Về hàm phân hình fp (f) và gp (g) chung nhau một hàm nhỏ

Mð ¦uMët ùng döng quan trång cõa Lþ thuy¸t ph¥n bè gi¡ trà Nevanlinna l nghi¶n cùu sü x¡c ành duy nh§t cõa mët h m ph¥n h¼nh thæng qua £nh ng÷ñc cõa mët tªp húu h¤n... ành lþ cì b£n thù

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håcPGS.TS H€ TR†N PH×ÌNG

Th¡i Nguy¶n - N«m 2015

Líi cam oan

Tæi xin cam oan r¬ng nëi dung tr¼nh b y trong luªn v«n n y l  trungthüc v  khæng tròng l°p vîi c¡c · t i kh¡c ¢ cæng bè ð Vi»t Nam Tæicông xin cam oan r¬ng måi sü gióp ï cho vi»c thüc hi»n luªn v«n n y

¢ ÷ñc c£m ìn v  c¡c thæng tin tr½ch d¨n trong luªn v«n ¢ ÷ñc ch¿ rãnguçn gèc

Líi c£m ìn

º ho n th nh ÷ñc luªn v«n, tæi luæn nhªn ÷ñc sü h÷îng d¨n v  gióp

ï nhi»t t¼nh cõa PGS.TS H  Tr¦n Ph÷ìng (Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤mTh¡i Nguy¶n) Tæi xin ch¥n th nh b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c ¸n th¦y

v  xin gûi líi tri ¥n nh§t cõa tæi èi vîi nhúng i·u th¦y ¢ d nh cho tæi.Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn L¢nh ¤o pháng  o t¤o, °c bi»t l  c¡cth¦y cæ trüc ti¸p qu£n lþ ¤o t¤o sau ¤i håc, quþ th¦y cæ gi£ng d¤ylîp Cao håc K21 (2013- 2015) Tr÷íng ¤i håc S÷ Ph¤m - ¤i håc Th¡iNguy¶n ¢ tªn t¼nh truy·n ¤t nhúng ki¸n thùc quþ b¡u công nh÷ t¤o

i·u ki»n cho tæi ho n th nh khâa håc

Tæi xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh nh§t tîi gia ¼nh, b¤n b±, nhúngng÷íi ¢ luæn ëng vi¶n, hé trñ v  t¤o måi i·u ki»n cho tæi trong suètqu¡ tr¼nh håc tªp v  thüc hi»n luªn v«n Xin tr¥n trång c£m ìn!

Th¡i nguy¶n, th¡ng 8 n«m 2015

Ng÷íi vi¸t Luªn v«n

Ma Thà Nhung

Möc löc

1 Mët sè t½nh ch§t v· ph¥n bè gi¡ trà cõa h m ph¥n h¼nh 3

1.1 C¡c h m Nevanlinna 3

1.1.1 H m ¸m v  t½nh ch§t 3

1.1.2 Hai ành lþ cì b£n 7

1.2 Mët sè t½nh ch§t cõa h m ph¥n h¼nh vîi ¤o h m 7

1.2.1 Tr÷íng hñp a thùc chùa h m ph¥n h¼nh vîi ¤o h m 7 1.2.2 Bê · ch¼a khâa 11

2 V§n · duy nh§t khi a thùc chùa ¤o h m chung nhau mët h m nhä 21 2.1 X¡c ành duy nh§t h m ph¥n h¼nh 21

2.1.1 Tr÷íng hñp P0 = b(x − a1)n l Q i=2 (x − ai)ki 21

Q

i=1

(x − ai)ki 362.2.2 Tr÷íng hñp P0 = b(x − a1)n

Mð ¦u

Mët ùng döng quan trång cõa Lþ thuy¸t ph¥n bè gi¡ trà Nevanlinna

l  nghi¶n cùu sü x¡c ành duy nh§t cõa mët h m ph¥n h¼nh thæng qua

£nh ng÷ñc cõa mët tªp húu h¤n N«m 1926, R Nevanlinna ÷ñc chùng

tä mët h m ph¥n h¼nh tr¶n m°t ph¯ng phùc C ÷ñc x¡c ành mët c¡chduy nh§t bði £nh ng÷ñc khæng t½nh bëi cõa 5 ph¥n bi»t c¡c gi¡ trà Cængtr¼nh n y cõa Æng ÷ñc xem l  khði nguçn cho c¡c v§n · nghi¶n cùuv· tªp x¡c ành duy nh§t V· sau, vi»c nghi¶n cùu sü x¡c ành c¡c h mph¥n h¼nh bði £nh ng÷ñc cõa mët tªp húu h¤n ph¦n tû ¢ thu hót ÷ñc

sü quan t¥m cõa nhi·u nh  to¡n håc trong v  ngo i n÷îc

N«m 1976, F.Gross ([8]) ¢ °t ra c¥u häi: "tçn t¤i mët tªp hñp húuh¤n S, i·u ki»n E(S, f) = E(S, f) k²o theo f ≡ g?" N«m 1995, H.X Yi([14]) tr£ líi c¥u tr£ líi c¥u häi cõa Gross trong tr÷íng hñp h m nguy¶n

v  n«m 1998, G Frank v  M.Reinders ([6]) ¢ nghi¶n cùu trong tr÷ínghñp h m ph¥n h¼nh Trong thüc t¸, c¥u häi cõa Gross câ thº ÷ñc ph¡tbiºu nh÷ sau: kh¯ng ành tçn t¤i hay khæng a thùc P sao cho vîi b§t

cù c°p h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng f v  g ta câ f ≡ g n¸u P (f) v  P (g)chung nhau mët gi¡ trà mët gi¡ trà CM? Mët c¡ch tü nhi¶n, ta ÷a rac¥u häi sau: tçn t¤i hay khæng a thùc chùa ¤o h m P sao cho vîi b§t

cù c°p h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng f v  g ta câ f ≡ g n¸u P (f) v  P (g)chung nhau mët gi¡ trà CM? ¢ câ mët sè cæng tr¼nh cæng bè theo h÷îngnghi¶n cùu n y Ch¯ng h¤n n«m 2001, M L Fang and W Hong ([7]) ¢chùng minh: Cho f v  g l  hai h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t, n ≥ 11 l  mët sènguy¶n d÷ìng N¸u fn(f − 1)f0 v  gn(g − 1)g0 chung nhau gi¡ trà 1 kº c£bëi th¼ f = g N«m 2004, W C Lin v  H X Yi ([12]) chùng minh: Cho

f v  g l  hai h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t, n ≥ 13 l  mët sè nguy¶n d÷ìng

N¸u fn(f − 1)2f0 v  gn(g − 1)2g0 chung nhau z kº c£ bëi th¼ f = g Vîi mong muèn t¼m hiºu v§n · h m ph¥n h¼nh ÷ñc x¡c ành mëtc¡ch duy nh§t bði i·u ki»n ¤i sè câ chùa ¤o h m chóng tæi chån · t i

V· h m ph¥n h¼nh f0P0(f ) v  g0P0(g) chung nhau mët h m nhä.Möc ½ch ch½nh cõa luªn v«n l  tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ ÷ñc cæng bè

v o n«m 2013 bði K Boussaf, A Escassut v  J Ojeda trong [2] Luªn v«n

n y gçm câ hai ch÷ìng nh÷ sau:

Ch÷ìng 1: Mët sè ki¸n thùc cì b£n trong lþ thuy¸t Nevanlinna Trongch÷ìng n y chóng tæi tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì b£n trong lþ thuy¸tph¥n bè gi¡ trà Nevanlinna cho c¡c h m ph¥n h¼nh, chùng minh mët sè

bê · sû döng trong vi»c chùng minh c¡c k¸t qu£ ch½nh trong Ch÷ìng 2.Ch÷ìng 2: V§n · duy nh§t khi a thùc chùa ¤o h m chung nhau mët

h m nhä ¥y l  ch÷ìng ch½nh cõa luªn v«n, chóng tæi tr¼nh b y l¤i mët

sè k¸t qu£ nguy¶n cùu cõa K Boussaf, A Escassut v  J Ojeda v· i·uki»n ¤i sè cõa a thùc chùa ¤o h m º hai h m ph¥n h¼nh l  b¬ng nhau

Ch֓ng 1

Mët sè t½nh ch§t v· ph¥n bè gi¡ trà cõa h m ph¥n h¼nh

1.1 C¡c h m Nevanlinna

1.1.1 H m ¸m v  t½nh ch§t

º thuªn ti»n cho vi»c theo dãi c¡c v§n · tr¼nh b y trong luªn v«n,tr÷îc h¸t chóng tæi nh­c l¤i mët sè kh¡i ni»m trong lþ thuy¸t ph¥n bègi¡ trà cõa Nevanlinna C¡c ki¸n thùc n y câ thº t¼m th§y trong nhi·u t ili»u, ch¯ng h¤n trong [2] Cho f l  mët h m ph¥n h¼nh tr¶n DR = {z ∈

log+|f (reiϕ)|dϕ

l  h m x§p x¿ cõa h m f

Ta k½ hi»u n(r, f) l  sè cüc iºm kº c£ bëi, n(r, f) l  sè cüc iºm ph¥nbi»t cõa h m f trong Dr Vîi mët sè nguy¶n d÷ìng ∆, k½ hi»u n[∆](r, f )

l  sè cüc iºm bëi ch°n bði ∆ cõa h m f (tùc l  cüc iºm bëi k > ∆ ch¿

÷ñc t½nh ∆ l¦n trong têng n[∆](r, f )) trong Dr

ành ngh¾a 1.1.2 H m

N (r, f ) =

Z r 0

n[∆](t, f ) − n[∆](0, f )

t dt + n[∆](0, f ) log r

÷ñc gåi l  h m ¸m bëi ch°n bði ∆, trong â n(0, f) = lim

t→0 n(t, f );n(0, f ) = lim

C¡c h m N(r, f), m(r, f), T (r, f) ÷ñc gåi chung l  c¡c h m NevanlinnaC¡c bê · sau ¥y l  mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa h m Nevanlinna:

Bê · 1.1.1 Cho c¡c h m ph¥n h¼nh f1, , fp v  r > 0 Khi â:

Bê · 1.1.3 Cho f, g ∈ M(C), khi â

Z(r, f − a) ≤ T (r, f ) + O(1), ∀a ∈ C,m(r, f g) ≤ m(r, f ) + m(r, g),

N (r, f0) = N (r, f ) + N (r, f ),Z(r, f0) ≤ Z(r, f ) + N (r, f ) + Sf(r)

Hìn núa, cho Q ∈ C[x] câ bªc q Th¼

Cho f ∈ M(C) thäa m¢n f0(0) 6= 0, ∞, S l  tªp con húu h¤n cõa C

v  r ∈ [0, +∞] Ta k½ hi»u ZS

0 (r, f0) l  h m ¸m t¤i c¡c khæng iºm cõa

f0 m  nâ khæng ph£i l  khæng iºm cõa f − s vîi måi s ∈ S Ngh¾a l ,n¸u (γn)n∈N l  d¢y húu h¤n ho°c væ h¤n cõa c¡c khæng iºm cõa f0 tr¶n

m  khæng ph£i l  c¡c khæng iºm cõa f − s vîi måi s ∈ S, vîi bëi sè qn

S = {a1, , an} Gi£ sû r¬ng khæng câ gi¡ trà n o trong f, f0 v  f − aj vîi

1 ≤ j ≤ n b¬ng 0 ho°c ∞ t¤i iºm gèc th¼, vîi méi r > 0 ta câ

Cho f l  h m ph¥n h¼nh v  r > 0 H m

Nram(r, f ) = N (r, 1/f0) + 2N (r, f ) − N (r, f0),gåi l  gi¡ trà ph¥n nh¡nh cõa h m f D¹ th§y Nram(r, f ) ≥ 0

ành lþ 1.1.8 (ành lþ cì b£n thù hai) Gi£ sû f l  h m ph¥n h¼nhkh¡c h¬ng tr¶n C, a1, , aq ∈ C, (q > 2) l  c¡c h¬ng sè ph¥n bi»t Khi âvîi méi ε > 0, b§t ¯ng thùc

óng vîi måi r ≥ r0 n¬m ngo i mët tªp câ ë o Lebesgue húu h¤n

1.2 Mët sè t½nh ch§t cõa h m ph¥n h¼nh vîi ¤o h m

Trong ph¦n n y chóng tæi giîi thi»u mët t½nh ch§t cõa c¡c h m linna c¦n thi¸t º chùng minh c¡c k¸t qu£ trong Ch÷ìng 2 C¡c t½nh ch§t

Nevan-n y ÷ñc c¡c t¡c gi£ K Boussaf, A Escassut v  J Ojeda chùng minhtrong [2]

1.2.1 Tr÷íng hñp a thùc chùa h m ph¥n h¼nh vîi ¤o h m

Cho f(z) l  h m ph¥n h¼nh, h m α(z) gåi l  h m nhä èi vîi f n¸ulim

r→∞

T (r,α)

T (r,f ) = 0

Ta k½ hi»u Mf(C) l  tªp c¡c h m ph¥n h¼nh tr¶n C l  h m nhä èi vîi

f, Af(C) l  c¡c h m nguy¶n tr¶n C l  h m nhä èi vîi f

Bê · 1.2.1 Cho Q ∈ C[x] v  f ∈ M(C) l  h m si¶u vi»t Khi â

T (r, Q(f )) ≤ T (r, f0Q(f )) + m(r, 1

f0)

v 

T (r, Q(f )) ≤ T (r, f ) + N (r, f ) + T (r, f0Q(f )) + Sf(r), r ∈ [0, +∞].Hìn núa n¸u deg(Q) ≥ 3, th¼

Chó þ r¬ng

N (r, P (f )) = N (r, f ) ≤ T (r, f ) + O(1)

Tø (1.1) ta câ

T (r, P (f )) ≤ (k + 2)T (r, f ) + (k + 1)T (r, g) + Sf(r), (1.2)(t÷ìng ùng

T (r, P (f )) ≤ (k + 1)T (r, f ) + (k + 1)T (r, g) + Sf(r)) (1.3)Theo Bê · 1.1.2 ta câ

T (r, P (f )) ≤ (n + k + 1)T (r, f ) + O(1)

Tø (2.2) ta suy ra

nT (r, f ) ≤ T (r, f ) + (k + 1)T (r, g) + Sf(r), (1.4)(t÷ìng ùng

nT (r, f ) ≤ (k + 1)T (r, g) + Sf(r)) (1.5)T÷ìng tü ta công câ

nT (r, g) ≤ T (r, g) + (k + 1)T (r, f ) + Sf(r), (1.6)(t÷ìng ùng

nT (r, g) ≤ (k + 1)T (r, f ) + Sf(r)) (1.7)Cëng (1.4) vîi (1.6) ta ÷ñc

n(T (r, f ) + T (r, g)) ≤ (k + 2)(T (r, f ) + T (r, g)) + Sf(r),

do â

0 ≤ (k + 2 − n)(T (r, f ) + T (r, g)) + Sf(r),(t÷ìng ùng

0 ≤ (k + 1 − n)(T (r, f ) + T (r, g)) + Sf(r))

M¥u thu¨n vîi i·u ki»n n ≥ k + 3( t÷ìng ùng n ≥ k + 2) Vªy c = 0

tø â suy ra P (f) = P (g)

Bê · 1.2.3 Cho F, G ∈ M(C) kh¡c h¬ng, khæng câ khæng iºm v  khæng

câ cüc iºm t¤i 0 v  chung nhau mët gi¡ trà kº c£ bëi Gi£ sû Ψf,g = 0 v 

i=2ki Cho f, g ∈ M(C) l c¡c h m si¶u vi»t v  θ = P (f)f0P (g)g0 N¸u θ ∈ Mf(C) ∩ Mg(C), th¼ ta

câ c¡c i·u sau ¥y:

n¸u l = 2 th¼ n ∈ {k, k + 1, 2k, 2k + 1, 3k + 1},

n¸u l = 3 th¼ n ∈ {k

2, k + 1, 2k + 1, 3k2 − k, 3k3 − k},n¸u l ≥ 4 th¼ n = k + 1

Hìn núa, n¸u f, g thuëc A(C) th¼ θ khæng thuëc Af(C).

Chùng minh Khæng m§t t½nh têng qu¡t ta câ thº gi£ thi¸t r¬ng a1 = 0.Gi£ sû f, g ∈ M(C) thäa m¢n

l  tªp c¡c khæng iºm v  cüc iºm cõa θ ¦u ti¶n ta s³ ch¿

ra r¬ng P0(f ) v  P0(g) nhªn c¡c khæng iºm v  cüc iºm ngo i P

Thªtvªy, gi£ sû r¬ng khæng câ khæng iºm v  cüc iºm cõa f0P0(f ) thuëc P

.V¼ vªy, måi khæng iºm v  måi cüc iºm cõa f0P0(f ) kh¡c ph£i l  mëtkhæng iºm ho°c l  mët cüc iºm cõa θ Do â

Ta gi£ sû r¬ng f, g ∈ A(C) V¼ c£ f, g khæng câ cüc iºm, måi khæng

iºm cõa c£ hai h m tr¶n ·u thuëc P

V¼ vªy, ta câZ(r, f0P0(f )g0P0(g)) =Z(r, f0) +

câ bªc si Nâ l  cüc iºm cõa f câ bªc ti V¼ vªy, theo (1.9) ta câ

si(ki+ 1) = ti(n + k + 1) + 2 (1.10)

Tø (1.9) v  (1.10) ta suy ra s > t v  si > ti

X²t cüc iºm γ ∈ C\P

cõa f Ta th§y γ l  khæng iºm cõa g, ho°c

l  khæng iºm cõa g − ai vîi méi i ∈ {2, , l}, ho°c l  khæng iºm cõa g0

m  khæng ph£i l  khæng iºm cõa g m  công khæng ph£i l  khæng iºmcõa g − ai(∀i ∈ {2, , l}) Cho Z0(r, g0) l  h m ¸m c¡c khæng iºm cõa

g0 khæng ph£i l  cüc iºm cõa g v  cõa g − ai vîi måi i ∈ {2, , l} ( ¸mc£ bëi ) v  Z0(r, g0) l  h m ¸m c¡c khæng iºm cõa g0 m  khæng ph£i

l  khæng iºm cõa g v  cõa g − ai vîi måi i ∈ {2, , l} khæng kº bëi V¼

n¬m trong P

, khi â

Z(r, f ) ≤ 1

5T (r, f ) + Sf(r) + Sg(r),Z(r, f − 1) ≤ 1

5T (r, f ) + Sf(r) + Sg(r),Z(r, g) ≤ 1

5T (r, g) + Sf(r) + Sg(r),Z(r, g − 1) ≤ 1

5T (r, g) + Sf(r) + Sg(r),m¥u thu¨n vîi (1.14) Ta th§y c°p (n, k) d¨n ¸n khæng iºm cõa f ho°ccõa g ngo i P

câ bªc ≤ 4

Do â, ta xem x²t c¡c tr÷íng hñp d¨n ¸n c¡c khæng iºm câ bªc ≤ 4cõa f, f − 1, f, g − 1 Thªt vªy, v¼ f v  g âng vai trá nh÷ nhau li¶n quan

¸n n v  k, nâ l  i·u ki»n õ º tr÷íng hñp n y óng, v½ dö vîi g ho°c

g − 1 câ khæng iºm bªc s ≤ 4 Trong méi tr÷íng hñp ta k½ hi»u t l  bªccõa cüc iºm cõa f l  khæng iºm cõa g ho°c g − 1 Nh­c l¤i khi f câ cüc

iºm c§p 4, g ho°c g − 1, n¸u nâ câ khæng iºm, th¼ bªc cõa khæng iºmph£i ≥ 5 Do â, ta ch¿ x²t c¡c khæng iºm cõa g v  g − 1 l  cüc iºmcõa f câ bªc 1, 2, 3

¦u ti¶n ta gi£ sû r¬ng g câ khæng iºm γ 6= P

câ bªc s = 2 Th¼2(n + 1) = t(k + n + 1) + 2 (1.15)Theo (1.15) n¸u t = 1 ta câ

Ti¸p theo, n¸u t ≥ 2, tø i·u ki»n 2n + 2 < t(k + n + 1) + 2, suy ra (1.16)

l  nghi»m duy nh§t

Gi£ sû g câ mët khæng iºm γ 6= P

câ bªc s = 3 Khi â3(n + 1) = t(k + n + 1) + 2 (1.17)Theo (1.17) n¸u t = 1 ta khæng t¼m ÷ñc nghi»m v¼ k ≤ n

N¸u t = 2 ta câ

N¸u t ≥ 3 ta câ 3(n + 3) < 3(k + n + 1) + 2, suy ra (1.18) l  nghi»m duynh§t.

Ti¸p theo ta gi£ sû g câ mët khæng iºm câ bªc s = 4 Khi â

4(n + 1) = t(k + n + 1) + 2 (1.19)N¸u t = 1, v¼ k ≤ n, n¶n ta câ 4(n + 1) > t(k + n + 1) + 2

N¸u t = 2, theo (1.19) ta câ nghi»m

câ bªc ≤ 4 Vªybªc s cõa g − 1 thäa m¢n

s(k + 1) = t(k + n + 1) + 2 (1.23)

¦u ti¶n ta gi£ sû r¬ng g − 1 câ mët khæng iºm γ 6= P

câ bªc s = 2.Theo (1.23) ta câ

2(k + 1) = t(k + n + 1) + 2 (1.24)V¼ k ≤ n ta khæng t¼m ÷ñc nghi»m vîi t = 1, i·u n y d¨n ¸n k = n+1ho°c t ≥ 2, v¼ 2(k + 1) < t(k + n + 1) + 2

Ti¸p theo ta gi£ sû s = 3

N¸u t = 1, ta t¼m ÷ñc nghi»m

N¸u t ≥ 2, ta khæng t¼m ÷ñc nghi»m vîi k ≤ n bði v¼ 3(k + 1) <t(k + n + 1) + 2

câ bªc ≤ 4 do â c¡c ph¡t biºutrong m»nh · tr¶n ÷ñc chùng minh vîi tr÷íng hñp l = 2.

Tø (1.14) ta câ l ≤ 2, m¥u thu¨n

Do â, ta s³ kiºm tra vîi måi n v  ki (i ∈ {2, 3}) d¨n ¸n khæng iºmngo i P

câ bªc ≤ 3 cho f, g, f − ai, g − ai vîi i = 2, 3 Thªt vªy, v¼ f v 

g âng vai trá nh÷ nhau, ¥y l  i·u ki»n õ º tr÷íng hñp n y óng, v½

dö vîi g ho°c g − ai n o â câ mët khæng iºm câ bªc nhä hìn 3 Trongméi tr÷íng hñp ta k½ hi»u t l  bªc cõa cüc iºm cõa f l  khæng iºm cõa

g ho°c g − ai vîi i n o â Nh­c l¤i r¬ng khi f câ cüc iºm câ bªc 3, g

ho°c g − ai, n¸u nâ câ khæng iºm, nâ ph£i câ khæng iºm câ bªc ≥ 4.Suy ra, ta ch¿ c¦n kiºm tra c¡c khæng iºm cõa g ho°c g − ai (∀i ∈ {2, 3})

l  c¡c cüc iºm cõa f câ bªc 1, 2

¦u ti¶n ta gi£ sû r¬ng g câ mët khæng iºm γ 6= P

câ bªc s = 2.Theo (1.9) ta câ

2(n + 1) = t(k + n + 1) + 2 (1.29)Theo (1.29) n¸u t = 1 ta câ

n = k

N¸u t = 2 ta câ

Do â, theo (1.30), (1.32), (1.33) t§t c£ c¡c tr÷íng hñp cõa g câ khæng

iºm câ bªc s ≤ 3 nh÷ sau

2(ki + 1) = t(k + n + 1) + 2 (1.35)

V¼ ki ≤ n v  ki ≤ k ta câ 2(ki + 1) < t(k + n + 1) + 2 Do â ta khængt¼m ÷ñc nghi»m cõa (1.35).

Ti¸p theo ta gi£ sû s = 3 N¸u t = 1 ta t¼m ÷ñc nghi»m

Tr÷íng hñp l ≥ 4

Ta gi£ sû r¬ng t§t c£ c¡c khæng iºm cõa f, g, f −ai, g − ai, ∀i ∈ {2, , l}

câ bªc nhä hìn 3 trø i c¡c iºm n¬m trong P

Tø (1.14) ta câ l ≤ 3, m¥u thu¨n

Do â, ta s³ kiºm tra vîi måi n v  ki (i ∈ {2, 3, , l}) d¨n ¸n khæng

iºm câ bªc 2, g ho°c g − ai, n¸u nâ câ khæng iºm, nâ ph£i câ khæng

iºm câ bªc ≥ 3 Suy ra, ta ch¿ c¦n kiºm tra c¡c khæng iºm cõa g ho°c

g − ai (∀i ∈ {2, 3, , l}) l  c¡c cüc iºm cõa f câ bªc 1

¦u ti¶n ta gi£ sû r¬ng g câ mët khæng iºm γ 6= P

Do â theo (1.38) ch¿ câ mët tr÷íng hñp duy nh§t èi vîi g ho°c g − ai

n o â câ mët khæng iºm γ /∈ P

câ bªc nhä hìn 3 l 

n = k + 1

Vªy ta ¢ chùng minh xong Bê · 1.2.6

Ch֓ng 2

V§n · duy nh§t khi a thùc chùa

¤o h m chung nhau mët h m nhä

2.1 X¡c ành duy nh§t h m ph¥n h¼nh

2.1.1 Tr÷íng hñp P 0 = b(x − a1) n Ql

i=2 (x − ai) k i

ành lþ 2.1.1 ([2]) Cho P l  a thùc x¡c ành duy nh§t tr¶n M(C), P0 =b(x − a1)n

bëi V¼ f, g l  c¡c h m si¶u vi»t n¶n c¡c h m F v  G công l  h m si¶uvi»t Nh­c l¤i

°tF = P (f ),b G = P (g)b Chó þ r¬ng P (x) l  a thùc câ d¤ng xn+1Q(x)trong â Q(x) ∈ C[x] câ bªc k n¶n theo Bê · 1.1.5, ta câ

T (r, F ) ≤ Z[2](r, F ) + N[2](r, F ) + Z[2](r, G) + N[2](r, G) + Sf(r) + Sg(r).Theo (2.2) ta câ

Tø T (r, Q(f)) = kT (r, f) + O(1) v  T (r, Q(g)) = kT (r, g) + O(1) ta câ

(4−ki)(Z(r, f −ai)+Z(r, g−ai)) ≤ max(0, 4−ki)(T (r, f )+T (r, g))+O(1),

i·u n y k²o theo

Tø Bê · 1.1.4 ta câ

(n + k)T (r, f ) ≤ (l + 3)T (r, f ) + (l + 2)T (r, g) + Sf(r) + Sg(r) (2.17)V¼ f v  g còng thäa m¢n c¡c i·u ki»n nh÷ nhau n¶n ta công câ

(n + k)T (r, g) ≤ (l + 3)T (r, g) + (l + 2)T (r, f ) + Sf(r) + Sg(r) (2.18)K¸t hñp (2.17) v  (2.18) ta ÷ñc

Tø (2.14) ta suy ra

(n + k)T (r, f ) ≤ T (r, F ) + m(r, 1/f0) + Sf(r)

v 

(n + k)T (r, g) ≤ T (r, G) + m(r, 1/g0) + Sg(r)

Do â (2.21) ÷ñc vi¸t l¤i nh÷ sau:

Tø (2.20) ta câ ta câ n + k ≥ 4l + 6, suy ra 2l + 6

n + k < 1, i·u n y k²o theo

p döng Bê · 1.2.3 ta suy ra F = G ho°c F G = 1 V¼ αF, αG v  α còngthuëc A(C), n¶n n¸u F G = 1 th¼ (αF )(αG) = (α)2 ∈ Af(C), m¥u thu¨nvîi Bê · 1.2.6 Do â F = G v  gièng nh÷ trong tr÷íng hñp 1 ta suy ra

l  c¡c h m si¶u vi»t thäa m¢n f0P0(f ) v  g0P0(g) chung nhau mët gi¡ trà

α ∈ Mf(C) ∩ Mg(C) kº c£ bëi, th¼ f = g

H» qu£ 2.1.5 ([2]) Cho f, g ∈ M(C) l  c¡c h m si¶u vi»t v  α ∈

Mf(C) ∩ Mg(C) kh¡c 0 Cho a ∈ C∗ N¸u f0fn(f − a)2 v  g0gn(g − a)2chung nhau mët gi¡ trà α kº c£ bëi v  n ≥ 13, th¼ f = g