Tài liệu ôn môn Toán khối lớp 10 (không chuyên Toán) do Nguyễn Tuấn Ngọc biên soạn. Tài liệu tổng hợp các bài tập đại số (4 chương) và hình học (2 chương). Đây là tài liệu bổ ích để các em ôn tập và luyện thi tốt môn Toán. Chúc các em học tốt.
Trang 2ĐẠI SỐ HÌNH HỌC
CHƯƠNG I: MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP CHƯƠNG I: VEC TƠ
CHƯƠNG II: HÀM SỐ BẬC NHẤT –
BẬC HAI
CHƯƠNG II: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA
HAI VEC TƠ – ỨNG DỤNG
CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ
PHƯƠNG TRÌNH
CHƯƠNG IV: BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT
PHƯƠNG TRÌNH
(bài Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng
thức)
Thầy: Nguyễn Tuấn Ngọc biên soạn.
CHƯƠNG I: MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP
§1: MỆNH ĐỀ VÀ MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN
1 Nêu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xác định tính đúng – sai của mệnh
đề phủ định đó:
a) Phương trình x2– 3x + 2 = 0 có nghiệm.
b) 210– 1 chia hết cho 11
c) Có vô số số nguyên tố
2 Cho tứ giác ABCD Xét hai mệnh đề:
P : “Tứ giác ABCD là hình vuông”, Q: “ Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai
đường chéo vuông góc”
Phát biểu mệnh đề P Q bằng hai cách và cho biết mệnh đề đó đúng hay sai?
3 Cho mệnh đề chứa biến P(n): “n2– 1 chia hết cho 4” với n là số nguyên.
Xét tính đúng – sai của mệnh đề P(5), P(2), P(2011).
4 Nêu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xác định tính đúng – sai của nó:
,
, 1 3
c) 2
, 1 4
, 3
, 4 1 0
f) 2
, 1 8
Trang 3g) *
, 1 2 11
h) 2
, 1 0
i)
2 , 1 0
5 Nêu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xác định tính đúng – sai của nó:
, 0
c) * 2
, 1 3
d) n , 2n n 2 e) 2
là số nguyên tố
6 Cho mệnh đề chứa biến P m n ; : “n chia hết cho m”, với m,n Xác định tính đúng – sai các mệnh đề sau và nêu mệnh đề phủ định của nó:
, , ;
b) *
, , ;
c)
* , , ;
§2 ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO SUY LUẬN TOÁN HỌC
1 a) Chứng minh nếu x –1 và y –1 thì x + y + xy –1.
b) Hãy dùng thuật ngữ “điều kiện cần” và “điều kiện đủ” để phát biểu định lý trên c) Mệnh đề đảo có đúng không ? Nếu đúng, dùng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ”
để phát biểu định lý thuận và đảo
2 Hãy dùng thuật ngữ “điều kiện cần” và “điều kiện đủ” để phát biểu định lý: “nếu 2
tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau” Phát biểu mệnh đề đảo của định lý trên Mệnh đề đảo đó đúng hay sai?
3 Bằng phản chứng, chứng minh các định lí sau:
a Cho n là số nguyên dương Chứng minh nếu n2là số chẵn thì n là số chẵn.
b Chứng minh : nếu n là số tự nhiên và n2chia hết cho 2 thì n chia hết cho 2.
c Chứng minh : nếu n là số tự nhiên và n2chia hết cho 6 thì n chia hết cho 6.
d Chứng minh 2 là số vô tỉ
e Chứng minh 6 là số vô tỉ
f Chứng minh nếu 3n + 1 là số lẻ thì n là số chẵn, trong đó n là số nguyên
dương Điều ngược lại có đúng không ?
g Cho n là số tự nhiên Chứng minh nếu 5n + 4 là số lẻ thì n là số lẻ.
4 Chứng minh rằng nếu m và n là hai số nguyên dương không chia hết cho 3 thì m2
+ n2cũng không chia hết cho 3
5 Cho m và n là hai số nguyên dương Chứng minh rằng nếu m2+ n2chia hết cho 3
thì m và n chia hết cho 3.
6 Cho các số thực a a b b1, 2, ,1 2 thỏa: a1a2 2b b1 2 Chứng minh có ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau là đúng: 2 2
1 1, 2 2
b a b a
7 Chứng minh rằng nếu a + b > 0 thì một trong hai số a và b phải là số dương.
8 Chứng minh rằng nếu a + b < 2 thì một trong hai số a và b phải nhỏ hơn 1.
Trang 49 Chứng minh nếu 2
1
x y
thì x2y 2 xy .
10 Chứng minh rằng : nếu 0, a b thì a = b.
11 Nhốt 2011 con thỏ vào trong 670 cái chuồng Chứng minh rằng có ít nhất 1
chuồng chứa 4 con thỏ
§3 TẬP HỢP VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP
1 Viết mỗi tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của nó:
| 2 2 3 2 0
| 3 30
B n n
2 Xét hai tập hợp sau có bằng nhau không: Ax|x1x20,
B = {5; 3; 1}.
3 Cho A = {2 ; 4; 6}, B = {2; 6}, C = {4; 6}, D = {4; 6; 8} Hãy xác định xem tập
hợp nào là tập con của tập hợp nào
4 Cho A là tập hợp các học sinh lớp 10 trường THPT Chuyên TG và B là tập hợp
các học sinh chuyên Toán Hãy diễn đạt bằng lời các tập hợp sau:
5 Cho A = {1; 3; 5} và B = {1; 2; 3} Tìm hai tập hợp ( A B\ ) (B A\ ) và (AB) \ (AB) Hai tập hợp nhận được là bằng nhau hay khác nhau?
6 Cho A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 9}, B = {0; 2; 4; 6; 8} và C = {3; 4; 5; 6; 7} Hãy tìm
A B C và AB\C Hai tập hợp nhận được là bằng nhau hay khác nhau?
7 Xác định 2 tập hợp A và B biết:
a) A B\ 1;3;5 , B A\ 2;4;6 , A B 7;9 b) A B\ 0;1 ,B A\ 2;3 ,A B (1;2)
8 Cho An|n6 và Bn| 2 n 7 Tìm AB A, B A B B A, \ , \
9 Cho A = { n| n là ước của 18} và B = { n| n là ước của 6} Tìm
, , \ , \
AB AB A B B A
10 Cho A = [–1; 5], B = [2; 3) Tìm AB A, B A B B A C A C B, \ , \ , ,
11 Cho A = (; 7), B = [1; 4) Tìm AB A, B A B B A C, \ , \ , AB C, AB
12 Cho A = (–2; 3], B = [2;) Tìm AB A, B A B B A C A C B, \ , \ , ,
13 Cho A = [ –2; 4] và B = (–∞ ; –4) (0; + ∞) Tìm
, , \ , \ , ,
AB AB A B B A C A C B
14 Cho A = (3; 4] [–2; –1) và B = (–∞ ; –2) (1; + ∞) Tìm
, , \ , \ , ,
AB AB A B B A C A C B
15 Cho Ax| 1 x 6 Tìm C A
16 Biểu diễn các tập sau thành hợp của những khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng:
Trang 5a) Ax: 2 x 3 b) Bx: 2 x 3 c) Cx: 2 x.
d) Dx: x 3 e) E x : 1 1
x
f) F x : 1 1
x
17 Cho Ax: x 1 3, Bx: 2 x 2 Tìm
, , \ , \ , ,
AB AB A B B A C A C B
18 Cho Ax: 2 x 1 6, Bx: 0 x 3 7 Tìm
, , \ , \
AB AB A B B A
19 Cho Ax: 2 x 1 3, : 1 1
1
x
, , \ , \ , ,
AB AB A B B A C A C B
20 Cho hai tập hợp A = [ a ; a + 2] và B = [b ; b + 1] Tìm điều kiện của a và b để
,
A B A B
§ 4 SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ
1.Kết quả đo chiều dài của một cây cầu được ghi là: 152m 0,2m Điều này có nghĩa
là gì?
Kết quả đo chiều dài của một ngôi nhà được ghi là: 15,2m 0,1m
Hai phép đo này, phép đo nào chính xác hơn?
2 Quy tròn số 7216,4 đến hàng đơn vị, số 2,654 đến hàng phần chục rồi tính sai số
tuyệt đối của số quy tròn
3 Một hình lập phương có thể tích là V = 180,57cm3 0,05cm3
Xác định các chữ số
chắc của V.
4 Vũ trụ có tuổi khoảng 15 tỉ năm Hỏi vũ trụ có bao nhiêu ngày tuổi (giả sử 1 năm có
365 ngày)? (Viết kết quả dưới dạng kí hiệu khoa học)
5. Sử dụng MTBT viết giá trị gần đúng của:
a) 2 chính xác đến hàng phần trăm và phần nghìn
b) 5
2011 chính xác đến hàng phần trăm và phần nghìn
Trang 6CHƯƠNG II: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI
§1 ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ
1 Tìm TXĐ của các hàm số sau:
2
x y x
b) 2 4
x y
c)
1 2
y
d) 12 4 3
y
1
x y
x
f) 2
1
x
x
2
| | 1
x y x
2 1
x y
x x
2
x y x
j)
2 2
x y x
k) y x1x2 l) y x1 x2
2 Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau:
2 3
yx x trên mỗi khoảng ;1 và 1;
2 3
y x x trên mỗi khoảng ;1 và 1;
c)
1
x y x
trên mỗi khoảng ; 1 và 1;
1
x y x
trên mỗi khoảng ; 1 và 1; e) y x 1x trên ;1
f) 2011
1
yx trên khoảng (–∞; +∞)
3 Cho hàm số f x 3 x 3x
a Chứng minh f là hàm số lẻ và không chẵn.
b Chứng minh f là hàm số nghịch biến trên [–3; 3].
Từ đó suy ra 6 f x 6, x 3;3
4 Xét tính chẵn – lẻ của các hàm số sau:
3 1
2
y x x c) 2
1
x y x
d) y x
e)
1 1
x y
f) y 2x 1 2x1 g) y x 1 x 1
Trang 75 Cho hàm số 32 0
2 4 3 0
f x
Tìm TXĐ của hàm số f và tính f(0), f(1), f(–1).
6 Cho đường thẳng (d) : y = 2x Hỏi ta sẽ được đồ thị hàm số nào khi tịnh tiến (d):
a) Lên trên 6 đơn vị
b) Xuống dưới 7 đơn vị
c) Sang phải 5 đơn vị
d) Sang trái 3 đơn vị
e) Lên trên 3 đơn vị rồi sang phải 1 đơn vị
f) Sang phải 2 đơn vị rồi lên trên 4 đơn vị
§2 HÀM SỐ BẬC NHẤT
1 Cho hàm số y 2x k x 1, k là tham số thực Tìm k sao cho đồ thị của hàm số:
a Đi qua gốc tọa độ O.
b Đi qua điểm M(–2; 3).
c Song song với đường thẳng y 2x
d Vuông góc với đường thẳng y3x
e Trùng với đường thẳng y x 3
2 Xác định a và b sao cho đường thẳng yaxb:
a Cắt đường thẳng y2x5 tại điểm có hoành độ bằng –2 và cắt đường thẳng y 3x 4tại điểm có tung độ bằng –2
b Song song với đường thẳng y2x và đi qua giao điểm của 2 đường thẳng
1
y x và y3x5
3 Cho đường thẳng d m :y2mx 1 m Tìm tọa độ điểm A mà đường thẳng luôn
đi qua với mọi m.
4 Tìm m sao cho 3 đường thẳng sau đây là phân biệt và đồng qui:
a) y2 ,x y 3 x y, mx5 b) y 5x1 , y 3 mx y, 3xm
5. a) Chứng minh rằng hai đường thẳng y = x – 2 và y = 2 – x đối xứng nhau qua
trục hoành
b) Tìm biểu thức xác định của hàm số y = f(x), biết rằng đồ thị của nó là đường thẳng đối xứng với đường thẳng y = –2x + 3 qua trục hoành.
Trang 86. a) Chứng minh rằng hai đường thẳng y = 3x + 2 và y = 2 – 3x đối xứng nhau
qua trục tung
b) Tìm biểu thức xác định của hàm số y = f(x), biết rằng đồ thị của nó là đường thẳng đối xứng với đường thẳng y = –3x + 1 qua trục tung.
7 Viết phương trình đường thẳng d đi qua I(2; –1), cắt 2 trục tọa độ tại A, B sao cho
I là trung điểm AB.
8 Viết phương trình đường thẳng d đi qua I(2; 3) và cắt 2 trục Ox và Oy tại các điểm
có tọa độ dương và tạo với 2 trục này một tam giác vuông cân
9 Viết phương trình đường thẳng d đi qua I(2; 2) và cắt 2 trục Ox và Oy tại các điểm
có tọa độ dương và tạo với 2 trục này một tam giác có diện tích bằng 9 (đvdt)
10 Cho hàm số
2
2 1 2
2 4
a Tìm TXĐ của hàm số
b Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
c Biện luận theo m số nghiệm của phương trình f(x) = m.
x khi x
f x
x khi x
a Vẽ đồ thị (G) của hàm số.
b Chứng minh f là hàm số chẵn.
c Biện luận theo m số nghiệm của phương trình f(x) = m.
§3 HÀM SỐ BẬC HAI
1 a) Vẽ đồ thị hàm số : 2
4 3
yx x
b) Từ đồ thị hàm số tìm tập hợp các giá trị x sao cho y > 0.
c) Từ đồ thị hàm số tìm tập hợp các giá trị x sao cho y < 0.
2 Cho parabol (P): 2
yax c Tìm a và c trong mỗi trường hợp sau:
a) y nhận giá trị là 3 khi x = 2 và có giá trị nhỏ nhất là –1.
b) Đỉnh của parabol là I(0; 3) và đi qua A(–2; 0).
3 Cho parabol (P): 2
ya xm Tìm a và m trong mỗi trường hợp sau:
a) Đỉnh của parabol là I(–3; 0) và đi qua A(0; –5).
b) Đường thẳng y = 4 cắt parabol tại 2 điểm có hoành độ lần lượt là –1 và 3.
4 Cho parabol (P): 2
yax bxc Hãy xác định dấu của a và trong mỗi trường hợp sau:
a) (P) nằm hoàn toàn ở phía trên trục hoành.
b) (P) nằm hoàn toàn ở phía dưới trục hoành.
c) (P) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt và có đỉnh nằm phía trên trục
hoành
5 Tìm các hàm số 2
yax bxc có đồ thị là parabol sau đây, biết rằng:
Trang 9a) Parabol có đỉnh là I(–2; –2) và đi qua gốc tọa độ.
b) Parabol đi qua 3 điểm A 0;1 ,B 1; 2 ,C 1; 2
c) Hàm số có GTNN là –1 khi x = 3 và đi qua điểm M(2; 0).
d) Hàm số có GTLN là 2 khi x = 1 và đi qua điểm M(2 ; 1).
e) Parabol có trục đối xứng là đường thẳng x = –1 và đi qua 2 điểm là gốc tọa
độ O và A3;3
m
P ymx m x m
a) Tìm m sao cho đồ thị hàm số đi qua A(2;1).
b) Tìm tọa độ các điểm mà P m luôn đi qua với mọi m.
c) Tìm m biết rằng P m là một parabol có đỉnh thuộc đường thẳng y x 1
7 Cho parabol 2
P yx x và đường thẳng d :y 2x m
a) Xác định giá trị của m sao cho (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B Tìm tọa độ trung điểm I của AB Chứng minh rằng điểm I luôn thuộc một
đường thẳng cố định
b) Xác định giá trị của m sao cho (d) và (P) có 1 điểm chung duy nhất Tìm
tọa độ điểm chung này
8 a) Vẽ đồ thị của hàm số 2
2 1
y x x (P) b) Dùng đồ thị (P) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 2
2
x xm
c) Từ đồ thị (P), suy ra đồ thị của các hàm số: 2
2 1
y x x , 2
2 1
y x x
9 Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
2 4 3 0
f x
f x
c) yx x 2x2
10 Biện luận theo m số nghiệm của các phương trình sau:
a) 2
2
x xm
b) 2
2
x x m c) x x 2xm d) 2
2
x x m
Trang 10CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
§1 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH
1 Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm của nó:
a) 3x x 2 2 x 7 b) x x c) x x 1 x d)
3
3 3
x
x
1 Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?
a) x 1 2 1 x x 1 0 b) x x 2 1 x 2 x 1 c) |x| = 1 x =
1
1 0 2 0
x x e) 2 2
3 4 0 3 4
x x x x f) 2
1 1 1
x x x
1 2 1 4
x x h) 2
1 2 1 4
x x
x x x x j) x x 2 3 x 2 x 3
2 Giải các phương trình sau:
a) x x 1 2 x1 b) x x 1 0,5 x1 c) 3
x
3 Giải các phương trình sau:
1 1
x x
1 2 3
2 2
x x
c) 2
3 2 3 0
x x x
d) 2
2 1 0
x x x e) x 3 92x f) x 1 x 3
4 Giải các phương trình sau:
a) 2x 1 x 2 b) x 2 2x1 c) x 2 2x1 d)
2
6 9 2 1
x x x
e) 3
1 x 2x5 f) 3
3 2 x x 2 0 g) 4
x x
h) 4
x x
§2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN
1 Giải và biện luận phương trình:
a) 2
m x m x b) m x m x m 2
c) m x m 3m x 26
Trang 112 Giải và biện luận phương trình:
a) 2
1 3 1 0
4 3 0
x x m
3 Biện luận số giao điểm của 2 parabol sau theo tham số m: 2
2 3
y x x
yx m
4 Tìm các giá trị của tham số m sao cho phương trình: m m( 2)xm
a) Có nghiệm duy nhất; b) Vô nghiệm; c) Có vô số nghiệm; d) Có nghiệm
5 Gọi x x1, 2 là 2 nghiệm của phương trình: 2
5 0
x x a) Không giải phương trình hãy tính: A x1x2 ; 2 2
Bx x ; 3 3
Cx x b) Lập phương trình bậc 2 có 2 nghiệm là 2x1x2 và 2x2x1
6 Tìm các giá trị của m để phương trình 2
4 1 0
x x m có 2 nghiệm x x1, 2
thỏa mãn hệ thức:
x x
7 Giải phương trình 2
4 1 2 4 0
x m x m , biết rằng nó có 2 nghiệm và hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm nhỏ bằng 17
8 Cho phương trình 2
2 1 1 0
mx m x m
a) Tìm các giá trị của m để phương trình có ít nhất một nghiệm dương b) Tìm các giá trị của m để phương trình có một nghiệm lớn hơn 1 và
một nghiệm nhỏ hơn 1
Hướng dẫn: Đặt x = y + 1.
9 Định m để phương trình: 2
2 5 3 0
x mx m có 2 nghiệm x x1, 2thỏa :
1 2 2 3
x x
2( 1) 3 0
x m xm m Định m để : a) Phương trình có 1 nghiệm x = 0 Tính nghiệm còn lại.
b) Phương trình có nghiệm Với ĐK đó, tìm hệ thức giữa các nghiệm độc lập đối với m
c) Phương trình có 2 nghiệm x x1, 2 thỏa :
1 1
4
x x
11 Tìm m để phương trình : 2
x 3 x 2mx2m 1 0 có 3 nghiệm dương phân biệt
12 Tìm m để phương trình
2
4 4 1
0 2
x
có 2 nghiệm âm phân biệt.
13 Cho phương trình : 2 2
3 1 2 3 0
x m x m
Trang 12a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2với mọi
m.
b) Tìm GTLN của biểu thức 2 2
1 2 4 1 2
Bx x x x
14 Cho phương trình : 2 2
2x m2 x 7 m 0 Tìm m để phương trình có 2
nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối bằng nghịch đảo của nghiệm còn lại
15 Cho phương trình: 4 2
x x m Định m để : a) Phương trình có đúng 4 nghiệm phân biệt
b) Phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt
c) Phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt
d) Phương trình có đúng 1 nghiệm
e) Phương trình vô nghiệm
f) Phương trình có nghiệm
§3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HOẶC
BẬC HAI
1 Giải và biện luận các phương trình sau:
a) 2ax 3 5 b)
2 2
1 1
x
1 1
2 2
a
1
mx m x
e) 2x4 2 mx x m0 f) mx2x 1 x
2 Bằng cách đặt ẩn phụ, giải các phương trình sau:
4x 12x5 4x 12x11 15 0 b) 2
4 3 2 4 0
x x x
c) 2
2
4x 2x 6 0
d) (x1)(x2)(x3)(x4)120
3 Giải các phương trình sau:
(x 3x4)(x x 6)24 b) 4 4
(x3) (x 5) 16
4 5 4 1 0
2x 21x 74x 105x500
(x1)(x3)(x2)(x6) 20x f) 2 2 2
(x 2x4)(x 3x4)14x
§4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN
1 Bằng định thức, giải các hệ phương trình sau:
a) 5 4 3
7 9 8
3 2 1
2 2 3 0