sáng kiến kinh nghiệm một số phương pháp giải toán về phép chia hết lớp 6

Qua giảng dạy tôi nhận thấy “Phép chia hết” là đề tài lý thú, phong phú và đa dạng của số học lớp 6 và không thể thiếu khi bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6 cũng như môn Toán THCS nói

1

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 LỜI GIỚI THIỆU

Cùng với sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục không ngừng đổi mới Các nhà trường ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng giáo dục toàn diện bên cạnh sự đầu tư thích đáng cho giáo dục mũi nhọn Với vai trò là môn học công cụ, bộ môn Toán đã góp phần tạo điều kiện cho các em học tốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác

Dạy như thế nào để học sinh không những nắm chắc kiến thức cơ bản một cách có hệ thông mà phải được nâng cao để các em có hứng thú say mê học tập

là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình

Để đáp ứng được yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu học của học sinh đặc biệt là học sinh khá giỏi Điều đó đòi hỏi trong giảng dạy chúng ta phải biết chắt lọc kiến thức, phải đi từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng và phát triển thành tổng quát, giúp học sinh phát triển tốt tư duy toán học

Với đối tượng học sinh khá giỏi, các em có tư duy nhạy bén, có nhu cầu cẩn hiểu biết ngày càng cao, làm thế nào để các học sinh này phát triển hết khả năng của mình đó là trách nhiệm của các giáo viên chúng ta

Bản thân tôi trong năm học này được nhà trường phân công dạy môn toán

lớp 6 và bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6 Qua giảng dạy tôi nhận thấy “Phép chia

hết” là đề tài lý thú, phong phú và đa dạng của số học lớp 6 và không thể thiếu

khi bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6 cũng như môn Toán THCS nói chung

Với bài viết này tôi không tham vọng lớn bàn về việc dạy “Phép chia

hết” và ứng dụng của nó trong chương trình toán học phổ thông Tôi chỉ xin đưa

ra một số kinh nghiệm giúp học sinh lớp 6 giải các bài tập về “Phép chia hết ”

Họ và tên: Nguyễn Văn Toán

Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường trung học cơ sở Gia Khánh

Số điện thoại: 0985845938

2

Email: dangduy1@gmail.com

4 CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN

Nguyễn Văn Toán – Giáo viên trường trung học cơ sở Gia Khánh – Bình Xuyên – Vĩnh Phúc

5 LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

5.1 Lĩnh vực sáng kiến áp dụng

Giảng dạy môn Toán học nói chung và bồi dưỡng học sinh giỏi các khối lớp 6,7,8,9 nói riêng trong trường trung học cơ sở

5.2 Vấn đề mà sáng kiến giải quyết

Trong chương trình giáo dục THCS môn Toán là môn học quan trọng, môn Toán có tiềm năng có thể khai thác góp phần phát triển năng lực, trí tuệ chung, rèn luyện và phát triển các thao tác tư duy và các phẩm chất tư duy

Trong quá trình học tập bộ môn Toán ở nhà trường cũng như trong các kỳ

thi học sinh giỏi các cấp, “Phép chia hết” là một vấn đề hay và lý thú Chính vì

vậy mà nó thường xuyên có mặt trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp

Đứng trước một bài toán có nhiều cách giải khác nhau, xong việc tìm ra một lời giải hợp lý, ngắn gọn, thú vị và độc đáo là một việc không dễ thông qua

đó mà thu được kết quả nhanh chóng Vì vậy, nếu khai thác phép chia hết này vào việc giải các bài toán khác thì có thể đem lại kết quả nhiều mặt, kích thích tính sáng tạo của học sinh

Qua việc điều tra trên thực tế của giáo viên thì đa phần các em đã nắm được kiến thức cơ bản của phép chia hết, bên cạnh đó có những bài toán học sinh còn vướng mắc, nếu không có sự hướng dẫn của giáo viên thì các em không tìm ra hướng giải Từ thực tế trên và bản thân tôi là một giáo viên dạy bộ môn Toán học luôn suy nghĩa phải đưa ra những giải pháp như thế nào để các

em nắm được một số phương pháp và kĩ năng vận dụng vào các bài toán chia hết tốt hơn Sau một thời gian suy nghĩ tiến hành thực nghiệm tôi đã thu được những kết quả rất tốt từ việc áp dụng một số phương pháp về giải bài toán chia hết vào giảng dạy môn Toán học nói chung và các buổi bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng đã thu được kết quả cao

6 NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC ÁP DỤNG THỬ

Bắt đầu từ ngày 15 tháng 2 năm 2015

7 MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN

7.1 Về nội dung của sáng kiến

A ĐỊNH NGHĨA PHÉP CHIA

Cho 2 số nguyên a và b trong đó b  0 ta luôn tìm được hai số nguyên q

và r duy nhất sao cho:

a = bq + r Với 0  r  b

Trong đó: a là số bị chia, b là số chia, q là thương, r là số dư

Khi a chia cho b có thể xẩy ra  b số dư

r  {0; 1; 2; …;  b}

Đặc biệt: r = 0 thì a = bq, khi đó ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a

Ký hiệu: ab hay b\ a

Vậy: a  b  Có số nguyên q sao cho a = bq

4

14 Nếu a  b và c  d  ac  bd

15 Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n!

C MỘT SỐ DẤU HIỆU CHIA HẾT Gọi N = a a n n 1 a a 1 0

1 Dấu hiệu chia hết cho 2:

Một số chia hết cho 2chữ số tận cùng của nó là chữ số chẵn

N  2  a0  2  a0{0; 2; 4; 6; 8}

2 Dấu hiệu chia hết cho 5:

Một số chia hết cho 5 chữ số tận cùng của nó là 0 hoặc 5

N  5  a0  5  a0{0; 5}

3 Dấu hiệu chia hết cho 4 và 25:

Một số chia hết cho 4 (hoặc 25)số tạo bởi 2 chữ số tận cùng của nó chia hết cho 4 hoặc 25

N  4 (hoặc 25)  a 1 a 0  4 (hoặc 25)

4 Dấu hiệu chia hết cho 8 và 125:

Một số chia hết cho 8 (hoặc 125)  số tạo bởi 3 chữ số tận cùng của nó chia hết cho 8 hoặc 125

N  8 (hoặc 125)  a2a1a0  8 (hoặc 125)

5 Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9:

Một số chia hết cho 3 (hoặc 9)  tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 (hoặc 9)

N  3 (hoặc 9)  a0+a1+…+an  3 (hoặc 9)

* Chú ý: một số chia hết cho 3 (hoặc 9) dƣ bao nhiêu thì tổng các chữ số của nó chia cho 3 (hoặc 9) cũng dƣ bấy nhiêu

6 Dấu hiệu chia hết cho 11:

Một số chia hết cho 11 hiệu giữa tổng các chữ số ở hàng lẻ và tổng các chữ

số ở hàng chẵn tính từ trái sang phải chia hết cho

a Định nghĩa: Cho m là số nguyên dương Nếu hai số nguyên a và b cho cùng

số dư khi chia cho m thì ta nói a đồng dư với b theo modun m

Ký hiệu: a  b (modun)

Vậy: a  b (modun)  a - b  m

b Các tính chất

1 Với  a  a  a (modun)

2 Nếu a  b (modun)  b  a (modun)

3 Nếu a  b (modun), b  c (modun)  a  c (modun)

4 Nếu a  b (modun) và c  d (modun)  a+c  b+d (modun)

5 Nếu a  b (modun) và c  d (modun)  ac  bd (modun)

6 Nếu a  b (modun), d  Uc (a, b) và (d, m) =1 

d

b d

a  (modun)

7 Nếu a  b (modun), d > 0 và d  Uc (a, b, m) 

d

b d

 k với pi  p; i  N*Thì (m) = m(1 -

` 1

Nếu t là số nguyên tố và a không chia hết cho p thì a p-1  1 (modp)

G CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CHIA HẾT

1 Phương pháp 1: SỬ DỤNG DẤU HIỆU CHIA HẾT

Ví dụ 1: Tìm các chữ số a, b sao cho a56b  45

Giải: Ta thấy 45 = 5.9 mà (5 ; 9) = 1

để a56b  45  a56b  5 và 9

6

Xét a56b  5  b  {0 ; 5}

Nếu b = 0 ta có số a56b  9  a + 5 + 6 + 0  9  a + 11  9  a = 7 Nếu b = 5 ta có số a56b  9  a + 5 + 6 + 0  9  a + 16  9  a = 2 Vậy: a = 7 và b = 0 ta có số 7560

a = 2 và b = 5 ta có số 2560

Ví dụ 2: Biết tổng các chữ số của 1 số là không đổi khi nhân số đó với 5 CMR

số đó chia hết cho 9

Giải: Gọi số đã cho là a

Ta có: a và 5a khi chia cho 9 cùng có 1 số dƣ

 5a - a  9  4a  9 mà (4 ; 9) = 1

 a  9 (Đpcm)

Ví dụ 3: CMR số 

1 sè 81111

Bài 4: Viết liên tiếp tất cả các số có 2 chữ số từ 19 đến 80 ta đƣợc số A =

192021…7980 Hỏi số A có chia hết cho 1980 không ? Vì sao?

Bài 5: Tổng của 46 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 46 không? Vì sao?

7

Bài 6: Chứng tỏ rằng số 

1 sè 100

11

2 sè 100

22

22  là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp

HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ Bài 1: a x = 4 và y = 2

Bài 5: Tổng 2 số tự nhiên liên tiếp là 1 số lẻ nên không chia hết cho 2

Có 46 số tự nhiên liên tiếp  có 23 cặp số mỗi cặp có tổng là 1 số lẻ  tổng 23 cặp không chia hết cho 2 Vậy tổng của 46 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 46

Bài 6: Có 

1 sè 10011

2 sè 10022

22 =

1 sè 10011

0 sè 9902

22

3 sè 100

33

3 sè 99

34

33  (Đpcm)

2 Phương pháp 2: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CHIA HẾT

8

* Chú ý: Trong n số nguyên liên tiếp có 1 và chỉ 1 số chia hết cho n

CMR: Gọi n là số nguyên liên tiếp

m + 1; m + 2; … m + n với m  Z, n  N*Lấy n số nguyên liên tiếp trên chia cho n thì ta được tập hợp số dư là: {0; 1; 2;

m

nji;

1

r nqi

im

 i - j = n(qi - qj)  n  i - j  n

mà i - j< n  i - j = 0  i = j

 m + i = m + j Vậy trong n số đó có 1 số và chỉ 1 số đó chia hết cho n…

Ví dụ 1: CMR: a Tích của 2 số nguyên liên tiếp chia hết cho 2

b Tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6

Giải: a Trong 2 số nguyên liên tiếp bao giờ cũng có 1 số chẵn

 Số chẵn đó chia hết cho 2

Vậy tích của 2 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2

Tích 2 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2 nên tích của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2

b Trong 3 sô nguyên liên tiếp bao giơ cũng có 1 số chia hết cho 3

 Tích 3 số đó chia hết cho 3 mà (1; 3) = 1

Vậy tích của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 6

Ví dụ 2: CMR: Tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 9 Giải: Gọi 3 số nguyên liên tiếp lần lượt là: n - 1 , n , n+1

Ta có: A = (n - 1)3

+ n3 + (n + 1)3 = 3n3 - 3n + 18n + 9n2 + 9

= 3(n - 1)n (n+1) + 9(n2 + 1) + 18n

Ta thấy (n - 1)n (n + 1)  3 (CM Ví dụ 1)

Với k  2 nên k - 2, k - 1, k + 1, k là 4 số tự nhiên liên tiếp nên trong 4 số đó có

1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4  (k - 2)(k - 1)(k + 1)k  8

= n(n + 1) (n - 1) + n(n + 1) (n + 2)  6

b n5 - 5n3 + 4n = (n4 - 5n2 + 4)n

= n(n2 - 1) (n2 - 4)

= n(n + 1) (n - 1) (n + 2) (n - 2)  120

trong 1000 tự nhiên liên tiếp n, n + 1; n + 2; …; n + 999

có 1 số chia hết cho 1000 giả sử n0, khi đó n0 có tận cùng là 3 chữ số 0 giả sử tổng các chữ số của n0 là s khi đó 27 số n0, n0 + 9; n0 + 19; n0 + 29; n0 + 39; …;

11

3 Phương pháp 3: XÉT TẬP HỢP SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA

Ví dụ 1: CMR: Với  n  N Thì A(n) = n(2n + 7) (7n + 7) chia hết cho 6

Giải: Ta thấy 1 trong 2 thừa số n và 7n + 1 là số chẵn Với  n  N  A(n)  2

2n - 1 = 23k + 2 - 1 = 4(23k - 1) + 3

12

mà 23k - 1  7  2n

- 1 chia cho 7 dƣ 3 Vậy 23k - 1  7  n = 3k (k  N)

+ Lấy n chia cho 5  n = 5q + r r  {0; 1; 2; 3; 4}

11 17b

11 17b 16a

80

9n

81

n

8

n

81

n n

n n

n

n

Víi

VíiVíi

21

k k

a a a a a a a

aa

3 3

3 3



k

k k

a a a

aa a

aa

3

3 3

2

10

.

10

5 3

3 4n1  4n1   q  k

= 32.310q + 23.210k + 5

 1+0+1 (mod 2)

 0 (mod 2)

Bài 2: Ta thấy 52n-1

22n-15n+1 + 3n+1 .22n-1  2 Mặt khác 52n-1

N = (kp - 1)(p - 1), k  N đều chia hết cho p

7 Phương pháp 7: SỬ DỤNG NGUYÊN LÝ ĐIRICHLET

Nếu đem n + 1 con thỏ nhốt vào n lồng thì có ít nhất 1 lồng chứa từ 2 con trở lên

Ví dụ 1: CMR: Trong n + 1 số nguyên bất kỳ có 2 số có hiệu chia hết cho n Giải: Lấy n + 1 số nguyên đã cho chia cho n thì được n + 1 số dư nhận 1 trong

Vậy trong n +1 số nguyên bất kỳ có 2 số có hiệu chia hết cho n

Nếu không có 1 tổng nào trong các tổng trên chia hết cho n như vậy số dư khi chia mỗi tổng trên cho n ta được n số dư là 1; 2; …; n - 1

Vậy theo nguyên lý Đirichlet sẽ tồn tại ít nhất 2 tổng mà chi cho n có cùng số dư

 (theo VD1) hiệu cùadr tổng này chia hết cho n (ĐPCM)

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài 1: CMR: Tồn tại n  N sao cho 17n

- 1  25

Bài 2: CMR: Tồn tại 1 bội của số 1993 chỉ chứa toàn số 1

Bài 3: CMR: Với 17 số nguyên bất kỳ bao giờ cũng tồn tại 1 tổng 5 số chia hết

cho 5

19

Bài 4: Có hay không 1 số có dạng: 19931993 … 1993000 … 00  1994

HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ Bài 1: Xét dãy số 17, 172, …, 1725

19930

0011

0 sè 1

199310

.11

20

a1994 =   

1 9 9 3 sè

21

 2r

(nmq - 1) + (2r - 1)  n  2r - 1  d vì r < m mà m  N, m nhỏ nhất khác 1 có tính chất (1)

 r = 0  m\n mà m < d cũng có tính chất (1) nên điều giả sử là sai

3 2

Trước đây khi chưa ứng dụng sáng kiến vào giảng dạy Mặc dù tôi cũng

đã sử dụng một số phương pháp nêu trên vào giảng dạy nhưng chất lượng học sinh giỏi vẫn đạt kết quả chưa cao Số lượng học sinh cần giáo viên hướng dẫn tương đối nhiều Số lượng học sinh vận dụng các phương pháp chứng minh còn

ít

Khi áp dụng sáng kiến vào thực tế giảng dạy thời gian qua tôi nhận thấy học sinh học tập tích cực hơn, hào hứng hơn, chú ý hơn, tham gia xây dựng bài

22

sôi nổi hơn, tích cực thực hành và dạt kết quả tốt Đặc biệt các em dẫ vận dụng linh hoạt các phương pháp vào giải các bài toán, chất lượng đi lên rõ rệt

Bằng một chút vốn hiểu biết và kinh nghiệm giảng dạy một số năm, tôi đã

hệ thống được một số kiến thức liên quan, sưu tầm và tích luỹ được một số bài tập phù hợp và phương pháp giải theo mức độ từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp để cho học sinh tham khảo theo quy trình sau:

* Một là: trước hết học sinh cần nắm vững định nghĩa phép chia hết trong sách giáo khoa toán 6 ; Các dấu hiệu chia hết cũng như các tính chất về quan hệ chia hết

* Hai là: Khi học sinh đã nắm chắc các vấn đề nếu trên thì giáo viên có thể đưa ra một vài phương pháp thường dùng để giải bài toán chia hết Với học sinh lớp 6, tôi thường sử dụng 9 phương pháp sau:

* Phương pháp 1: Sử dụng dấu hiệu chia hết

* Phương pháp 2: Sử dụng tính chất chia hết

* Phương pháp 3: Xét tập hợp số dư trong phép chia

* Phương pháp 4: Biến đổi biểu thức cần chứng minh về dạng tổng

* Phương pháp 5: Dùng quy nạp toán học

và phong phú Nếu như chúng ta chỉ cần hướng dẫn học sinh giải những bài tập

có mức độ trung bình thì các em chưa thể thấy được cái hay của dạng toán này, đồng thời có khi các em còn có cảm giác là khó và phức tạp Qua các bài tập trên ta thấy mặc dù mỗi dạng bài tập sử dụng phương pháp biến đổi ban đầu khác nhau nhưng cuối cùng đều quy về định nghĩa và các tính chất của phép chia hết

Chính vì vậy việc nắm vững định nghĩa về phép chia hết, các tính chất và dấu hiệu của phép chia hết là vấn đề then chốt giúp học sinh có thể định hướng được cách giải bài tập, giúp học sinh có tư duy sáng tạo và sự linh hoạt khi giải toán

Khi đã làm được như vậy thì việc giải các bài toán về phép chia hết đã trở thành

niềm đam mê, thích thú của học sinh Với những kinh nghiệm vừa trình bày ở

trên, sau thời gian ngắn dạy toán 6 bản thân tôi nhận thấy: khi dạy phần chia hết trong tập hợp số tự nhiên học sinh tiếp nhận kiến thức một cách thoải mái, chủ động, rõ ràng Học sinh phân biệt và nhận dạng được các bài toán liên quan đến

9 DANH SÁCH NHỮNG TỔ CHỨC CÁ NHÂN ĐÃ THAM GIA ÁP DỤNG THỬ HOẶC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN LẦN ĐẦU TIÊN

Hoạt động dạy học, bồi dưỡng học sinh giỏi

2 Học sinh giỏi các lớp

6, 7, 8, 9

Trường THCS Gia Khánh

Hoạt động bồi dưỡng học sinh giỏi

3

Học sinh khá giỏi khối

lớp 6

Lớp 6A,B,C,D trường THCS Gia Khánh

Hoạt động dạy học,bồi dưỡng học sinh giỏi

Gia khánh, ngày tháng năm 2016