n ìm được

3 Tìm điều kiện của m và n để đườn hẳn d

a) Có hệ số góc bằng 10

b) Điqua điểm E (2;3)

c) So g son vớiđường hẳn :y4mx2n5

e) Cắt rục un ạiđiểm có u g đ bằng 4,c ttrục hoàn ạiđiểm có hoàn đ bằng 3.

4 Xéttrường hợp nm.Tìm giá rịcủa m và n để đườn hẳng d à iếp uyến của đườn ròn âm O (O à g c ọa độ),bán kín 1

2 Tìm giá rị của m để đườn hẳn d:

a) Điqua điểm N (3;5)

b) Kh n điqua điểm S (3;2)

c) Có hệ số góc bằng 21

d) So g son vớiđường hẳn   :y 3x2

e) Vu n g c với đường hẳng d y: 5x3

f Điqua giao điểm M của haiđườn hẳn d1:y2x1; d2:y3x2

g) Cắthaitrục ọa độ ạihaiđiểm E và F sao cho E và F ần ượtthu c haita Ox,Oy

3 Tìm ọa đ điểm cố định T mà d uô uô đi q a vớimọigiá rị m.Tính đ dàiđoạn hẳng OM với

1

2

y x d y x d

1 Vẽ c c đườn hẳng đã cho rên cùn mộthệ rục ọa đ

2 Gọi M và N à hai điểm ần ượt nằm rên    d1 , d2 và có h ành đ ần ượt là 1;2.Tìm ọa đ haiđiểm M và N và ính đ dàiđ ạn hẳn MN

3 Viếtphươn rình đườn hẳng điq a điểm P (1;3) và vu n góc vớiđường hẳn d1

4 Viếtphươn rình đườn hẳng điq a điểm Q (2;5) và so g son vớiđườn hẳn d2

5 Tìm m để đường hẳn :y3mx5m2và haiđườn hẳn    d1 , d2 đ ng q y

6 Tìm ọa độ điểm H (x;y) nằm rên đườn hẳn d1sao cho 3

_

-

33Bàito n 1 Tron mặtp ẳng vớihệ ọa đ Ox ,O à g c ọa đ ,ch haiđường hẳng

 

 1

1 Vẽ haiđường hẳng đã cho rên cùng mộtmặtphẳn ọa độ ro g rườn hợp m 4

2 Tìm m để đường hẳn d1điqua điểm S (1;4)

3 Viếtphươn rình đườn hẳng điq a điểm P (5;3) và vu n góc vớiđường hẳn d1

4 Viếtphươn rình đườn hẳng điq a điểm Q (5;2) và so g son vớiđườn hẳn d2

5 Tìm giao điểm T của haiđường hẳng đã cho heo m.Chứng minh T u n hu c mộtđường hẳng cố địn Vớigiá rịnào của m hìc c điểm M4; 4;gốc ọa độ O và T hẳng hàng ?

6 Tìm giá rịcủa ham số m để đườn hẳn d1c tđường hẳng :y3x2tạiđiểm M (x;y) h a mãn biểu hức 2 2

1 Vẽ haiđường hẳng đã cho rên cùng mộthệ rục ọa đ k i m 0

2 Tìm m để đường hẳn  d1 điq a điểm N (1;3)

3 Tìm m để đường hẳn  d2 c tđườn hẳng y4x5tạiđiểm có h àn đ bằng 1

4 Xá địn m để haiđường hẳng đã cho c tn au ạiđiểm M (x;y) sao cho

5 Tìm m để đường hẳn d1tếp x c vớiparabol   2

:

P yx

6 Gọi A à điểm nằm rên đườn hẳn  d1 có hoành độ bằng 1; B à điểm nằm rên đườn hẳn

 d2 có hoàn độ bằng 2.Tìm m để A và B nằm về haip ía của rục hoành

Bàito n 2 Tron mặtp ẳng vớihệ ọa đ Ox O à gốc ọa đ ,cho haiđường hẳn

 1

1 Vẽ haiđường hẳng rên cù g mộthệ rục ọa độ ron rườn hợp m 5

2 Tìm m để đường hẳn d1điqua điểm A (1 4)

3 Xá địn m để đườn hẳn d1vu n góc vớiđường p ân giá của g c p ần ư hứ hai

4 Tìm m để đường hẳn d1son so g vớiđườn p ân giá g c phần ư hứ n ất

5 Tìm ọa độ giao điểm của đường hẳn d2và parabol yx2

6 Tìm giá rị của m để haiđườn hẳn đã cho c tnhau ạiđiểm M x y ; th a mãn

-

2

yx 

7 Vớigiá rịnào của m hìhaiđường hẳng đã cho và đường hẳng d y: 2x1đồ g qu

8 Gọi P và Q heo hứ ự à c c giao điểm của đườn hẳng d2với trục u g và rục hoành, T à điểm chia ro g đ ạn PQ heo ỷ ệ 2:3,tnh diện ích am giá OPT vớiO à gốc ọa độ

Bàito n 2 Tron mặtp ẳng vớihệ ọa đ Ox (vớiO à g c ọa đ ) ch haiđườn hẳn

1 Vẽ haiđường hẳng đã cho rên cùng mộthệ rục ọa đ k i m 1

2 Tìm m để đường hẳn d1điqua điểm K (2 4)

3 Tìm m để đường hẳn d2vu n góc vớiđườn hẳn :y6x1

4 Tìm m để đường hẳn d2so g so g vớiđườn p ân giá góc p ần ư hứ ba

5 Tìm m để haiđường hẳng đã ch v ôn g c vớin au

6 Tìm m để haiđường hẳng rên c tn au ạiđiểm M (x;y) sao cho

a) M có u g độ bằn 4

b) M có hoàn đ và un đ ráidấu

c) M nằm rên đường hẳng yx3

d) M nằm rên parabol yx2

e) M có ọa độ à n ữn số ng yên dươn

7 Tồn ạihay kh ng giá rịm để k oản c ch ừ gốc ọa độ O đến đường hẳng d2bằng 2 ?

8 Giả sử d1c t haitrục ọa đ ạiP và Q, d2c thai trục ọa đ ại A và B (P, Q đều khá O).Tìm giá trịcủa m để diện ích am giá OPQ gấp đ idiện ích am giá OAB,vớiO à g c ọa đ

Bàito n 2 Tron mặtp ẳng vớihệ ọa đ Ox O à gốc ọa đ ,cho haiđường hẳn

 

 1

2 Vớigiá rịnào của m hìđường hẳng  d2 điq a điểm M1;3

Tìm ọa độ giao điểm của haiđườn hẳn vớigiá rịm vừa ìm được

3 Tìm rên đường hẳn  d1 c c điểm K x y ; có ọa độ ng yên h a mãn 2

6xy 5y x

4 Xá địn m để đườn hẳn  d2 son so g vớimộttro g hai trục ọa đ

5 Tìm ọa độ điểm D (x;y) rên đườn hẳng  d1 sao ch biểu hức 2 2

_

-

35Bàito n 2 Tron mặtp ẳng vớihệ ọa đ Ox O à gốc ọa đ ,cho haiđường hẳn

2 1

2 2

1 Hãy xá địn ọa đ giao điểm của hai đường hẳng rên ro g rường hợp m 3

2 Tìm ấtc c c giá rịcủa m để  d2 điq a điểm M2;5

3 Tìm m để  d1 son so g vớiđườn hẳng y2m3x m

4 Chứng min haiđườn hẳng đã cho k ô g hể son so g vớin au

5 Xá địn ọa độ điểm G heo ham số m

6 Tìm giá rị của m để haiđườn hẳn  d1 và  d2 :

a) Vu n g c với n au

b) Cắtnhau ạiđiểm G nằm rên parabol y x2

c) Cắtnhau ạiđiểm G nằm rên đường ru g rực của đoạn hẳn AB vớiA (1;3),B (3;5)

d) Cắtnhau ạiđiểm G c ch g c ọa độ O mộtkh ản bằng 13

7 Chứng min giao điểm G của haiđường hẳng đã ch u n hu c mộtđường hẳng cố định

8 Tìm giá rị m để giao điểm G ở c u 5 nằm rên đường rò âm O có bán kính bằng 2

9 Tồn ạihay kh ng giá rịm để điểm G c ch điểm C (1;4) mộtkh ảng bằng 5 2 ?

Bàito n 2 Tron mặtp ẳng vớihệ ọa đ Ox cho haiđường hẳn

 

1

2 2

1 Tìm m để đường hẳn  d1 điq a điểm A (1;3)

2 Chứng min rằng haiđường hẳn đã ch kh ng hể v ô g g c vớinhau

3 Vớigiá rịnào của m hì  d1 và  d2 son so g vớin au ?

4 Tìm m để đường hẳn  d1 là iếp uyến của đườn ròn âm O (O à g c ọa đ ),bán kín 3

2

5 Tìm m để kh ảng c ch ừ g c ọa đ O đến đường hẳn  d1 là ớn nhất

6 Tìm giá rị của m để haiđườn hẳn rên:

a) Cắtnhau ạiđiểm M nằm p ía dướitrục h ành

b) Cắtnhau ạiđiểm N nằm bên ráitrục u g

c) Cắtnhau ạiđiểm K (x;y) h a mãn yxm2

7 Tìm ất c c c giá rị của m để hai đườn hẳng c t nhau ại điểm M x y ; sao ch xyđạt giá rị

1 Vẽ haiđường hẳng rên cù g mộthệ rục ọa độ ron rườn hợp m 6

2 Tìm giá rị của m để đườn hẳn  d1 điqua điểm S  2;5

3 Tìm m để  d2 so g son vớiđườn hẳn  2 

y m  m x m

4 Xá địn m sao cho  d1 và  d2 v ô g g c n au vớin au

8 Tìm ất c c c giá rị của m để đườn hẳn  d2 c t haitrục ọa độ ại hai điểm M,N (k ô g rùn

g c ọa đ ) hỏa mãn điều kiện ổ g 1 2 12

1 Tìm m để đường hẳn  d1 điq a điểm K (2 4)

2 Tìm m để đường hẳn  d2 son so g vớiđườn phân giá g c phần ư hứ hai

3 Chứng ỏ rằng đườn hẳn  d2 lu n uô điq a mộtđiểm cố định.Tìm ọa độ điểm đ

4 Cho m 1,lập phươn rình đường hẳn điq a O và vu n góc vớiđường hẳng  d1

5 Giả sử đường hẳn  d1 c thaitrục ọa độ ạihaiđiểm A,B đườn hẳn  d2 c thaitrục ọa độ tạiP,Q (c c điểm A,B,P,Q k ô g rù g g c O)

a) Tìm m sao ch diện ích am giá OAB bằng 9

b) Tìm m sao ch diện ích am giá OAB gấp đôidiện ích am giá OPQ

c) Tìm m để am giá OAB có bán kín đường rò ng ạit ếp bằng 3 2

2 d) Tìm m để k oản c ch ừ gốc ọa độ O đến đườn hẳn  d1 bằn 3

10

6 Gọi M x y ; là giao điểm của haiđườn hẳn  d1 và  d2 Tìm giá rịcủa m sao cho

a) M nằm rên đường hẳng : 3x4y 5 0

b) Điểm M hu c g c p ần ư hứ n ấtcủa hệ rục ọa đ

c) Điểm M c ch đều haitrục ọa đ

7 Tìm giá rị của m để đườn hẳn  d2 kh n hể c tđường rò âm O,bán kín 2

5

R  Bài to n 28.Tron mặtp ẳng vớihệ ọa đ Ox (với O à gốc ọa đ ) cho điểm A 1;1 và haiđườn hẳn

có p ương rìn d1:yx1;d2:y4x2

1 Tìm ọa độ giao điểm P của haiđường hẳn  d1 và  d2

2 Tìm giá rị của m để ba điểm P,A và điểm T3;mthẳn hàng

3 Lập p ươn rìn đường hẳng điq a điểm S (2;5) và son so g với  d2

4 Lập p ươn rìn đường hẳng  điqua điểm J (1;7) và v ô g g c với  d1

6 Tìm ọa độ điểm E rên đường hẳn  d1 sao ch độ dàiđoạn hẳn OE n ắn nhất

7 Giả sử M và N à c c điểm có h ành đ ần ượtlà 2 và 3,đ ng hờinằm rên  d1 Tín độ dàichiều c o OK của am giá OMN (K nằm rên đườn hẳn MN)

8 Lập p ươn rìn đường hẳng d điq a A và c tđườn hẳn  d1 tạiđiểm P h a mãn 5

 làm âm đốixứng (cò gọilà n ận I àm run điểm)

Bàito n 2 Tron mặtp ẳng vớihệ ọa đ Ox cho đường hẳn d y: mx n

1 Tìm m và n để d điq a haiđiểm A 1;1 ,B2;3

2 Tìm mốil ên hệ giữa m và n để

a) Đườn hẳng d có hệ số góc bằng 6

b) Đườn hẳng d có hệ số góc bằng 5m 4

c) Đườn hẳng d kh ng điq a điểm C (3;1)

d) Đườn hẳng d so g vớiđường hẳng :y2m3x2n4m

3 Tìm giá rị của m và n để đườn hẳn d:

c) Điqua điểm K1; 2và c tđườn hẳn xy3tạimộtđiểm nằm rên rục un

d) Điqua giao điểm của haiđường hẳng y2x1;y3x2và son son vớiđườn 2y3x.Bài to n 3 Tron mặtphẳn với tọa đ Ox (vớiO (0;0) à g c ọa độ) ch hai điểmA 1;1 ,B2; 1  và đường hẳng chứa ham số  2  2

d y m  m xm  m

1 Lập p ươn rìn đường hẳng đi q a haiđiểm A và B

2 Tìm m để đường hẳn d son son vớiđườn hẳng y 2x2

3 Tìm m để đường hẳn d v ô g góc vớivới đường hẳng : 1 4

2

4 Tìm m để đường hẳn d đi q a điểm K (0;2) đồ g hờison so g vớiđườn hẳn AB

5 Tìm ọa độ c c giao điểm của đườn hẳn AB với hai trục ọa độ,từ đó ính độ dàiđường c o OH

của am giá OAB

6 Tín diện ích am giá OAB heo hai c ch (theo đườn c o OH – AB h ặ heo p ép rừ diện ích hìn hang – am giá )

7 Tìm ọa độ điểm C rên rục hoàn sao ch ổ g độ dài CA CB n ắn nhất

8 Tìm ọa độ điểm D rong mặtp ẳng ọa độ sao cho ứ giá AOBD à hình bìn hành

9 Tìm ọa độ điểm E rên đoạn hẳn AB sao ch điểm E chia ro g đ ạn AB heo ỷ số 1

2

1 Tín kh ảng c ch ừ điểm M0; 1  đến đườn hẳng AB heo haic ch (theo chân đườn vu n góc

N của M rên AB h ặ heo địn ý Thales

1 Tìm m để đường hẳn d’ điq a điểm K (3;2).

2 Tìm m để đường hẳn d đi q a điểm D hu c rục hoành có h ành đ bằn 3

3 Tìm m để đường hẳn d v ô g góc vớiđườn p ân giá của g c p ần ư hứ hai

4 Giả địn P và Q à c c giao điểm của d vớihaitrục ọa độ (P và Q k ôn rù g vớiO).Tìm giá rịcủa m để OP5OQ

(O à g c ọa đ )

e) Tìm đ dàingắn nhấtcủa đ ạn hẳng OM

8 Tìm m để haiđường hẳng đã ch và đường :y2x1cù g điqua mộtđiểm (đ n qu )

Bàito n 3 Tron mặtp ẳng vớihệ ọa đ Ox ,O à g c ọa đ ,ch haiđường hẳng chứa ham số

1 Vẽ haiđường hẳng rên mộthệ rục ọa độ khi m 1

2 Tìm ọa độ giao điểm của đường hẳn rên k i m 5

3 Tìm m để đường hẳn  d2 điqua điểm G (3;4)

4 Vớigiá rịnào của m hì  d1 c ttrục hoàn ạiđiểm có hoàn đ bằng 6 ?

5 Giả sử P và Q à c c giao điểm kh n rùn gốc O của đườn hẳn  d1 Tìm ấtc c c giá rịcủa

m để am giá OPQ có diện ích bằng 1,5

6 Tìm giao điểm M x y ; của haiđườn hẳng heo ham số m

9 Tìm ấtc c c giá rịcủa m để  d2 kh n hể c tđường rò âm O,bán kín R  5

Bàito n 3 Tron mặtp ẳng vớihệ ọa đ Ox cho haiđiểm A1; 4 , B3;1và đường hẳng d y: ax

1 Tìm a để đườn hẳn d v ô g góc vớiđườn hẳng :y6x9a

_

-

39

6 Lập phươn rình haitro g ba đườn c o AD,BE,OF của am giá OAB.Từ đ ìm ọa độ rực âm

H của am giá OAB

7 Tìm ọa độ điểm C sao cho am giá ABC vu n c n ạiB

8 Tìm ọa độ điểm J sao cho am giá ABJ v ô g c n ạiJ

9 Xá địn ọa độ điểm N ro g mặtphẳn ọa đ sao ch am giá ABN đều

Bài to n 3 Mở rộ g và p át triển bài 2; Đề hi tuyển sinh ớp 1 THPT; Mô Toán; Đề hi chính hức;

Sở Giáo dục và Đào ạo Tỉnh TháiBình;Năm h c 20 8 – 20 9;Ngày hi3 06.20 8

Ch hàm số bậ n ất ym2x m 1 (vớim à ham số hực)

1 Vớigiá rịnào của m hìhàm số y à hàm số đồ g biến ?

2 Tìm giá rị của m để đ hịcủa hàm số điq a điểm M2;6

3 Tìm m để đồ hịcủa hàm số à đường hẳn son so g vớitrục h ành

4 Tìm m để đồ hịcủa hàm số v ô g góc vớiđườn hẳn y4x2016

5 Tìm điểm cố địn mà đ hị hàm số uô đi qua với mọigiá rị của m.Từ đó ìm m để kh ản c ch

c) Xá định giá rịcủa m,biết OH  2

d) Tìm giá rịcủa m để OAB  60

.e) Tìm m sao ch T 12 12

OA OB

  đạtgiá rịnh nhấtBàito n 3 Ch hàm số ymx 3 m2x (1);với m à ham số hực

1 Tìm m để (1) à hàm số bậ n ấtđ ng biến

2 Xá địn m sao cho (1) à hàm số hằn

3 Vẽ đ hịhàm số (1) khi m 1

4 Gọiđườn hẳn d à đồ hịcủa hàm số (1),O à gốc ọa độ

a) Vớigiá rịnào của m hìd điq a điểm M h ộc rục u g có u g đ bằn 7 ?

b) Tìm m để d son so g vớiđườn hẳn y5x6

c) Tìm m để d vu ng góc vớiđường hẳn y 8x13

d) Tìm m để d c tđườn hẳn y2x3tạiđiểm M (x;y) h a mãn 2 2

2

x y  e) Tìm ọa đ c c giao điểm A,B (kh n rùn gốc O) của d vớihaitrục ọa độ.Xá địn m để đường hẳng d ạo với hai rục ọa đ mộttam giá có diện ích bằn 1

f Tồn ạihay k ôn giá rị m để đường hẳng d ạo vớitrục h ành mộtgóc  45?

g) Tìm điểm cố địn mà d uô điq a vớimọigiá rịm,từ đó m kh ảng c ch ớn nhấttừ điểm

N (2;4) đến đường hẳng d khim hay đ ih) Tìm m để đườn hẳng d iếp x c vớiđường rò (C) có âm O,bán kín 3 2

Bàito n 3 Tron mặtp ẳng vớihệ ọa đ Ox cho haiđiểm A1;3, , B  2;1

1 Lập p ươn rìn đường hẳng d điq a A và B

2 Tín góc nh n ạo bởiđườn hẳn AB và rục hoành

3 Xá địn k oảng c ch ừ gốc ọa độ O đến đường hẳng d

4 Tín diện ích am giá OAB

5 Tìm kh ản c ch ừ điểm C (1;4) đến đường hẳng AB

6 Tín diện ích hìn phẳn ạo bởiđường hẳn AB, rục Ox và đườn p ân giá của g c p ần ư hứ hai(tro g mặtp ẳng ọa độ)

-

7 Tìm ọa độ điểm D nằm ro g đoạn hẳng AB đ n hờiD c ch đều haitrục ọa đ

8 Giả sử (C) à đườn ròn đườn kính AB.Tìm điểm E h ộc (C) sao cho độ dàiđ ạn OE ngắn n ất

9 Lập p ươn rìn đường hẳng  điqua điểm C2; 1 thỏa mãn

a) Vu n g c với đường hẳng d

b) So g son vớiđường hẳn d

c) Tạo vớid và rục Ox một am giá có diện ích bằng 3

Bàito n 3 Tron mặtp ẳng vớihệ ọa đ Ox ,O à g c ọa đ ,ch ba đường hẳn

1 Vẽ haiđường hẳng d d1, 2 rên cùn mộthệ rục ọa đ

2 Tín diện ích hìn phẳn giớihạn bởihaiđườn hẳn d d1, 2vớitrục hoàn

3 Tìm m để ba đườn hẳn đã ch đồ g q y

4 Tín kh ảng c ch ừ g c ọa đ O đến đường hẳn d1

5 Viếtphươn rình đườn hẳng điq a điểm M (1;4) và so g son vớiđường hẳng d1

6 Viếtphươn rình đườn hẳng điq a điểm N (2;5) và vu n góc vớiđường hẳn d2

7 Tìm m để đường hẳn d3c ttrục hoành ạiđiểm có hoàn độ bằng 4

8 Tìm điểm cố định mà đườn hẳn d3luô điq a vớimọigiá rịcủa m

1 Tìm m để đường hẳn d’ c ttrục hoàn ạiđiểm có h ành đ bằn 6

2 Tìm m để đường hẳn d’ c tđường hẳn d ạiđiểm có hoành đ bằn 3

3 Viếtphươn rình đườn hẳng  điq a điểm A  3;5và so g son vớiđường hẳn d

4 Tìm m để haiđường hẳng đã ch và đường hẳn :y4x1đồ g q y

5 Đườn hẳng d c thai trục ọa độ Ox và Oy heo hứ ự ạiB và C.Tìm c c điểm có ọa đ ng yên thu c đ ạn hẳng BC

6 Tìm điểm cố định mà đườn hẳn d’ uô điqua vớimọigiá rị của m

7 Tìm giá rị của m để k oản c ch ừ gốc ọa độ O đến đườn hẳng d’ à ớn n ất

8 Tồn ạihay kh ng giá rịm để d’ à iếp uyến của đườn ròn âm O,bán kính R  2

9 Tìm ọa độ c c giao điểm M, N của đườn hẳn d ần ượt với trục un và rục h àn Tín diện