Phương pháp hiệu chỉnh cải biên cho thuật toán điểm gần kề tìm không điểm của toán tử đơn điệu

NGUYỄN BÍCH LƯƠNGPHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH CẢI BIÊN CHO THUẬT TOÁN ĐIỂM GẦN KỀ TÌM KHÔNG ĐIỂM CỦA TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015... NGUYỄN BÍCH LƯƠNGPHƯƠNG PH

NGUYỄN BÍCH LƯƠNG

PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH CẢI BIÊN CHO THUẬT TOÁN ĐIỂM GẦN KỀ TÌM KHÔNG ĐIỂM CỦA TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015

NGUYỄN BÍCH LƯƠNG

PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH CẢI BIÊN CHO THUẬT TOÁN ĐIỂM GẦN KỀ TÌM KHÔNG ĐIỂM CỦA TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

GS.TS NGUYỄN BƯỜNG

Thái Nguyên - 2015

2 Phương pháp hiệu chỉnh cải biên cho thuật toán điểm gần kề tìm

2.1 Một số bổ đề bổ trợ 172.2 Mô tả phương pháp 192.3 Sự hội tụ của phương pháp 22

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS Nguyễn Bường, người đã tậntình chỉ bảo, định hướng, chọn đề tài và truyền đạt kiến thức để tôi có thể hoànthành luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong trườngĐại học Khoa học Thái Nguyên, đặc biệt là các thầy cô trong Khoa Toán - Tin,

đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và học tập

Qua đây tôi cũng xin gửi lời cảm ơn Trường Cao đẳng Sư phạm Hưng Yên,tập thể lớp Cao học K7Y, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên, góp ý vàcho tôi những nhận xét quý báu

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót,tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các quý thầy cô và các bạn đểluận văn được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 12 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Bích Lương

Danh sách ký hiệu

Trong toàn luận văn, ta dùng những ký hiệu với các ý nghĩa xác định trongbảng dưới đây:

R không gian số thực

H không gian Hilbert thực

X∗ không gian đối ngẫu của X

domA miền hữu hiệu của A

D(T ) miền xác định củaT

R(T ) miền ảnh củaT

NC(x) nón pháp tuyến tại điểm xtrên tập C

Fix(S) tập điểm bất động của ánh xạ S

hx, yi tích vô hướng của hai vectơ xvày

δC(.) hàm chỉ trên C

kxk chuẩn của vectơx

xn → x dãy{xn}hội tụ mạnh tớix

xn * x dãy{xn}hội tụ yếu tớix

Lời mở đầu

Toán tử đơn điệu là một trong những lĩnh vực của giải tích hiện đại đã vàđang được nhiều nhà toán học hàng đầu thế giới nghiên cứu, đặc biệt phải kểđến như Browder F E, Rockafellar R T, Minty G J Bên cạnh các kết quả đặcbiệt có ý nghĩa về mặt lý thuyết, toán tử đơn điệu là một trong những công

cụ được sử dụng nhiều và rất có hiệu quả trong lĩnh vực toán ứng dụng chẳnghạn như bất đẳng thức biến phân Nó giúp ích cho việc nghiên cứu ánh xạ dướigradient và gradient, chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho rất nhiềucác lớp bài toán cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán tối ưu.Mục đích của luận văn là trình bày một phương pháp hiệu chỉnh cải biêncho thuật toán điểm gần kề để chứng minh rằng một dãy lặp {xn}hội tụ mạnhđếnx∗ là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phânhF x∗ − u, x∗ − pi ≤ 0.Luận văn được trình bày trong hai chương:

Trong Chương 1 chúng tôi xin trình bày về khái niệm không gian Hilbert,một số ví dụ minh họa và bài toán cực tiểu phiếm hàm lồi trong không gian đó.Thuật toán điểm gần kề, khái niệm bài toán đặt không chỉnh và phương pháphiệu chỉnh Tikhonov dựa trên phương trình với toán tử đơn điệu cũng được trìnhbày trong chương này

Chương 2 dành cho việc mô tả phương pháp hiệu chỉnh cải biên thuật toánđiểm gần kề và chứng minh nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân dựatrên một số kết quả bổ trợ

Chương 1

Một số vấn đề cơ bản

Chương này nhắc lại một số kiến thức của giải tích hàm, giải tích lồi và bàitoán đặt không chỉnh Không gian Hilbert và một số ví dụ được xét trong mục1.1 Mục 1.2 nhắc lại bài toán cực tiểu phiếm hàm lồi trong không gian Hilbert.Trong mục 1.3 trình bày phương pháp hiệu chỉnh giải phương trình với toán tửđơn điệu Kiến thức trong chương này được tham khảo trong các tài liệu [1],[2], [3]

1.1 Không gian Hilbert và một số ví dụ

Trong mục này, tôi xin trình bày về khái niệm không gian Hilbert và một số

ví dụ về không gian đó

Định nghĩa 1.1 Cho H là không gian tuyến tính trên trường R Một tích vôhướng trong H là một ánh xạ h., i : X × X → R thỏa mãn các điều kiện sau

đây:

i.hx, yi = hy, xivới mọix, y ∈ H

ii.hx + y, zi = hx, zi + hy, zivới mọix, y, z ∈ H

iii.hλx, yi = λ hx, yivới mọix, y ∈ H; λ ∈ R.

iv.hx, xi ≥ 0 với mọix ∈ Hvà hx, xi = 0khi và chỉ khix = 0

Số hx, yi được gọi là tích vô hướng của hai vectơ x và y Cặp (H, h·, ·i) đượcgọi là không gian tiền Hilbert (hay còn gọi là không gian Unita)

Từ định nghĩa ta thấy rằng tích vô hướngh·, ·ichính là một dạng song tuyếntính xác định dương trênH Khi đóHđược gọi là không gian tiền Hilbert thực.

Định lí 1.1 Cho H là không gian tiền Hilbert với x, y ∈ H, ta luôn có bất đẳng thức sau

|hx, yi|2 ≤ hx, xi hy, yi

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khix, y phụ thuộc tuyến tính.

Chứng minh. Hiển nhiên bất đẳng thức đúng vớiy = 0 Giả sửy 6= 0 Với mọi

(vìhx, yi + hy, xi = 2Re hx, yi ≤ 2 |hx, yi|).

Sau đây là một số ví dụ về không gian Hilbert

Ví dụ 1.1 Rnlà không gian Hilbert thực với tích vô hướnghx, yi =Pn

n=1xnyn xác định một tích vô hướng trongl2 và

nó cảm sinh (1.1) Vậyl2 là một không gian Hilbert

Ví dụ 1.3 Cho(X, A, µ)là một không gian độ đo và E ∈ A Xét không gian

ii.C được gọi là nón có đỉnh tạix0 nếu C − x0 là nón có đỉnh tại 0.

iii Nón C có đỉnh tại 0 được gọi là nón lồi nếu C là một tập lồi, nghĩa là

∀x, y ∈ C, ∀λ, µ > 0 ⇒ λx + µy ∈ C

ChoC ⊂ H là tập lồi khác rỗng và ánh xạf : C → R∪ {+∞} Ta có cácđịnh nghĩa về hàm lồi như sau:

Định nghĩa 1.5 i Trên đồ thị của hàm f, kí hiệu là epif và được định nghĩabởi công thức sau:

Định nghĩa 1.7 Hàmf được gọi là

i Lồi trênC nếu

Định nghĩa 1.8 Giả sửf là hàm lồi trênH.

i Phiếm hàmx∗ ∈ Hđược gọi là dưới đạo hàm của hàmf tạix ∈ H nếu

hx∗, x − xi ≤ f (x) − f (x), ∀x ∈ H

ii Tập tất cả các dưới đạo hàm củaf tạixđược gọi là dưới vi phân của hàmf

tạix, kí hiệu là ∂f (x), một cách tương đương ta có

∂f (x) := {x∗ ∈ H : hx∗, x − xi ≤ f (x) − f (x), ∀x ∈ H}

iii Hàmf được gọi là khả dưới vi phân tạixnếu ∂f (x) 6= 0

Định nghĩa 1.9 Cho X, Y ∈ H và F : X → 2Y là ánh xạ từ X vào tập hợpgồm toàn bộ các tập con củaY (được kí hiệu là2Y) Khi đó ta nóiF là ánh xạ

đa trị từX vào Y Như vậy với mỗi x ∈ X, F (x) là một tập con củaY(F (x)

có thể là tập rỗng)

Định nghĩa 1.10 Ánh xạ đa trịF : H → 2H được gọi là

i Nửa liên tục trên tại x ∈ domF nếu với mọi tập mở V ⊃ F (x), tồn tại lâncận mởU củaxsao cho

F (x0) ⊆ V, ∀x ∈ U

ii Nửa liên tục dưới tại x ∈ domF nếu mọi tập mở V ⊂ H thỏa mãn F (x) ∩

V 6= ∅, tồn tại lân cận mở U của xsao cho

Dưới đây là một số khái niệm về toán tử đơn điệu, toán tử đơn điệu cực đại

và ví dụ

Định nghĩa 1.11 Toán tử đa trịT : H → 2Hđược gọi là toán tử đơn điệu nếu

hu − v, x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ domT, ∀u ∈ T x, ∀v ∈ T y

Ví dụ 1.4 .Cho f : H → R∪ {+∞} là hàm lồi, chính thường Ánh xạ dưới

vi phân∂f : H → 2H củaf là toán tử đơn điệu đa trị trên dom(∂f )

Ánh xạ đối ngẫu I là toán tử đơn điệu Trong không gian Lp(Ω), I còn cótính chất đơn điệu đều và liên tục theo H¨older, vì

hI(x) − I(y), x − yi ≥ mIkx − yks, mI > 0 (1.2)

kI(x) − I(y)k ≤ c(R) kx − ykϑ, 0 < ϑ ≤ 1,

Định nghĩa 1.12 Toán tử đơn điệuT : H → 2H được gọi là cực đại nếu đồ thịcủa T không là tập con thực sự của đồ thị của bất kì một toán tử đơn điệu nàokhác

Ví dụ 1.5 Toán tử đa trị:T : R → 2R cho bởi công thức:

−x2 nếux < 0

là toán tử đơn điệu cực đại

Định lí 1.3 Cho hàm sốf : H → R ∪ {+∞} là hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới Khi đó ánh xạ đa trịT : H → 2H cho bởi công thức

T (x) = ∂f (x)

là toán tử đơn điệu cực đại.

Tiếp theo chúng tôi phát biểu bài toán cực tiểu hàm lồi và thuật toán điểmgần kề cho bài toán tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại.

Bài toán cực tiểu hàm lồiđược phát biểu như sau:

Tìm z ∈ H sao chof (z) = min

x∈H f (x).Điểm cực tiểu của bài toán trên chính là không điểm của toán tử đơn điệucực đạiT = ∂f Để tìm không điểm củaT, Rockafellar R T đã phát triển thuậttoán điểm gần kề cho bài toán tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại T

trong không gian Hilbert thực H

Theo Định lí 1.3 nếu T là dưới vi phân của một hàm lồi, chính thường, nửaliên tục dưới f : H → R ∪ {+∞} (tức là T = ∂f) thì T là toán tử đơn điệucực đại

Theo định lí Minty, với mỗi z ∈ H và ck > 0, tồn tại duy nhất u ∈ H saocho

hay0 ∈ ckT (z) Do đóz là không điểm của ánh xạ T

Giả sử T là toán tử đơn điệu cực đại, khi đó thuật toán điểm gần kề đượctrình bày như sau:

Thuật toán 1.1

Bước 0 Chọn một dãy số dương{ck}thỏa mãnck > c > 0với mọik = 0, 1, ,

tìmz0 ∈ H.

Bước k(k = 0, 1, ) Xây dựng điểm zk+1 thông qua công thức

zk+1 := Pk(zk) = (I + ckT )−1(zk)

Trong trường hợp tổng quát, một điều rất khó thực hiện được ở Thuật toán 1.1

là việc tính toán chính xác điểm zk+1 = Pk(zk) Thuật toán dưới đây sẽ thaythế cách tính chính xác điểm zk+1 bằng cách tính xấp xỉ với một sai số k màthuật toán vẫn đảm bảo được sự hội tụ

Thuật toán 1.2

Bước 0 Chọn một dãy số dươngck:ck > c > 0và k > 0với mọi k = 0, 1,

sao choP∞k=1k < +∞, lấy ω0 ∈ H.

Bước k: (k = 0, 1, ) Chọn điểmωk+1 thỏa mãn

ωk+1 − xk+1 ≤ k+1,

vớixk+1 := Pk(ωk) = (I + ckT )−1(ωk).

Nhận xét Nếu ta thay thế điều kiện P∞

k=1k < +∞chỉ bởi điều kiện k → 0

thì thuật toán có thể không hội tụ Chẳng hạn lấy hàmf : R →R, với

0 nếu x > 0

Khi đó, Pk(z) = z hay0 ∈ T (z)khi và chỉ khi z ≥ 0 Ta chọn một dãy zk

sao cho

Như vậy, dãy{zk}không hội tụ.

Sự hội tụ của thuật toán điểm gần kề được phát biểu qua định lí sau:

Định lí 1.4 Cho T : H → 2H là ánh xạ đơn điệu cực đại Khi đó, nếu T có không điểm thì dãy điểm {ωk} hội tụ yếu tới ω∗ sao cho 0 ∈ T (ω∗) Nếu T

không có không điểm thì dãy{ωk}không bị chặn.

1.3 Phương pháp hiệu chỉnh giải phương trình với toán

Việc tìm nghiệm x của bất kì một bài toán nào cũng phải dựa vào dữ kiệnban đầuf, có nghĩa là x = R(f ) Ta sẽ coi nghiệm cũng như các dữ kiện đó lànhững phần tử thuộc không gianX và Y với các độ đo tương ứng làρX(x1, x2)

vàρY(f1, f2), x1, x2 ∈ X, f1, f2 ∈ Y

Giả sử đã có một khái niệm thế nào là nghiệm của một bài toán Khi đó, bàitoán tìm nghiệmx = R(f )được gọi là ổn định trên cặp không gian(X, Y ), nếu

với mỗi số ε > 0 ta có thể tìm được một số δ(ε) > 0, sao cho từ ρY(f1, f2) ≤δ(ε)ta có ρX(x1, x2) ≤ ε, ở đây

x1 = R(f1), x2 = R(f2), f1, f2 ∈ Y, x1, x2 ∈ X

Định nghĩa 1.13 Bài toán tìm nghiệmx ∈ X theo dữ kiện f ∈ Y được gọi là

bài toán đặt chỉnhtrên cặp không gian metric(X, Y ), nếu có

1 Với mỗif ∈ Y tồn tại nghiệm x ∈ X;

2 Nghiệmx đó được xác định một cách duy nhất;

3 Bài toán này ổn định trên cặp không gian(X, Y )

Trong một thời gian dài người ta cho rằng mọi bài toán đặt ra đều thỏa mãn

ba điều kiện trên Nhưng thực tế chỉ ra rằng quan niệm đó là sai lầm Trongtính toán các bài toán thực tế bằng máy tính luôn diễn ra quá trình làm tròn số.Chính sự làm tròn đó đã dẫn đến các kết quả sai lệch đáng kể

Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không thỏa mãn, bài toán tìm nghiệm

được gọi là bài toán đặt không chỉnh Đôi khi người ta gọi là bài toán đặt không

chính quy hay bài toán thiết lập không đúng đắn

Cũng cần lưu ý rằng một bài toán có thể thiết lập không đúng đắn trên cặpkhông gian metric này, nhưng lại thiết lập đúng đắn trên cặp không gian metrickhác

Đối với bài toán tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình (1.3) dữ kiện ban đầu

ở đây chính là toán tửAvà vế phảif

Giả sử rằng toán tử Acho trước một cách chính xác, còn vế phảif cho bởi

fδ với sai số ρY(fδ, f ) ta cần phải tìm một phần tử xδ ∈ X hội tụ đến nghiệmchính xácx0 của (1.3) khi δ → 0 Phần tử xδ có tính chất như vậy được gọi lànghiệm xấp xỉ của bài toán đặt không chỉnh trên Nếu ta kí hiệu

Qδ = {x ∈ X : ρY(A(x), fδ) ≤ δ}

thì nghiệm xấp xỉ của phương trình trên thì phải nằm trong tập Qδ Nhưng tập

Qδ lại quá lớn, tức là có các phần tử cách nhau rất xa Chính vì vậy, không phảitất cả các phần tử của Qδ có thể coi là nghiệm xấp xỉ của (1.3) được Vì lẽ đó,bài toán đặt ra là phải chọn phần tử nào của Qδ làm nghiệm xấp xỉ cho (1.3).Muốn thực hiện việc chọn đó cần thiết phải có thêm các thông tin định tính vàđịnh lượng về nghiệm chính xácx0 Việc sử dụng thông tin định lượng dẫn đếnphương pháp tựa nghiệm, còn việc sử dụng thông tin định tính cho ta một hướngkhác trong việc xây dựng thuật toán tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán đặt khôngchỉnh (1.3).

có thể làm lớn bao nhiêu cũng được Ví dụ, tại t = 0 chuỗi trên phân kì Điều

đó nói lên rằng nếu khoảng cách giữa hai hàm f1 và f2 được xét trong khônggian các hàm với độ đo đều, thì bài toán tính tổng chuỗi Fourier là không ổnđịnh khi hệ số của chuỗi có sự thay đổi nhỏ Tuy nhiên, nếu xét trong không

Như vậy, bài toán lại ổn định, tức là dữ kiện ban đầuan cho bởi xấp xỉcnvới sai

số khá nhỏ, thì các chuỗi Fourier tương ứng ở trên cũng sai khác nhau khôngnhiều trongL2[0, π]

Tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov dựa trêntoán tử đơn điệu

Cho phương trình toán tử

trong đó Alà toán tử đơn điệu vàh - liên tục từ không gian HilbertX vàoX∗,

ở đây X∗ lồi chặt và có tính ES, tức là X phản xạ và mọi dãy {xn} các phần

tửxn ∈ X hội tụ yếu trongX đến xvà kxnk → kxk cho ta{xn}hội tụ mạnhđến phần tửx

Nếu A không có tính đơn điệu đều, thì bài toán (1.4) nói chung là một bàitoán không chỉnh

Giả sử (1.4) có nghiệm, tức là f0 ∈ R(A) Ta kí hiệuS0 là tập nghiệm củaphương trình đó Khi đóS0 là một tập đóng và lồi trongX

Xét phương trình

A(x) + αUs(x − x0) = fδ, kfδ − f0k ≤ δ (1.5)

ở đâyx0 là một phần tử bất kì trongX Phần tử này giúp cho ta tìm một nghiệmcủa (1.4) theo ý muốn Ta có kết quả sau

Định lí 1.5 Với mỗiα > 0vàfδ ∈ X∗, phương trình (1.4) có duy nhất nghiệm

Bây giờ, xét trường hợp tổng quát hơn, khi cả toán tử và vế phải đều biếtxấp xỉ, tức là, thay choAta chỉ biết được xấp xỉAh thỏa mãn

Ah(xω) + αUs(xω − x0) − fδ, x − xω

+ εg(kxω)k kx − xωk ≥ 0, (1.9)

∀x ∈ X, ε > h,

ở đây ω = ω(h, δ, α, ε) Phần tử xω thỏa mãn (1.9) được gọi là nghiệm hiệuchỉnh của bài toán (1.4) cho trường hợpAhkhông đơn điệu.

Kết luận: Chương 1 trình bày sơ lược về không gian tiền Hilbert, không

gian Hilbert đồng thời đưa ra được một số ví dụ minh họa Phát biểu bài toáncực tiểu phiếm hàm lồi và trình bày thuật toán điểm gần kề để giải bài toántìm cực tiểu Khái niệm bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnhTikhonov dựa trên toán tử đơn điệu cũng được trình bày trong chương này làm

cơ sở cho việc nghiên cứu chương 2

Chương 2

Phương pháp hiệu chỉnh cải biên cho thuật

toán điểm gần kề tìm không điểm của toán

2.1 Một số bổ đề bổ trợ

Cho H là không gian Hilbert thực với tích h·, ·i và chuẩn k·k Cho dãy

{xn}trongH, ta viếtxn * xđể chỉ ra rằng dãy{xn}hội tụ yếu tớix,xn → x

Cho Alà một toán tử tuyến tính giới nội trên H thì tồn tại một hằng số eγ > 0

sao cho

hAx, xi ≥ eγ kxk2, ∀x ∈ H (2.3)Một bài toán quan trọng là cực tiểu một phiếm hàm toàn phương trên tậpcác điểm bất động của một ánh xạ không giãn trên một không gian Hilbert thực

Cho T là một toán tử đơn điệu cực đại trên một không gian Hilbert thựcH

sao choS := T−1(0) 6= 0 Với c > 0, ta kí hiệuJcT là toán tử giải củaT, với



JcTx



Để chứng minh kết quả chính, chúng tôi cần bổ đề sau

Bổ đề 2.2 ChoF là một toán tửk - Lipschitz và η - đơn điệu mạnh trên không gian HilbertH với0 < η ≤ k và0 < t < η/k2.

Khi đó, S = (I − tF ) : H → H là một toán tử co với hệ số co τt =

p

1 − t(2η − tk2)