tổ chức hoạt động học tập môn toán cho học sinh trung học phổ thông theo hướng bồi dưỡng năng lực phát hiện các quy luật toán học

Trên cơ sở đó, có thể tổ chức các dạng hoạt động học tập cho HS theo hướng bồi dưỡng năng lực phát hiện các quy luật Toán học, nhằm nâng cao khả năng lĩnh hội và khám phá tri thức để đáp

Trang

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Khách thể và đối tượng nghiên cứu 2

5 Giả thuyết khoa học 2

6 Phương pháp nghiên cứu 2

7 Những đóng góp của luận án 3

8 Cấu trúc của luận án 4

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN 5

1.1 Một số nghiên cứu liên quan đến đề tài 5

1.2 Quy luật và quy luật Toán học 8

1.2.1 Quy luật 8

1.2.2 Quy luật Toán học 9

1.3 Hoạt động học tập 11

1.3.1 Quan niệm về hoạt động học tập 11

1.3.2 Hoạt động phát hiện 13

1.3.3 Một số đặc điểm của hoạt động học tập mang tính tìm tòi, phát hiện 15

1.4 Một số vấn đề về năng lực phát hiện các quy luật Toán học 17

1.4.1 Quan niệm về năng lực 17

1.4.2 Một số quan niệm về năng lực toán học 18

1.4.3 Thuộc tính của năng lực phát hiện các quy luật toán học 20

1.4.4 Một số biểu hiện của học sinh có năng lực phát hiện quy luật Toán học 21

1.4.5 Phân loại mức độ của năng lực phát hiện quy luật Toán học 30

1.5 Vai trò của việc bồi dưỡng cho học sinh năng lực phát hiện các quy luật Toán học trong dạy học môn Toán 31

1.6 Đặc điểm hoạt động nhận thức của học sinh Trung học phổ thông 32

1.7 Một số yêu cầu của việc tổ chức hoạt động học tập theo hướng bồi dưỡng năng lực phát hiện 35

1.8 Một số lý thuyết và phương pháp dạy học góp phần giúp học sinh thực hiện hoạt động phát hiện trong học tập toán 38

1.8.2 Lý thuyết hoạt động 41

1.8.3 Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề 42

1.8.4 Dạy học hợp tác theo nhóm 43

1.9 Một số tri thức thuộc lĩnh vực triết học có vai trò điều chỉnh, định hướng hoạt động phát hiện quy luật Toán học 44

1.9.1 Tri thức về mối liên hệ giữa cái riêng và cái chung 44

1.9.2 Tri thức về mối liên hệ giữa nguyên nhân và kết quả 46

1.9.3 Tri thức về mối liên hệ giữa nội dung và hình thức 48

Kết luận chương 1 49

Chương 2 KHẢO SÁT THỰC TRẠNG 50

2.1 Mục đích khảo sát 50

2.2 Đối tượng khảo sát 50

2.3 Nội dung khảo sát 50

2.4 Phương pháp khảo sát 51

2.5 Kết quả khảo sát 51

2.5.1 Kết quả khảo sát nhận được từ ý kiến của giáo viên 51

2.5.2 Kết quả khảo sát về việc thực hiện hoạt động phát hiện quy luật toán của học sinh trong học tập môn Toán 53

Kết luận chương 2 60

Chương 3 MỘT SỐ BIỆN PHÁP TỔ CHỨC HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP CHO HỌC SINH THEO HƯỚNG BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC PHÁT HIỆN QUY LUẬT TOÁN HỌC 62

3.1 Một số định hướng để xây dựng các biện pháp 62

3.2 Một số tìm hiểu về nội dung và cách trình bày của sách giáo khoa Toán trung học phổ thông 62

3.3 Một số biện pháp tổ chức hoạt động học tập môn Toán cho học sinh Trung học phổ thông theo hướng bồi dưỡng năng lực phát hiện quy luật toán học 65

3.3.1 Biện pháp 1: Chọn lọc và tổ chức các tình huống nhằm gây hứng thú học tập để học sinh tích cực tham gia vào hoạt động phát hiện kiến thức toán học mới 66

3.3.2 Biện pháp 2: Thiết kế các tình huống dạy học để học sinh luyện tập hoạt động quan sát một cách có chủ định các sự vật, hiện tượng ẩn chứa những quy luật Toán học cần khám phá 71

3.3.3 Biện pháp 3: Tạo các tình huống nhằm rèn luyện cho học sinh các hoạt động phù hợp có tác dụng hỗ trợ cho việc dự đoán, hình thành

giả thuyết nhằm tìm kiếm các kết quả mới 81

3.3.4 Biện pháp 4: Tạo cơ hội cho học sinh được trải nghiệm những cách thức khác nhau để kiểm định giả thuyết toán học 99

3.3.5 Biện pháp 5: Sau mỗi nội dung dạy học phù hợp, khuyến khích học sinh thực hiện hoạt động tìm tòi, phát hiện quy luật Toán học trên cơ sở triệt để khai thác tiềm năng sách giáo khoa 106

3.3.6 Biện pháp 6: Tổ chức các tình huống nhằm tập luyện cho học sinh thực hiện hoạt động suy luận để đạt tới kết luận đúng xuất phát từ những tiền đề đúng 117

Kết luận chương 3 128

Chương 4 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 129

4.1 Mục đích thực nghiệm 129

4.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm 129

4.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm 147

4.3.1 Đánh giá định tính 147

4.3.2 Đánh giá định lượng 149

Kết luận chương 4 155

KẾT LUẬN 156

DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI 157

TÀI LIỆU THAM KHẢO 158 PHỤ LỤC

Trang

Hình:

Hình 3.1 67

Hình 3.2 80

Hình 3.3 83

Hình 3.4 85

Hình 3.5 95

Hình 3.6 101

Hình 3.7 107

Hình 3.8 108

Bảng: Bảng 4.1 149

Bảng 4.2 151

Bảng 4.3 152

Bảng 4.4 153

Bảng 4.5 154

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Nền giáo dục nước ta đang tiến tới thực hiện đổi mới căn bản và toàn diện, hướng tới một nền giáo dục tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và trên thế giới Xu thế chung của giáo dục thế giới ngày nay là giáo dục phải góp phần vào sự phát triển toàn diện của mỗi cá nhân cả về thể chất lẫn tinh thần Trong khi đó, tình trạng khá phổ biến hiện nay ở các nhà trường nước ta mới chỉ tập trung vào việc trang bị kiến thức

có sẵn mà chưa quan tâm đúng mức đến việc phát triển năng lực, đặc biệt là rèn luyện các kỹ năng, thái độ cho HS để họ có thể sống và làm việc trong một xã hội luôn thay đổi sau khi hoàn thành chương trình giáo dục phổ thông Vì vậy, việc đổi mới phương pháp dạy học để đáp ứng mục tiêu giáo dục hiện nay là một việc làm cần thiết

Định hướng đổi mới dạy học theo hướng phát triển năng lực người học tập trung vào việc dạy cho HS cách suy nghĩ để có thể tự tìm tòi, phát hiện kiến thức mới Nói riêng, xét trong lĩnh vực dạy học Toán, khi nói học tập môn Toán là muốn nhấn mạnh đến: học các khái niệm toán học, các tiên đề, định lý, công thức; học cách suy nghĩ, tư duy toán học để có thể kết nối, tìm tòi, dự đoán, phát hiện ra các mối liên hệ giữa các đối tượng và quan hệ toán học; đồng thời học vận dụng toán học vào các khoa học khác và vào thực tiễn Trong quá trình học tập môn Toán, việc tìm tòi những cách thức mang lại chất lượng và hiệu quả học tập cao luôn là vấn đề có ý nghĩa đáng kể Nếu không được trang bị những cách thức để HS tự tìm tòi, phát hiện kiến thức mới thì HS không thể tiến hành việc học một cách chủ động và tích cực, làm hạn chế sự vận dụng toán học vào các khoa học khác, đồng thời hạn chế sự kết nối giữa toán học với thực tiễn

Trong quá trình dạy học, tồn tại mối liên hệ hữu cơ giữa ba thành phần cơ bản: mục tiêu - nội dung - phương pháp Như vậy, để đạt được mục tiêu nói trên thì nội dung và phương pháp đều có vai trò của chúng Nói riêng, trong những điều kiện nào

đó, phương pháp dạy học có thể có tác động trở lại mục tiêu và nội dung Thế nhưng,

phải thừa nhận rằng trong tình hình hiện nay, phương pháp dạy học ở nước ta còn

những nhược điểm phổ biến, trong số đó phải kể đến nhược điểm tri thức thường được truyền thụ dưới dạng có sẵn, ít yếu tố tìm tòi, phát hiện Điều này làm hạn chế tính tích

cực, chủ động, sáng tạo của HS, ảnh hưởng không nhỏ tới chất lượng học tập môn Toán

Chính vì những lí do nêu trên, chúng tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu của luận án

là: “Tổ chức hoạt động học tập môn Toán cho học sinh Trung học phổ thông theo hướng bồi dưỡng năng lực phát hiện các quy luật Toán học”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận án là xây dựng các biện pháp tổ chức hoạt động học tập môn Toán cho HS Trung học phổ thông nhằm bồi dưỡng năng lực phát hiện các quy luật Toán học

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Để đạt được mục đích trên, nhiệm vụ nghiên cứu trong luận án này là làm sáng

4 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

- Khách thể nghiên cứu của đề tài là quá trình dạy học Toán ở trường Trung học

phổ thông

- Đối tượng nghiên cứu của đề tài là những cách thức tổ chức dạy học nhằm giúp HS Trung học phổ thông phát hiện quy luật Toán học

5 Giả thuyết khoa học

Cần thiết và có thể xác định nội dung năng lực phát hiện các quy luật Toán học của HS Trung học phổ thông và ảnh hưởng tích cực của năng lực này tới kết quả học tập môn Toán Trên cơ sở đó, có thể tổ chức các dạng hoạt động học tập cho HS theo hướng bồi dưỡng năng lực phát hiện các quy luật Toán học, nhằm nâng cao khả năng lĩnh hội và khám phá tri thức để đáp ứng những yêu cầu của việc dạy học Toán ở trường phổ thông

6 Phương pháp nghiên cứu

6.1 Phương pháp nghiên cứu lí luận

a Phương pháp phân tích hệ thống: sử dụng để nghiên cứu các lí thuyết học tập, các tài liệu có liên quan nhằm thu thập thông tin và làm cơ sở lí luận cho đề tài

b Phương pháp lịch sử: sử dụng để nghiên cứu nguồn gốc xuất hiện, quá trình tồn tại, phát triển của vấn đề nghiên cứu, đồng thời kế thừa thành quả của các nhà khoa học đi trước giúp cho việc nhìn nhận, nghiên cứu vấn đề sâu sắc và toàn diện hơn

6.2 Phương pháp nghiên cứu thực tiễn

a Quan sát: sử dụng trong quá trình dạy học và dự giờ để thấy rõ việc sử dụng các phương pháp dạy học, cách thức tổ chức các hoạt động dạy học trên lớp của giáo viên, thái độ và các hoạt động học tập của HS

b Điều tra: sử dụng phiếu câu hỏi (anket), đàm thoại

c Tổng kết kinh nghiệm: dùng các kiến thức về lí luận dạy học để phân tích, khái quát hoá thông tin nhằm rút ra những kết luận trong quá trình nghiên cứu

d Hỏi ý kiến chuyên gia: trao đổi và xin ý kiến các chuyên gia trong lĩnh vực Giáo dục học về các vấn đề lí luận, thực tiễn liên quan đến đề tài, hội ý, trao đổi với các giáo viên và cán bộ có chuyên môn trong quá trình soạn giáo án, dạy thực nghiệm

e Thực nghiệm sư phạm: sử dụng trong các giai đoạn thực nghiệm của luận án

6.3 Phương pháp thống kê toán học

Sử dụng phương pháp thống kê toán học trong giáo dục và các kỹ thuật cần thiết để xử lí số liệu, phân tích kết quả điều tra thực trạng, kết quả thực nghiệm sư phạm của luận án

7 Những đóng góp của luận án

7.1 Về mặt lý luận

- Làm sáng tỏ khái niệm quy luật Toán học trong chương trình môn Toán Trung

học phổ thông;

- Làm sáng tỏ các biểu hiện của HS có năng lực phát hiện quy luật Toán học;

- Làm sáng tỏ ý nghĩa, tầm quan trọng của việc bồi dưỡng năng lực phát hiện quy luật Toán học trong dạy học toán ở trường phổ thông;

- Khai thác các cơ sở khoa học để tìm những định hướng, những phương thức tác động làm cho việc dự đoán, tìm tòi, phát hiện có căn cứ, đảm bảo tiến dần tới độ chính xác hơn, đúng đắn hơn

7.2 Về mặt thực tiễn

- Đề xuất các biện pháp sư phạm, trong đó coi trọng việc tạo nhu cầu, hứng thú học tập; hướng đến các hoạt động dự đoán, kiểm nghiệm; các phương thức tác động để HS phát hiện quy luật Toán học đạt hiệu quả;

- Có thể sử dụng luận án làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán có mong muốn bồi dưỡng năng lực phát hiện quy luật Toán học cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường phổ thông

8 Cấu trúc của luận án

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, nội dung luận án được trình bày trong 4 chương

Chương 1 Cơ sở lý luận

Chương 2 Khảo sát thực trạng

Chương 3 Một số biện pháp tổ chức hoạt động học tập môn Toán cho học sinh

Trung học phổ thông theo hướng bồi dưỡng năng lực phát hiện các quy luật Toán học

Chương 4 Thực nghiệm sư phạm

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.1 Một số nghiên cứu liên quan đến đề tài

Ở nước ngoài

Tư tưởng học tập tự giác, phải biết suy nghĩ và động não có từ xa xưa Khổng

Tử (551 - 479 TCN) đã thể hiện quan điểm trên khi cho rằng: “Không tức giận vì không biết thì không gợi mở cho, không bực tức vì không vẽ được thì không bày vẽ cho Vật có bốn góc, bảo cho biết một góc mà không suy ra ba góc thì không dạy nữa” Theo Khổng Tử người học phải có nhu cầu nhận thức, ham hiểu biết, khám phá cái mới; phải độc lập suy nghĩ và sáng tạo trong quá trình nhận thức, người dạy không chỉ truyền đạt tri thức, phải trang bị cho người học cách tự tìm đến tri thức

Các công trình của G Polya được đúc kết trong [85], [86], [87] cho thấy những trăn trở không nhỏ của tác giả về việc làm thế nào để trang bị cho HS những kỹ thuật giúp phát hiện kiến thức, quy luật Toán học, đồng thời cũng đã khẳng định đóng góp quý giá của tác giả xung quanh vấn đề này

Tony Buzan đã có nhận định về khoảng thời gian ngồi trên ghế nhà trường:

“Mặc dù đã giành rất nhiều thời gian để học ở trường”, nhưng “thực tế không được dạy cách sử dụng cái đầu của mình” [49, tr 70] Ông đã viết tác phẩm “Use your head”, cuốn sách được cho là rất cần thiết cho những người tham gia vào cuộc cách mạng học tập với những băn khoăn rằng làm thế nào để có thể dùng cái đầu của mình,

tự phát hiện được những điều mới mẻ

Các tác giả Jeannette Vos và Gorden Dryden trong [49] đã thực sự mang tính

“xúc tác” giúp cho người đọc thay đổi cách nghĩ, cách sống, cách học, cách làm việc, cách dạy và cách hành động của bản thân Các tác giả nhận định: “Ba bộ môn chính được giảng dạy tại trường là học cách học như thế nào, nghĩ như thế nào và làm thế nào để trở thành người chủ tương lai của chính mình?” Điều này khẳng định vai trò của các nghiên cứu của tác giả trong vấn đề làm thế nào để dạy cho HS biết cách tự tìm tòi, phát hiện những tri thức tồn tại xung quanh mình

Đầu thế kỷ XX, sự chuyển đổi từ dạy học lấy giáo viên làm trung tâm đến lấy

HS làm trung tâm có liên quan tới quan điểm mới trong dạy học khi cho rằng người học cần dựa trên kinh nghiệm để xây dựng sự hiểu biết của mình và tạo dựng vốn kiến thức vững chắc, giáo viên là người hướng dẫn HS xây dựng kiến thức thay vì chỉ tái tạo kiến thức Các nghiên cứu đã tập trung vào việc giáo viên cần lựa chọn phương pháp dạy học như thế nào để giúp HS phát hiện và giải quyết vấn đề, xây

dựng và thử nghiệm các giải pháp, các ý tưởng, thực hiện suy diễn, tổng hợp, chia sẻ tri thức trong môi trường học tập hợp tác [8, tr 223]

Dạy học tự phát hiện có vai trò cốt lõi trong việc giúp HS học các khái niệm và các ý tưởng như thế nào J Bruner nói về “hành động phát hiện” như là một phần công việc không thể thiếu của người học J Bruner đã nghiên cứu về bản chất của hoạt động phát hiện, tìm hiểu về khái niệm “học tập phát hiện” Từ đó, dựa trên cách tiếp cận phát hiện J Bruner đã phát triển thành cách tiếp cận tìm tòi và giải quyết vấn đề Đây

là một bước đi cụ thể của cách tiếp cận phát hiện, HS phải phát huy hết khả năng phát hiện của mình cùng với các khả năng khác trong cách tiếp cận tìm tòi và giải quyết vấn

đề Trong quá trình nghiên cứu J Bruner cũng phân tích và làm sáng tỏ những ưu điểm

và hạn chế của các cách tiếp cận dạy học này

Trong [50], các tác giả cho rằng trong quá trình dạy học, giáo viên là người hướng dẫn, cố vấn, đồng hành với HS để cùng nhau tìm hiểu và phát hiện kiến thức mới Điều này cũng hoàn toàn phù hợp với ý kiến của J Dewey (trong Experience and Education, 1938), Carl Rogers (trong Freedom to learn, 1969) và J Bruner khi cho rằng mặc dù rất tôn trọng vai trò của vốn kiến thức, kinh nghiệm của HS cũng như quyền được lựa chọn nội dung để tự tìm tòi, phát hiện nhưng trong quá trình ấy không thể thiếu vai trò của giáo viên

Trong [80], V.Ôkôn đã trình bày những luận điểm về cách dạy học phát hiện và nêu lên quy trình áp dụng trong dạy học

Trong [26], Geoffrey Petty đã đưa ra những lời khuyên cụ thể về việc sử dụng các phương pháp dạy học phổ biến, trong đó nhấn mạnh những cách thức tiến hành sao cho HS có thể tự mình phát hiện được tri thức mới

Với câu hỏi: “Có nên đặt vấn đề để HS tự khám phá lại tất cả các tri thức của môn học hay không?” thì Lecne cho rằng: “Một tổ chức dạy học trong đó HS phải khám phá lại tất cả những điều mà loài người biết được trước đây và được quy định trong chương trình học, là một điều ít nhất cũng là kỳ quái” và “Chỉ có một số tri thức

và phương thức hoạt động nhất định, được lựa chọn khéo léo và có cơ sở mới trở thành đối tượng của dạy học nêu vấn đề ” (dẫn theo [60, tr 149-150])

Với bài viết “Tri thức và tư duy” [2, tr 64 -119], M Crugliac đã xem xét sự tìm tòi trí tuệ về mặt tổ chức và cấu trúc, vạch ra các dạng của tình huống có vấn đề, giới thiệu cách giải quyết vấn đề qua các ví dụ Theo tác giả, dạy học nêu vấn đề là hình

thức tổ chức sự tìm tòi trí tuệ khi thu nhận tri thức bằng cách giải quyết vấn đề và để

điều khiển sự tìm tòi trí tuệ giáo viên cần vận dụng nhiều phương pháp dạy học

J Bruner trong “Fucus in Inquiry”, Alberta, Canada, (2004), đã đề xuất hai quy trình dạy học phát hiện dựa theo thuyết kiến tạo như sau:

- Quy trình dạy học theo thuyết kiến tạo năm bước (quy trình 5E) Quy trình này là một mẫu hướng dẫn, gồm các bước: tạo sự chú ý (Engage); khảo sát (Explore); giải thích (Explain); phát biểu (Elaborate); đánh giá (Evaluation)

- Quy trình dạy học theo thuyết kiến tạo sáu bước: lên kế hoạch; thu thập thông tin; tiến hành; sáng tạo; chia sẻ; đánh giá (dẫn theo [1, tr 40])

khám phá,… Bùi Văn Nghị trong [75, tr 162] đã phân biệt khám phá và phát hiện

Trong [98, tr 30], Đào Tam đã quan niệm: “Hoạt động phát hiện trong dạy học toán ở trường phổ thông là hoạt động trí tuệ của HS được điều chỉnh bởi nền tảng tri thức đã tích lũy thông qua các hoạt động khảo sát, tương tác với các tình huống để phát hiện tri thức mới” và “Trong hoạt động phát hiện một khái niệm, một định lý, một mệnh đề nào đó cần sử dụng các phương pháp tìm đoán, các hoạt động đặc biệt hóa, khái quát hóa, chuyển hóa các liên tưởng từ đối tượng này sang đối tượng khác” Nguyễn Hữu Châu [8] cho rằng “phát hiện” và “giải quyết” là các khâu đan quyện với nhau trong suốt quá trình giải quyết vấn đề, khi nói tới giải quyết vấn đề là đã có phát hiện vấn đề Trần Vui [123] đã quan tâm đến việc dạy HS tìm kiếm các quy luật Toán học xuất phát

từ tình huống thực tiễn Nguyễn Bá Kim [60], Nguyễn Phú Lộc [66] đã thể hiện sự quan tâm về vấn đề giúp HS phát hiện quy luật Toán học khi đề xuất quy trình dạy học định lý theo con đường có khâu nêu giả thuyết Nguyễn Anh Tuấn [118, tr 11] đã quan niệm: “Phát hiện là hoạt động của HS nhằm nhận ra trong tình huống - bài toán những yếu tố toán học cùng các mối quan hệ giữa chúng; tìm thấy hướng giải quyết bài toán - vấn đề” Dưới góc độ xem phát hiện và giải quyết vấn đề là một năng lực cần bồi dưỡng cho HS, trong [118] tác giả đã quan tâm nghiên cứu cách thức bồi dưỡng năng lực này cho HS trung học cơ sở trong dạy học khái niệm toán học; Từ Đức Thảo [106] đã tìm cách bồi dưỡng năng lực này cho HS Trung học phổ thông trong dạy học hình học Gần đây, vấn đề tổ chức dạy học theo hướng tự phát hiện được

đề cập trong các công trình [1], [38], [45], [51] nhưng chỉ nghiên cứu ở chương trình tiểu học Trong [14] và [83], các tác giả đã quan tâm tìm hiểu một số vấn đề liên quan đến cách thức hướng dẫn HS dự đoán, phát hiện quy luật Toán học trong dạy Toán ở

trường Trung học phổ thông Tuy nhiên trong [14], tác giả tập trung vào việc giúp HS

dự đoán nhờ tương tự và quy nạp từ một số trường hợp riêng; trong [83] tác giả xem xét việc phát hiện quy luật toán học chủ yếu thông qua các biểu diễn toán Trong [34],

đã nghiên cứu cách thức rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy cho HS trong dạy học đại số và giải tích Trong [35], đã khai thác và tập luyện cho HS các hoạt động nhằm phát triển khả năng chiếm lĩnh tri thức trong dạy học đại số và giải tích ở bậc Trung học phổ thông

Như vậy, có thể thấy, mặc dù đã có nhiều công trình nghiên cứu về năng lực và phát triển năng lực trong dạy học, tuy nhiên vấn đề bồi dưỡng năng lực phát hiện quy luật toán học cho HS trung học phổ thông trong dạy học toán còn có phần tản mạn, chưa thể hiện tính hệ thống

Trong luận án này, chúng tôi sẽ làm sáng tỏ các biểu hiện của HS có năng lực phát hiện quy luật toán học, đồng thời làm sáng tỏ cơ sở phương pháp luận để thấy được vai trò của các hoạt động cần thiết để phát hiện quy luật toán học Từ đó, đề xuất các biện pháp tổ chức hoạt động học tập hướng vào việc gợi nhu cầu nhận thức cho người học; đặc biệt tập luyện cho HS các hoạt động quan sát, dự đoán, hình thành và kiểm định các giả thuyết toán học - đây là những hoạt động nền tảng để bồi dưỡng năng lực phát hiện quy luật toán học cho HS

1.2 Quy luật và quy luật Toán học

1.2.1 Quy luật

Trong đời sống hàng ngày, có nhiều tình huống khiến con người dần dần nhận thức được “tính có trật tự” và mối liên hệ có tính lặp lại ẩn sau các hiện tượng muôn

hình muôn vẻ, từ đó hình thành nên khái niệm quy luật

Với tư cách là phạm trù của lý luận nhận thức, khái niệm quy luật là sản phẩm

của tư duy khoa học, phản ánh sự liên hệ của các sự vật và tính chỉnh thể của chúng

Với tư cách là cái tồn tại ngay trong hiện thực, quy luật là mối liên hệ khách

quan, bản chất, tất yếu, phổ biến và lặp lại giữa các mặt, các yếu tố, các thuộc tính bên trong mỗi sự vật, hiện tượng hoặc giữa các sự vật, hiện tượng với nhau

Với tư cách là một khoa học về mối liên hệ phổ biến của sự phát triển, phép biện chứng duy vật nghiên cứu những quy luật chung nhất, tác động trong toàn bộ các lĩnh vực tự nhiên, xã hội và tư duy

Theo [127], định nghĩa sau về quy luật đã được chấp nhận rộng rãi: “Các quy luật chỉ ra những mối liên hệ giữa các biến, trong đó các biến là những khái niệm

có thể mang những giá trị khác nhau Nếu a thì b, theo đó, a đại diện cho một hay nhiều biến độc lập và b đại diện cho biến phụ thuộc Về hình thức, đây là một phát biểu về quy luật Nếu mối quan hệ giữa a và b là không đổi, quy luật ở đây là tuyệt

đối Nếu mối quan hệ giữa a và b lặp đi lặp lại nhiều lần, dù không phải là bất biến thì quy luật đó được phát biểu như sau: Nếu a thì b với xác suất x Một quy luật

không chỉ đơn thuần dựa vào mối quan hệ giữa các biến đã được tìm thấy, mà còn phụ thuộc vào việc quan hệ đó có lặp đi lặp lại hay không” Theo đó, các tác giả cho rằng, quy luật xác định những mối tương quan có thể thay đổi hoặc không thay đổi, mỗi thuật ngữ miêu tả trong từng quy luật liên quan chặt chẽ với những quy trình quan sát hoặc thí nghiệm, và các quy luật chỉ được thiết lập khi chúng vượt qua được những kiểm chứng bằng quan sát hoặc thí nghiệm Nói về cách quy luật được phát hiện, các tác giả cho rằng: “Các giả thuyết có thể được suy ra từ lý

thuyết Nếu các giả thuyết đó được xác nhận, chúng được gọi là quy luật Các giả thuyết cũng có thể đạt được bằng cách suy luận Một lần nữa, nếu được xác nhận,

chúng sẽ trở thành quy luật”

Tuy nhiên, theo chúng tôi, nhiều khi sự xác nhận này không phải nhờ quan sát

hoặc thí nghiệm, mà lại bằng lập luận, chứng minh Đó là trường hợp đối với lĩnh vực các quy luật Toán học sẽ được đề cập ngay dưới đây

1.2.2 Quy luật Toán học

Theo quan điểm phương pháp luận nghiên cứu khoa học, mỗi khoa học có đối tượng nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu riêng Sản phẩm của hoạt động nghiên cứu một ngành khoa học là khám phá ra quy luật vận động của thế giới khách quan có liên quan đến đối tượng nghiên cứu của ngành khoa học đó

Khoa học toán học có đối tượng là những cái vốn có trong thực tiễn, có trước những người khám phá ra nó, tồn tại khách quan và không phụ thuộc vào cảm giác con người F Ăngghen cho rằng: “Đối tượng của toán học thuần túy là những hình dạng không gian và những quan hệ số lượng của thế giới khách quan” (theo [134]) Thông qua hoạt động khám phá các đối tượng, chứng minh các tính chất toán học, con người

đã làm cho Toán học ngày càng phát triển

Trong quá trình hình thành và phát triển, mỗi ngành khoa học luôn tuân theo những quy luật chung của triết học và lôgic học, đồng thời còn có những quy luật riêng được quy định do tính đặc thù của ngành khoa học đó Đối với toán học cũng vậy

Trong Toán học, tồn tại những mối liên hệ bản chất, ổn định, tất yếu, lặp đi lặp lại giữa các phương diện, các yếu tố, các thuộc tính bên trong của các đối tượng và quan hệ toán học Ta sẽ gọi chúng là các quy luật toán học

Từ đó, dựa trên quan niệm của triết học duy vật biện chứng về khái niệm quy luật, kế thừa kết quả nghiên cứu của [127], đồng thời dựa vào đặc điểm về đối tượng

của ngành khoa học Toán học, chúng tôi quan niệm Quy luật Toán học là mối liên hệ

khách quan, bản chất, tất yếu, phổ biến và lặp lại giữa các mặt, các yếu tố, các thuộc tính bên trong của các đối tượng và quan hệ toán học

Với quan niệm đó, quy luật toán học chứa những thuộc tính cơ bản sau đây:

- Quy luật toán học là mối liên hệ chỉ liên quan đến các đối tượng và quan hệ toán học;

- Quy luật toán học có tính bản chất, tất yếu, khách quan;

- Quy luật toán học là mối liên hệ phổ biến, lặp đi lặp lại;

- Quy luật toán học được xác nhận bằng lập luận chứng minh (trừ các tiên đề) Sau đây là một số ví dụ

1) Xét mệnh đề: “Đối với bất kỳ hai số tự nhiên a, b đều xảy ra a b   ” b a

Đây là một quy luật toán học Tính đúng đắn của nó đã được xác nhận Nó có tính phổ biến và lặp đi lặp lại đối với mọi cặp giá trị số tự nhiên của a và b Nó là tất yếu vì là vốn có, nó là bản chất của các số tự nhiên, không phụ thuộc vào hình thức diễn đạt bởi các chữ a và b Nó liên quan đến chỉ các đối tượng toán học là các số tự nhiên và các quan hệ cộng (+) và bằng nhau (=)

2) Xét mệnh đề: “Ba đường trung tuyến của tam giác cắt nhau tại một điểm” Đây là quy luật toán học Nó chỉ liên quan đến các đối tượng toán học là các tam giác, trung tuyến của tam giác, đường thẳng, điểm,…và quan hệ toán học là sự cắt nhau của các đường thẳng Nó là khách quan, tất yếu vì điều đó là vốn có như vây ; nó

có tính bản chất vì không phụ thuộc vào các yếu tố không bản chất như kích cỡ, hình dạng cụ thể của tam giác Nó có tính phổ biến, lặp đi lặp lại vì điều đó là có đối với mọi tam giác Nó đã được xác nhận (chứng minh) từ lâu

Từ quan niệm đã nêu về khái niệm quy luật toán học và các thuộc tính cơ bản của nó đã được trình bày ở trên, có thể nói rằng các quy luật toán học thực chất là những mệnh đề toán học đúng phản ánh mối liên hệ giữa các đối tượng và quan hệ toán học, được diễn đạt thành các tiên đề, định lý, tính chất, công thức toán học, và những quy tắc, quy luật suy diễn thường dùng trong suy luận toán học

Trong luận án này chúng tôi xếp các quy luật Toán học thành hai nhóm:

Nhóm thứ nhất: Những mệnh đề toán học đúng phản ánh mối liên hệ giữa các đối tượng và quan hệ toán học, được diễn đạt thành các tiên đề, định lý, tính chất, công thức toán học

Nhóm thứ hai: Những quy tắc, quy luật suy diễn thường dùng trong suy luận toán học

Tuy không định nghĩa rõ nhưng đã có nhiều người sử dụng thuật ngữ quy luật Toán học đúng theo nghĩa mà chúng tôi đã trình bày ở trên (xem chẳng hạn [95] tại

các trang 130, 182, 196, 213, 266) Nguyễn Cảnh Toàn (xem [113, tr 107]) dùng cách

diễn đạt “Trong toán học, quy luật…” với nghĩa như là thuật ngữ quy luật Toán học

1.3 Hoạt động học tập

1.3.1 Quan niệm về hoạt động học tập

Theo L X Vưgotxki, hoạt động học là một hoạt động đặc biệt, chú trọng đến

sự thay đổi của chính bản thân HS Hoạt động học xảy ra một cách có chủ định, có mục đích và không là yếu tố bổ sung cho bất kỳ hoạt động chủ đạo nào khác Hoạt động học có chủ định có bốn đặc điểm cơ bản, đó là: có đối tượng là tri thức, kỹ năng,

kỹ xảo tương ứng; nhằm phát triển trí tuệ, năng lực người học, làm thay đổi bản thân người học; có tính chất tái tạo và nhằm tiếp thu cả phương pháp chiếm lĩnh tri thức; được điều khiển một cách có ý thức

Carol Blades cho rằng hoạt động học của HS bắt đầu với sự nhận thức, điều đó được xuất phát từ sự trải nghiệm và việc tìm hiểu, khám phá khi HS sử dụng tất cả các giác quan để quan sát, phát hiện thế giới xung quanh Tiếp đó HS chuyển sang quá trình điều tra, nghiên cứu, trong quá trình này HS suy nghĩ về việc học của mình, so sánh với những điều đã phân tích và quan sát được, từ đó tiến gần tới những chuẩn mực về văn hóa Học tập giúp HS tìm kiếm và khám phá trong những trường hợp tương tự (theo [38, tr 9])

Quá trình nhận thức trong học tập là quá trình nhận thức các vấn đề đã được nghiên cứu, không mới đối với con người Tuy nhiên trong học tập người học phải tích cực, chủ động khám phá những điều chưa biết đối với bản thân Theo thời gian, đến một trình độ nhất định nào đó, sự học tập tích cực sẽ mang tính nghiên cứu khoa học và chính người học lại tìm ra những tri thức mới cho nhân loại (theo [38, tr 11])

Theo Bùi Văn Huệ [44, tr 232]: - Hoạt động học là hoạt động có ý thức nhằm thay đổi bản thân chủ thể của hoạt động,…

- Hoạt động học có đối tượng là các khái niệm khoa học, đây là hoạt động nhận thức được tổ chức một cách chuyên biệt để chiếm lĩnh các khái niệm khoa học;

- HS bằng hoạt động học lĩnh hội những cái mà các nhà bác học đã khám phá ra dưới sự tổ chức của giáo viên;

- Hoạt động học có các thành tố: nhiệm vụ học tập, các hành động học tập, động cơ và nhu cầu học tập HS thực hiện nhiệm vụ học tập bằng các hành động học

Phan Trọng Ngọ [78, tr 139] cho rằng: - Hoạt động học của người học có đối tượng là kinh nghiệm xã hội hiện còn ở bên ngoài;

- Người học có chức năng cấu trúc lại, tái tạo lại các kinh nghiệm xã hội trong hoạt động của bản thân, nhằm phát triển bản thân Để thực hiện chức năng này, người học phải thực hiện nhiều hành động học với các mục đích khác nhau;

- Trong hoạt động học tập có các hành động học phổ biến sau: hành động

định hướng cho việc học; hành động tiếp nhận và phân tích đối tượng học; các hành động mô hình hóa đối tượng học với vật liệu mới; hành động phát triển mô hình sang các dạng mới, với các vật liệu mới; hành động đối chiếu với vật mẫu của đối tượng học

Theo D B Enconin, cấu trúc của hoạt động học tập có mục đích gồm:

- Các động cơ học tập, nhận thức: Mọi hoạt động học tập có mục đích được kích thích bằng những động cơ phù hợp Đó có thể là những động cơ gắn liền với nội dung học tập, hay là động cơ tự hoàn thiện mình

- Các nhiệm vụ học tập: Nhiệm vụ học tập là mục tiêu mà HS ý thức được cho mình dưới hình thức “bài toán” có vấn đề Từ đó sẽ tạo ra tình huống có vấn đề, nếu giải quyết nó thì HS thực hiện được mục đích đặt ra, chiếm lĩnh được tri thức cần thiết

- Các hành động học tập: HS giải quyết được các nhiệm vụ nhận thức nhờ thực

hiện các hoạt động thành phần sau: tách các vấn đề nhờ các nhiệm vụ nhận thức; vạch

ra các phương thức chung để giải quyết vấn đề trên cơ sở phân tích các quan hệ chung trong tài liệu học tập; mô hình hóa các quan hệ chung của tài liệu học tập và các phương thức hành động chung; kiểm tra tiến trình và kết quả hoạt động học tập; đánh giá sự phù

hợp giữa tiến trình và kết quả hoạt động học tập với những nhiệm vụ nhận thức đã đặt ra (dẫn theo [29, tr 199])

Trong quá trình xem xét những đặc trưng của hoạt động học, chúng tôi cho rằng hoạt động học tập trong dạy học môn Toán có những đặc trưng sau:

- Hoạt động học tập là hoạt động hướng vào đối tượng: Đó là các khái niệm toán học, các mối liên hệ, quan hệ, các quy luật cần khám phá

- Hoạt động học tập gắn với động cơ: Đó là một nhiệm vụ nhận thức do giáo viên chuyển giao cho HS hoặc tự HS đề ra cho bản thân, đó là đối tượng mang tính nhu cầu, kích thích tư duy HS, vạch ra ý nghĩa của hoạt động

- Hoạt động học tập gắn với nhiệm vụ nhận thức: Nói cách khác, hoạt động học tập xảy ra khi HS đứng trước vấn đề toán học cần giải quyết, nếu giải quyết được vấn

đề thì HS thực hiện được nhiệm vụ, mục đích đặt ra, chiếm lĩnh được tri thức

- Hoạt động học tập được thực hiện thông qua tổ hợp các hành động học tập: Biến đổi vấn đề về dạng quen thuộc; huy động kiến thức đã có để giải quyết vấn đề; thực hiện các bước lập luận; kiểm tra, đánh giá các bước lập luận; tổng quát hóa vấn đề

Như vậy, đối với HS, hoạt động chủ đạo chính là hoạt động học tập Hoạt động

học tập có chủ định là hoạt động có đối tượng (tri thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng); mang tính động cơ (nhằm phát triển trí tuệ, năng lực của người học, làm thay đổi bản thân người học); có tính chất tái tạo và nhằm tiếp thu phương pháp chiếm lĩnh tri thức; được điều khiển một cách có ý thức

1.3.2 Hoạt động phát hiện

Hiện nay, khi bàn về hoạt động dạy học, các nhà nghiên cứu thường nhắc tới các thuật ngữ: tìm tòi, phát hiện, khám phá,… Bùi Văn Nghị trong [75, tr 162] đã

phân biệt khám phá và phát hiện như sau: “…Phát hiện và khám phá đều là tìm cái

chưa biết, cái còn ẩn giấu Nhìn chung, nếu việc tìm ra cái gì đó chợt thấy, hay một cách tình cờ, người ta thường nói đó là phát hiện Có khi tìm kiếm mãi chả được nhưng tại một thời điểm nào đấy lại có được…” và “Nếu tìm ra được cái chưa biết, cái còn ẩn giấu là kết quả của một quá trình tìm tòi, nghiên cứu người ta gọi đó là khám phá” Tác giả cũng cho rằng: “Trong quá trình dạy học, nếu việc tìm ra cái chưa biết, cái ẩn giấu chỉ đòi hỏi người học cố gắng ở mức độ nhẹ nhàng, vừa phải, có thể xem việc đó là phát hiện, nếu đòi hỏi ở mức độ cao hơn, có thể xem đó là khám phá” Trong việc phát hiện này, chủ thể là HS, HS chủ động, sáng tạo để phát hiện vấn đề, phát hiện cách giải quyết vấn đề và đồng thời phát hiện ra tri thức cho bản thân

Một số nhà nghiên cứu cho rằng phát hiện là một thuật ngữ sử dụng trong dạy học các môn khoa học trong nhà trường, đề cập đến cách tìm kiếm kiến thức hoặc thông tin, tìm hiểu về các hiện tượng Đa số các nhà sư phạm hưởng ứng việc dạy học cần chú trọng các loại hình khám phá, tìm tòi, phát hiện vì để nâng cao hiệu quả giảng dạy cần sử dụng các kỹ thuật giống như kỹ thuật mà các nhà khoa học đã tìm tòi và phát minh Các nhà giáo dục luôn nhấn mạnh giá trị của sự phát hiện trong học tập

Theo J Bruner, F Wittrock và Cronbach thì “phát hiện” xảy ra khi một người nào đó sử dụng trí tuệ của mình để làm nảy sinh một khái niệm hay một nguyên lí mới Với cách hiểu này thì phát hiện sẽ là sự hấp thụ về mặt tinh thần một khái niệm hay nguyên lí mà một cá nhân đã đúc kết được từ những hoạt động thể chất hay tinh thần Chẳng hạn, một HS có thể đọc một số tài liệu và cảm thấy khó hiểu, HS đó cũng nghe người khác nói về đề tài này, nói chuyện với giáo viên và các bạn cùng lớp nhưng không khả quan gì hơn Sau thời gian dài trao đổi với người khác và đọc sách, HS ấy thấy mọi việc sáng tỏ hơn Như thế, HS này đã phát hiện ra một khái niệm hay một nguyên lí mà điều này trước đây vượt quá sự hiểu biết của bản thân (theo [8, tr 255])

J Bruner cũng cho rằng: “Phát hiện, về bản chất là việc tái sắp xếp hoặc chuyển dịch các bằng chứng theo cách làm cho một người nào đó có thể từ những bằng chứng đã được sắp xếp lại đó, hình thành những hiểu biết mới” Học tập phát hiện là “lối tiếp cận dạy học mà qua đó, HS được tương tác với môi trường của họ, bằng cách khảo sát

và sử dụng các đối tượng, giải đáp các thắc mắc và tranh luận hoặc là biểu diễn thí nghiệm” Dạy học phát hiện chỉ có thể diễn ra nếu người dạy và người học cùng nhau làm việc một cách hợp tác, nói cách khác kiểu dạy học này luôn hướng tới việc thu hút

sự tham gia của HS chứ không phải chỉ là lối truyền thụ một chiều (theo [37], [38])

Welch đã xác định năm đặc điểm nổi bật của quá trình phát hiện:

- Quan sát: Khoa học bắt đầu từ việc quan sát các hiện tượng tự nhiên Đó là điểm khởi đầu của một sự khám phá Welch đã chỉ ra rằng việc đặt những câu hỏi đúng để gợi ý cho người quan sát là một yếu tố quyết định trong quá trình quan sát;

- Đo lường: Mô tả định lượng sự vật, hiện tượng là một hoạt động thực hành khoa học được chấp nhận và mong đợi vì nó thể hiện sự chính xác trong quá trình quan sát;

- Trải nghiệm: Việc thiết kế các thí nghiệm là để trả lời các câu hỏi và để kiểm nghiệm các ý kiến và là nền tảng của khoa học Thí nghiệm bao gồm việc đặt câu hỏi, quan sát và đo lường;

- Giao tiếp: Việc thông báo những kết quả tìm hiểu được với hội đồng khoa học

và cộng đồng là một nhiệm vụ của nhà khoa học và là một phần cần thiết của quá trình phát hiện Giá trị của những suy nghĩ độc lập và tính trung thực của báo cáo về kết quả quan sát, đo lường sẽ được khẳng định nhờ hoạt động này;

- Các hoạt động trí tuệ: Welch đã mô tả một số thao tác trí tuệ không thể thiếu đối với việc khám phá khoa học là: quy nạp, phát biểu thành giả thuyết và học thuyết; thao tác diễn dịch cũng như thao tác phân tích, suy đoán, tổng hợp và đánh giá Những thao tác trí tuệ của hoạt động khám phá khoa học có thể còn nhiều hoạt động khác nữa, chẳng hạn như tưởng tượng hoặc yếu tố trực giác

J Dewey đã nghiên cứu cách tiếp cận dạy học tìm tòi và giải quyết vấn đề Theo ông, HS cần phải phát triển năng lực trí tuệ và sự nhạy cảm để giải quyết các vấn

đề thông qua sự quan sát liên tục những gì xảy ra trong lớp Các chiến lược dạy học theo định hướng tìm tòi sẽ giúp tạo điều kiện cho HS tự phát hiện và làm rõ mục đích của việc tìm tòi, hình thành giả thuyết, áp dụng những kết luận và các tình huống mới với số liệu mới, đưa ra những tổng quát hóa có ý nghĩa Sử dụng cách dạy học theo hướng tìm tòi, phát hiện không có nghĩa là dẫn dắt HS hướng tới những kết luận mà cả thầy và trò hiểu cặn kẽ, điều quan trọng là hướng HS sử dụng những phương pháp đã được chấp nhận để thu thập số liệu, từ đó tìm hiểu về vấn đề đang tồn tại trong môi trường học tập Từ những kinh nghiệm này, HS có thể phát hiện ra một khái niệm hay một nguyên lí và cũng có thể mở rộng hơn nữa sự hiểu biết của mình về khái niệm cũng như nguyên lí Bên cạnh đó, HS hiểu được rằng các nhận định về hiện tượng không chỉ dựa vào phỏng đoán hoặc quan sát một cách tình cờ mà phải dựa trên kết quả của việc điều tra nghiêm túc, HS cũng được tạo điều kiện để học hỏi các phương pháp tìm tòi kiến thức mang tính khoa học

Dựa trên những quan niệm của các nhà khoa học về hoạt động học tập và hoạt

động phát hiện, trong luận án này, chúng tôi quan niệm: Hoạt động phát hiện quy luật

Toán học ở trường phổ thông là hoạt động trí tuệ của HS được thực hiện nhằm tìm kiếm những đối tượng toán học, những mối liên hệ toán học tất yếu, bên trong sự vật hoặc giữa các sự vật với nhau

1.3.3 Một số đặc điểm của hoạt động học tập mang tính tìm tòi, phát hiện

Hoạt động học tập mang tính tìm tòi, phát hiện có một số đặc điểm nổi bật:

1 Trong hoạt động học tập mang tính tìm tòi, phát hiện thì học tập một kiến thức là phải hiểu biết nó trên các phương diện:

(a) Nội dung và ý nghĩa của các kiến thức đó (tức là trả lời cho câu hỏi “là gì?”); (b) Kiến thức đó được xác nhận dựa trên cơ sở nào (tức là trả lời cho câu hỏi

“tại sao?”);

(c) Có thể áp dụng kiến thức đó vào việc gì và áp dụng bằng cách nào (tức là

trả lời cho câu hỏi “để làm gì và làm như thế nào?”)

Theo Tâm lí học, hoạt động nhận thức được chia thành hai giai đoạn là nhận thức cảm tính và nhận thức lí tính Hoạt động hiểu biết là một hoạt động trí óc cơ bản được xếp vào quá trình nhận thức lí tính Hiểu biết một kiến thức tức là biến nó thành

kiến thức của chính mình Muốn vậy HS phải tự chiếm lĩnh lấy nó, có thể là với sự trợ

giúp của thầy giáo

Để chiếm lĩnh được kiến thức và biến nó thành cái của chính mình thì người

học không nên bỏ qua mặt nào trong các phương diện (a), (b), (c) nói trên

Dưới đây là một ví dụ về những điều vừa được trình bày

Công thức tính nghiệm của phương trình bậc hai 2

ax bxc 0 là một kiến thức Nội dung công thức đó là

2

42

b  ac thì với dấu   ta thu được một nghiệm và với dấu   ta thu được

nghiệm thứ hai;… Công thức đó được xác nhận dựa trên cơ sở lập luận sau: Biến đổi

  Công thức nghiệm này có thể áp dụng để giải bất cứ phương trình bậc hai nào

có dạng như trên bằng cách thay thế giá trị của a, b, c vào và tính toán

2 Cách thức suy nghĩ trong quá trình học tập mang tính tìm tòi phát hiện có ảnh

hưởng quyết định đối với hiệu quả học tập

Theo J Bruner: “Chúng ta dạy không phải vì mục đích tạo ra một thư viện sống

về bộ môn đó mà vì muốn HS suy nghĩ một cách có cân nhắc và tham gia vào tiến

trình tìm tòi kiến thức” (theo [8, tr 261]) Và G Polya cho rằng nhiệm vụ chính của dạy học toán ở trường phổ thông là dạy HS suy nghĩ, để việc dạy học có hiệu quả, HS cần tự khám phá trong chừng mực có thể phần lớn tài liệu học tập (theo [109, tr 42])

Suy nghĩ là hoạt động nhằm giải quyết vấn đề đặt ra, cụ thể là để trả lời câu hỏi, giải bài toán, tìm tòi, chứng minh, áp dụng,… những kiến thức nào đó

Những vấn đề đặt ra đòi hỏi sự suy nghĩ thường bao gồm hai yếu tố: thứ nhất,

đó là những dữ kiện bao gồm những cái đã cho biết và những điều kiện cần thỏa mãn,

ta gọi chúng là các giả thiết; thứ hai, đó là một câu hỏi cần được trả lời, hoặc một vấn

đề đặt ra cần được giải quyết, nghĩa là cần phải tìm kiếm cái gì đó, phải chứng minh hay bác bỏ một giả thuyết nhằm đưa đến quyết định cho một đề nghị hay một sự lựa chọn nào đó,… Ta gọi chúng là những cái cần tìm hoặc là kết luận

Để suy nghĩ, trước hết cần huy động các “ảnh” liên quan đến vấn đề đã và đang

tồn tại trong đầu, gợi lại (tái hiện) để nhận ra đâu là giả thiết, đâu là kết luận Hãy hình

dung giữa giả thiết A và kết luận B còn có những chướng ngại chưa thể vượt qua Suy

nghĩ nghĩa là tìm ra những chiếc cầu và con đường để vượt qua chướng ngại và nối

liền A với B Tiếp đó cần gợi lại (nhớ lại) các kiến thức, huy động các kinh nghiệm đã

thu nhận và ghi nhớ được trước đây liên quan đến bài toán; nếu chưa đủ, phải thực

hiện thao tác tìm hiểu bổ sung để có thêm những kiến thức cần thiết khác Cuối cùng

cần lựa chọn trong chuỗi các “ảnh” nói trên những cái thích hợp và kết nối chúng theo một lôgic hợp lý để thu được kết quả, mà kết quả này cho phép ta trả lời câu hỏi hay rút ra kết luận Con đường đi từ giả thiết đến kết luận cần được xây dựng bằng những vật liệu lấy từ kiến thức, kinh nghiệm đã có cùng với vật liệu lấy từ những “ảnh” gợi ra của giả thiết, kết luận và những kết quả được gợi ra trong các bước trước đó

Thông thường, quá trình suy nghĩ được diễn ra theo các con đường như sau:

- Từ những điều trong giả thiết, cùng với kiến thức, kinh nghiệm đã có, suy ra điều biết thêm (1), từ đó lại kết hợp với kiến thức cũ để suy ra điều biết thêm (2),…

Cứ thế kéo dài những điều biết thêm cho đến khi chúng trở thành kết luận Ta gọi đó là

sự phân tích đi xuống

- Khi bắt đầu từ giả thiết gặp những bế tắc, không tìm thấy cầu nối đến kết luận, lúc này đi ngược từ kết luận dựa theo các suy luận sau: Muốn có kết luận, nhờ vào những kiến thức, kinh nghiệm đã có trước sẽ thu được điều cần có (1), rồi thì để thu được điều cần có (1) ta phải tìm ra điều cần có (2),… Cứ tiếp tục đi ngược như thế cho đến khi điều cần có cuối cùng có thể suy ra được một cách trực tiếp từ giả thiết nói trên Ta gọi đó là sự phân tích đi lên

- Cũng có khi cần xuất phát từ hai phía Từ giả thiết tìm ra các điều cần biết thêm và từ kết luận suy ra điều cần có Khi một điều biết thêm nào đó trùng với một điều cần có chính là lúc ta đã tìm được con đường nối giả thiết với kết luận

Trên thực tế, HS gặp khó khăn trong suy nghĩ có thể do các nguyên nhân sau:

- Không nhận ra (gợi lại) đầy đủ các giả thiết, kết luận của bài toán;

- Không tái hiện được (không huy động được) kiến thức cũ có liên quan;

- Tuy đã gợi ra được đầy đủ giả thiết, kết luận và các kiến thức có liên quan nhưng không biết so sánh, đối chiếu, gắn kết để phát hiện được mối quan hệ giữa những cái đã được gợi ra trong đầu

3 Tưởng tượng và sáng tạo là những yếu tố không thể thiếu trong quá trình học tập mang tính tìm tòi phát hiện

Tưởng tượng không chỉ là phẩm chất riêng của nhà khoa học hay người nghệ sĩ

mà còn là một hoạt động trí óc cần có đối với mọi người Đây là một hoạt động trí óc nhằm tạo ra trong đầu những ảnh mới có thể là có thực hay không có thực, nhưng trước đó chưa từng có, nghĩa là chưa ai biết đến, hoặc đã có nhiều người biết nhưng ít nhất trong đầu của chủ thể chưa từng có Muốn tưởng tượng sáng tạo chủ thể cần dựa trên những hiểu biết cũ, những hình ảnh đã có trong đầu mà nay có thể gợi lại được, tiếp đó chủ thể cần thêm bớt hoặc thay đổi những hình ảnh cũ để tạo ra đối tượng mới

mà trước đó trong họ chưa từng có Cần lưu ý rằng:

- Tưởng tượng, sáng tạo chỉ nảy sinh khi chủ thể hướng tới những đối tượng, sự việc, hoạt động,… nhất định nào đó

- Muốn tưởng tượng ra cái gì mới trước hết phải tái hiện (gợi lại) được đầy đủ cái đang tồn tại mà chủ thể đang quan sát hoặc đã quan sát trước, để trên cơ sở đó có thể thay đổi, bổ sung

- Người ta chỉ bắt đầu tưởng tượng sáng tạo khi đang quan sát sự vật, khi sự vật đang hiện diện trước mắt hoặc đã được quan sát kỹ và có thể gợi lại đầy đủ trong đầu Khi tưởng tượng và sáng tạo, chủ thể tự đặt ra những bài toán để suy nghĩ, lấy những thực tế đang tồn tại làm giả thiết, còn kết luận của bài toán là ý muốn chủ quan của chủ thể, sau đó tạo ra cái mới nhờ thêm bớt, chỉnh sửa,…

Hoạt động tưởng tượng, sáng tạo và hoạt động suy nghĩ có liên quan chặt chẽ với nhau Khi tưởng tượng rất cần suy nghĩ, có như vậy mới tìm được mối quan hệ hợp lý, từ những cái đã biết, đã có để tìm ra cái chưa biết, chưa có Ngược lại, nếu có

óc tưởng tượng tốt thì suy nghĩ sẽ đạt hiệu quả hơn Trong hoạt động học tập, HS không thể chỉ học để hiểu, ghi nhớ, suy nghĩ mà còn phải học cách tưởng tượng và sáng tạo Có khả năng tưởng tượng thì HS mới có thể nhìn thấy những cái chưa phải là hiển hiện trước mắt mình và có thể vượt ra khỏi khuôn khổ của bài toán để phát hiện ra những quan hệ mới thuận lợi cho việc giải bài toán

1.4 Một số vấn đề về năng lực phát hiện các quy luật Toán học

1.4.1 Quan niệm về năng lực

Các nhà khoa học đã dành nhiều sự quan tâm để nghiên cứu vấn đề năng lực Tuy nhiên cho đến nay vẫn còn nhiều quan niệm khác nhau về khái niệm này

B M Chieplôv coi năng lực là những đặc điểm tâm lí cá nhân có liên quan với kết quả tốt đẹp của việc hoàn thành một hoạt động nào đó Theo ông có hai yếu tố cơ bản liên quan đến khái niệm năng lực Thứ nhất, năng lực là những đặc điểm tâm lí mang tính cá nhân, những cá thể khác nhau có năng lực khác nhau về cùng một lĩnh vực và không thể nói rằng mọi người đều có năng lực như nhau Thứ hai, khi nói đến năng lực, không những chỉ nói tới các đặc điểm tâm lí chung mà còn phải gắn với một hoạt động nào đó và được hoàn thành có kết quả tốt

Cũng theo quan điểm trên, X L Rubinstein chú trọng đến tính có ích của hoạt động, ông coi năng lực là điều kiện cho hoạt động có ích của con người: “Năng lực là toàn bộ những thuộc tính tâm lí làm cho con người thích hợp với một hoạt động có ích lợi xã hội nhất định”

Theo Từ điển Tiếng Việt [82], năng lực là: - Khả năng, điều kiện chủ quan hoặc

tự nhiên sẵn có để thực hiện một hoạt động nào đó; - Phẩm chất tâm lí và sinh lí tạo cho con người khả năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao

Theo Phạm Đức Quang [88], cho dù được diễn đạt dưới nhiều dạng khác nhau nhưng có thể rút ra một số đặc điểm chung, cơ bản của năng lực, đó là:

- Nói đến năng lực là đề cập tới xu thế đạt được một kết quả nào đó của một công việc cụ thể, do một con người cụ thể thực hiện;

- Nói đến năng lực là nói đến sự tác động của một cá nhân cụ thể tới một đối tượng cụ thể để có một sản phẩm nhất định;

- Năng lực là một yếu tố cấu thành trong một hoạt động cụ thể Năng lực chỉ tồn tại trong quá trình vận động, phát triển của một hoạt động cụ thể

Trong luận án này, chúng tôi tiếp cận khái niệm năng lực theo Chuẩn đầu ra (mô tả năng lực theo tiêu chí) Chúng tôi quan niệm: Năng lực là khả năng, điều kiện chủ quan hoặc tự nhiên sẵn có để thực hiện một hoạt động nào đó Theo đó, năng lực được xem là sự tích hợp của kiến thức - kỹ năng - thái độ để tạo thành khả năng thực hiện một hoạt động đạt kết quả tốt Năng lực của mỗi người được hình thành trên cơ sở

tư chất, những cá thể khác nhau có năng lực khác nhau trong cùng một lĩnh vực Năng lực được hình thành, phát triển và thể hiện trong hoạt động tích cực của con người dưới sự tác động của giáo dục và rèn luyện

1.4.2 Một số quan niệm về năng lực toán học

Quan niệm thuộc khuôn khổ chương trình đánh giá HS quốc tế PISA (2003) về

năng lực toán học (theo [36, tr 54-55]): Năng lực toán học là khả năng của một cá

nhân có thể nhận biết và hiểu vai trò của toán học trong đời sống, phán đoán và lập luận dựa trên cơ sở vững chắc, sử dụng và hình thành niềm đam mê tìm tòi, khám

phá toán học để đáp ứng những nhu cầu trong đời sống của cá nhân đó

Một định nghĩa khác cũng theo PISA: Năng lực toán học là khả năng của một cá nhân biết lập công thức, vận dụng và giải thích toán học trong nhiều ngữ cảnh Nó bao gồm suy luận toán học và sử dụng các khái niệm, phương pháp, sự việc và công cụ để mô tả, giải thích và dự đoán các hiện tượng

Trần Luận [68] cho rằng: Năng lực toán học là những đặc điểm tâm lý đáp ứng được nhu cầu hoạt động toán học và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng trong

lĩnh vực toán học tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc trong những điều kiện như nhau

Theo V A Cruchetxki: Những năng lực toán học được hiểu là những đặc điểm tâm lí cá nhân đáp ứng yêu cầu của hoạt động học tập toán, và trong điều kiện vững chắc như nhau thì là nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng tạo toán học với tư cách là môn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực toán học (theo [109, tr 17])

Qua các tìm hiểu trên cho thấy hai quan niệm thuộc khuôn khổ chương trình đánh giá HS quốc tế PISA thể hiện sự quan tâm rõ nét tới những hiểu biết toán học và

sự vận dụng nó trong đời sống Trần Luận và V A Cruchetxki quan tâm nhiều hơn đến thuộc tính tâm lí của năng lực toán học, việc vận dụng toán học vào đời sống không được đề cập tới

Đã có nhiều công trình nghiên cứu tâm lí được tiến hành khá công phu nhằm vạch ra cấu trúc các năng lực toán học của HS, sau đây là một số nghiên cứu nổi bật:

Theo V A Cruchetxki, cấu trúc năng lực toán học của HS gồm các thành phần: thu nhận thông tin toán học, chế biến thông tin toán học, lưu trữ thông tin toán học, thành phần tổng hợp chung (theo [11, tr 167-168] và [39, tr 129-130])

Theo A N Kôlmôgôrôv, trong các thành phần của năng lực toán học có: năng lực biến đổi khéo léo những biểu thức chữ phức tạp; năng lực tìm các con đường giải phương trình không theo quy tắc chuẩn; trí tưởng tượng hình học hay “trực giác hình học”; nghệ thuật suy luận lôgic theo các bước được phân chia một cách đúng đắn, đặc biệt là hiểu và

có kỹ năng vận dụng đúng đắn nguyên lý quy nạp toán học (theo [39, tr 129])

E L Thorndike đã đi sâu nghiên cứu lĩnh vực đại số và cho rằng những thành

tố của năng lực đại số gồm: năng lực hiểu và thiết lập công thức; năng lực biểu diễn các tương quan số lượng thành công thức; năng lực biến đổi các công thức; năng lực thiết lập các phương trình biểu diễn các quan hệ số lượng đã cho; năng lực giải các phương trình; năng lực thực hiện các phép biến đổi đại số đồng nhất; năng lực biểu diễn bằng đồ thị sự phụ thuộc hàm của hai đại lượng (theo [109, tr 18])

Nhìn khái quát những quan niệm nói trên về năng lực toán học, ta thấy các tác giả của những quan niệm ấy đã đề cập đến các bộ phận của năng lực toán học, đó là

năng lực lĩnh hội các tri thức toán học, năng lực áp dụng các tri thức toán học, và còn

có một bộ phận đáng chú ý, đó là năng lực phát hiện các định lý, công thức, và các quy tắc suy luận trong toán học (tức là các quy luật toán học)

1.4.3 Thuộc tính của năng lực phát hiện các quy luật toán học

Quan niệm về quy luật toán học, hoạt động phát hiện, năng lực đã được đưa

ra theo thứ tự tại các mục (1.2.2), (1.3.2), (1.4.1) của luận án

Theo đó, tóm lại, chúng tôi quan niệm: Năng lực phát hiện các quy luật toán học chính là khả năng quan sát có chủ định các đối tượng toán học, sử dụng thao tác

tư duy để đưa ra dự đoán về các mối liên hệ có tính quy luật giữa chúng, trên cơ sở

đó hình thành nên giả thuyết toán học và kiểm định nó

Quan niệm đó cho thấy năng lực phát hiện quy luật toán học có các thuộc tính

chính yếu sau:

1) Có thể quan sát có chủ định các đối tượng toán học;

2) Có thể sử dụng các thao tác tư duy để đưa ra các dự đoán về các mối liên hệ

có tính quy luật giữa các đối tượng toán học đó;

3) Có thể hình thành được giả thuyết toán học về chúng;

4) Có thể kiểm định giả thuyết toán học ấy và đưa ra kết luận xác đáng Trong trường hợp giả thuyết đó được xác nhận là đúng thì biết khẳng định đó là một quy luật toán học và biểu đạt thành định lý, công thức,

Mỗi thuộc tính có thể mô tả theo các chuẩn mà người HS có năng lực phát hiện quy luật toán học cần đạt được Cụ thể như sau:

(1) Nói rằng có thể quan sát có chủ định các đối tượng toán học tức là muốn

nói rằng có thể đạt được các chuẩn sau:

(1a) Biết xác định đối tượng cần quan sát và mục đích của việc quan sát; (1b) Biết kết hợp hai yếu tố “nhìn thấy” và tư duy không chỉ xuyên suốt quá trình quan sát mà là cả trước và sau quá trình đó;

(1c) Biết đặt đối tượng cần quan sát trong mối liên quan với những đối tượng gần gũi nó;

(1d) Biết sử dụng hợp lý các phương tiện và các giác quan trong quá trình quan sát

(2) Nói rằng có thể sử dụng các thao tác tư duy để đưa ra dự đoán về các mối liên hệ có tính quy luật giữa các đối tượng toán học đang xem xét tức là muốn nói

rằng có thể đạt được các chuẩn sau:

(2a) Có những hiểu biết cơ bản về từng thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp,

so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa,

(2b) Có thể thực hiện được các thao tác tư duy ấy trong những tình huống cụ thể ở mức hợp với trình độ toán học được quy định trong chương trình môn học;

(2c) Trên cơ sở đó, đối với những tình huống nhất định, có thể đưa ra những

dự đoán về các mối liên hệ có tính quy luật giữa các đối tượng và quan hệ toán học trong tình huống đó

(3) Nói rằng có thể hình thành được giả thuyết toán học liên quan đến tình huống toán học đang quan tâm tức là muốn nói rằng có thể đạt được các chuẩn sau:

(3a) Có sự hiểu biết về khái niệm giả thuyết toán học;

(3b) Ở những hoàn cảnh cụ thể nhất định, có thể thực hiện được việc đưa ra các giả thuyết toán học có ích

(4) Nói rằng có thể kiểm định giả thuyết toán học đã đưa ra tức là muốn nói

rằng có thể đạt được các chuẩn sau:

(4a) Có sự hiểu biết về những phương pháp khác nhau để kiểm tra tính đúng đắn của giả thuyết;

(4b) Thực hiện được một số phương pháp kiểm định tính đúng đắn của giả thuyết;

(4c) Biết đưa ra kết luận xác đáng đối với giả thuyết đó sau khi tiến hành những biện pháp kiểm định phù hợp

Một câu hỏi đặt ra là: Năng lực phát hiện các quy luật Toán học có hay không

có ở tầng lớp HS trung học phổ thông Việt nam? Câu trả lời là khẳng định rằng có

Thực tiễn dạy học cho thấy năng lực này ở người HS trung học phổ thông nước ta vẫn được hình thành và phát triển ở những mức độ nhất định trong các giờ học môn Toán

Một câu hỏi khác nữa được đặt ra là: Trong trường hợp nào thì một HS được xem là đạt yêu cầu về năng lực phát hiện quy luật toán học? Vấn đề này sẽ được

chúng tôi trình bày tại mục 1.4.5

1.4.4 Một số biểu hiện của học sinh có năng lực phát hiện quy luật Toán học

Như đã được nhắc đến ở 1.4.2, năng lực phát hiện các quy luật Toán học là một

bộ phận đáng chú ý trong năng lực toán học Do vậy, việc bồi dưỡng cho HS bộ phận năng lực toán học này là một khâu quan trọng trong quá trình dạy học môn Toán ở trường phổ thông Trong mục này, chúng tôi sẽ đề cập đến các biểu hiện của HS có năng lực phát hiện các quy luật Toán học để làm nền cho việc xây dựng hệ thống các biện pháp sẽ đưa ra ở chương 3

Hoạt động phát hiện các quy luật Toán học chính là hoạt động nhận thức các quy luật Toán học Nó cũng có hai mức độ khác nhau, đó là nhận thức cảm tính và nhận thức lý tính (tư duy) Ở mức độ nhận thức cảm tính, khi đạt đến trình độ phát triển cao của sự tri giác có mục đích, có kế hoạch, có biện pháp và đạt tới mức phản ánh đối tượng tốt nhất thì tri giác trở thành hoạt động quan sát của con người, cung cấp cho con người các thông tin cần thiết của hoạt động tư duy, tưởng tượng và sáng tạo

(theo [29, tr 104])

Như vậy, một HS có năng lực phát hiện các quy luật Toán học chính là người

HS có năng lực nhận thức cảm tính và năng lực tư duy trong lĩnh vực toán học Dựa trên những đặc điểm của nhận thức cảm tính và tư duy, chúng tôi nhận thấy HS có năng lực phát hiện quy luật Toán học có các biểu hiện sau đây:

- Biết thực hiện hoạt động quan sát một cách có chủ định các đối tượng toán học để nhận ra các mối quan hệ toán học lặp đi lặp lại trong cấu trúc của đối tượng;

- Dựa trên những bất biến khi xét các trường hợp riêng, biết sử dụng các thao tác tư duy đưa ra dự đoán về mối quan hệ có tính quy luật giữa các đối tượng toán học trong trường hợp tổng quát;

- Biết phát biểu những điều đã dự đoán thành giả thuyết toán học bằng các thuật

ngữ và kí hiệu toán học, đồng thời biết thực hiện hoạt động kiểm định giả thuyết;

- Biết thay đổi cách nhìn quen thuộc khi xem xét mối liên hệ ổn định, lặp lại giữa các đối tượng và quan hệ toán học, từ đó thiết lập mối quan hệ toán học mới;

- Biết vận dụng chính xác và suy luận chặt chẽ tuân theo các quy luật và quy tắc suy luận của lôgic hình thức để tìm những tiền đề đầy đủ và các kết luận lôgic của các tiền đề cho trước, nhằm kết nối những kiến thức, kỹ năng, kinh nghiệm đã có với những tình huống chứa đựng điều cần tìm kiếm;

- Có thói quen và hứng thú với việc khảo sát các mô hình, vật mẫu, các tình huống… của đời sống thực tiễn nhằm phát hiện những mối liên hệ có tính chất toán học ẩn chứa trong các đối tượng nghiên cứu đó

Sau đây, chúng tôi sẽ mô tả một cách cụ thể các biểu hiện của HS có năng lực phát hiện quy luật Toán học

Biểu hiện 1: Biết thực hiện hoạt động quan sát một cách có chủ định các đối tượng toán học để nhận ra các mối quan hệ toán học lặp đi lặp lại trong cấu trúc của đối tượng

Quan sát là mức độ phát triển cao của tri giác Đó là loại tri giác có chủ định, diễn ra tương đối độc lập và lâu dài, nhằm phản ánh đầy đủ, rõ rệt các sự vật, hiện tượng và những biến đổi của chúng [29, tr 116]

Trong công việc của mình ai cũng tiến hành quan sát, dựa trên những nghiên cứu

về đối tượng của toán học, các quan điểm của tâm lí học về quan sát và năng lực quan sát, chúng tôi cho rằng biểu hiện này có thể nhận thấy thông qua các hoạt động sau:

- HS biết xác định mục đích của quan sát và nắm vững phương pháp quan sát

HS nhận thức được rằng hoạt động quan sát trong toán học có hai mục đích chủ

yếu, đó là thu được kiến thức mới và vận dụng kiến thức để giải bài tập

Về phương pháp quan sát, HS nhận thức được rằng bất cứ sự quan sát nào cũng bao hàm hai yếu tố: yếu tố nhìn thấy và yếu tố tư duy Sự kết hợp hai yếu tố này không

những xuyên suốt quá trình quan sát mà phải kéo dài cả trước và sau khi quan sát Trước khi quan sát, HS phải xác định quan sát cái gì Tiếp đó phải phân tích các thông tin thu được, tiến hành quy nạp và cố gắng đi đến những kết luận đúng đắn Cuối cùng, sau khi quan sát sẽ giải quyết vấn đề và tiếp tục suy nghĩ về kết quả đã quan sát được

- HS biết xem xét đối tượng và quan hệ toán học một cách độc lập, đồng thời cũng biết đặt và quan sát chúng trong mối tương quan với những đối tượng gần gũi khác nhằm tìm ra đặc điểm của đối tượng cần quan tâm

Ví dụ 1.1: + Khi tìm hiểu về hàm số chẵn, ngoài việc nghiên cứu trực tiếp định

nghĩa và các tính chất của hàm số chẵn, HS đã biết đặt trong mối quan hệ với hàm số

lẻ và với hàm số tổng quát để nắm kiến thức sâu sắc hơn

+ Khi xem xét một hình không gian, ban đầu phải quan sát toàn bộ hình để nắm được cái tổng thể, mặt khác có thể phân tách thành những bộ phận phẳng, hoặc những hình đơn giản, quen thuộc hơn để thuận lợi cho việc tìm hiểu đối tượng đó

+ Khi học về phương trình bậc bốn trùng phương, HS biết xem xét đặc điểm cấu tạo của nó, mặt khác biết xét mối liên hệ của nó với phương trình bậc hai tương ứng và cũng có khi đặt nó trong mối liên hệ với các phương trình bậc cao

- HS biết sử dụng hợp lý các phương tiện và các giác quan trong quá trình quan sát Quan sát không phải chỉ là dùng mắt để nhìn, HS đã biết sử dụng kết hợp các phương tiện vật chất và các giác quan để cân, đong, đo, đếm, ước lượng và để cảm nhận, biểu đạt, đánh giá

Ví dụ 1.2: Có nhiều khối lập phương đơn vị, yêu cầu HS thực hiện các hoạt động:

1 Ghép các khối lập phương đơn vị thành những khối hộp chữ nhật có kích thước khác nhau cho trước Sau đó nhận xét về số khối lập phương cần dùng để ghép cho mỗi khối hộp chữ nhật và giá trị các kích thước của chúng

2 Dùng 24 khối lập phương đơn vị để ghép thành các khối hộp chữ nhật

Sau khi thực hiện hoạt động 1, HS phát hiện ra rằng số khối lập phương đơn vị cần dùng bằng tích của ba kích thước Đây là một nhận xét đúng trong trường hợp cụ thể khi kích thước các cạnh là những số nguyên, và HS được thừa nhận kết quả này trong trường hợp tổng quát với độ dài cạnh là số không nguyên tùy ý

Để thực hiện hoạt động 2 các em phải thử nhiều lần vì chưa biết vận dụng kết quả ở hoạt động 1 để phân tích số 24 thành tích của 3 số nguyên dương Tuy nhiên, các em đã thu được nhận xét thú vị: có thể xếp được nhiều hình hộp chữ nhật từ 24 khối lập phương, chứng tỏ có nhiều hình hộp chữ nhật có cùng thể tích

- HS biết tự đặt ra những câu hỏi, thắc mắc nếu thấy có hiện tượng bất thường Trong quá trình học tập, HS xây dựng kiến thức bằng chính sự hiểu biết của mình thông qua việc lặp lại những kinh nghiệm có liên quan đến sự tác động qua lại giữa bản

thân và tài liệu học tập HS biết tự đưa ra ý kiến thông qua việc đặt câu hỏi, quan sát những gì xảy ra và khám phá ra câu trả lời Chẳng hạn, trong quá trình xét các trường hợp riêng, nếu nhận thấy hiện tượng nào đó xảy ra nhiều lần thì HS biết tự hỏi “tại sao?”

và biết đặt ra nghi vấn: “phải chăng có một quy luật ẩn sau các hiện tượng này?”

Biểu hiện 2: Dựa trên những bất biến khi xét các trường hợp riêng, biết sử dụng các thao tác tư duy đưa ra dự đoán về mối quan hệ có tính quy luật giữa các đối tượng toán học trong trường hợp tổng quát

J Bruner cho rằng việc đưa ra dự đoán rồi cố gắng chứng minh hoặc phản đối những dự đoán đó là một trải nghiệm học có tác động lớn đối với HS (theo [70, tr 106]) Do đó, trong học tập môn Toán, có thể tiến hành hoạt động dự đoán là một dạng biểu hiện của HS khả năng tìm tòi, phát hiện kiến thức Các em không chỉ dừng lại ở những tri thức toán học cụ thể, riêng lẻ mà biết sử dụng các thao tác tư duy để liên kết chúng nhằm bước đầu rút ra những dự đoán có tính khái quát về đối tượng Trong mục này chúng tôi mô tả các biểu hiện của HS khi sử dụng ba phương thức thường dùng để thực hiện hoạt động dự đoán, đó là: quy nạp không hoàn toàn, tương tự, khái quát hóa

Phương thức 1: Dự đoán thông qua quá trình quy nạp từ một số trường hợp riêng

“Có thể hiểu, phát hiện là phương pháp qui nạp, bởi vì HS bắt đầu từ những ví

dụ cụ thể rồi đi đến khái niệm Học phát hiện trước hết sẽ giúp HS hiểu thấu đáo các khái niệm, sau đó tiến tới tổng quát hóa, đưa ra các nguyên lý, các định luật có liên quan tới những khái niệm đó” (theo [8, tr 257]) Điều này khẳng định vai trò của phép quy nạp trong việc dự đoán các vấn đề

Khi tiến hành dự đoán thông qua quy nạp từ một số trường hợp riêng, với sự hướng dẫn của giáo viên, HS biết thực hiện theo các bước sau:

Bước 1 Quan sát các trường hợp riêng;

Bước 2 Sắp xếp các trường hợp riêng;

Bước 3 Dự đoán các kết quả từ những trường hợp riêng đã quan sát;

Bước 4 Phát biểu dự đoán;

Bước 5 Xác nhận dự đoán;

Bước 6 Khái quát hóa dự đoán;

Bước 7 Biện minh sự dự đoán

Phương thức 2: Dự đoán thông qua quá trình khái quát hóa

Cùng với sự hướng dẫn của giáo viên, HS biết sử dụng thao tác khái quát hóa

để tìm kiếm kiến thức mới thông qua việc biết thực hiện các bước sau:

Bước 1 Quan sát một số đối tượng toán học riêng lẻ cần khái quát hóa;

Bước 2 Phát hiện những thuộc tính của các đối tượng đã quan sát được ở bước 1;

Bước 3 So sánh các thuộc tính đã phát hiện được ở bước 2;

Bước 4 Tách những thuộc tính bản chất (ổn định, có tính lặp lại) trong số những thuộc tính giống nhau (xác định được ở bước 3) ra khỏi các thuộc tính không bản chất (có tính bộ phận và hay thay đổi) của các đối tượng riêng lẻ;

Bước 5 Xác minh tính đúng đắn của các thuộc tính bản chất đối với tập hợp các đối tượng rộng hơn chứa các đối tượng riêng lẻ đã xét ở bước 2;

Bước 6 Phát biểu kết quả tổng quát

Phương thức 3: Dự đoán thông qua việc sử dụng phép tương tự

Sau khi được giới thiệu sơ đồ của phép tương tự: “Đối tượng A có các thuộc tính a, b, c; Đối tượng B có các thuộc tính a, b, c, d Kết luận đối tượng A có thuộc tính

d Nếu kết luận trên là đúng thì chúng ta đã phát hiện được một mối liên hệ, một quy

luật Toán học mới” (dựa theo [21]), cùng với sự hỗ trợ của giáo viên, HS biết tiến hành các bước sau để dự đoán kết quả mới:

Bước 1 Quan sát nhằm tìm các thuộc tính giống nhau của hai đối tượng A, B; Bước 2 Tìm thuộc tính a có ở A mà chưa kết luận là có ở B;

Bước 3 Phát biểu và xác minh dự đoán “B có thể có tính chất a”;

Biểu hiện 3: Biết phát biểu những điều đã dự đoán thành giả thuyết toán học bằng các thuật ngữ và kí hiệu toán học, đồng thời biết thực hiện hoạt động kiểm định giả thuyết

Theo Paul Ernest: “Người ta có thể nói rằng kiến thức toán học bắt đầu với việc đạt được kiến thức ngôn ngữ Ngôn ngữ tự nhiên bao gồm cơ sở của toán học thông qua bản danh sách các thuật ngữ toán học cơ bản của nó, thông qua những quy tắc và quy ước cung cấp cơ sở cho lôgic học và chân lý lôgic” (theo [73, tr 88]) Diễn đạt thành lời là cơ hội để HS học tập lẫn nhau, để trao đổi và làm cho người khác hiểu được suy nghĩ của mình Các phát biểu của HS dù còn vụng về trong diễn đạt nhưng cũng thể hiện khả năng xâu chuỗi đối với các sự kiện, các ý tưởng toán học Ngôn ngữ giúp người học phát triển các ý tưởng, lập luận các giả định, xác lập giả thuyết, trình bày ý kiến cá nhân Do đó, các dự đoán nếu chỉ nằm trong đầu mỗi người thì bản thân

nó sẽ mất đi cơ hội được phát triển Mặt khác, một trong những việc không thể thiếu khi bắt tay vào học toán là cần xây dựng cho mình những phỏng đoán, hay đề ra những giả thuyết rồi sau đó tiến hành chứng minh Những điều nói trên chứng tỏ việc có thể phát biểu thành giả thuyết bằng ngôn ngữ toán học các sự kiện trong nội bộ môn Toán hoặc trong đời sống thực tiễn, đồng thời biết thực hiện hoạt động kiểm định giả thuyết

là một biểu hiện của người HS có năng lực phát hiện các quy luật Toán học

Theo Từ điển Toán học thông dụng [62, tr 364]: “Một nhận xét nào đó về một đám đông được gọi là một giả thuyết Việc kiểm tra để xác định sự đúng sai của một giả

thuyết dựa trên các thông tin đã có được gọi là kiểm định giả thuyết” Khi nói có một giả

thuyết A, nghĩa là có một mệnh đề A đã diễn đạt rõ ràng nhưng chưa được chứng minh

Một giả thuyết toán học có thể hình thành bằng con đường suy diễn hoặc thực nghiệm

HS biết thực hiện việc kiểm định giả thuyết, cụ thể là biết tiến hành các hoạt động:

- Kiểm tra tính đúng đắn theo những cách khác nhau

- Xem xét giả thuyết trong trường hợp đặc biệt

- Sử dụng hình vẽ trực quan: Chẳng hạn: sử dụng trục số, đường tròn, đồ thị để kiểm tra về nghiệm của một phương trình hay hệ phương trình, sử dụng hình vẽ để kiểm tra về mối liên hệ giữa các điểm, đường thẳng, mặt phẳng trong hình học,…

- Thử: HS thường dùng cách này để kiểm tra kết quả một cách thuần túy, hoặc

kiểm tra quá trình suy nghĩ, lập luận HS thường tỏ ra hoài nghi với dự đoán hay giả thuyết của mình, lúc đầu họ có thể tin, nhưng sau đó lại có sự trăn trở, tự kiểm tra lại

dự đoán, đôi khi có sự thay đổi Lúc này, bằng cách “thử”, họ có thể tiếp tục đưa ra những dự đoán hợp lý hơn, cuối cùng có thể đi đến câu trả lời đúng

- So sánh với một kết luận chung đã biết

- Thiết lập phép chứng minh hoặc tìm phản ví dụ

- Xác lập mối liên hệ nhân quả giữa giả thuyết và tri thức đã có

- Xem xét lại quá trình hình thành giả thuyết

Biểu hiện 4: Biết thay đổi cách nhìn quen thuộc khi xem xét mối liên hệ ổn định, lặp lại giữa các đối tượng và quan hệ toán học, từ đó thiết lập mối quan hệ toán học mới

Một ý tưởng thú vị thường nảy ra bất chợt, nó đem lại một yếu tố quan trọng, mới mẻ và làm thay đổi quan điểm, trạng thái tâm lí, kích thích chúng ta tích cực hành động để đạt được mục đích Muốn tìm tòi, phát hiện điều mới lạ, không thể cứ mãi mãi

đi theo một lối mòn, đôi khi những thói quen, những sự rập khuôn làm hạn chế cách thức hành động và làm xơ cứng dòng suy nghĩ, ngăn cản sự sáng tạo

Vì một ý tưởng là một kết hợp mới từ các phần tử cũ, do vậy cần thử các mối kết hợp khác nhau Trong học tập Toán, sự thay đổi cách nhìn quen thuộc các đối tượng toán học tỏ ra có hiệu quả để thiết lập các mối liên hệ mới Biểu hiện này được nhận thấy qua việc HS biết thực hiện các công việc sau:

- HS biết khai thác những ý nghĩa khác nhau của cùng một đối tượng toán học Chúng tôi minh họa biểu hiện này qua việc mô tả lại suy nghĩ của HS khi giải bài toán sau:

Ví dụ 1.3: So sánh M ( C n0 2) (C n1 2)   (C n n)2 và NC2n n

Khi cho n nhận một số giá trị (bé) cụ thể, HS nhận thấy hai biểu thức có cùng giá trị HS đã suy nghĩ rằng liệu có thể giải bài toán bằng cách sử dụng công thức tổ

hợp để chứng minh đẳng thức (C n0 2) (C n1 2)   (C n n)2C2n n theo con đường truyền thống hay không? Có thể sử dụng phương pháp quy nạp toán học hay không? Hầu hết những sự cố gắng theo hai hướng trên đều không đi đến đích Và như vậy, chuyển hướng suy nghĩ nhằm tìm cách giải quyết mới là một điều tất yếu Giá như phát hiện

được các đại lượng M và N là hai cách thể hiện của cùng một đối tượng nào đó thì thật

là may mắn! Với ý tưởng ấy, trước hết HS đã nhận ra C2n n là hệ số của n

x trong khai triển Newton của ( 1 x)2n , một câu hỏi được đặt ra là phải chăng M cũng là hệ số của

ta thấy biểu thức (*) chính là vế trái của đẳng thức đã thiết lập ở trên

HS có thể thực hiện việc so sánh M và N dựa vào một số gợi ý của giáo viên

GV: Hãy cho biết ý nghĩa toán học của công thức C2n n?

phần tử Tuy nhiên chỉ một em có cách lập luận chính xác

Với cách nhìn C C n0 n nC C n1 n n1  C C n n n0 và C2n n như là số cách lấy ra n phần tử của tập hợp A gồm 2n phần tử, HS đã giải được bài toán trọn vẹn

- HS biết thay đổi các yếu tố tạo nên bài toán để phát hiện mối liên hệ mới Chúng tôi minh họa biểu hiện này qua việc mô tả lại suy nghĩ của HS khi giải bài toán sau:

Ví dụ 1.4: Xét bài toán “Cho a, b, c là các số thực dương; x, y, z dương thỏa

mãn ax bycz không đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a b c

x y z

   ”

Bài toán đã được HS giải như sau:

Từ đó các em đã phát hiện kết quả mới: Cho M là điểm bất kỳ trong tam giác ABC, kí hiệu MA MB MC lần lượt là khoảng cách từ M đến các cạnh BC, CA, AB ', ', 'của tam giác Biểu thức AB' BC' CA'

MC MA MB đạt giá trị nhỏ nhất khi M là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC

Biểu hiện 5: Biết vận dụng chính xác và suy luận chặt chẽ tuân theo quy luật

và quy tắc suy luận của lôgic hình thức để tìm những tiền đề đầy đủ và kết luận lôgic của các tiền đề cho trước, nhằm kết nối kiến thức, kỹ năng, kinh nghiệm đã có với những tình huống chứa đựng điều cần tìm kiếm

Theo Bùi Văn Nghị [76], cơ chế chủ yếu đảm bảo cho con người khả năng khám phá ra một quan hệ, một đặc tính mới từ trước chưa biết được thực hiện thông qua việc tạo lập nên những liên hệ mới nhằm kết nối giữa những kiến thức, kỹ năng đã biết với những điều chưa biết, những liên hệ mới này có vai trò như những chiếc cầu nối giúp HS phát hiện ra điều chưa biết Đào Tam [102] quan niệm: “Kết nối tri thức

đã có với tri thức cần khám phá trong quá trình tìm tòi trí tuệ là việc chọn lọc có quy luật các tri thức đã có và tổ chức chúng với tư cách để dự đoán các vấn đề, vận dụng

chúng để làm sáng tỏ nhiệm vụ nhận thức cũng như điều chỉnh quá trình lập luận nhằm tìm ra tri thức mới”

Chúng tôi cho rằng, một khía cạnh thể hiện sự giỏi giang trong học tập Toán là biết sử dụng tốt công cụ của Toán học để tìm kiếm, phát hiện tri thức toán học mới Do

đó, biết vận dụng chính xác các quy luật và quy tắc suy luận của lôgic hình thức nhằm kết nối những kiến thức, kỹ năng, kinh nghiệm đã có với những tình huống chứa đựng điều cần tìm kiếm là một biểu hiện của năng lực phát hiện các quy luật Toán học Biểu

hiện này được nhận thấy thông qua việc HS thực hiện các hoạt động sau:

- HS biết vận dụng đúng các phép suy luận thường gặp (quy tắc suy luận kết luận, quy tắc suy luận bắc cầu, phép quy nạp hoàn toàn, ) và các phương pháp chứng minh (quy nạp toán học, phản chứng, trực tiếp, gián tiếp, ) vào việc tìm tòi, dự đoán, chứng minh khi học định lý, giải bài tập toán Trên cơ sở những điều đã biết về các mệnh đề thuận, đảo, phản, phản đảo và mối quan hệ giữa chúng, HS nhận ra rằng nếu chứng minh trực tiếp bài toán dạng PQ gặp khó khăn thì nên nghĩ đến phương pháp gián tiếp, nghĩa là chứng minh mệnh đề phản đảo Q  Khi định lý (bài toán) P

có dạng PQ, trong một số trường hợp, HS biết xét mệnh đề dạng QP, nếu mệnh

đề QP đúng thì HS thu được kiến thức mới, và như vậy, đồng thời cũng có kết quả mới có cấu trúc P  Hoạt động này giúp HS tìm tòi, phát hiện tri thức mới nhân Q

khi học định lý, sau khi giải xong một bài toán

- HS biết vận dụng quan hệ giữa các lượng từ “với mọi”, “tồn tại”, phép phủ định để chứng minh hoặc bác bỏ mệnh đề toán học khi biết rằng: phủ định của mệnh

đề “đúng với mọi giá trị của x” là mệnh đề “sai với ít nhất một giá trị của x”; phủ định của mệnh đề “sai với ít nhất một giá trị của x” là mệnh đề “đúng với mọi giá trị của x”

- HS biết thực hiện các hoạt động ăn khớp với những quy tắc kết luận lôgic thường dùng để tìm kiếm các kết luận từ những tiền đề cho trước, trong số đó, các kết luận được ghi nhận là có ý nghĩa chính là những phát hiện mới của HS

Biểu hiện 6: Có thói quen và hứng thú với việc khảo sát các mô hình, vật mẫu, tình huống,… của đời sống thực tiễn nhằm phát hiện những mối liên hệ có tính chất toán học ẩn chứa trong các nghiên cứu đó

Nhiều phát minh toán học đã được tìm thấy khi người nghiên cứu khảo sát các mẫu hình, các tình huống thực tế Trong học tập toán, một số HS say sưa với việc tìm các phương án để sắp xếp các mẫu hình theo một trật tự hợp lý, điều này giúp các em phát hiện nhiều kết quả toán học thú vị Bên cạnh đó, HS cũng thường thực hiện hoạt động toán học hóa các tình huống thực tiễn với mong muốn tìm kiếm các quy luật ẩn chứa trong các tình huống này Vì vậy, có thói quen và hứng thú với việc khảo sát các

mô hình, vật mẫu, tình huống,… của đời sống thực tiễn nhằm phát hiện những mối liên hệ có tính chất toán học ẩn chứa trong các nghiên cứu đó được xem là một biểu hiện của người HS có năng lực phát hiện các quy luật Toán học Biểu hiện này được nhận thấy thông qua việc HS thực hiện các hoạt động sau:

- Với đồ dùng trực quan đã được giáo viên chuẩn bị, HS tỏ ra say sưa lắp ghép, sắp xếp để tạo ra những mô hình theo những cách khác nhau, từ đó hi vọng có thể thu

được một tính chất hay quy luật Toán học và cố gắng để tìm kiếm chúng;

- Từ tình huống trong cuộc sống hằng ngày, HS có ý thức quan sát, đo đạc, tính toán, thu thập số liệu, từ đó tìm kiếm tính chất, mối quan hệ của các số liệu được biểu diễn dưới dạng các biểu thức toán học;

- Có thói quen và hứng thú quan sát hình ảnh, đồ vật thường gặp, huy động vốn kiến thức đã có để đưa ra những dự đoán về mối liên hệ có tính chất hình học (chẳng hạn tính đối xứng, song song, vuông góc, đường xiên, đường thẳng,…) hay những ước lượng về hình dáng, độ lớn, tỉ lệ, khoảng cách, để so sánh các đối tượng ấy với nhau nhằm tìm kiếm một quy luật nào đó

1.4.5 Phân loại mức độ của năng lực phát hiện quy luật Toán học

Việc phân loại mức độ được xem là có ích trong nhiều lĩnh vực Đối với việc đánh giá HS về năng lực phát hiện quy luật Toán học cũng vậy

Trong mục 1.4.3, chúng tôi đã đề cập đến các chuẩn 1a, 1b,…, 4c Để thuận lợi trong việc phân loại HS về năng lực phát hiện quy luật Toán học, chúng tôi lượng hóa các chuẩn đó theo điểm số như sau:

Điểm số

Các chuẩn Có trợ giúp

tường minh của giáo viên

Có trợ giúp một ít của giáo viên

Không có

sự trợ giúp của giáo viên

Điểm số tổng cộng tối đa

Mức giỏi: 22S25; Mức trung bình: 14S17

Mức khá: 17S 22; Mức yếu (không đạt yêu cầu): S 14 Việc thu thập chứng cứ để xác nhận điểm số S nói trên có thể thực hiện chủ yếu theo các cách:

- Quan sát, theo dõi các biểu hiện của HS trong hoạt động học tập trên lớp hoặc theo nhóm;

- Tiến hành kiểm tra vấn đáp trực tiếp HS;

- Chấm bài kiểm tra

Đối với mỗi HS hay lớp HS cụ thể, kết quả đánh giá phân loại như trên sẽ là một trong những chỗ dựa cho việc lựa chọn các biện pháp tổ chức hoạt động dạy học cho HS theo hướng bồi dưỡng năng lực phát hiện các quy luật toán học

1.5 Vai trò của việc bồi dưỡng cho học sinh năng lực phát hiện các quy luật Toán học trong dạy học môn Toán

Phần lớn HS được làm quen với hoạt động phát hiện các quy luật Toán học ngay từ trường mầm non khi các em bắt đầu tiếp xúc với những mẫu lặp lại trong các

mô hình được tạo bởi các block Đến những bậc học cao hơn, HS tiếp tục tiếp cận với những con số phức tạp hơn, những hình khối đa dạng hơn, qua đó HS có thể hình thành và phát triển nhận thức về các mối quan hệ không gian, về sự sắp xếp các dãy số,… đồng thời từng bước tiếp cận và phát triển được năng lực suy luận lôgic

A N Whitehead cho rằng: “Ngay từ ngày đầu đi học, đứa trẻ cần phải có những giây phút sung sướng mỗi khi phát hiện ra điều mới lạ Sự phát hiện đó có khi chỉ là sự hiểu biết về hàng loạt các sự kiện xảy ra hàng ngày ở xung quanh nó và là một phần của cuộc đời nó” (theo [8, tr 262]) Điều đó nói lên rằng, mỗi khi phát hiện thêm một sự mới lạ, dù nhỏ nhoi, cũng là rất cần thiết đối với người học, tạo cho người học trạng thái vui vẻ, thích thú và cảm thấy được thỏa mãn Cảm giác thích thú ấy cứ tăng dần trong các em Nếu trong dạy học giáo viên biết tổ chức cho HS phát hiện ra điều mới lạ về tri thức, kĩ năng, kĩ xảo mới, cách thức hành động mới để lĩnh hội tri thức thì dần dần hoạt động phát hiện trở thành nhu cầu, động cơ học tập đúng đắn của người học Nhu cầu, lòng khát khao học tập lại thúc đẩy HS tiếp tục phát hiện tri thức mới từ những sự kiện xảy ra xung quanh

Trong cuộc sống, để có sự phát triển đòi hỏi con người phải có những khám phá, phát hiện và những phát minh, đòi hỏi con người không tự giam mình trong những cái đang tồn tại mà phải phát hiện ra những điều chưa biết, những cái chưa có

Quá trình học tập của HS là một quá trình nhận thức các kinh nghiệm của thế hệ trước Quá trình này chỉ có hiệu quả khi nó là quá trình tự vận động của HS để thích ứng, chuyển những kinh nghiệm, hiểu biết của nhân loại thành những kinh nghiệm và

hiểu biết của riêng mình Thông qua đó HS không chỉ đạt tới nhận thức, mà quan trọng hơn là nắm bắt được con đường, cách thức để nhận thức Muốn đạt được điều này, trước hết HS phải có khả năng tìm tòi và phát hiện khoa học, HS cần huy động nội lực, càng phát huy nội lực thì việc tìm tòi, phát hiện, chiếm lĩnh tri thức càng hiệu quả

Nói riêng, trong quá trình học tập môn Toán ở nhà trường, HS không chỉ học cách hiểu, ghi nhớ, suy nghĩ về những khái niệm và quy luật Toán học mà còn phải có khả năng vượt ra ngoài khuôn khổ các bài toán cụ thể và những điều đã biết để phát hiện ra những quy luật Toán học chưa có trong vốn kiến thức của mình Điểm xuất phát của hoạt động tìm tòi, phát hiện trong dạy học toán là những phát hiện ban đầu, những thông tin ban đầu được thu thập thông qua quan sát các sự vật và hiện tượng Tiếp đó là hoạt động nhằm tìm hiểu những thuộc tính, những mối liên hệ có tính quy luật Trong quá trình tìm tòi phát hiện, HS lại có thể phát hiện ra những vấn đề khác và

có nhu cầu tiếp tục được tìm tòi, khám phá

Trong học tập, các bài toán yêu cầu tìm kiếm quy luật Toán học một cách thuần túy tạo cơ hội cho HS thực hiện việc huy động, sắp xếp lại những kiến thức đã có để tạo nên những mối liên hệ và những cấu trúc toán học mới, góp phần thúc đẩy tính sáng tạo trong tư duy, tạo điều kiện để các em được rèn luyện các hoạt động trí tuệ Bên cạnh đó việc bồi dưỡng năng lực phát hiện các quy luật Toán học cũng góp phần tạo động cơ, hứng thú học tập, giúp họ chủ động tìm kiếm tri thức toán học thay vì tiếp nhận một cách thụ động, từ đó các kiến thức thu được có độ sâu sắc, bền vững hơn Nhiệm vụ phát hiện quy luật cũng góp phần tạo cho HS sự linh hoạt, tự tin trong giải quyết vấn đề khi học tập toán và xử lí các tình huống trong cuộc sống hàng ngày

1.6 Đặc điểm hoạt động nhận thức của học sinh Trung học phổ thông

Những điều sẽ nêu trong phần này được chúng tôi xem là một trong những căn

cứ để đưa ra các biện pháp ở chương 3

Tìm hiểu đặc điểm hoạt động nhận thức của HS Trung học phổ thông sẽ là một trong những cơ sở quan trọng trong việc nghiên cứu lý luận để tổ chức hoạt động học tập cho HS Trung học phổ thông một cách có hiệu quả Chúng tôi điểm lại một số nghiên cứu của các nhà Tâm lý học và các nhà Giáo dục học về những nét nổi bật trong hoạt động nhận thức của HS Trung học phổ thông

Nhận thức là hoạt động đặc trưng của con người Trong việc nhận thức thế giới, con người có thể đạt tới những mức độ nhận thức khác nhau, từ thấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp Mức độ thấp là nhận thức cảm tính, cao hơn nữa là nhận thức lí tính, hai mức độ này có quan hệ chặt chẽ với nhau, bổ sung và chi phối lẫn nhau Quá trình nhận thức của HS về cơ bản cũng diễn ra theo quy luật nhận thức chung của loài người V I Lênin đã tổng kết: “Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng và

từ tư duy trừu tượng trở về thực tiễn, đó là con đường biện chứng của sự nhận thức chân lí, của sự nhận thức thực tại khách quan” Tuy nhiên quá trình ấy lại có tính độc đáo so với quá trình nhận thức của các nhà khoa học, bởi vì được tiến hành trong những điều kiện sư phạm nhất định Quá trình nhận thức của HS không phải là quá trình tìm ra cái mới cho nhân loại, nó chỉ nhằm mục đích chủ động, tái tạo lại tri thức của nhân loại trong chính bản thân mình Theo các nhà Tâm lí học, hoạt động nhận thức của HS Trung học phổ thông có một số đặc điểm nổi bật sau:

Về khả năng cảm giác, tri giác Khả năng cảm giác, tri giác của HS Trung học

phổ thông đã đạt đến trình độ phát triển cao Tri giác có chủ định phát triển mạnh, thể hiện ở chỗ các em có khả năng tự đặt cho mình mục đích, kế hoạch và nhiệm vụ quan sát, biết phân tích, tổng hợp đối tượng tri giác có chủ định Trong một số trường hợp, các em có thể tri giác phân biệt một cách tinh tế, sâu sắc về nhiều mặt

Về khả năng ghi nhớ Đặc điểm nổi bật trong trí nhớ của thiếu niên là khả năng

ghi nhớ và nhớ lại có chủ định đã phát triển cao, các em có ý thức lựa chọn những nội dung để ghi nhớ, biết chọn cách nhớ, ghi nhớ máy móc giảm dần, ghi nhớ ý nghĩa ngày càng tăng Trong quá trình nhớ lại, các em có thể đi từ cái bản chất, khái quát đến những cái cụ thể, các em đã không ghi nhớ nguyên văn và cũng không ghi nhớ hoàn toàn máy móc như HS nhỏ tuổi hơn

Về khả năng tư duy và tưởng tượng

- Trong quá trình học tập, hoạt động khái quát hóa và cụ thể hóa của HS diễn ra ngày càng có sự thống nhất Suy nghĩ của các em có sự chuyển biến từ nhận thức cái riêng lẻ đến nhận thức cái chung, cái chung đã trở thành bậc thang để nhận thức các sự vật và hiện tượng riêng lẻ mới [97, tr 33] Những thuộc tính chung và bản chất của các

sự vật, hiện tượng và các mối liên hệ giữa chúng mà HS tiếp thu được trong các tài liệu học tập đã tách khỏi các sự vật riêng lẻ hoặc các trường hợp có tính cục bộ, trở thành lí luận soi sáng cho phương hướng hoạt động thực tế HS tiếp tục áp dụng những tri thức lí luận này để giải quyết những nhiệm vụ thực tế mới HS càng phát triển thì sự khái quát hóa và cụ thể hóa trong thể thống nhất của chúng ngày càng chiếm vị trí lớn trong hoạt động tư duy của các em

- Tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng không gian của HS Trung học phổ thông cũng đã có những bước tiến rõ rệt Các em học được nhiều tài liệu khác nhau về các sự vật và hiện tượng trong quá trình biến đổi và phát triển của chúng Những tài liệu trực quan khái quát như đồ thị, sơ đồ, các biểu đồ, mô tả các sự vật và hiện tượng trong trạng thái động của chúng rất có ý nghĩa đối với HS Trung học phổ thông Đối với các

em, tính trực quan dưới dạng các vật thực trở nên hấp dẫn và có hiệu quả hơn trong việc lĩnh hội các tài liệu học tập Trong nội dung hình tượng - trực quan của tư duy ở

HS Trung học phổ thông, ngoài các biểu tượng của trí nhớ, các hình tượng của tưởng tượng và của hành động thực tiễn còn bao gồm số lượng ngày càng lớn các hình tượng của tưởng tượng sáng tạo, các hình tượng ẩn dụ, các hình tượng lý tưởng, các hình tượng trực quan khái quát

Về sự phát triển của tư duy nhân - quả

Theo M N Sacđacôp, việc HS hiểu và lĩnh hội những mối liên hệ nhân - quả giữa các sự vật và hiện tượng có ý nghĩa đặc biệt quan trọng trong việc học tập, lao động và hoạt động xã hội Đồng thời, sự phát triển của tư duy nhân - quả là một trong những thành phần cơ bản của sự phát triển tư duy nói chung của HS Kỹ năng tìm và thông hiểu những mối liên hệ nhân - quả giữa các sự vật và hiện tượng của hiện thực ở

HS được phát triển trong quá trình học tập Tư duy nhân - quả của HS được phát triển cùng với sự phát triển của các em Ở giai đoạn đầu của việc xác định các mối liên hệ nhân quả, HS chỉ nêu một nguyên nhân nào đó của một hiện tượng nhất định, hoặc một kết quả của một nguyên nhân nhất định, những nguyên nhân và kết quả các em nêu ra thường chỉ có tính chất bên ngoài, thứ yếu Tiếp đó, nhờ sự hoàn thiện hoạt động tư duy phân tích và tổng hợp, tư duy nhân - quả được nâng lên cao hơn, các em

đã bắt đầu nêu nhiều nguyên nhân của một hiện tượng, tuy nhiên trong thời gian đầu

HS thường dẫn ra những nguyên nhân có cùng một tính chất nào đó, theo một hướng nào đó Cuối cùng, ở lứa tuổi HS Trung học phổ thông đã biết nêu nhiều kết quả của một nguyên nhân cụ thể nhất định và theo nhiều hướng khác nhau

Về sự phát triển của tư duy phê phán

HS Trung học phổ thông có xu hướng muốn dựa vào kinh nghiệm hoạt động tư duy của mình và những tri thức sẵn có để tự lí giải các nguyên lý khoa học hoặc các hiện tượng xung quanh Tư duy phê phán của các em được phát triển trong quá trình xem xét các vấn đề của khoa học, khi đọc tài liệu học tập hay trong quá trình thảo luận những vấn đề hoạt động xã hội nói chung Các em thường đặt ra cho giáo viên và tự đặt cho bản thân mình nhiều câu hỏi, chứng tỏ sự trưởng thành vượt bậc của tính phê phán và tính độc lập trong tư duy của HS các lớp lớn Rõ ràng, cùng với sự phát triển của tư duy nhân - quả, tư duy phê phán của HS cũng phát triển, sự phát triển của hai loại tư duy này là một quá trình thống nhất và có liên hệ với nhau [97, tr 33 -71]

Về khả năng ngôn ngữ

Ở lứa tuổi này, khả năng ngôn ngữ đang phát triển mạnh, vốn từ tăng rõ rệt, trong ngôn ngữ, tính hình tượng và trình độ lôgic chặt chẽ phát triển ở mức độ cao Ngôn ngữ của các em đã được phức tạp hóa về mặt kết cấu mệnh đề và câu, đã có trình độ vận dụng những hình thức tu từ học vào việc viết và nói, các em có tính độc lập khá cao, thể hiện qua việc hay phát biểu về những điều đã nhận thức được một

cách khá chặt chẽ bằng ngôn ngữ riêng của mình Tuy nhiên, các em vẫn có những thiếu sót như: khả năng dùng từ để biểu đạt ý nghĩ còn hạn chế, còn dùng từ sai, chưa chú ý cách diễn đạt theo cấu trúc ngữ pháp chặt chẽ, một số em thích dùng những từ cầu kì, lời lẽ bóng bẩy nhưng không chứa đựng nội dung gì [29, tr 141]

1.7 Một số yêu cầu của việc tổ chức hoạt động học tập theo hướng bồi dưỡng năng lực phát hiện

Trong lý luận dạy học, khái niệm tổ chức được tiếp cận theo quy mô và theo các yếu tố của quá trình dạy học

Tiếp cận theo quy mô ta có khái niệm tổ chức theo nghĩa rộng, tức là tổ chức các hoạt động dạy học và giáo dục, bao gồm cả việc xác định mục tiêu, xây dựng nội dung chương trình và các hình thức dạy học, giáo dục

Tiếp cận theo các yếu tố của quá trình dạy học ta có khái niệm tổ chức theo nghĩa hẹp, tổ chức được hiểu là sự sắp xếp các biện pháp sư phạm của giáo viên và HS theo một lôgic nhất định nhằm thực hiện nhiệm vụ dạy học Theo cách này, có các hình thức sau:

- Tổ chức thực hiện mục tiêu dạy học, là việc xác định, xây dựng và triển khai các hoạt động dạy học của giáo viên và HS nhằm hướng đến mục tiêu dạy học

- Tổ chức thực hiện nội dung dạy học, là việc xác định, xây dựng, sắp xếp các kiến thức khoa học theo các lôgic sư phạm nhằm thoả mãn mục tiêu dạy học và phù hợp với đối tượng HS cũng như các điều kiện dạy học cho phép

- Tổ chức các phương pháp dạy học: các biện pháp sư phạm cụ thể của giáo viên và HS được tiến hành theo một lôgic nhất định trong sự tác động qua lại lẫn nhau nhằm thực hiện tốt mục tiêu bài học (theo [28, tr 35])

Ở đây, chúng tôi tiếp cận khái niệm tổ chức dạy học theo các yếu tố của quá

trình dạy học Do đó, tổ chức dạy học theo hướng bồi dưỡng năng lực phát hiện được hiểu là việc tổ chức các biện pháp sư phạm của giáo viên và HS, được tiến hành theo một lôgic nhất định, hướng đến hoạt động phát huy tính tích cực, chủ động của người học, giúp HS phát hiện kiến thức mới, cách thức hành động mới dựa trên những kiến thức và kinh nghiệm đã có Như vậy, trong quá trình này, vai trò của người giáo viên

là rất quan trọng, thể hiện thông qua việc thiết kế, tổ chức, điều khiển quá trình dạy học nhằm tạo ra tình huống có vấn đề đối với HS Nhiệm vụ của HS là tích cực, chủ động tiến hành các hoạt động nhận thức: phát hiện vấn đề, giải quyết vấn đề, xây dựng kiến thức mới, củng cố hệ thống kiến thức đã có

Dựa trên cách tiếp cận khái niệm tổ chức dạy học theo các yếu tố của quá trình dạy học và dựa vào đặc điểm hoạt động nhận thức của HS Trung học phổ thông, chúng tôi cho rằng việc tổ chức hoạt động học tập cho HS theo hướng bồi dưỡng năng lực

phát hiện cần đạt được một số yêu cầu:

1) Phải tạo được nhu cầu bên trong và hứng thú học tập cho HS

Trong cuộc sống, ta thường đặt ra câu hỏi: tại sao bạn làm điều đó? nguyên nhân nào khiến bạn suy nghĩ và hành động như vậy? thực chất là ta đang muốn tìm hiểu về những động cơ gây nên hoạt động ấy Động cơ là một hiện tượng tâm lí phức tạp, có ý nghĩa đối với cuộc sống con người bởi đó là nguyên nhân thúc đẩy người ta suy nghĩ và hành động M Goocki đã viết: “Ở trên đời này không có gì quan trọng hơn

và đáng chú ý hơn là những động cơ hành động của con người” (theo [44, tr 63]) Động cơ đúng đắn hay sai lệch là nguyên nhân trực tiếp dẫn đến sự thành công hay thất bại của hoạt động và hướng diễn biến, phát triển nhân cách của con người Động

cơ học tập là yếu tố định hướng quan trọng hàng đầu cho hoạt động học tập của người học, có tác động trực tiếp tới chất lượng của hoạt động đó Như vậy, động cơ học tập đúng đắn sẽ tạo ra hứng thú, hứng thú là cơ sở, tiền đề của tính tự giác; hứng thú và tự giác là hai yếu tố tâm lí tạo nên tính tích cực Do đó, phải tạo được nhu cầu bên trong

và hứng thú học tập cho HS

2) Giáo viên phải coi trọng những kiến thức và kinh nghiệm sẵn có của HS Khi tổ chức hoạt động học tập, giáo viên cần dựa trên chính tiềm năng của HS Một người HS bình thường được tạo hóa cho năm giác quan, một hệ thống thần kinh

để tạo nên những điều kiện cần thiết cho việc tiếp thu những tri thức mới Ngoài ra,

HS có khả năng khai thác những kinh nghiệm và những tri thức đã được tích lũy trước

đó để tiếp cận khám phá những tri thức, những cảm xúc mới Nhận thức của con người thay đổi dần theo sự trưởng thành và kinh nghiệm tích lũy L X.Vưgotxki cho rằng, trong suốt quá trình phát triển của HS thường xuyên diễn ra hai trình độ: hiện tại và vùng phát triển gần nhất Theo Tâm lí học, tư duy của HS nảy sinh và phát triển khi

HS đứng trước khó khăn cần khắc phục, tức là một tình huống có vấn đề Tuy nhiên tình huống này chỉ khêu gợi được tư duy khi nó là vừa sức với người học, HS đã chuẩn

bị được khả năng để vượt qua Lúc đó, từ tình huống có vấn đề HS có thể phát hiện được, phát biểu được vấn đề, đặt được câu hỏi, nêu được thắc mắc Như vậy, quá trình

tư duy của HS chỉ đạt hiệu quả cao khi những tình huống được đặt ra phải nằm trong

“vùng phát triển gần nhất” của HS Các kiến thức và kinh nghiệm đã có của HS là tiền

đề quan trọng trong việc thiết kế và tổ chức các hoạt động học tập Các hoạt động học tập được thiết kế dựa trên đặc điểm nội tại của kiến thức chứa đựng trong nó và xuất phát từ các kiến thức và kinh nghiệm đã có của HS liên quan đến kiến thức cần dạy sẽ

có tác dụng gợi nhu cầu nhận thức và gây niềm tin ở khả năng

3) Phải tạo được môi trường học tập trong đó HS có điều kiện thuận lợi để thảo luận, trao đổi với thầy cô và bạn bè