Mot so bai toan ve khoang cach va goc

Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm... Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng P sao cho MA2 + MB2 đạt giá trị nhỏ nhất... Tìm tọa độ điểm M trên  sao cho

Netschool.edu.vn

MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH

I LIÊN QUAN ĐẾN GÓC

(5 BÀI ) Bµi 1 ( KA-2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình lập phương ABCD.A

'B'C'D' với

A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0;1; 0), A'(0; 0;1) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB, CD

1 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'C và MN

2 Viết phương trình mặt phẳng chứa A'C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc α biÕt

1 0 1 2 2 ' ,

- Do đi qua (A’C) cho nên : Qua A’(0;0;1) suy ra : c+d=0 (2) Suy ra c=-d = a+b

(P) qua C(1;1;0) : a+b+d =0 (3) suy ra : (P) : ax+by+(a+b)z-(a+b)=0 (*)

- Mặt phẳng (P) có : na b c; ; , mặt phẳng (Oxy) có véc tơ pháp tuyến là k 0;0;1 Do đó

- Với : a=-2b, chọn b=-1, ta được (P) : 2x-y+z-1=0

- Với b=-2a , thì chọn a=1 , ta được (P) : x-2y-z+1=0

Bài 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1; 2; 3), B(2; 1; 6) và mp(P): x + 2y + z 3= 0 Viết phương trình mp(Q) chứa AB và tạo với mp(P) một góc thỏa mãn: cos 3

6

 

GIẢI Gọi (Q) có dạng : ax+by+cz+d=0

(Q) qua A(-1;2;-3) ta có : -a+2b-3c+d=0 (1) và (Q) qua B(2;-1;-6) : 2a-b-6c+d=0 (2)

- Vậy có hai mặt phẳng : (Q): -4x+y-3z-15=0 và (Q’): -x+y-3=0

Bài 3 Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2; 1; 1), B(0; 1: 2) và đường

Bài 3 Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm

b/Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 2 và tạo với đường thẳng 1 một góc 300

GIẢI a/Chứng minh hai đường thẳng 1 và 2 chéo nhau:

* Đường thẳng 1 có véc tơ chỉ phương u1 1; 2;1   và qua O(0;0;0), còn  2 qua B(1;-1;1)

Với m=-n thỡ (P): 2nx-ny-nz-2n=0 , Hay (P): 2x-y-z-2 =0

Bài 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đ-ờng thẳng d và d’ lần l-ợt có

ph-ơng trình : d : x y z





 1

2

và d’ :

1

5 3

Viết ph-ơng trình mặt phẳng (P) đi qua d và tạo với d’ một góc 0

30GIẢI

Tương tự như bài 4, ta chuyển d sang dạng là giao của hai mặt phẳng : x-z=0 và x+y-2=0

Do đú (P) thuộc chựm : m(x-z)+n(x+y-2)=0 ; hay : (m+n)x+ny-mz-2n=0 (1)

Đường thẳng d’ cú u2;1; 1   Vỡ (P) tạo với d’ một gúc bằng 0

- Với m=-2n thay vào (1) thỡ (P): -nx+ny+2nz-2n=0 ; hay (P):-x+2y+2z-2=0

- Với n=-2m thay vào (1) thỡ (P): -mx-2my-mz+4m=0 ; hay (P): -x-2y-z+4=0

II LIấN QUAN ĐẾN KHOẢNG CÁCH

( 32 BÀI )

Bài 1.(ĐH_KD-2009)

Trong khụng gian tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD cú tọa độ cỏc đỉnh A(1;2;1),B(-2;1;3), C(2;-1;1),D(0;3;1).Viết phương trỡnh mặt phẳng (P) đi qua A và B sao cho khoảng cỏch từ điểm C đến mặt phẳng (P) bằng khoảng cỏch từ điểm D đến mặt phẳng (P)

GIẢI

- Mặt phẳng (P) cú dạng : ax+by+cz+d=0

- (P) qua A(1;2;1) thỡ : a+2b+c+d=0 (1) (P) qua B(-2;1;3) thỡ : -2a+b+3c+d=0 (2)

- Theo giả thiết : h(C,P)=h(D,P)

GIẢI Gọi (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R Theo giả thiết :

Bài 5 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(4;9;9), B(10;13;1)

và mặt phẳng (P): x + 5y  7z  5 = 0 Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho

MA2 + MB2 đạt giá trị nhỏ nhất

GIẢI Gọi M (x;y;z) thuộc (P) thì ta có : x+5y-7z-5=0 (1)

( Kết quả như trên )

Bài 6 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(5; 8; 11), B(3; 5; 4),

; ;

1 9

GIẢI

Mặt phẳng (P) có dạng : ax+by+cz+d=0

Nếu (P) qua A(1;-1;2) thì ta có phương trình : a-b+2c+d=0 (1)

Nếu (P) qua B(1;3;0) thì ta có phương trình : a+3b+d=0 (2)

Theo giả thiết : h(C,P)=h(D,P) cho nên ta có :

GIẢI Gọi M(x;y;z) thuộc (P) thì ta có phương trình : 3x-3y+2z+37=0 (1) Khi đó ta có :

Dấu đẳng thức xảy ra khi :

Ta có : BA1;0; 2 , MBx 1;y 1;z Nếu tam giác MAB vuông cân tại B và kết hợp với (1) thì ta có hệ phương trình :

- Tìm tọa độ A là giao của d với (P) Tọa độ của A là nghiệm của hệ :

Nếu H thuộc d’ thì H=(t+4;-2-4t;3-3t) (*) ,suy ra KH    3 t t; 4  3;3t 1

t   t   , thay vào (*) ta tìm được tọa độ của H

Bài 10 Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng

Do A thuộc        1 A  1 t'; 1 t';3 t' B thuộc      2 B  1 2 ;1;t t

Ta có : IA   1 t t'; ' 4; 4  t' ; IB   1 2 ; 2;t  t 1

IB k

11 41 2 11

Netschool.edu.vn

Hoặc :

7 2 11 39 :

11 29 2 11

- Lập mặt phẳng (Q) song song với (P) và cách (P) một khoảng bằng 2

- Do đó (Q) có dạng : 2x+y-2z+m=0 Ví h(P,Q) = 2 suy ra : Trên (Q) chọn N(-2;-3;1)

có hai mặt phẳng (Q) ; 2x+y-2z+14=0 và 2x+y-2z+2=0

- Bây giờ ta đi tìm tọa độ của M là giao của d với (Q), thì tọa độ M là nghiệm :

      Dấu đẳng thức xảy ra khi t=-3 , và C=( -2 ;5 ;-5 )

Bài 14 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A( 1;0;1),  B(2; 1;0), (2; 4; 2)  C và

mặt phẳng ( ) : x y 2z  2 0 Tìm tọa độ điểm M trên () sao cho biểu thức

T MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất

GIẢI Nếu M thuộc mặt phẳng ( ) : x y 2z  2 0 (1)

Khi đó ta có :

MA x y z MA  x y  z x y z   

Bài 15 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;0;3); B(2;0;1) và mặt phẳng

(P): 3x  y  z +1 = 0 Tìm tọa độ điểm C nằm trên (P) sao cho ABC tam giác đều

GIẢI Nếu M=(x;y;z) thuộc (P) suy ra ; 3x-y-z+1=0 (1) Khi đó ta đi tính :

Bài 17 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(3; 1; 0), B nằm trên

mặt phẳng Oxy và C nằm trên trục Oz Tìm tọa độ các điểm B, C sao cho H(2; 1; 1) là trực tâm của tam giác ABC

GIẢI Nếu B nằm trên mp(Oxy) thì B( x;y;0), còn C nằm trên trục Oz thì C(0;0;z)

Gọi H là trực tâm của tam giác ABC thì nó là giao của ba đường cao hạ từ ba đỉnh của tam

giác có nghĩa là ta có hệ ba phương trình :

Vậy điểm C cần tìm có tọa độ là C=( t;7-2t;-t ) ( Có vô số điểm C)

Bài 18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d): 5 7

z

và điểm M(4 ; 1 ; 6) Đường thẳng (d) cắt mặt cầu (S) tâm là M tại hai điểm A, B sao cho

AB = 6 Viết phương trình của mặt cầu (S)

GIẢI Đường thẳng d qua N(-5;7;0) vả có véc tơ chỉ phương u2; 2;1  MN  9;6; 6  

LËp ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua A, song song víi d

vµ kho¶ng c¸ch tõ d tíi (P) lµ lín nhÊt

GIẢI Gọi (P) là mặt phẳng qua A(10;2;-1) và có véc tơ pháp tuyến na b c; ;  Do đó (P) có phương trình là : a(x-10)+b(y-2)+c(z+1)=0 ; Hay (P): ax+by+cz-10a-2b+c=0 (*)

Đường thẳng d qua B(1;0;1) và có véc tơ chỉ phương u2;1;3

- Nếu (P) song song với d thì n u nu  0 2a  b 3c 0  1

- Khoảng cách từ d đến (P) chính là khoảng cách từ M thuộc d đến (P) , với

Nếu C nằm trên mặt phẳng (Q) thì C(x;y;z) thỏa mãn : x-y+z+1=0 (1)

Netschool.edu.vn

 

2 2

1 3 5 4 3 2

y x z

Bài 22 Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(9; 1; 1) cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A,

B, C sao cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất

GIẢI Gọi A(a;0;0) tuộc Ox,B(0;b;0) thuộc Oy và C(0;0;c) thuộc Oz ( a,b,c khác 0 )

Khi đó mặt phẳng (P) có dạng : x y z 1 0 bcx acy abz abc 0  1

a    b c     Nếu (P) qua M(9;1;1) thì ta có : 9 1 1  

1 2

a  b c

Do thể tích tứ diện 1  

3 6

Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương

4; 6; 8 / / ' 2; 3; 4 1;1; 3

u   u    AB AM   Cho nên đường thẳng d song song với (AB) Do đó (AB) và d cùng thuộc một mặt phẳng Từ đó , theo kết quả của hình học phẳng , ta làm như sau :

- Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d

- Lập đường thẳng d’ qua A’ và B

- Tìm tọa độ I là giao của (A’B) với d

Theo cách làm trên , rõ ràng dường thẳng d là trung trực của AA’ cho nên IA=IA’ , cho nên : IA+IB=IA’+IB=A’B Nếu có I’ thuộc d thì I’A+I’B>A’B Vậy I là điểm duy nhất

- Cũng theo nhận xét trên thì IH là đường trung bình của tam giác A’BA cho nên AB=2IH Hay IA’=IB=IA (*) Do đó :

A

B

I A’

d

H

Chú ý : Năm 1998 ĐH Thái nguyên K-A+B cũng đã ra dạng bài tập này rồi

* Đề thi : Cho điểm A(1;2;-1) và điểm B(7;-2;3) , đường thẳng d là giao của hai mặt phẳng

có phương trình : 2x+3y-4=0 và y+z-4=0

a/ Chứng tỏ d và đường thẳng (AB) cùng thuộc một mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng đó

b/ Tìm tọa độ giao điểm của d với mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB

c/ Tìm điểm I thuộc d sao cho chu vi tam giác ABI có giá trị nhỏ nhất ? Tính chu vi tam giác ABI với điểm I tìm được

Bài 24 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; -1), B(7; -2; 3) và

Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương

3; 2; 2 / / 6; 4; 4 1; 2;5

u  AB   AN   Cho nên đường thẳng d song song với (AB) Do đó (AB) và d cùng thuộc một mặt phẳng Từ đó , theo kết quả của hình học phẳng , ta làm như sau :

- Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d

- Lập đường thẳng d’ qua A’ và B

- Tìm tọa độ M là giao của (A’B) với d

Theo cách làm trên , rõ ràng dường thẳng d là trung trực của AA’ cho nên MA=MA’ , cho nên : MA+MB=MA’+MB=A’B Nếu có M’ thuộc d thì M’A+M’B>A’B Vậy M là điểm duy nhất

- Cũng theo nhận xét trên thì MH là đường trung bình của tam giác A’BA cho nên

AB=2MH Hay MA’=MB=MA (*) Do đó :

Nếu M nằm trên d thì điểm I có tọa độ là M=(2+3t;-2t;4+2t) Từ đó ta có :

d

H

Tọa độ I thỏa mãn yêu cầu là : M=(2;0;4 )

Bài 25 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho  P :x 2yz 5  0 và đường thẳng

3 1

2

3

:

)

(d x  y  z , điểm A( -2; 3; 4) Gọi  là đường thẳng nằm trên (P) đi qua giao

điểm của ( d) và (P) đồng thời vuông góc với d Tìm trên  điểm M sao cho khoảng cách

AM ngắn nhất

GIẢI Gọi B(x;y;z) là giao của d với (P) thì tọa độ của B là nghiệm của hệ :

   

2 3 1

z

t y

t x

Tìm tọa độ các điểm M thuộc ( )d1 và N thuộc (d2) sao cho đường thẳng MN song song

với mặt phẳng  P : – 2010 0x y  z   độ dài đoạn MN bằng 2

7 7 7 '

Vậy : H=(29;-4;-27) hoặc H=(21;-2;-21) Do đó có hai đường thẳng có cùng véc tơ chỉ

phương u2; 3;1   qua hai điểm H tìm được : 1 2

Bài 31 (KB-08 ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1),

C(-2;0;1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và tìm điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z

Do đó (ABC) có phương trình là : x+2(y-1)-4(z-2)=0 , Hay (ABC): x+2y-4z+6=0

- Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) : 2x+2y+z-3=0

Nếu M=(x;y;z) thuộc (P) : 2x+2y+z-3=0 (1) Ta có :

Nếu M thuộc  thì M=(1-t;t-2;2t ) Khi đó ta có :