bồi dưỡng các thủ pháp hoạt động nhận thức theo tư tưởng sư phạm của g polya cho học sinh trong dạy học môn toán ở trường trung học cơ sở

Tuy nhiên, nhìn nhận TP như là cách thức mang tính thủ thuật để có được giải pháp hiệu quả và đưa ra một số TP cụ thể trong giải quyết vấn đề là quan niệm của hầu hết các tác giả.. Một

Trang

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 3

3 Đối tượng, khách thể và phạm vi nghiên cứu 3

4 Giả thuyết khoa học 3

5 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

6 Phương pháp nghiên cứu 4

7 Những đóng góp của Luận án 4

8 Các luận điểm đưa ra bảo vệ 5

9 Cấu trúc của Luận án 5

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN 6

1.1 Tổng quan tình hình nghiên cứu các vấn đề có liên quan đến đề tài 6

1.1.1 Những kết quả nghiên cứu liên quan đến thủ pháp hoạt động nhận thức 6

1.1.2 Những nghiên cứu về tư tưởng sư phạm của G Polya trong dạy học toán 9

1.1.3 Một số nhận định 11

1.2 Hoạt động nhận thức và hoạt động nhận thức toán học 12

1.2.1 Hoạt động nhận thức 12

1.2.2 Hoạt động nhận thức toán học 14

1.3 Thủ pháp, thủ pháp hoạt động nhận thức toán học 15

1.3.1 Thủ pháp 15

1.3.2 Thủ pháp hoạt động nhận thức 16

1.3.3 Một số ví dụ 21

1.4 Tư tưởng sư phạm của G Polya về dạy học toán theo hướng bồi dưỡng các thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh 22

1.4.1 Về mục đích dạy học toán (T1) 22

1.4.2 Về nguyên lý học tập (T2) 22

1.4.3 Về các hoạt động trí tuệ (T3) 23

1.4.4 Tư tưởng sư phạm của G Polya về các giai đoạn giải quyết vấn đề (T4) 25

1.5 Thủ pháp hoạt động nhận thức theo tư tưởng sư phạm của G Polya trong dạy học môn Toán ở trường trung học cơ sở 28

1.5.1 Một số thủ pháp hoạt động nhận thức thường sử dụng của học sinh theo tư tưởng sư phạm của G Polya trong dạy học môn Toán ở trường trung học cơ sở 29

1.5.2 Một số đặc điểm cơ bản của thủ pháp hoạt động nhận thức 35

vấn đề, năng lực tư duy sáng tạo 37

1.6.1 Thủ pháp hoạt động nhận thức vừa là phương tiện vừa là kết quả của hoạt động giải quyết vấn đề 37

1.6.2 Thủ pháp hoạt động nhận thức trong hoạt động dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề 37

1.6.3 Thủ pháp hoạt động nhận thức góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh 39

1.7 Một số điều kiện sư phạm của việc bồi dưỡng thủ pháp hoạt động nhận thức theo tư tưởng sư phạm của G Polya cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường trung học cơ sở 41

1.7.1 Sự phát triển tư duy của học sinh trung học cơ sở 41

1.7.2 Đặc điểm chương trình môn Toán các lớp cuối cấp trung học cơ sở ở Việt Nam 42

1.7.3 Các nhân tố cơ bản ảnh hưởng đến việc bồi dưỡng thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh trung học cơ sở trong dạy học môn Toán 43

1.7.4 Các giai đoạn hình thành và khắc sâu thủ pháp hoạt động nhận thức toán học cho học sinh 44

1.7.5 Một số hình thức bồi dưỡng thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh 45

Kết luận chương 1 46

Chương 2 KHẢO SÁT THỰC TRẠNG 47

2.1 Mục đích khảo sát 47

2.2 Nội dung khảo sát 47

2.3 Đối tượng khảo sát 47

2.4 Phương pháp khảo sát 47

2.5 Kết quả khảo sát 48

2.5.1 Kết quả khảo sát đối với giáo viên 48

2.5.2 Kết quả khảo sát đối với HS 53

Kết luận chương 2 64

Chương 3 MỘT SỐ BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG CÁC THỦ PHÁP HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC THEO TƯ TƯỞNG SƯ PHẠM CỦA G POLYA CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở CÁC LỚP CUỐI CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ 66

3.1 Định hướng xây dựng và thực hiện biện pháp 66

3.2 Một số biện pháp bồi dưỡng các thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh theo tư tưởng sư phạm của G Polya trong dạy học môn Toán các lớp cuối cấp ở trường trung học cơ sở 67

trong việc bồi dưỡng các thủ pháp hoạt động nhận thức 67

3.2.2 Biện pháp 2 Rèn luyện cho học sinh có nhiều cơ hội trải nghiệm để tìm hiểu, phát hiện vấn đề và phát hiện cách giải quyết vấn đề một cách tinh tế 76

3.2.3 Biện pháp 3 Tập luyện cho học sinh hình thành và vận dụng hợp lý các thủ pháp hoạt động nhận thức trong giai đoạn lập kế hoạch giải quyết vấn đề 89

2.2.4 Biện pháp 4 Rèn luyện cho học sinh khả năng tìm nhiều lời giải, lựa chọn lời giải tối ưu và khai thác, phát triển các vấn đề nhằm khắc sâu thủ pháp hoạt động nhận thức 103

3.2.5 Biện pháp 5 Xây dựng và tổ chức dạy học thích hợp các chuyên đề ẩn chứa trong đó những thủ pháp hoạt động nhận thức cần bồi dưỡng cho học sinh 118

Kết luận chương 3 131

Chương 4 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 133

4.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 133

4.2 Phương pháp thực nghiệm sư phạm 133

4.2.1 Phương pháp quan sát 133

4.2.2 Phương pháp thống kê toán học 133

4.3 Tổ chức và nội dung thực nghiệm 133

4.3.1 Công tác chuẩn bị 133

4.3.2 Các bước tổ chức thực nghiệm 134

4.3.3 Nội dung thực nghiệm sư phạm 135

4.4 Xây dựng phương thức và tiêu chí đánh giá 144

4.4.1 Phương thức và tiêu chí đánh giá mặt định lượng 144

4.4.2 Phương thức và tiêu chí đánh giá mặt định tính 145

4.5 Kết quả thực nghiệm 145

4.5.1 Đánh giá định tính 145

4.5.2 Đánh giá định lượng 150

Kết luận chương 4 156

KẾT LUẬN 157

DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ 158

TÀI LIỆU THAM KHẢO 159 PHỤ LỤC

Trang

Sơ đồ:

Sơ đồ 1.1 Các TP “riêng” cho toán học 8

Sơ đồ 1.2 Cấu trúc vĩ mô hoạt động 12

Sơ đồ 1.3 Các dạng hoạt động chủ yếu của HĐNT 14

Sơ đồ 1.4 Sơ đồ tổng quát về hoạt động trí tuệ trong giải Toán 24

Sơ đồ 1.5 Sơ đồ các nhân tố cơ bản trong việc bồi dưỡng TPHĐNT cho HS 44

Sơ đồ 1.6 Các giai đoạn và mức độ hình thành, phát triển TP 45

Bảng: Bảng 4.1 Kết quả bài kiểm tra của HS sau đợt thực nghiệm thứ nhất 150

Bảng 4.2 Kết quả bài kiểm tra số 1 của HS sau đợt thực nghiệm thứ hai 152

Bảng 4.3 Kết quả bài kiểm tra số 2 của HS sau đợt thực nghiệm thứ hai 154

Biểu đồ: Biểu đồ 4.1 Đường biểu diễn tần suất tích lũy hội tụ lùi sau TNSP đợt 1 151

Biểu đồ 4.2 Biểu đồ xếp loại HS sau TNSP đợt 1 151

Biểu đồ 4.3 Đường biểu diễn tần suất tích lũy hội tụ lùi sau bài kiểm tra số 1 TNSP đợt 2 153

Biểu đồ 4.4 Biểu đồ xếp loại HS bài kiểm tra số 1 TNSP đợt 2 153

Biểu đồ 4.5 Đường biểu diễn tần suất tích lũy hội tụ lùi sau bài kiểm tra số 2 TNSP đợt 2 154

Biểu đồ 4.6 Biểu đồ xếp loại HS sau bài kiểm tra số 2 TNSP đợt 2 154

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Cuộc cách mạng khoa học công nghệ đã và đang tiếp tục phát triển với những bước tiến nhảy vọt trong thế kỷ XXI, đưa thế giới chuyển từ kỷ nguyên công nghiệp hóa sang kỷ nguyên thông tin và phát triển kinh tế tri thức Khối lượng kiến thức ngày một tăng nhanh theo cấp số nhân Bởi vậy, vấn đề hết sức quan trọng

được đặt ra cho giáo dục là không chỉ dạy cho HS biết cái gì mà phải giúp các em hiểu tại sao và bằng cách nào để biết được điều đó Vì thế, đòi hỏi giáo dục phải có

sự thay đổi căn bản cách chiếm lĩnh và sử dụng tri thức của người học theo hướng chủ động, sáng tạo

Dạy học là quá trình tổ chức các HĐNT cho HS Nhiều nghiên cứu giáo dục trên thế giới đã chỉ ra rằng để giúp HS độc lập giải quyết nhiệm vụ và lĩnh hội các kiến thức toán học thì việc tổ chức HĐNT cho họ, trong đó có việc bồi dưỡng các TPHĐNT là việc làm cần thiết trong DH toán ở trường phổ thông hiện nay Theo I

V Titova [127, tr 5], “Việc hình thành các TP thích hợp của HĐNT sẽ trả lời trực tiếp cho một trong những câu hỏi quan trọng nhất đặt ra trước nhà trường phổ thông

“Làm thế nào để dạy trẻ học một cách hợp lý”, vì rằng các TP đã được lĩnh hội sẽ trở thành tài sản riêng của HS và là “công cụ” của việc lĩnh hội độc lập tài liệu học

tập” Tác giả Trần Luận [63] cho rằng, các TP của công việc học tập có mặt trong hoạt động học tập của HS sẽ đóng vai trò chính yếu trong sự phát triển trí tuệ của các em Vì vậy, bồi dưỡng các TPHĐNT cho HS là việc làm hết sức cần thiết trong giai đoạn hiện nay, giúp người học phát triển các năng lực, góp phần đổi mới giáo dục phổ thông theo định hướng “tiếp cận năng lực”

1.2 G Polya là một nhà toán học, nhà sư phạm nổi tiếng, các công trình của ông là những công trình nghiên cứu Ơristic (heuristic), đó là cách thức nhằm tăng nhanh quá trình tìm kiếm các giải pháp hợp lý để giải quyết vấn đề thông qua các suy nghĩ rút gọn Theo G Polya, nhiệm vụ chính của DH toán ở trường phổ thông

là dạy cho HS suy nghĩ Ông cho rằng, điểm chính trong việc giảng dạy toán học là phát triển các chiến thuật giải quyết vấn đề Mặt khác, theo G Polya giải toán nói riêng và giải quyết vấn đề nói chung là một nghệ thuật, vì vậy, đòi hỏi người học

cần có khả năng khéo léo, linh hoạt, sáng tạo để đạt hiệu quả cao Từ đó, tác giả đã đưa ra một số kinh nghiệm và các kỹ thuật để chuyển việc giải các bài toán chưa hoặc không có dạng chuẩn về các bài toán chuẩn Đây là những cách thức tư duy

linh hoạt, khéo léo, độc đáo để giải quyết hiệu quả các vấn đề toán học

Như vậy, mặc dù G Polya không đề cập đến TPHĐNT nhưng theo chúng tôi, các kinh nghiệm hay các ơristic mà tác giả đề xuất trong giải quyết vấn đề là những TPHĐNT Đó chính là các công cụ hữu hiệu giúp HS giải quyết hiệu quả các vấn đề, phát huy tối đa tính tích cực nhận thức của người học Vì vậy, chúng ta cần quan tâm bồi dưỡng TPHĐNT cho HS ở trường phổ thông Đúng như Shuard đã khẳng định khi nghiên cứu về chương trình giáo dục quốc gia của Anh và xứ U-ên

“Mối quan tâm lớn nhất hiện nay về TP xuất phát từ công trình của G Polya về giải quyết vấn đề toán học” [22, tr 403]

1.3 Nội dung chương trình môn Toán ở trường THCS có vị trí quan trọng trong chương trình toán phổ thông Các mạch kiến thức đều trình bày với mục đích cung cấp cho HS những hiểu biết ban đầu về: quan sát và dự đoán, phân tích và tổng hợp, suy luận logic… Bên cạnh đó, đặc điểm nhận thức của HS THCS theo J Piaget [73, tr 419] là: “Suy nghĩ không còn bị giới hạn vào những cái trực quan, cụ thể Trẻ thích suy xét những vấn đề mang tính giả thuyết Chúng có khả năng lập luận hệ thống và suy diễn, điều này cho phép chúng cân nhắc nhiều giải pháp có thể đối với một vấn đề và tìm ra được câu trả lời đúng” Do đó, quá trình DH môn Toán

ở THCS thuận lợi cho việc vận dụng tư tưởng sư phạm của G Polya vào bồi dưỡng các TPHĐNT cho HS giúp các em độc lập chiếm lĩnh kiến thức và tài liệu học tập

Trong thực tiễn DH môn Toán ở trường THCS, nhiều GV đã hướng dẫn cho

HS biết vận dụng tư tưởng sư phạm của G Polya vào việc tư duy để tìm hiểu, vạch

kế hoạch, thực hiện kế hoạch và nhìn lại cách giải quyết một vấn đề nào đó; một số

GV cũng đã trang bị cho HS các TP: Xem xét đối tượng dưới nhiều góc độ khác nhau, TP mô hình hóa (sơ đồ, biểu đồ ), TP dự đoán, xét trường hợp đặc biệt Tuy nhiên, những việc làm đó còn rời rạc, chưa được phổ biến rộng rãi nên chưa trở thành hoạt động của chính các em trong nhiều tình huống khác Hơn nữa, nhiều giáo viên toán cũng chưa am hiểu một cách đầy đủ về TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G Polya nên việc bồi dưỡng chúng cho HS còn gặp không ít khó khăn

1.4 Đã có nhiều công trình đề cập đến tổ chức HĐNT và vận dụng TPHĐNT trong DH môn Toán ở trường phổ thông Có nhiều cách nhìn nhận về TP, nhưng rõ

ràng các TP là rất rộng về mặt khả năng [22] Tiếp cận quan niệm TP ở góc nhìn là hành động, có Burton và Shuard [22]; nhìn nhận GQVĐ như một TP có Shufelt và

Smart [22]; quan niệm TP như là phương tiện có nhà tâm lý học đương đại người

Mỹ - Robert Mills Gragne [114]; Nhìn nhận TP như là cách thức, phương pháp mang tính thủ thuật để có được giải pháp hiệu quả và đưa ra một số TP cụ thể trong

GQVĐ nói riêng và HĐNT nói chung là kết quả nghiên cứu của hầu hết các tác giả trong [22], [61], [63], [66], [116], [119], [124], [126], [127], [128] Trong các nghiên

cứu trên, chỉ trình bày một cách hiểu chung chung về TP, chưa có sự thống nhất trong thuật ngữ Dưới các góc độ khác nhau, các tác giả đưa ra các TP cụ thể với các ví dụ minh họa (thường là tản mạn, không gắn với chủ đề cụ thể trong chương trình) Các nghiên cứu đều khẳng định, để HS biết vận dụng TPHĐNT một cách thích hợp trong các tình huống mới và việc thao tác nó một cách hiệu quả, đòi hỏi các em phải được trang bị về TP và có nhiều kinh nghiệm trong việc sử dụng các

TP vào từng tình huống cụ thể trong suốt thời gian học ở nhà trường phổ thông Tuy nhiên, TP chưa được dạy mà chúng chỉ được hấp thụ vào vốn hiểu biết của HS qua việc sử dụng một thời gian dài Và vấn đề HS học TP như thế nào, vận dụng chúng vào thời điểm nào cho thích hợp vẫn còn chưa được nghiên cứu nhiều; giáo viên toán cũng chưa am hiểu một cách đầy đủ về TPHĐNT Hơn nữa, vấn đề về TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G Polya là hoàn toàn mới, việc bồi dưỡng nó cho HS trong DH môn Toán ở trường THCS hiện nay chưa được quan tâm nghiên cứu

Từ những lý do nêu trên, chúng tôi lựa chọn nghiên cứu đề tài: “Bồi dưỡng các thủ pháp hoạt động nhận thức theo tư tưởng sư phạm của G Polya cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường Trung học cơ sở”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu nhằm đề xuất một số biện pháp sư phạm bồi dưỡng các TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G Polya cho HS, góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường THCS

3 Đối tượng, khách thể và phạm vi nghiên cứu

3.1 Khách thể nghiên cứu: Quá trình DH TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm

của G Polya trong môn Toán ở trường THCS

3.2 Đối tượng nghiên cứu: Các biện pháp bồi dưỡng TPHĐNT theo tư tưởng

sư phạm của G Polya cho HS trong DH môn Toán ở trường THCS

3.3 Phạm vi nghiên cứu: Đề tài tập trung vào nghiên cứu trong DH môn

Toán các lớp cuối cấp (8, 9) ở trường THCS

4 Giả thuyết khoa học

Nếu xác định được các TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G Polya cần bồi dưỡng cho HS trong DH môn Toán ở trường THCS và xây dựng được một số biện pháp có cơ sở khoa học, phù hợp, khả thi thì có thể bồi dưỡng các TP đó cho người học, góp phần nâng cao chất lượng DH môn Toán

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận án có nhiệm vụ trả lời các câu hỏi nghiên cứu sau:

1) Quan niệm về TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G Polya? Những TPHĐNT cụ thể, thường sử dụng trong DH môn Toán ở trường THCS?

2) Vai trò của TPHĐNT trong việc phát triển các năng lực cho HS? Các điều kiện sư phạm của việc hình thành và phát triển TPHĐNT cho HS ở trường THCS?

3) Thực trạng việc sử dụng các TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G Polya trong DH môn Toán ở trường THCS như thế nào?

4) Các biện pháp giúp bồi dưỡng TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G Polya cho HS trong DH môn Toán ở các lớp cuối cấp trường THCS?

5) Tính khả thi, hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất?

6 Phương pháp nghiên cứu

6.1 Nhóm p hương pháp nghiên cứu lý luận: Hệ thống hóa, phân tích, tổng

hợp, khái quát hóa các nguồn tư liệu để xây dựng cơ sở lý luận cho đề tài nghiên cứu

6.2 Nhóm p hương pháp nghiên cứu thực tiễn:

- Quan sát sư phạm: Sử dụng trong quá trình dự giờ nhằm mục đích quan sát các

hoạt động của GV và HS về việc bồi dưỡng TPHĐNT cho HS trong quá trình DH

- Điều tra: sử dụng phiếu hỏi, phỏng vấn nhằm đánh giá thực trạng hoạt động DH

của GV trong việc bồi dưỡng các TPHĐNT cho HS theo tư tưởng sư phạm của G Polya

ở các trường THCS hiện nay

- Tổng kết kinh nghiệm: nghiên cứu, phân tích, phát hiện, tổng kết những kinh

nghiệm tiên tiến của các GV môn Toán và cán bộ quản lý ở một số trường THCS

- Hỏi ý kiến chuyên gia: Xin ý kiến của các chuyên gia về các vấn đề thuộc

phạm vi nghiên cứu của đề tài

- Thực nghiệm sư phạm: Thể hiện việc vận dụng các biện pháp bồi dưỡng

TPHĐNT trong quá trình DH môn Toán nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của biện pháp đã đề xuất

6.3 Phương pháp xử lý thông tin: Sử dụng thống kê toán học trong khoa học

giáo dục và các phần mềm cần thiết để xử lý số liệu với những thông tin định lượng,

xử lý logic với những thông tin định tính để phân tích kết quả điều tra khảo sát thực trạng và kết quả thực nghiệm sư phạm của Luận án

7 Những đóng góp của Luận án

7.1 Về mặt lý luận

- Xác định quan niệm về TPHĐNT (dựa trên cơ sở những căn cứ khoa học), tư tưởng sư phạm của G Polya về DH TPHĐNT; Xác định được nội hàm của quan

niệm TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G Polya thông qua việc đưa ra một số

nhóm TPHĐNT thường sử dụng theo tư tưởng sư phạm của Polya cần bồi dưỡng cho HS trong DH môn Toán ở trường THCS

- Đưa ra các điều kiện sư phạm để hình thành và phát triển TPHĐNT cho HS

- Trình bày rõ những thuận lợi, khó khăn trong thực tiễn khi hình thành và khắc sâu TPHĐNT cho HS theo tư tưởng sư phạm của G Polya để giải quyết các vấn đề

- Đưa ra năm định hướng và năm biện pháp sư phạm nhằm góp phần bồi dưỡng các TPHĐNT cho HS theo tư tưởng sư phạm của G Polya trong DH môn Toán các lớp cuối cấp THCS Không chỉ dừng lại ở việc đề xuất các biện pháp mà còn tổ chức thực hiện bằng việc dẫn dắt, lôi cuốn một cách hợp lý để HS tham gia

tích cực vào quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề nhằm phát triển nhiều năng lực cho người học (phù hợp với định hướng đổi mới phương pháp dạy học Toán trong giai đoạn hiện nay)

8 Các luận điểm đưa ra bảo vệ

- Cách quan niệm về TPHĐNT toán học, TPHĐNT toán học theo tư tưởng

sư phạm của G Polya và các nhóm TPHĐNT đưa ra trong Luận án của chúng tôi là

một cách quan niệm có ý nghĩa cả về lý luận và thực tiễn

- Hình thành và phát triển các TPHĐNT cho HS vừa là điều kiện, vừa là kết quả của HĐ giải quyết vấn đề trong quá trình DH môn Toán Các điều kiện sư phạm của việc bồi dưỡng TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G Polya cho HS trong

DH môn Toán ở trường THCS mà Luận án đề xuất phù hợp với thực tiễn

- Các biện pháp sư phạm nhằm bồi dưỡng TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G Polya cho HS trong DH môn Toán ở trường THCS (đề xuất trong Luận án)

là khả thi và hiệu quả.Việc tổ chức thực hiện các biện pháp, đã quan tâm hợp lý đến việc tăng cường tính tích cực HĐ của HS, đặc biệt là bồi dưỡng năng lực phát hiện

và giải quyết vấn đề, năng lực tư duy sáng tạo cho người học góp phần đổi mới phương pháp DH theo định hướng “tiếp cận năng lực”

9 Cấu trúc của Luận án

Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, nội dung Luận án gồm 4 chương:

Chương 1 Cơ sở lý luận

Chương 2 Khảo sát thực trạng

Chương 3 Một số biện pháp bồi dưỡng các thủ pháp hoạt động nhận thức

cho học sinh theo tư tưởng sư phạm của G Polya trong dạy học môn Toán ở các lớp cuối cấp Trung học cơ sở

Chương 4 Thực nghiệm sư phạm

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.1 Tổng quan tình hình nghiên cứu các vấn đề có liên quan đến đề tài

1.1.1 Những kết quả nghiên cứu liên quan đến thủ pháp hoạt động nhận thức

1.1.1.1 Những kết quả nghiên cứu liên quan trên thế giới

Nhiều nghiên cứu trên thế giới đã quan tâm đến TPHĐNT và vai trò của nó trong giải quyết vấn đề, chẳng hạn [22], [66], [114], [117], [118], [119], [124], [125], [126], [127] và [128] Trong những nghiên cứu trên, các tác giả đã có những nhìn nhận, quan niệm khác nhau về TPHĐNT Tuy nhiên, nhìn nhận TP như là cách thức mang tính thủ thuật để có được giải pháp hiệu quả và đưa ra một số TP cụ thể trong giải

quyết vấn đề là quan niệm của hầu hết các tác giả Chẳng hạn:

+ Trong các nghiên cứu [118], [119], [124], [125], [129] , các tác giả đã

thừa nhận, trong giảng dạy toán cần trang bị cho HS hai hệ thống tri thức: 1) Về hiện thực đối tượng; 2) Về cách thức thực hiện các hành động trí tuệ đảm bảo việc

nắm vững các tri thức khoa học về hiện thực đối tượng đó Quan điểm này phù hợp với mô hình trí tuệ gồm hai thành phần của các nhà tâm lý học N A Menchinskaya,

E N Kabanova – Meller, đó là: tri thức về đối tượng (cái được phản ánh) và các thủ thuật trí tuệ (phương thức phản ánh) Thủ thuật trí tuệ thực chất là một hệ thống các thao tác, được hình thành một cách đặc biệt để giải quyết nhiệm vụ theo một kiểu nhất định [66, tr 44, 45] Cũng theo quan điểm này, khi nghiên cứu các HĐ của HS

nhằm lĩnh hội và vận dụng tri thức, các nhà tâm lý học Xô Viết S L Rubinstein, N

A Menchinskaya, E N Kabanova - Meller đã chứng tỏ rằng: “Những loại đối tượng khác nhau, những kiểu tài liệu học tập khác nhau đòi hỏi những thủ thuật phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa và khái quát hóa khác nhau” [80, tr.111] Do

đó, muốn hình thành những tri thức và khái niệm đúng đắn cần phải dạy HS những thủ thuật hoạt động trí tuệ để phát hiện, tách ra và hợp nhất các dấu hiệu bản chất

của các lớp đối tượng cần nghiên cứu

+ Trong [126], nhà tâm lý học Xô Viết E N Kabanova - Meller đã khẳng

định: Các TP cần thiết cho việc độc lập giải quyết nhiệm vụ và lĩnh hội các kiến thức Tác giả cũng đã dẫn ra một số ví dụ minh họa cho các TP quan trọng như: TP phân chia các dấu hiệu cơ bản và không cơ bản của khái niệm, TP xem xét đối tượng dưới nhiều góc độ khác nhau (cùng một đoạn thẳng trong một tam giác cân có thể được xem như là đường cao, phân giác hoặc trung tuyến), TP tạo lập ảnh ghi nhớ hoặc tưởng tượng (khác với khái niệm, các ảnh biểu thị cái mà HS hình dung trong

đầu) Tuy nhiên, tên gọi của các TP được đưa ra là chưa thống nhất về xuất xứ (một

số TP lấy ra từ thuật ngữ tương ứng của môn học, một số khác lại lấy ra từ tâm lý học ) và rất nhiều TP cần thiết phải có mặt trong công việc học tập lại chưa có tên gọi [126, tr 28]

+ Tác giả I V Titôva [127], đã nghiên cứu các điều kiện sư phạm nhằm thúc

đẩy việc hình thành các TP hoạt động tư duy: So sánh và phân loại trong DH toán cho HS Tiểu học Theo tác giả, trong quá trình giáo dục, trẻ em là chủ thể chính của hoạt động tư duy, nên nếu chỉ chú trọng DH kiến thức, nội dung là chưa đủ, mà cần dạy các phương pháp hoạt động tư duy, nhưng không có chương trình cụ thể cho các kỹ thuật phát triển của hoạt động tư duy đó Bởi vậy, cần lồng ghép việc hình thành kiến thức khái niệm và phương pháp hình thành các hoạt động tư duy vào một quá trình duy nhất, đây là một trong những vấn đề được quan tâm bởi các giáo

viên và các nhà tâm lý học J K Babanskaya, D B Epiphany, P Y Halperin, I J Lerner, A N Leontiev, N A Menchinskaya I V Titôva đã khẳng định, sự thành công của DH ở trường Tiểu học được xác định là phụ thuộc vào sự hình thành các TP hợp lý của HĐ tư duy

+ Theo S Krulik và J Rudnick [120], các nhà giáo dục cần phải dạy một phương pháp suy nghĩ không chỉ liên quan đến các vấn đề cụ thể mà phải áp dụng

được cho nhiều tình huống khác nhau Các tác giả này cho rằng, một TP là một loại phương pháp đặc biệt có thể áp dụng cho các tình huống khác nhau; TP không đảm bảo chắc chắn thành công nhưng nó sẽ mang lại khả năng nhanh chóng tìm được giải pháp để giải quyết vấn đề hiệu quả

+ Giáo sư tâm lý học D N Perkins và nhiều nhà tâm lý học khác [22], đề cao

vai trò của TP (phương pháp thủ thuật) trong sự phát triển trí thông minh Họ cho rằng,

khi dạy - học và rèn luyện các kỹ năng tư duy, mỗi TP đều dạy cho người học khả năng vận dụng TP đó vào lúc nào và như thế nào Bởi vậy, trọng tâm các vấn đề trong trường phổ thông ngày càng không ngừng hướng tới các TP để có được giải pháp

Backhouse và nhiều người khác đưa ra ý kiến: “Nói chung, một TP có thể được coi như là một cách để làm cái gì đó hay là phương thức của một hoạt động” [22, tr

404], đó là cách mà HS sử dụng để đưa khái niệm, tri thức và kĩ năng vào bài làm

Len Frobisher [22] cũng đã đưa ra tên một số các TP “chung” vận dụng trong khám phá và giải quyết vấn đề toán học như: Các TP giao tiếp; các TP lý giải, các TP

mổ xẻ, các TP ghi chép Ngoài ra, với mỗi môn học lại có những TP đặc trưng riêng Tác giả cũng đã liệt kê một số TP mà theo các nhà giáo dục toán học chúng chỉ phù

hợp cho môn Toán trong sơ đồ sau (Sơ đồ 1.1)

Sơ đồ 1.1 Các TP “riêng” cho toán học [22, tr 407]

Theo Len Frobisher, vẫn còn rất nhiều TP vận dụng trong khám phá và giải quyết vấn đề toán học chưa được liệt kê ở trên, chẳng hạn: TP biểu tượng hóa

Như vậy, có thể thấy khá nhiều tác giả tâm lý học, giáo dục học và giáo dục toán học trên thế giới đã quan tâm nghiên cứu về TP với các cách nhìn nhận khác nhau, ở các mức độ khác nhau Trong đó, hầu hết các tác giả đều quan niệm TP là

cách thức, phương tiện mang tính thủ thuật để có được giải pháp hiệu quả trong giải

quyết vấn đề và dưới các góc độ khác nhau đã đưa ra các TP cụ thể minh họa (thường là tản mạn, không gắn với chủ đề cụ thể trong chương trình)

1.1.1.2 Tình hìn h các nghiên cứu có liên quan đến thủ pháp nói chung và thủ pháp hoạt động nhận thức nói riêng ở trong nước

Ở Việt Nam, các nghiên cứu liên quan đến TP được đề cập đến chủ yếu ở các lĩnh vực văn học nghệ thuật, còn chưa có nhiều nghiên cứu về TPHĐNT trong DH nói chung và DH môn Toán nói riêng

Năm 1996, trong một mô hình DH sáng tạo, tác giả Trần Luận [63] đã đề xuất việc trang bị các TP trong HĐNT cho HS nhằm phát huy tính tích cực, chủ động của các em để giải quyết vấn đề một cách sáng tạo nhưng không đưa ra quan niệm về TP

Giả thuyết

Khái quát hóa

Chứng minh

mà chỉ nêu tên gọi một số TP (TP Ơristic, TP suy luận có lý…) Theo tác giả, các TP của công việc học tập có mặt trong các HĐ học tập của HS sẽ đóng vai trò chính yếu trong sự phát triển trí tuệ của họ; việc lĩnh hội các TP học tập là cơ sở mà trên đó các

kỹ năng và kỹ xảo học tập của HS được hình thành; để HS lĩnh hội tốt đẹp các tri thức, họ cần phải lĩnh hội các TP của công việc học tập và các TP điều kiển HĐ học tập; nhưng tất cả các TP này chưa có vị trí xứng đáng ngay cả trong chương trình, SGK và sách phương pháp

Sau đó, năm 1999 Trần Luận đã khẳng định vai trò của TP trong DH nêu vấn

đề Ông đã đề xuất phát triển công thức của nhà giáo dục học V A Radumovski về mối quan hệ phụ thuộc giữa mức độ tích cực của HS khi đặt trước một tình huống

có vấn đề nói riêng hoặc một nhiệm vụ cần giải quyết:

được phổ biến rộng rãi và chưa có tính hệ thống

Gần đây, tác giả Thịnh Thị Bạch Tuyết [108], đã đề cập đến vấn đề bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề trong DH Giải tích thông qua trang bị TPHĐNT

Tác giả đưa ra quan niệm “Thủ pháp hoạt động nhận thức toán học là tri thức về cách thức tìm hiểu, biến đổi đối tượng (mang tính độc đáo hoặc khéo léo) để giải quyết những tình huống cụ thể trong hoạt động nhận thức toán học” Với quan niệm

này, tác giả đã xem TPHĐNT như một tri thức về cách thức thực hiện mang tính độc đáo hoặc khéo léo và là một đối tượng để truyền thụ cho học sinh Tác giả cũng đưa ra một số TPHĐNT trong một lĩnh vực Giải tích ở trường Phổ thông và đề xuất các biện pháp trang bị TPHĐNT cho HS nhằm bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề

1.1.2 Những nghiên cứu về tư tưởng sư phạm của G Polya trong dạy học toán

G Polya là nhà toán học và là nhà sư phạm nổi tiếng Các công trình sư phạm của ông hết sức đồ sộ và bao quát hầu hết các lĩnh vực lý luận DH toán ở bậc phổ thông Trong các công trình của mình, tác giả đã đề xuất nhiều quan điểm sư

phạm đặc sắc, những con đường và biện pháp hiện thực hóa các ý đồ đó cùng với một số lượng khổng lồ và các ví dụ minh họa sâu sắc nhằm giải quyết vấn đề

Đặc biệt, sau khi G Polya công bố quyển sách đầu tiên “How to solve it”,

thì tư tưởng sư phạm của ông về giải quyết vấn đề đã được các nhà giáo dục và nền giáo dục nhiều nước trên thế giới quan tâm Từ thập niên 1980 trở đi, giải quyết vấn đề trở thành tâm điểm trong chương trình toán học của nhà trường trên nhiều nước Chẳng hạn, ở Hoa Kỳ, Hội đồng giáo viên toán quốc gia (NCTM) nhận định “Giải quyết vấn đề là trọng điểm của toán học ở trường phổ thông vào

những năm 80 và những năm tiếp theo” [22, tr 338] Tính trọng tâm của việc giải quyết vấn đề toán học đã được miêu tả rõ trong khung của chương trình toán học của Singapore [116] Khung chương trình môn Toán ở trường THCS ở Singapore cũng đã đưa ra một số ơristic để giải toán dựa vào các ơristic của G Polya

Mặt khác, nhiều nghiên cứu đã tiếp cận tư tưởng sư phạm của G Polya dưới góc độ bồi dưỡng TP để giải quyết vấn đề một cách sáng tạo, chẳng hạn:

+ S Krulick và J A Rudnick [120], đã dựa trên cơ sở bốn bước giải quyết vấn

đề của G Polya để xây dựng quy trình giải quyết vấn đề gồm năm giai đoạn: đọc vấn

đề, khám phá, chọn chiến lược, thực hiện chiến lược, xem lại và mở rộng Vận dụng các ơristic của G Polya, các tác giả cũng đã đưa ra những chiến thuật có thể xem là

các TP để giải quyết vấn đề, đó là: Phát hiện quy luật, làm ngược, giải theo một cách nhìn khác, giải một bài toán đơn giản hơn, xét các trường hợp đặc biệt, vẽ hình, đoán

và thử, tính toán cho mọi khả năng (liệt kê số liệu), sắp xếp dữ liệu, suy luận logic

+ Trong [63], tác giả Trần Luận đã khai thác tư tưởng về mục đích, các nguyên tắc DH của G Polya và đề xuất các định hướng bồi dưỡng năng lực sáng tạo cho HS chuyên toán cấp II bằng cách xây dựng hệ thống bài tập theo chủ đề

Tác giả khẳng định, việc cần thiết phải trang bị TPHĐNT cho HS để các em độc lập, sáng tạo trong học tập nhưng không đưa ra quan niệm cũng như các TP cụ thể

+ L M Phơritman, E N Turetxki, V.Ia.Xtetxencô [128], dựa vào bảng gợi ý của G Polya trong DH giải bài tập toán đã biến đổi, cải tiến cho phù hợp với những điều kiện, đối tượng cụ thể Theo các tác giả “Nếu bài toán là không chuẩn thì cần phải hành động theo hai hướng: Tách từ bài toán ra hoặc chia nhỏ nó ra thành

những bài toán có dạng chuẩn (TP chia nhỏ); Diễn đạt lại bài toán theo một cách khác, dẫn đến bài toán có dạng chuẩn (TP mô hình hóa) Để thực hiện TP chia nhỏ

hoặc mô hình hóa được dễ hơn, trước tiên cần phải xây dựng mô hình trực quan bổ trợ của bài toán, viết nó dưới dạng sơ đồ” [128, tr 77,78] Họ cho rằng, các TP chia nhỏ, TP mô hình hóa như là một nghệ thuật trong hoạt động giải toán mà chỉ có thể lĩnh hội được trong kết quả của sự phân tích thường xuyên các hành động giải toán

và luyện tập giải các loại bài toán khác nhau

+ Tác giả Nguyễn Bá Kim [50], đã nhấn mạnh đến tầm quan trọng của các tri thức phương pháp đặc biệt là các tri thức phương pháp tìm đoán trong HĐ học tập của HS nhằm đạt được mục đích nâng cao năng lực giải quyết vấn đề

+ Theo Len Frobisher [22], việc thực hiện các giai đoạn giải quyết vấn đề của G Polya đòi hỏi HS có khả năng hình thành, huy động những TP, kinh nghiệm phù hợp trước đó một cách có ý thức Tác giả khẳng định vai trò quan trọng, sự cần thiết phải quan tâm đến việc dạy và học về TP ở trường phổ thông

Tóm lại, tư tưởng sư phạm của G Polya có ý nghĩa hết sức quan trọng trong

DH toán, đặc biệt là giải quyết vấn đề toán học Đặc biệt, nhiều nghiên cứu đã vận

dụng tư tưởng của ông để phát triển các cách thức suy nghĩ độc đáo, khéo léo nhằm

đưa ra phương án hiệu quả giải quyết vấn đề, đó là những TPHĐNT Các TP này đóng vai trò quan trọng trong sự phát triển trí tuệ cho HS Để lĩnh hội tốt các tri thức toán học, các em cần hình thành và phát triển TPHĐNT đó một cách hợp lý

1.1.3 Một số nhận định

Các nghiên cứu trên chỉ mới đưa ra một cách hiểu chung chung về TP, chưa

có sự thống nhất trong thuật ngữ Theo chúng tôi, TP được vận dụng trong toàn bộ HĐNT của người học nên có thể xem đó là các TPHĐNT Hơn nữa, dưới những góc

độ khác nhau, các tác giả chỉ trình bày một số TP cụ thể rồi đưa ra các ví dụ minh họa (thường là tản mạn), chưa có hệ thống TP thích hợp trong quá trình DH Toán

Để HS biết vận dụng TPHĐNT một cách thích hợp trong các tình huống mới

và việc thao tác nó một cách hiệu quả, đòi hỏi các em phải được trang bị về TP và cần có nhiều kinh nghiệm trong việc sử dụng TP vào từng tình huống cụ thể trong suốt thời gian học ở nhà trường phổ thông Đặc biệt là việc vận dụng các TP xuất phát theo tư tưởng sư phạm của G Polya

Tuy nhiên, hiện nay tất cả các TP này chưa được dạy một cách chính thức cho

HS, cũng chưa có vị trí xứng đáng trong chương trình, SGK và tài liệu về phương pháp

DH Hơn nữa, chưa có một công trình nào đi sâu vào tìm hiểu các TPHĐNT môn Toán, đặc biệt là các TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G Polya và việc bồi dưỡng

nó cho người học phù hợp với chương trình môn Toán ở trường THCS

Do đó, việc làm sáng tỏ thêm nội hàm của khái niệm TPHĐNT theo tư tưởng

sư phạm của G Polya và cách thức bồi dưỡng nó cho HS trong DH Toán cần được

tiếp tục nghiên cứu Nhiệm vụ đặt ra của đề tài là: Xác định một số TPHĐNT trong

DH môn Toán ở trường THCS theo tư tưởng sư phạm của G Polya và tìm hiểu về thực trạng việc sử dụng các TP trong việc DH Toán ở trường THCS; từ đó, đề xuất các biện pháp sư phạm bồi dưỡng các TPHĐNT cho HS nhằm phát triển năng lực GQVĐ, năng lực sáng tạo, góp phần nâng cao chất lượng học tập môn Toán Đây sẽ

là những vấn đề Luận án cần giải quyết

1.2 Hoạt động nhận thức và hoạt động nhận thức toán học

1.2.1 Hoạt động nhận thức

HĐNT được đặt trong mối quan hệ của lý thuyết tổng quát về HĐ Lý thuyết

HĐ gắn liền với tên tuổi của các nhà tâm lý học Xô viết như L X Vygoxki, A N

Leonchiev, X L Rubinstein… Theo A N Leontiev: “H oạt động là một quá trình thực hiện sự chuyển hóa lẫn nhau giữa hai cực: chủ thể - khách thể [63, tr 579] Ông

mô tả, cấu trúc vĩ mô của HĐ gồm 6 thành tố có mối quan hệ biện chứng theo mô hình:

Sơ đồ 1.2 Cấu trúc vĩ mô hoạt động [41, tr 45]

Việc phát hiện ra cấu trúc chung của HĐ và mối liên hệ biện chứng giữa các thành tố của nó có ý nghĩa to lớn cả trong lý luận và thực tiễn J Piaget cho rằng: Tri thức không phải truyền thụ từ người biết tới người không biết, mà tri thức được chính cá thể xây dựng thông qua hoạt động [75] Do đó, trong lĩnh vực DH, chúng

ta cần hình thành HĐ học tập cho HS và chú trọng phát huy tính chủ thể của HS mà đặc trưng là tính tự giác, tích cực, sáng tạo

Theo A.V Petrovski [80, tr 69], những công trình nghiên cứu của các nhà tâm

lý học đã chứng tỏ rằng ngoài HĐ thực tiễn con người còn có khả năng tiến hành một

HĐ đặc biệt nữa, đó là HĐNT Mục đích của HĐ này là nhận thức, tức là thu thập và cải biến thông tin về các thuộc tính của thế giới khách quan

Có nhiều quan niệm về HĐNT, chẳng hạn: “HĐNT là quá trình cá nhân thâm nhập, khám phá, tái tạo lại, cấu trúc lại thế giới xung quanh, qua đó hình thành và phát triển chính bản thân mình mà trước hết là các kiến thức về thế giới, các kĩ năng và phương pháp hành động cũng như những giá trị sống khác” [75, tr

23, 24] Hoặc “HĐNT là quá trình nhận thức giúp chúng ta phản ánh bản thân hiện thực khách quan tác động vào con người trong quá trình hoạt động của mình” [40,

tr 117] Hay “HĐNT của con người liên quan đến việc tổ chức thông tin và thích nghi với môi trường mà người học tri giác nó” [60, tr 11]

Chúng ta nhận thấy mặc dù có nhiều cách diễn đạt khác nhau về khái niệm

HĐNT nhưng cơ bản chúng đều có các đặc điểm sau: Thứ nhất, HĐNT có mục đích

khám phá và tái tạo lại thế giới, qua đó hình thành và phát triển hiểu biết của con người về thế giới và phương pháp vận động của nó nhằm thỏa mãn nhu cầu nhận

thức của con người; Thứ hai, trong HĐNT con người không trực tiếp tác động vào đối tượng mà phải gián tiếp thông qua công cụ; Thứ ba, HĐNT diễn ra trong mối tương tác trực tiếp hoặc gián tiếp giữa các cá nhân; Thứ tư, HĐNT có nhiều cấp độ,

tùy thuộc vào sự tham gia của các chức năng nhận thức cảm tính và lý tính

Do đó, HĐNT là một quá trình năng động, tích cực và sáng tạo; đi từ chưa biết đến biết, từ thuộc tính bề ngoài đến các thuộc tính bên trong, tức là từ cảm tính, trực quan, riêng rẽ đến đối tượng trọn vẹn, ổn định, có tính quy luật và ngày càng đi sâu vào bản chất của cả một lớp đối tượng, hiện tượng và cuối cùng trở về thực

tiễn Theo V I Lênin HĐNT được tiến hành theo con đường “Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, rồi từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn, đó là con đường biện chứng của sự nhận thức hiện thực khách quan” [30, tr.179] Trong đó, giai đoạn

nhận thức cảm tı́nh (trực quan sinh động) có vai trò quan trọng, nó cung cấp vật liệu

và là cơ sở cho các hoạt động tâm lý cao hơn Nhưng thực tế có vấn đề mà nhận thức cảm tı́nh, con người không thể nhận thức và giải quyết được, muốn giải quyết được phải đạt tới mức độ nhận thức cao hơn, đó là nhận thức lý tı́nh (tư duy trừu tượng)

Theo M N Sacđacôp, “Trong quá trình nhận thức ngày càng đầy đủ và sâu sắc hơn những sự vật và hiện tượng của hiện thực và trong sự hoạt động sáng tạo của mình, con người đã từ tri giác chuyển sang tri giác trong sự thống nhất với tư duy và chuyển hẳn sang tư duy” [91, tr 12]

Qua khảo sát thực tiễn, việc DH hiện nay ở trường THCS còn thiên về sử dụng

cơ chế nhận thức cảm tính, kết hợp với trí nhớ và tư duy tái tạo Vì vậy, chưa thực sự phát huy khả năng tư duy và trí tưởng tượng sáng tạo của HS Trong nghiên cứu này, chúng tôi sẽ quan tâm về tư duy trong quá trình phát triển trí tuệ của HS

Có nhiều định nghĩa, nhiều cách diễn đạt khác nhau về tư duy của các nhà

tâm lý học X L Rubinstein cho rằng: Tư duy - đó là sự khôi phục trong ý nghĩ của chủ thể về khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các tư liệu cảm tính xuất hiện do tác động của khách thể [20, tr 264] Trong các tài liệu [45], [109],

[110] và [32, tr.117] các tác giả cho rằng: Tư duy là quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tượng trong hiện thực khách quan Hay “Tư duy không phải chỉ là HĐNT, mà còn là hoạt động phối hợp, sáng tạo, nhờ đó con người tạo ra những sự vật, hiện tượng mới của nền văn hóa tinh thần và vật chất, dự kiến và vạch ra đường đi của đời sống cá nhân và xã hội ” [91, tr 8]

Trong nghiên cứu này, chúng tôi theo tư tưởng của M N Sacđacôp và quan

niệm: HĐNT được hiểu là quá trình tư duy của cá nhân nhằm thâm nhập, khám phá

và giải quyết các tình huống cần nhận thức

1.2.2 Hoạt động nhận thức toán học

Quan điểm của C Mác và Ph Ăngghen về HĐNT của thế giới nói chung và nhận thức toán học nói riêng được thực hiện bằng quá trình hoạt động tư duy [73, tr 447] Theo Nguyễn Bá Kim [50], quá trình tư duy toán học được diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành các thao tác trí tuệ Ngoài ra, các quan điểm khác của triết học duy vật biện chứng cho rằng, HĐNT chỉ nảy sinh khi đứng trước những mâu thuẫn, chướng ngại nhận thức

Trong [94], các tác giả cho rằng: HĐNT toán học gắn liền với HĐ tư duy nói chung, đặc biệt là tư duy toán học, tư duy biện chứng và tư duy phê phán Khi đứng trước một tình huống cần nhận thức buộc chủ thể phải tiến hành tư duy nhằm huy động các tri thức của mình và lựa chọn được cách thức thích hợp nhất để tổ chức nhận thức tình huống đó một cách sáng tạo Trên cơ sở quan niệm HĐNT toán học trong [94, tr 9], Luận án quan niệm: HĐNT toán học là quá trình tư duy dẫn tới lĩnh hội các tri thức toán học, nắm được ý nghĩa của các tri thức đó: xác định được mối liên hệ nhân quả và các mối liên hệ khác của các đối tượng toán học được nghiên cứu (khái niệm, quan hệ, quy luật toán học,…) Từ đó, vận dụng được tri thức toán học giải quyết các vấn đề của toán học và trong thực tiễn

Theo GS Đào Tam, các dạng HĐ chủ yếu của HĐNT được thể hiện theo

sơ đồ sau:

Sơ đồ 1.3 Các dạng hoạt động chủ yếu của HĐNT [94, tr 14]

Do đó, để tiến hành DH hiệu quả, việc thiết kế các HĐ, tạo môi trường cho HS được học tập trong HĐ và bằng HĐ là yêu cầu quan trọng của đổi mới PPDH hiện nay

Mặt khác, mục tiêu chủ yếu của việc phát triển HĐNT trong DH toán là phát triển trí tuệ, nhân cách của HS Phát triển trí tuệ được hiểu là sự thống nhất giữa việc vũ trang tri thức và việc phát triển một cách tối đa phương thức phản ánh

H Đ

Tri thức

chúng (con đường, cách thức, phương pháp… đi đến tri thức đó, nói gọn là giành lấy tri thức, cách học) [94, tr 12] Vì vậy, trong quá trình DH môn Toán, cần quan

tâm đến việc bồi dưỡng, phát triển cho HS các cách thức mang tính khéo léo, độc đáo, linh hoạt để giành lấy tri thức, đó chính là các TP

1.3 Thủ pháp, thủ pháp hoạt động nhận thức toán học

1.3.1 Thủ pháp

Theo [81, tr 1495], “Thủ pháp là cách để thực hiện một ý định, một mục đích cụ thể nào đó” Như vậy, ở đây TP là một danh từ chỉ cách con người thực

hiện để làm một việc gì hay là phương thức của một hoạt động

Nhà ngôn ngữ học Nguyễn Thiện Giáp cho rằng, thủ pháp (procedure) là một

hệ thống những nguyên tắc xác định cách nghiên cứu để đạt tới tri thức mới trong một khoa học [31, tr 15] Tác giả đề cập đến các TP giải thích bên ngoài, bên trong,

TP logic và cho rằng trình độ nghiên cứu của một khoa học được phản ánh ở sự phong phú của các TP, ở phạm vi vận dụng và khả năng giải thích, miêu tả đối tượng của các TP đó

Trong [22], D N Perkins và một số nhà giáo dục học khác đánh giá cao về vai trò của TP (phương pháp thủ thuật) trong khả năng trí tuệ của con người Bởi vậy,

để hiểu hơn về TP chúng ta cần quan tâm các khái niệm “phương pháp”, “thủ thuật”

và mối liên hệ giữa chúng với nhau Theo Từ điển Tiếng Việt của tác giả Hoàng Phê,

“Thủ thuật là cách thức tiến hành động tác khéo léo và có kỹ thuật hoặc kinh nghiệm

để thực hiện một công việc nào đó có hiệu quả” [81, tr 1495]; “Phương pháp: (1) Cách thức nghiên cứu, nhìn nhận các hiện tượng của tự nhiên và đời sống xã hội; (2)

Hệ thống các cách sử dụng để tiến hành một hoạt động nào đó” [81, tr 1241] Do đó,

theo các tác giả TP được hiểu là cách thức thực hiện các động tác khéo léo, độc đáo để đạt được một mục tiêu nhất định

Tác giả Phan Dũng trong [23, tr 18], cho rằng “Trong bất kỳ lĩnh vực nào, thông qua việc giải thành công nhiều bài toán, người ta có thể rút ra được các kinh nghiệm, “bí quyết”, “mẹo” giúp giải quyết các vấn đề trong lĩnh vực đó nhanh hơn, hiệu quả hơn Những kinh nghiệm, “bí quyết”, “mẹo” như vậy được gọi là các thủ thuật (thủ pháp) sáng tạo (Эвристический Приём - viết theo tiếng Nga; Heuristic Technique - viết theo tiếng Anh) Nói cách khác, các thủ thuật có thể coi là các

phương pháp nhỏ, đơn giản nhất” Như vậy, ở đây tác giả đã đồng nhất “thủ pháp” với

“thủ thuật” Theo chúng tôi, ranh giới giữa các khái niệm “thủ pháp” và “thủ thuật” chỉ

mang tính tương đối Ta có thể so sánh, phân biệt giữa “thủ pháp” và “thủ thuật” như sau: chúng đều là cách thức tiến hành một HĐ nào đó một cách có hiệu quả; mang tính khéo léo, linh động, sáng tạo, tính kinh nghiệm nhưng “thủ pháp” được đúc rút từ

những thao tác kỹ thuật mang tính ổn định, phổ biến, tính khái quát hơn trong phương pháp giải quyết các vấn đề Trong nhiều trường hợp, thủ thuật là thao tác để thực hiện

TP và đôi khi nó được dùng đồng nhất trong những tình huống xác định

Trong văn học nghệ thuật, các tác giả thường sử dụng các hình ảnh, từ ngữ, các lối ví von… một cách khéo léo, độc đáo để đạt được dụng ý nghệ thuật; các cách thức sử dụng đó gọi chung là TP nghệ thuật (so sánh, ẩn dụ, hoán dụ, nhân hóa…)

Như vậy, từ “thủ pháp” được dùng trong tiếng Việt trong nhiều tình huống khác nhau nhưng hầu hết đều mang tính nghệ thuật, khéo léo, độc đáo để giải quyết

vấn đề hiệu quả nhất Trong phạm vi nghiên cứu này, chúng tôi quan niệm “TP là cách thức được đặc trưng bởi tính khéo léo, có kỹ thuật để thực hiện một công việc

cụ thể nào đó hiệu quả”

1.3.2 Thủ pháp hoạt động nhận thức

1.3.2.1 Một số căn cứ dẫn đến quan niệm TPHĐNT

Ngoài các căn cứ là quan niệm HĐNT môn Toán ở mục 1.2.2, quan niệm TP trong 1.3.1, chúng tôi quan tâm đến một số căn cứ khoa học sau để đưa ra quan niệm TPHĐNT:

a) Cơ sở triết học

Theo triết học duy vật biện chứng, mọi sự vật và hiện tượng đa dạng, phong phú trong thế giới khách quan luôn có mối liên hệ biện chứng, tác động qua lại và nằm trong một chỉnh thể thống nhất; nhận thức chỉ đạt đến chân lý khi nó phản ánh đúng bản chất của thế giới khách quan [74] Do đó, việc vận dụng các nguyên lý, quy luật, các cặp phạm trù của triết học duy vật biện chứng và phương pháp tư duy

biện chứng giúp HS có được sự nhận thức một cách khéo léo và linh hoạt; biết xem

xét sự vật, hiện tượng trong sự tương tác giữa các mặt, đặt chúng trong các mối liên

hệ biện chứng Từ đó, tìm ra được cái cốt lõi, bản chất và những mối liên hệ cơ bản

nhất để tập trung giải quyết một cách có hiệu quả các vấn đề Chẳng hạn:

- Để đi đến một cái chung, ta có thể phải khảo sát một số trường hợp riêng, lấy kết quả của cái riêng nhằm định hướng giải quyết cái chung

- Nếu vấn đề đang xét lại là trường hợp riêng của một vấn đề tổng quát nào

đó, có thể giải quyết vấn đề tổng quát rồi suy ra vấn đề ban đầu Vì vấn đề tổng quát thường chứa đựng nhiều thông tin hơn mà khi đặc biệt hoá những thông tin đó đã bị

giấu đi

- Mỗi hình thức mang đến cho việc nghiên cứu nội dung tương ứng những thuận lợi và khó khăn khác nhau Việc thay đổi hình thức các vấn đề để bóc trần nội dung thuận tiện cho việc huy động kiến thức đã có của HS là một việc làm hết sức cần thiết nhằm tìm ra hình thức phù hợp nhất giúp nhanh chóng giải quyết vấn đề

b) Cơ sở tâm lý học

N A Menchinskaya và E N Kabanova-Meller cho rằng, trí tuệ gồm hai

thành phần: Tri thức về đối tượng (cái được phản ánh) và các thủ thuật trí tuệ

(phương thức phản ánh) Tri thức về đối tượng phản ánh được coi là nguyên liệu là

phương tiện của hoạt động trí tuệ Thủ thuật trí tuệ thực chất là một hệ thống các thao tác, được hình thành một cách đặc biệt để giải quyết nhiệm vụ theo một kiểu nhất định [76, tr 44, 45] Do đó, nhiệm vụ phát triển trí tuệ cho trẻ em không chỉ

tăng số lượng tri thức mà cần phải quan tâm phát triển cả hai thành phần đó Theo các nhà tâm lý học trí tuệ N A Menchinskaya, A Gusev, N C Dyachenko, A Lublin , nắm vững các thủ thuật của hoạt động nhận thức là một thành phần thiết yếu của việc tạo ra tri thức và phát triển trí tuệ của người học [127] Giáo sư tâm lý học D

N Perkins của trường Đại học Harvard nhận định, TP là một thành phần quan trọng

trong phát triển trí thông minh của HS Theo ông, khi được dạy thủ pháp các em sẽ dễ

dàng thực hiện hiệu quả nhiệm vụ và phát triển trí tuệ

Quan điểm tâm lý học phát sinh nhận thức của J Piaget cho rằng: Khi chủ thể tiếp xúc với một thông tin mới, làm nảy sinh một nhiệm vụ nhận thức mà sự cân bằng cũ bị phá vỡ do các sơ đồ đã có không áp dụng được, buộc chủ thể phải

tiến hành quá trình điều ứng, tạo ra trạng thái cân bằng mới ở một mức độ nhận thức cao hơn Hoạt động điều ứng đóng vai trò rất quan trọng, nó dẫn đến sự kiến

tạo nên kiến thức mới và phát triển trí tuệ của chủ thể nhận thức, để thực hiện nó

một cách hiệu quả thì HS cần phải có cách thức suy nghĩ khéo léo, linh hoạt

c) Cơ sở giáo dục học

DH theo hướng bồi dưỡng các cách thức khéo léo, độc đáo để giải quyết các

tình huống nhận thức nhằm thực hiện mục tiêu phát triển năng lực trí tuệ (khả năng suy đoán và tưởng tượng; khả năng phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa; hình thành tính linh hoạt, độc lập, sáng tạo ) Tác dụng phát triển năng lực trí tuệ này là ở chỗ, HS độc lập, chủ động chiếm lĩnh kiến thức, tài liệu học tập với những TPHĐNT đã được trang bị Nghiên cứu của T Kamalovoy, M V Kralinoy, E

P Malanyuk cho thấy sự cần thiết và khả năng sử dụng hợp lý các thủ thuật trí tuệ

của HS là cơ sở để tiếp tục nghiên cứu toán học Các nghiên cứu này và một số nghiên cứu giáo dục khác đã chứng tỏ hình thành các thủ thuật của HĐNT nên được bắt đầu từ nhà trường phổ thông [127]

Theo Robert J Marzano [68], DH vừa mang tính khoa học vừa mang tính nghệ thuật Sự tăng dần mức độ nghệ thuật trong DH trên cơ sở hình thành và phát triển các TP là cơ sở để nâng DH lên trình độ mới với hiệu quả cao, đáp ứng yêu cầu của DH hiện đại Do đó, chúng ta cần quan tâm bồi dưỡng các TP cho HS, đó là

những kỹ thuật HĐNT khéo léo, độc đáo nhằm phát triển khả năng giải quyết vấn đề

d) Các nghiên cứu lý luận DH có liên quan đến “procedural knowledge”,

“tactic” trong tiếng Anh và “приём” trong tiếng Nga

Các nghiên cứu [22], [118], [119], [124], [125] đã thừa nhận trong giảng

dạy toán, điều quan trọng là HS cần lĩnh hội được kiến thức khái niệm (conceptual knowledge ) và kiến thức thực hiện (procedural knowledge) Kiến thức thực hiện

liên quan đến các cách thức, các tiến trình, các phương pháp có tính chất tìm đoán, các TP và các chiến lược giải quyết vấn đề; được gắn với loại vấn đề cụ thể, mang

tính linh hoạt, sáng tạo của cá nhân

Một số công trình nghiên cứu giáo dục toán học bằng tiếng Anh, đã đề cao

vai trò của“tactics” đó là các cách thức mang tính khôn khéo trong giải quyết vấn

đề [117], [130] Trong [117], giáo sư D N Perkins trường đại học Harvard cho rằng trí thông minh được mô tả theo công thức:

Intelligence = Power + Tactics + Content

Dịch là: Trí thông minh = Năng lực + TP + Trình độ chuyên môn [22, tr 15]

Trong đó, theo [130] “Tactic is skillful use of available means to achieve an objective”, tạm dịch “TP là cách khéo léo sử dụng những phương tiện sẵn có để đạt được mục tiêu nào đó”, nó là điều kiện cần thiết để thực hiện hiệu quả một chiến lược Mặt khác, theo từ điển Anh – Việt, nghĩa của từ tactic ['tæktik] là cách; chước; mưu kế, mẹo (phương tiện để thực hiện cái gì) Như vậy, TP có thể xem là các cách

khéo léo hay các kỹ năng mềm dẻo, linh hoạt để thực hiện thành công một nhiệm vụ, một mục tiêu cụ thể D N Perkins [117] khẳng định, TP (tactics) rất quan trọng trong

phát triển trí tuệ của trẻ em, nên cần phải xác định thuật ngữ này càng rõ càng tốt

Một số công trình nghiên cứu giáo dục toán học bằng tiếng Nga, có đề cập

đến“приём”, chẳng hạn: [127], [128]… đều cho rằng, “приём” mang tính nghệ

thuật, sáng tạo Theo L M Phơritman, E N Turetxki, V Ia Xtetxencô [128], việc dẫn một bài toán dạng không chuẩn đến một bài toán dạng chuẩn bằng các TP chia

nhỏ hoặc mô hình hóa là một nghệ thuật, chỉ có thể lĩnh hội được trong kết quả của

sự phân tích sâu sắc thường xuyên các hành động giải toán và thường xuyên luyện

tập giải các bài toán khác nhau I V Titôva [127] cho rằng, trong hoạt động học của

HS có hai mặt bao gồm: hình thành kiến thức (khái niệm, ý tưởng…) và quá trình hình thành các TP ( приeмob) làm việc với các tài liệu học tập Theo tác giả, TP hoạt động trí tuệ là cách thức mà người học dùng để thực hiện trong các tình huống

nhận thức; chúng thường có tính hướng dẫn hoặc khuyến cáo chỉ ra cách làm thế nào

để tiến hành hoạt động trí tuệ trong việc giải quyết một số các nhiệm vụ cụ thể

Trong nghiên cứu này, chúng tôi quan tâm các TPHĐNT như là một phần của

kiến thức thực hiện (procedural knowledge), đó là các “tactics” trong tiếng Anh hay

“приём” trong tiếng Nga, chúng mang tính “nghệ thuật” nghĩa là nó đòi hỏi sự linh hoạt và khéo léo của người sử dụng

e) Căn cứ vào những khó khăn, chướng ngại, sai lầm của HS trong khám phá

và giải quyết vấn đề môn Toán ở trường THCS

Trong quá trình khám phá và giải quyết các vấn đề toán học ở trường THCS, nếu cứ suy nghĩ theo lối thông thường, HS có thể gặp nhiều khó khăn, chướng ngại

và sai lầm; không tìm được cách giải quyết hoặc cách giải quyết không hiệu quả…

Để khắc phục tình trạng đó, người học cần khéo léo, linh hoạt sử dụng cách thức suy nghĩ hợp lý Với đặc điểm lứa tuổi của HS THCS (khả năng tư duy trừu tượng còn hạn chế) chúng ta có thể tìm cách quy lạ về quen nhờ phân nhỏ vấn đề phức tạp ban đầu thành các vấn đề bộ phận, biết “loại bỏ” phần không cần thiết, không bản chất ra khỏi bài toán, tách đúng phần cần thiết để biến đổi lập luận riêng hoặc tìm cách diễn đạt vấn đề theo một cách khác (mô hình hóa) đưa vấn đề cần giải quyết về dạng chuẩn hoặc đơn giản hơn; dùng thực nghiệm, quy nạp kết hợp với suy diễn để chuyển việc giải quyết vấn đề phức tạp thành các vấn đề đơn giản hơn, các trường hợp đặc biệt hay bổ sung các yếu tố phụ làm cầu nối để tìm cách giải quyết vấn đề ban đầu…

x x Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2

Sai lầm trong lời giải trên là HS chưa hiểu một cách thấu đáo rằng: Nếu biểu thức A luôn có giá trị lớn hơn hoặc bằng m thì chỉ có thể kết luận m là giá trị nhỏ

nhất khi dấu “=” xảy ra Khó khăn gặp phải khi giải bài toán này là không thể áp

dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số x và 1

x , do điều kiện của x là 0 1

2

< ≤x Để giúp HS phát hiện được vấn đề và tìm được cách giải quyết, GV có thể gợi ý cho

HS quan sát giá trị của A qua một số giá trị cụ thể của x để phát hiện được giá trị x thỏa mãn và tìm phương án giải quyết vấn đề như sau:

Cho x bởi một số giá trị thỏa mãn 0 1

2

< ≤x , tự nhiên nhất là hãy lần lượt cho

x nhận các giá trị từ nhỏ đến lớn, các em thu được kết quả:

6

15

14

13

2

121

29

52

Quan sát bảng trên, HS nhận thấy rằng, dường như x càng lớn thì A càng nhỏ Do đó, ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của = 5

của hai số dương, nên phải chăng, ta sử dụng bất đẳng thức Cô-si

GV yêu cầu HS thử biểu diễn A về dạng liên quan đến bất đẳng thức Cô-si sao

cho dấu bằng xảy ra khi 1

2

=

x (yếu tố có liên quan đến dự đoán) Khi đó, để áp

dụng bất đẳng thức Cô-si thì chúng ta phải tách và nhóm biểu thức A sao cho:

1 = α + + (1−α)

1

12

suy ra 1

.4

chính là ở chỗ: Biết biểu diễn A = 4x+ −1 3x

vì, chính quá trình dự đoán bằng quan sát, thực nghiệm đã gợi ý lên điều đó)

f) Căn cứ vào tư tưởng sư phạm của G Polya

Theo G Polya, nhiệm vụ chính của DH toán ở trường phổ thông là dạy cho

HS suy nghĩ Ông cho rằng, trong giảng dạy HS phải được hoạt động, hay đúng hơn

là học tập tích cực và điểm chính trong việc giảng dạy toán học là phát triển các chiến thuật giải quyết vấn đề [130] Hơn nữa, G Polya xem giải toán nói riêng và giải quyết vấn đề nói chung là một nghệ thuật, do đó người giải cần có những sáng tạo riêng và sự độc đáo Tác giả đã đưa ra một số ơristic nhằm tăng nhanh quá trình tìm kiếm các giải pháp hợp lý để giải quyết vấn đề trong các công trình của mình

Như vậy, có thể thấy tư tưởng sư phạm của G Polya đã thể hiện quá trình DH

toán cần phát huy tối đa khả năng suy nghĩ khéo léo, sáng tạo của HS, đó chính là các

TP Vì vậy, cần quan tâm bồi dưỡng TPHĐNT cho các em trong dạy học môn Toán

Chúng tôi sẽ trở lại nghiên cứu kỹ hơn vấn đề này trong mục 1.4

1.3.2.2 Quan niệm về TPHĐNT toán học

Từ các quan niệm về HĐNT môn Toán ở mục 1.2.2, quan niệm TP trong 1.3.1

và việc phân tích các căn cứ ở mục 1.3.2.1, chúng tôi quan niệm:

TPHĐNT toán học là cách thức suy nghĩ (tư duy) được đặc trưng bởi tính khéo léo, có kỹ thuật để giải quyết các vấn đề một cách hiệu quả trong quá trình tiến hành hoạt động nhận thức môn Toán

Quan niệm trên đây chỉ là một cách mô tả về TPHĐNT (trong nghiên cứu này đôi khi được gọi tắt là TP) TPHĐNT giúp tăng nhanh quá trình tìm kiếm giải pháp hợp lý thông qua các suy nghĩ rút gọn Các TP rất ít khi được đưa vào chương trình, SGK, nhưng đó là một bộ phận kiến thức mà HS thường dùng để giải quyết vấn đề Mặt khác, TPHĐNT chú trọng đến từng giai đoạn cụ thể trong quá trình HĐNT

1.3.3 Một số ví dụ

Ví dụ 1.1 là một minh họa của vận dụng TPHĐNT, đó là quy nạp thực nghiệm thay biến x bởi một số giá trị cụ thể để phát hiện vấn đề, phát hiện cách giải quyết vấn đề và phân nhỏ bài toán thành các bài toán thành phần đơn giản hơn

ở vế trái thành nhân tử nhưng khá phức tạp, dài dòng Tuy nhiên, nếu HS nhận ra

đặc điểm bài toán và đặt 3 = m , chuyển sang giải bài toán tổng quát với tham số

m, ta có phương trình 4 2 2

x mx x m m Đổi vai trò của ẩn và tham số

đưa đến phương trình với ẩn m: 2 2 4

m − x + m+x − = x

Giải phương trình này ta được

2 2

Trong bài toán này, việc đặc biệt hoá m= 3 đã che giấu dạng của bài toán

và làm cho bài toán trở nên khó khăn Tuy nhiên, nhờ linh hoạt chuyển về bài toán tổng quát rồi từ đó biến đổi hình thức bài toán, chuyển việc giải bài toán phức tạp ban đầu về giải phương trình bậc hai với ẩn m thì việc giải bài toán sẽ trở nên khá đơn

giản Như vậy, nhờ biết cách xét bài toán tổng quát đơn giản hơn đã giúp người học

có thể định hướng để tìm ra lời giải bài toán phức tạp ban đầu

Ví dụ 1.3 (Lớp 8) Tìm tập hợp những điểm M trong ∆ABC , sao cho tổng diện tích các ∆MAB và ∆MAC bằng diện tích của ∆MBC

Thực ra đây không phải là một bài toán khó Tuy

nhiên, trong thực tiễn không ít HS lúng túng trong việc tìm

lời giải Để có thể tháo gỡ được điều này, GV yêu cầu người

học phát biểu các điều kiện tương đương với giả thiết

Mong đợi của GV ở đây là HS của mình thay đổi

giả thiết, phát biểu được bài toán tương đương với bài toán ban đầu có liên quan tới

yếu tố cố định là diện tích của ∆ABC như sau: Tìm quỹ tích những điểm M trong

∆ABC, sao cho S ABC = 2 S MBC

Với hoạt động vừa được mô tả ở trên, người học sẽ dễ dàng tìm ra lời giải

cho bài toán trong ví dụ 1.3 Như vậy, nhờ biết linh hoạt biến đổi hình thức bài toán

giúp người học dễ dàng tìm được lời giải bài toán trên

1.4 Tư tưởng sư phạm của G Polya về dạy học toán theo hướng bồi dưỡng

cá c thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh

Các công trình sư phạm [84], [85], [86], [87], [88] của G Polya đã thể hiện mục đích, các nguyên lý học tập môn Toán ở trường phổ thông; đưa ra các Ơristic và một số phương pháp đặc biệt trong giải toán với các ví dụ minh họa sâu sắc giúp kích thích tính chủ động, sáng tạo của HS nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề

1.4.1 Về mục đích dạy học toán (T1)

G Polya cho rằng, nhiệm vụ chính của DH toán phổ thông là dạy cho HS suy nghĩ Theo ông, “Dạy suy nghĩ có nghĩa là thầy giáo toán cần phải không chỉ là

nguồn thông tin mà còn phải cố gắng phát triển khả năng của HS vào việc sử dụng

những thông tin này; thầy giáo cần phải phát triển ở HS của mình bản lĩnh suy nghĩ, những thói quen có liên quan, tư chất nhất định của trí tuệ” [87, tr 69] Do đó, quá

trình DH cần hướng đến việc dạy cho HS những suy nghĩ khéo léo, sáng tạo để giải

quyết hiệu quả các vấn đề đó chính là các TPHĐNT

1.4.2 Về nguyên lý học tập (T2)

Trong mô hình DH của mình, G Polya đã đưa ra ba yêu cầu đối với HS với tư cách là ba nguyên lý học tập và cũng là ba nguyên lý DH, đó là: DH tích cực; sự kích thích tốt nhất và tính liên tục trong các giai đoạn của quá trình học tập [87; tr 73-81]

1.4.2.1 Về học tập tích cực (T2a) là nguyên lý đầu tiên Theo ông “…những

điều mà thầy giáo giảng ở lớp học tất nhiên là quan trọng, nhưng điều mà HS nghĩ còn hàng nghìn lần quan trọng hơn Những khái niệm cần được nảy sinh trong trí tuệ của HS, vai trò chính của người thầy trong quá trình này có thể so với vai trò của bà đỡ” [87, tr 81] G Polya đã đưa ra lời khuyên cho GV Toán trong giảng dạy

để HS của mình học tập tốt nhất là: “Hãy biết bằng phương pháp nào có thể học những gì cần thiết cho bạn Phương pháp học tập tốt nhất chính là tự mình khám

phá lấy” [87; tr 96] Như vậy, có thể thấy tư tưởng của ông thể hiện quan điểm: Để học tập có hiệu quả nhất, đòi hỏi HS phải suy nghĩ khéo léo, sáng tạo và phải tự

mình khám phá trong chừng mực có thể một phần lớn tài liệu học tập

1.4.2.2 Sự kích thích tốt nhất (T2b) là nguyên lý thứ hai Theo ông “Việc học

tập cần phải tích cực; nhưng HS sẽ không biểu hiện tính tích cực, nếu ở họ không có

lý do để tích cực” Để học tập tích cực, HS phải thích tài liệu học tập, tìm thấy sự hài lòng trong quá trình học tập Đó là phần thưởng tốt nhất cho hoạt động trí óc căng thẳng, là sự sảng khoái đạt được nhờ hoạt động này Do đó, nếu chúng ta muốn kích thích những nổ lực của HS thì chúng ta buộc phải cho các em những cơ

sở nào đó để những nỗ lực của họ không mất đi một cách vô ích [87, tr 82]

1.4.2.3 Tính liên tục trong các giai đoạn của quá trình học tập (T2c) là

nguyên lý cuối cùng được G Polya đề xuất Nguyên lý này thường được hiểu là

“việc học tập bắt đầu từ hành động và sự thụ cảm, rồi từ đó đi đến các từ và các khái niệm và phải kết thúc bằng sự rèn luyện những đặc điểm mới mẻ nào đó của tư chất trí tuệ” [87; tr 75] Trong các giai đoạn của quá trình học tập, tính liên tục được bắt đầu bằng nghiên cứu, tiếp theo là hình thức hóa và cuối cùng là tiếp thu Tuy nhiên, theo G Polya “Nhược điểm cơ bản của các sách giáo khoa toán phổ thông là ở chỗ việc chọn các bài tập trong sách thường hầu như chỉ những bài mẫu

cũ kỹ Ví dụ cổ truyền là ví dụ có phạm vi ứng dụng hẹp, nó chỉ minh họa cho một quy tắc và ứng dụng thực hành của quy tắc đó” [87; tr 80] Ví dụ như thế dù là có ích và cần thiết nhưng còn thiếu hai giai đoạn quan trọng của việc học tập là nghiên cứu và tiếp thu Hai giai đoạn này gắn bài toán đang xét với thực tiễn xung quanh và những tri thức đã có từ trước Vì vậy, trong DH toán ở phổ thông, GV cần cho HS

những bài toán sâu sắc hơn, bao quát hơn nhằm bồi dưỡng cho HS cách thức khéo

lé o, độc đáo giúp họ độc lập nắm vững tài liệu học tập, kể cả những vấn đề không

quen thuộc và khiến cho HS thấy thích thú với công tác nghiên cứu khoa học

1.4.3 Về các hoạt động trí tuệ (T3)

G Polya cho rằng “Mọi kiến thức bao gồm một phần là thông tin “kiến thức thuần túy” và một phần là kĩ năng (know - how), kĩ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng những hiểu biết có được để đạt được mục đích của mình…” [87, tr 99] Ông nhận định, kĩ năng quan trọng hơn nhiều so với kiến thức thuần túy Vì vậy, lời khuyên có ý nghĩa quan trọng đối với GV là: “Đừng có hạn chế ở sự thông báo các sự kiện Hãy cố gắng rèn luyện cho HS những thói quen nhất định, tư chất cần thiết của trí tuệ và thói quen về làm việc có phương pháp” [87, tr 100]

Theo ông, các hoạt động trí tuệ cơ bản của quá trình giải toán nói riêng và

giải quyết vấn đề nói chung có thể biểu diễn trong sơ đồ hình vuông sau (Sơ đồ 1.4)

Sơ đồ 1.4 Sơ đồ tổng quát về hoạt động trí tuệ trong giải Toán [87, tr 16]

Trong đó, chín thuật ngữ được phân bố một ở tâm của hình vuông, bốn thuật ngữ tại bốn đỉnh và bốn thuật ngữ còn lại nằm trên bốn cạnh Những thao tác hoạt

đó bổ sung lẫn nhau như các mặt của một quá trình lao động trí tuệ phức tạp, thống nhất với đích cuối cùng là giải quyết vấn đề hiệu quả và chúng sẽ xác định hơn khi khảo sát trên cơ sở tài liệu cụ thể

1.4.3.1 Về huy động và tổ chức kiến thức (T3a)

Theo G Polya [87, tr 13], huy động kiến thức là lấy ra, tách ra từ trí nhớ những yếu tố có liên quan đến bài toán, còn tổ chức kiến thức là chắp nối những yếu

tố ấy lại với nhau Và việc giải một bài toán như là xây dựng một ngôi nhà; thoạt đầu phải thu nhận những vật liệu cần thiết, sau đó phải cấu kết những vật liệu rời rạc thành một cái toàn thể theo một kế hoạch Để tổ chức kiến thức, theo tác giả cần

“bổ sung” và “phân nhóm lại” Từ đó, họ đã có được “một ý chói lọi” trong quan

niệm mới về bài toán sau khi bổ sung hay phân nhóm lại các yếu tố

Như vậy, để tìm được cách thức khéo léo, sáng tạo giải quyết hiệu quả các vấn đề, theo G Polya cần huy động và tổ chức kiến thức một cách hợp lý

1.4.3.2 Về cách ly và liên kết các đối tượng (T3b)

Theo G Polya, khi nghiên cứu một chỉnh thể phức tạp chúng ta có thể tập trung chú ý vào một chi tiết nào đó, lấy làm điểm tựa và tách chi tiết ấy ra Nói cách khác, chúng ta đã “cách ly” chi tiết ấy Cách ly không thể diễn ra bên ngoài thao tác đối lập với nó, đó là “liên kết” Sau khi cách ly một chi tiết cụ thể ra khỏi những yếu tố lân cận cùng chỉnh thể, có thể xuất hiện nhu cầu hình dung toàn bộ; một loạt hành động kết hợp, liên kết những chi tiết, những bộ phận đã được xem xét lại với nhau trong một chỉnh thể sinh động, có triển vọng hơn [87, tr 14] Như

Nhận biếtHuy động

vậy, hành động cách ly dẫn đến hành động liên kết, hành động liên kết lại dẫn đến những hành động cách ly mới và cứ tiếp tục như thế cho đến lúc quan niệm về đối tượng của ta có sự thay đổi và chuyển sang tình huống có triển vọng hơn Đó là tiến trình suy nghĩ làm cho người học hiểu và giải được bài toán nói riêng, giải quyết vấn đề nói chung Và đây là một trong những cách thức khéo léo, hiệu quả

để giải quyết vấn đề phức tạp ban đầu

1.4.3.3 Về hiểu thấu (hay đoán trước) (T3c)

G Polya cho rằng, đây là trung tâm của mọi hành động khi giải quyết vấn đề Theo tác giả, tất cả những người giải toán đều phải xây dựng cho mình các phỏng đoán, song các phỏng đoán của người nông cạn hay người suy nghĩ sâu sắc có sự khác biệt Tuy nhiên trên từng bước đi của người giải toán luôn đặt ra các câu hỏi, chẳng hạn: Phỏng đoán này có liên hệ với vấn đề không? Còn xa lời giải không? Phỏng đoán này chính xác đến mức nào? Những câu hỏi như thế, chỉ đạo hay chỉ kèm theo các hành động của người giải Nhưng dù như thế nào thì theo G Polya

“…nếu cảm giác tương tự chưa phát sinh ở bạn, chắc chắn bạn chưa quan tâm đến bài toán của mình” [87, tr 8] Do đó, ông đã đưa ra lời khuyên trong DH toán: Bạn phải dự đoán về một định lý toán học trước khi bạn chứng minh nó Bạn phải dự đoán về ý của chứng minh trước khi tiến hành chứng minh chi tiết Nếu việc dạy Toán phản ánh ở mức độ nào đó việc hình thành Toán học như thế nào, thì trong việc giảng dạy đó, phải dành chỗ cho dự đoán, cho suy luận có lý” [88, tr 6]

Vì vậy, để phát hiện vấn đề và phát hiện cách giải quyết vấn đề theo G Polya trước tiên chúng ta cần biết đưa ra các dự đoán hợp lý

1.4.4 Tư tưởng sư phạm của G Polya về các giai đoạn giải quyết vấn đề (T4)

Có nhiều quan niệm khác nhau về bài toán, vấn đề và mối quan hệ giữa chúng trong DH toán Trong nghiên cứu này, chúng tôi theo G Polya và quan niệm: từ

“problem” được dịch với nghĩa vừa là “vấn đề” vừa là “bài toán” Do đó, sự tồn tại của một bài toán (vấn đề) cần thỏa mãn ba tiêu chí sau: HS chấp nhận bài toán,

những thuật toán và dạng bài toán quen thuộc để tấn công bài toán là không hiệu lực và

HS chấp nhận thúc ép cá nhân khám phá những phương án tấn công mới Một tình huống không được xem là bài toán khi nó có thể giải được bằng cách áp dụng các thuật toán đã học hoặc khi nó giống với một tình huống gặp trước đó Và cũng có khi một vấn đề (bài toán) của người này nhưng không phải là vấn đề đối với người khác

G Polya [84] đã xác định bốn giai đoạn cơ bản trong quá trình giải quyết vấn đề, đó là: hiểu rõ vấn đề, lập một kế hoạch (tìm giải pháp), thực hiện kế hoạch (trình bày giải pháp) và nhìn lại vấn đề Giáo sư Ngô Bảo Châu khẳng định “Theo tôi nghĩ thì bốn giai đoạn này là hoàn toàn chính xác và là chung đối với tất cả mọi người, không có ai khác cả” [131]

Sau đây, chúng tôi trình bày các tư tưởng chính của ông thể hiện trong các giai đoạn giải quyết vấn đề:

1.4.4.1 Tư tưởng sư phạm của G Polya trong giai đoạn “Hiểu rõ vấn đề” (T4a)

G Polya cho rằng, “…khó mà có được một ý hay khi mà bản thân mình hiểu biết quá ít đối tượng và hoàn toàn không thể có một ý hay khi mình không biết gì về đối tượng đó” [84] Từ các câu hỏi, các gợi ý mà ông đề nghị GV nên đặt ra cho

HS hoặc chính HS tự đặt ra để tìm câu trả lời khi thực hiện giai đoạn này trong các công trình [84], [87], [88] có thể thấy: Tư tưởng của G Polya được thể hiện trong

giai đoạn hiểu rõ vấn đề là dạy cách suy nghĩ giúp hiểu sâu bài toán nhằm phát

hiện ra vấn đề và phát hiện giải pháp giải quyết vấn đề, cụ thể:

Thứ nhất, cần cấu trúc lại vấn đề theo cách hiểu của người học;

Thứ hai, chú trọng khảo sát toán, xem xét các trường hợp riêng, trường hợp

đặc biệt, trường hợp tới hạn, các vấn đề tương tự đơn giản hơn để hiểu rõ vấn đề;

Thứ ba, có thể chia nhỏ vấn đề để hiểu hơn vấn đề đó

1.4.4.2 Tư tưởng sư phạm của G Polya trong giai đoạn “Lập một kế hoạch” giải quyết vấn đề (T4b)

Với những câu hỏi, gợi ý mà G Polya đề xuất trong giai đoạn lập một kế hoạch [84], chúng ta thấy: Tư tưởng sư phạm của G Polya thể hiện trong giai

đoạn này là dạy cách suy nghĩ nhằm tìm tòi các giải pháp hay xây dựng được một

kế hoạch để giải quyết vấn đề Các hoạt động cơ bản của giai đoạn này như sau:

Thứ nhất, rèn luyện cho HS những hoạt động biến đổi quy lạ về quen, bao gồm:

- Hoa ̣t đô ̣ng liên tưởng bài toán cần giải, mê ̣nh đề cần chứng minh với bài toán, đi ̣nh lý đã biết nhờ phân nhỏ vấn đề, loại bỏ các phần không cần thiết và kết hợp các yếu tố một cách hợp lý

Chẳng ha ̣n, với ví dụ 1.1, sau khi phát hiện được vấn đề là giá trị nhỏ nhất

Chẳng ha ̣n, khi đứng trước ví dụ 1.2, nếu HS chỉ liên tưởng đến việc đưa

phương trình bậc 4 đó về phương trình tích thì các em tìm cách phân tích đa thức vế

trái thành các nhân tử bậc nhất hoặc bậc hai và vận dụng các kiến thức về phương trình bậc nhất, bậc hai đã biết để giải bài toán ban đầu Song cách giải này khá phức tạp vì đa thức ở vế trái không đơn giản để phân tích được thành nhân tử Tuy nhiên, nếu HS nhận ra đặc điểm của bài toán và nhận ra các hệ số bậc hai và hệ số tự do của đa thức ở vế trái đều liên quan đến 3 nên có thể xét bài toán tổng quát khi thay 3 bởi m và thay đổi vai trò của ẩn chuyển về phương trình bậc hai đối với

m Từ đó, các em dễ dàng giải được bài toán ban đầu

Hay ví dụ 1.3, nhờ diễn đạt lại hình thức bài toán “Tìm tập hợp những điểm

M trong ∆ABC, sao cho S ABC = 2 S MBC”, HS giải bài toán một cách đơn giản

- Hoa ̣t đô ̣ng bổ sung yếu tố phụ để tạo các đối tượng trung gian nhằm kết nối các tri thức đã biết với tri thức cần tìm

Thứ hai, rèn luyện cho HS những hoạt động biến đổi từ vấn đề phức tạp lùi

về đơn giản

Với một số bài toán mà kiến thức ở vùng phát triển hiện tại, HS chỉ giải quyết được một phần tương ứng với một số trường hợp như: Trường hợp riêng, bài toán tương tự, tổng quát hay đảo ngược đơn giản hơn Khi đó, HS phải khéo léo giải quyết các bài toán này, rồi lấy đó làm “điểm tựa” để giải quyết bài toán trong những trường hợp còn lại nhờ việc tổ chức DH theo lý thuyết “vùng phát triển rất gần” của L X Vưgotxki Bởi vậy, các hoạt động thường sử dụng là:

- Xét bài toán tương tự đơn giản hơn

- Xét bài toán tổng quát đơn giản hơn

- Xét bài toán “đảo ngược” đơn giản hơn

Chẳng hạn, trong ví dụ 1.2 chúng ta đã chuyển việc giải bài toán ban đầu thành bài toán tổng quát đơn giản hơn

Thứ ba, rèn luyện cho HS những hoạt động khai thác sâu các tri thức sự vật

để chuyển hóa chúng thành tri thức phương pháp

1.4.4.3 Tư tưởng sư phạm trong giai đoạn “Thực hiện kế hoạch” (T4c)

G Polya đã đưa ra lời khuyên cho người giải toán là: Khi thực hiện kế hoạch hãy kiểm tra lại từng bước Bạn đã thấy rõ mỗi bước đều đúng chưa? Bạn có thể chứng minh là nó đúng không?

Như vậy, tư tưởng chủ yếu của G Polya trong giai đoạn này là: Chú trọng luyện tập cho HS các bước lập luận thông qua kế hoạch giải một bài toán

1.4.4.4 Tư tưởng của G Polya thể hiện qua giai đoạn “Nhìn lại vấn đề” (kiểm tra lời giải và khai thác, phát triển bài toán) (T4d)

Sự nổi bật trong tư tưởng sư phạm của G Polya ở giai đoạn nhìn lại vấn đề là: “Chú trọng tìm lời giải tối ưu hơn và khai thác phát triển bài toán một cách sáng

tạo” Ông cho rằng “ không có bài toán nào là kết thúc Bao giờ cũng còn lại một cái gì để suy nghĩ” [87] Như vậy, có thể thấy ở giai đoạn này cần rèn luyện cho HS

các HĐ cụ thể như:

- Biết tìm nhiều cách giải cho một bài toán;

- Biết phân nhỏ các yếu tố của bài toán để khai thác, phát triển bài toán mới (tương tự, tổng quát, đặc biệt…) khi thay đổi các yếu tố; Biết kết hợp nhiều yếu tố

để có bài toán mới

Việc nhìn lại vấn đề đòi hỏi sự sáng tạo và kinh nghiệm của HS; nó không chỉ giúp HS trình bày rõ ràng mạch lạc lời giải của mình, mà quan trọng hơn, nó giúp các

em có một nếp suy nghĩ, nếp tư duy rõ ràng sáng sủa Đặc biệt, thực hiện tốt bước này sẽ giúp các em có thể giải quyết được các bài toán khác trong tương lai Đây là khâu quan tro ̣ng để thầy giáo chú ý phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho HS thông qua việc hình thành và vận dụng các cách thức khéo léo, độc đáo

Chẳng hạn, trở lại ví dụ 1.1, HS có thể tìm được các cách giải khác nhau như trên bằng việc phân nhỏ thành các bài toán thành phần (do tách và nhóm hạng tử)

Mặt khác, nếu ta thay đổi vai trò của x và1

x cho nhau thì biểu thức A không thay đổi và ta có bài toán: “Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x+1

x , với x≥2” hoặc thay điều kiện 0 1

2

< ≤x bởi 0< ≤x 1

m hay x≥mvới m là số tự nhiên lớn hơn 1 ta

có các bài toán tương tự

Bằng cách vận dụng các TPHĐNT trong ví dụ 1.1, HS hoàn toàn có thể giải được các bài toán trên; tiếp tục khai thác, thay đổi giả thiết ta có các bài toán hấp dẫn

Tóm lại, tư tưởng G Polya thể hiện rõ, trong DH toán điều người học cần là biết các cách thức suy nghĩ khéo léo, sáng tạo (huy động và tổ chức kiến thức, cách

ly và liên kết các đối tượng hợp lý để phân nhỏ, tách biệt đối tượng; bổ sung yếu tố phụ… đưa vấn đề về dạng đơn giản, quen thuộc hơn) để giải quyết vấn đề, đó chính

là các TPHĐNT Bởi vậy, mục tiêu trong các nhà trường phổ thông là phải hình thành và khắc sâu TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G Polya cho HS giúp các

em giải quyết vấn đề hiệu quả

Sau đây, chúng tôi sẽ đi sâu tìm hiểu, nghiên cứu TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G Polya của HS trong quá trình học môn Toán ở trường THCS

1.5 Thủ pháp hoạt động nhận thức theo tư tưởng sư phạm của G Polya trong dạy học môn Toán ở trường trung học cơ sở

Trên cơ sở quan niệm TPHĐNT ở 1.3.2.2; tư tưởng sư phạm của G Polya về

DH theo hướng bồi dưỡng TPHĐNT trong mục 1.4, chúng tôi quan niệm: TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G Polya là những cách thức suy nghĩ (tư duy) nhằm

biến đổi, tổ chức tri thức khéo léo, linh hoạt, tinh tế để thúc đẩy chủ thể hoạt động nhận thức một cách nhanh chóng đạt hiệu quả cao

Với quan niệm trên, cùng việc nghiên cứu các tài liệu lý luận DH, hỏi ý kiến các chuyên gia giáo dục và trao đổi với giáo viên toán THCS; sau đây chúng tôi đưa

ra một số TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G Polya thường sử dụng của HS trong khám phá, giải quyết vấn đề môn Toán ở trường THCS

1.5.1 Một số thủ pháp hoạt động nhận thức thường sử dụng của học sinh theo tư tưởng sư phạm của G Polya trong dạy học môn Toán ở trường trung học

Nhóm TP này gồm các TP thành phần: TP diễn đạt lại tình huống, bài toán

có nội dung thực tiễn theo ngôn ngữ toán học một cách thích hợp; TP nhìn một đối tượng dưới nhiều góc độ khác nhau

a) TP diễn đạt lại tình huống, bài toán có nội dung thực tiễn theo ngôn ngữ toán học một cách thích hợp là cách khéo léo biểu diễn các thông tin bằng hình vẽ,

sơ đồ, đồ thị, bảng biểu, phương trình, biểu đồ, biểu tượng… nhằm tạo thuận lợi để chủ thể thâm nhập đối tượng, có cái nhìn rõ ràng hơn về vấn đề và dễ dàng tìm cách giải quyết chúng

Ví dụ 1.4.(bài tập 18, tr.105, SGK Toán 8 tập 2)

Các kích thước của hình hộp chữ nhật là

4cm, 3cm và 2cm Một con kiến bò theo mặt của

hình hộp từ đỉnh B' đến đỉnh D (Hình 1.3a)

a Hỏi con kiến bò theo đường nào là ngắn nhất

b Độ dài ngắn nhất đó là bao nhiêu cm?

Đây là một bài toán không đơn giản với hầu hết

HS, nhưng nếu các em biết vận dụng TP diễn đạt lại

bài toán có nội dung thực tiễn theo ngôn ngữ toán học một cách thích hợp rồi biểu diễn kích thước của hình không gian sang hình học phẳng (bằng cách trải hình) thì

sẽ dễ dàng giải được bài toán

2cm

4cm 3cm

D' A'

Hình 1.3a

GV có thể hướng dẫn HS khám phá cách giải bài toán như sau:

- Để đi từ B' đến D con kiến có thể bò qua những mặt nào? (Câu trả lời mong đợi là: Con kiến bò từ điểm B' đến điểm D qua các

mặt (B’C’CB) và (ABCD); hoặc (B’C’CB) và

(C'D'DC ); hoặc (B’A'AB) và (BADC); hoặc (B’A'AB)

và (A'ADD' ); hoặc (A'B'C'D') và (A'ADD'); hoặc

(A'B'C'D') và (C'D'CD))

- Nếu con kiến bò từ điểm B' đến điểm D qua các

mặt (B’C’CB) và (ABCD) thì đường nào là ngắn nhất?

Nếu HS chưa tìm ra câu trả lời, GV gợi ý HS

diễn đạt lại dưới dạng bài toán toán học, đó là: Xác

định vi trí điểm M trên cạnh BC sao cho B’M + MD

là ngắn nhất?

Khi đó, HS sẽ khám phá ra cách biểu diễn các

kích thước của hình hộp sang hình phẳng bằng việc

trải hình và nối ngay B' với D (Hình 1.3b); rồi kết

luận con kiến bò theo đường nối B'MD là ngắn nhất

GV yêu cầu HS xét các trường hợp khác:

- Hãy tìm đường đi của con kiến trong các

trường hợp còn lại? Từ đó, HS sẽ tìm ra có 6 con

đường để con kiến đi (Hình 1.3c)

- Vậy con kiến sẽ bò qua những mặt nào thì đường đi ngắn nhất?

HS sẽ dùng định lý Pitago để tính độ dài đường đi:

B MD' =B PD' = 52+42 = 41(cm ); B QD' =B ND' = 62+32 = 45 (cm)

B YD' =B XD' = 72+22 = 53(cm) (việc đưa thêm các điểm M, N, P, Q, X, Y

là để ta tiện theo dõi chứ thực tế thì HS chưa xác định được những điểm này)

Khi đó, HS sẽ trả lời được: Con kiến chỉ có thể bò qua các mặt (B'C'CB) và (ABCD ) hoặc (A'B'C'D') và (A'ADD') thì mới có đường đi ngắn nhất

Đến đây nhiều HS sẽ nhầm tưởng rằng bài toán đã giải quyết xong, GV giúp HS

nhận ra sai lầm ở chỗ là chưa xác định được vị trí của điểm M (hoặc P) là giao điểm của đường đi với cạnh BC (hoặc A'D') Tuy nhiên, vấn đề tìm giao điểm M cũng

không khó khăn đối với HS vì chỉ cần dựa vào tỉ lệ thức được lập từ hai tam giác đồng dạng để tìm ra độ dài BM = 1,6 cm và PD' = 1,6 cm

b) TP nhìn một đối tượng dưới nhiều góc độ khác nhau là cách khéo léo, linh hoạt xem xét một vấn đề bằng các cách khác nhau dựa vào mối liên hệ giữa

các đối tượng toán học giúp dễ dàng phát hiện và khai thác, phát triển vấn đề

C' B'

X

Hình 1.3c

Các ví dụ 1.2, 1.3 minh họa cho TP diễn đạt lại tình huống, bài toán một cách thích hợp bằng cách nhìn đối tượng dưới nhiều góc độ để phát hiện vấn đề

1.5.1.2 Nhóm thủ pháp bổ sung yếu tố phụ thích hợp tạo đối tượng trung gian để kết nối tri thức đã có, tri thức cần tìm

Nhóm TP này được hình thành dựa trên cơ sở các hoạt động trí tuệ (T3a) về

tổ chức và liên kết đối tượng bằng việc bổ sung những yếu tố mới và các giai đoạn

giải quyết vấn đề (T4b), (T4d) của G Polya

Mặt khác, theo quy luật chuyển hóa giữa lượng và chất của Triết học duy vật biện chứng: Việc bổ sung các yếu tố phụ tạo sự thay đổi về lượng để dẫn đến sự thay đổi về chất Bởi vậy, trong quá trình tìm kiếm cách giải quyết vấn đề, khi gặp tình huống kiến thức đã có không cho phép việc giải quyết một cách trực tiếp, người học có thể bổ sung các yếu tố phụ là “cầu nối” giữa những cái đã cho, tri thức đã

biết với tri thức cần tìm tạo ra các đối tượng trung gian để có thể vận dụng các kiến

thức đã biết thông qua các đối tượng trung gian đó

Trong nghiên cứu này, chúng tôi quan niệm: Bổ sung yếu tố phụ thích hợp tạo đối tượng trung gian để kết nối tri thức đã có, tri thức cần tìm là cách khéo léo, linh hoạt đưa các đối tượng toán học (bài toán phụ, hình phụ, ẩn phụ, hằng số

phụ ) bổ sung vào các yếu tố đã cho của vấn đề cần giải quyết làm “cầu nối” gắn kết các tri thức đã biết với các tri thức cần tìm, cần khám phá; tạo bước ngoặt then chốt cho việc định hướng đúng đắn cách giải quyết vấn đề

Trong DH toán, TP này gồm các TP thành phần: TP bổ sung bài toán phụ,

TP bổ sung ẩn phụ, TP bổ sung hình phụ, TP bổ sung tham số phụ Mỗi TP thành

phần lại có thể có những TP nhỏ hơn sử dụng vào những tình huống nhận thức cụ

thể Chẳng hạn, TP bổ sung hình phụ, gồm: bổ sung hình phụ liên quan với các đối tượng có trong hình vẽ, bổ sung hình phụ nhờ xét các trường hợp đặc biệt, bổ sung hình phụ nhờ biến đổi kết luận về dạng tương đương, bổ sung hình phụ nhờ liên tưởng nhân quả

Ví dụ 1.2 là một minh họa cho việc bổ sung bài toán phụ tổng quát bởi TP

thay hằng bởi biến Chúng ta xét thêm một ví dụ khác:

Ví dụ 1.5 Cho x+ ≥y 6 Chứng minh rằng x x( − +1) (y y− ≥1) 12. Khi nào dấu bằng xảy ra? (Trích câu 7, Đề thi vào lớp 10, trường THCS-THPT Nguyễn Tất

Thành, Hà Nội, năm học 2015 - 2016)

Để giải bài toán này, trước hết người giải phải dự đoán dấu “=” xảy ra HS cần nhận ra được dữ kiện của bài toán cũng như điều cần chứng minh đều đối xứng với x, y nên họ dễ dàng đưa ra dự đoán là dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x= =y 3

Điều dự đoán trên đã gợi ý cho người học các cách giải bài toán, đó là:

Cách 1: Từ dự đoán dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x y= =3 nên x2= = y2 9,

các em có thể biến đổi vế trái, để sử dụng bài toán phụ là bất đẳng thức

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = =y 3 mà x+ ≥y 6 nên x y= = 3

Cách 2: Từ dự đoán dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x y= =3 và x+ ≥ đặt ẩn y 6,

phụ x= +3 m, y= + với 3 n m n+ ≥0 Khi đó các em có thể biến đổi và chứng minh bài toán ban đầu như sau:

m n m2+ ≥n2 0) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m n= =0 suy ra x y= =3

1.5.1.3 Nhóm thủ pháp cách ly và liên kết đối tượng theo một hình thức mới

Nhóm TP này được xây dựng dựa trên cơ sở tư tưởng sư phạm (T1), (T3b)

và các giai đoạn giải quyết vấn đề (T4) của G Polya Ông cho rằng, khi quan sát

một bài toán cần giải, nếu xem nó như một thể thống nhất thì cảm giác đối tượng không được rõ ràng lắm Vì vậy, cần phân chia cái toàn thể ra nhiều phần nhỏ Hơn

nữa, việc cách ly và liên kết đối tượng theo một hình thức mới được đặt trong mối quan hệ với quy luật lượng - chất của quá trình vận động, phát triển sự vật, hiện

tượng theo Triết học duy vật biện chứng

Thực tiễn DH toán cho thấy, nhiều khi để giải quyết một vấn đề phức tạp nếu người giải biết cách ly, chia nhỏ thành các vấn đề bộ phận đơn giản, quen thuộc, loại bỏ các chi tiết “không cần thiết” thì sẽ dễ dàng tìm được phương án giải quyết vấn đề ban đầu và phát hiện, sáng tạo vấn đề mới

Nhóm này gồm các TP thành phần: TP phân nhỏ, TP tách biệt, TP kết hợp a) TP phân nhỏ là cách thức suy nghĩ khéo léo, linh hoạt để chia một vấn đề

toán học phức tạp, khó giải quyết thành các vấn đề thành phần đơn giản hơn nhằm mục đích dễ dàng hiểu được vấn đề, huy động, tổ chức kiến thức đã biết vào việc

giải quyết và khai thác hiệu quả vấn đề ban đầu

b) TP tách biệt là cách thức suy nghĩ linh hoạt để tách một chi tiết, một bộ

phận cụ thể không cần thiết “gây phiền phức” ra khỏi đối tượng hay ngược lại tách phần “cần thiết” khỏi cái toàn thể bao quanh nó, tập trung mọi chú ý vào chi tiết, bộ phận này nhằm mục đích dễ dàng huy động kiến thức đã biết vào việc giải quyết và khai thác hiệu quả vấn đề ban đầu

c) TP kết hợp là cách thức suy nghĩ khéo léo, linh hoạt nhằm liên kết những

chi tiết, những bộ phận của đối tượng có thể có quan hệ với nhau, bổ sung, hỗ trợ nhau hoặc những bộ phận của đối tượng đã được tách ra để xem xét chúng trong

một cái toàn thể mới đầy đủ hơn trước, tính hài hoà và thống nhất của nó rõ nét hơn

“Kết hợp” ở đây cần được hiểu theo nghĩa rộng là thiết lập mối liên kết,

không chỉ đơn thuần là cộng thêm (kiểu số học) hoặc gắn thêm (kiểu cơ học) mà còn được hiểu là sự kết hợp những ý tưởng, tính chất, chức năng từ những đối tượng khác với đối tượng cho trước để có được sản phẩm sáng tạo Đối tượng mới tạo nên do sự kết hợp, thường có những tính chất, ích lợi mà từng đối tượng riêng rẽ trước đây chưa có

Từ quan niệm trên, chúng ta thấy nội dung TP phân nhỏ và TP tách biệt có phần giao nhau, chứ không hoàn toàn độc lập Tuy nhiên, chúng có điểm khác nhau

cơ bản: TP tách biệt chỉ ra tiêu chuẩn phân nhỏ thành hai phần độc lập, phần cần thiết thì giữ lại để sử dụng; phần không cần thiết, gây phiền phức thì tách khỏi (không giữ lại) Trong khi đó đối với TP phân nhỏ thì sau khi phân nhỏ các phần đều được giữ lại để sử dụng

Mỗi TP thành phần lại có những TP nhỏ hơn áp dụng vào từng tình huống cụ

thể Chẳng hạn, TP phân nhỏ gồm: Phân nhỏ vấn đề bằng cách phân nhỏ giả thiết nếu giả thiết có cấu trúc tuyển; phân nhỏ vấn đề bằng cách phân nhỏ kết luận nếu kết luận có cấu trúc hội

Ví dụ 1.1 trên đây đã minh họa cho việc vận dụng TP phân nhỏ và TP kết hợp trong việc “tìm giải pháp” và “khai thác, phát triển vấn đề”

1.5.1.4 Nhóm thủ pháp chuyển hóa các liên tưởng nhằm huy động đúng kiến thức giải quyết vấn đề

Cơ sở hình thành và phát triển nhóm TP này là tư tưởng sư phạm của G Polya “Về huy động và tổ chức kiến thức” (T3a) và giai đoạn “lập kế hoạch” (T4b) trong quá trình giải quyết vấn đề

Nhóm TP này gồm các TP thành phần: TP chuyển hóa các liên tưởng nhanh chóng lựa chọn đúng tiền đề để giải quyết vấn đề và TP chuyển hóa tri thức sự vật thành tri thức phương pháp

a) TP chuyển hóa các liên tưởng nhanh chóng lựa chọn đúng tiền đề để giải quyết vấn đề là cách thức suy nghĩ linh hoạt để nhận ra đặc điểm cơ bản của vấn đề

nhằm lựa chọn được kiến thức thích hợp (định lý, quy tắc, bài toán “gốc”…) giúp dễ dàng giải quyết vấn đề

Ví dụ 1.6 (Lớp 9) Qua đỉnh D của hình vuông ABCD cạnh a, vẽ một đường

thẳng cắt cạnh AB ở I và cắt đường thẳng BC ở K Chứng minh 12 1 2 12

DI +DK = a

GV có thể giúp HS nhận ra kết luận của bài toán có

liên hệ với một hệ thức lượng trong tam giác vuông (nghịch

đảo bình phương của đường cao bằng tổng nghịch đảo bình

phương hai cạnh góc vuông) Từ đó, HS biết vẽ thêm hình

phụ để sử dụng hệ thức lượng đó, bằng cách: tạo tam giác

vuông có đường cao DC và hai cạnh góc vuông lần lượt bằng

DI, DK (v ẽ DL DI⊥ , L thuộc đường thẳng BC) Chứng minh

được DI =DL; áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

DLK ta có lời giải bài toán Đây chính là bài toán quen thuộc

các em đã giải trong SGK [12, tr 70]:

Cho hình vuông ABCD Gọi I là một điểm nằm giữa A và B Tia DI và tia CB cắt nhau tại K Kẻ đường thẳng qua D vuông góc với DI Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L Chứng minh rằng:

i) Tam giác DIL là một tam giác cân

ii) Tổng 12 + 1 2

DI DK không đổi khi I thay đổi

b) TP chuyển hóa tri thức sự vật thành tri thức phương pháp là cách suy nghĩ linh hoạt vận dụng các kiến thức (định nghĩa, định lý, quy tắc…) trong sách giáo

khoa, mối quan hệ giữa các tri thức đó với các vấn đề toán học và thực tiễn, đặc biệt

là mối liên hệ logic giữa định lý với các dạng toán để đưa ra các quy trình nhằm giải quyết hiệu quả các vấn đề trong toán học, thực tiễn

Ví dụ 1.7 Khai thác vận dụng định lý Ta-lét để xây dựng quy trình mới

chứng minh ba điểm thẳng hàng (chúng tôi sẽ trình bày nội dung này ở chương 3)

1.5.1.5 Nhóm thủ pháp sử dụng quy nạp, thực nghiệm để phát hiện vấn đề

và phát hiện cách giải quyết vấn đề

Nhóm TP này được hình thành trên cơ sở các tư tưởng sư phạm của G Polya

về mục đích dạy học (T1), hoạt động trí tuệ (T3c) và giai đoạn “hiểu rõ vấn đề” (T4a) trong quá trình giải quyết vấn đề

Theo triết học duy vật biện chứng: Cái chung tồn tại trong cái riêng, thông qua cái riêng để biểu hiện sự tồn tại của mình và cái riêng chỉ tồn tại trong mối liên

hệ dẫn tới cái chung Do đó, trong HĐNT để phát hiện ra cái chung, quy luật chung chúng ta phải xuất phát từ cái riêng Tuy nhiên, những kết luận tổng quát được suy

ra từ những kết luận riêng lẻ đó có thể không đúng nên chúng ta phải dùng suy diễn

để chứng minh

Trong nghiên cứu này, chúng tôi quan niệm: TP sử dụng quy nạp, thực nghiệm để phát hiện vấn đề và phát hiện cách giải quyết vấn đề là cách suy nghĩ khéo léo, sáng tạo để đưa ra giả thuyết của một vấn đề hay cách giải quyết vấn đề

L

K

B A

I

Hình 1.3

thông qua việc quan sát, tính toán, đo đạc của các trường hợp riêng, rồi kết hợp với việc suy luận để khẳng định hay bác bỏ giả thuyết đó

Một số TP thành phần của nhóm TP, đó là: TP thay biến số bởi hằng số

(chẳng hạn: khi chứng minh một bài toán đúng với mọi số tự nhiên n, chúng ta xét

với n = 0, 1, 2 ; thay góc α bất kỳ bởi góc α có giá trị đặc biệt ); TP thay một vị trí bất kỳ của hình bởi một ví trí đặc biệt (chẳng hạn: khi chứng minh một tính chất nào

đó với điểm M thuộc hình H, ta xét M ở các vị trí đặc biệt thuộc các đỉnh, các

cạnh ); TP xét trường hợp tới hạn; TP xét các trường hợp tương tự đơn giản hơn để

phát hiện vấn đề và phát hiện cách giải quyết vấn đề

Các TP này giúp HS cách học, tự chiếm lĩnh kiến thức và có khả năng khám phá tri thức mới đáp ứng mục tiêu DH Một số tình huống Toán học ở trường THCS

thường vận dụng TP này như: Các định lý, quy tắc, bài tập toán dạng tìm tòi…

Ví dụ 1.1 ở trên đã minh họa rõ việc sử dụng TP quy nạp, thực nghiệm thay biến số bởi hằng số để phát hiện vấn đề và phát hiện cách giải quyết vấn đề

Trên đây, chúng tôi đã đưa ra một số nhóm TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G Polya thường sử dụng trong giải quyết các vấn đề Toán học ở trường THCS

và các TP thành phần của chúng; mỗi TP cung cấp cho người giải quyết vấn đề một hoặc một số cách xem xét vấn đề cho trước Các TP có thể độc lập với nhau nhưng cũng có thể có mối liên hệ mật thiết và không tách rời nhau Tuy nhiên, số lượng các TPHĐNT (kể cả các TP thành phần) mà chúng tôi đưa ra trong nghiên cứu không phải là một hệ thống đầy đủ, chúng ta vẫn có thể thêm những TP khác vào hệ thống các TPHĐNT trong việc giải quyết các vấn đề Toán học

Mặt khác, tần số xuất hiện của năm nhóm thủ pháp hoạt động nhận thức, tùy

thuộc vào nội dung dạy học (số học, đại số hay hình học) Tuy nhiên, nhóm thủ pháp

bổ sung yếu tố phụ thích hợp tạo đối tượng trung gian để kết nối tri thức đã có, tri thức cần tìm được HS vận dụng nhiều nhất trong quá trình giải quyết vấn đề môn

Toán ở trường THCS Thật vậy, trong sách giáo khoa, việc chứng minh các định lý

hay giải bài tập hình học hầu hết đều cần đến việc khéo léo bổ sung hình phụ hay với

các bài toán giải phương trình (bất phương trình, hệ phương trình), chứng minh bất

đẳng thức việc sử dụng ẩn phụ, bài toán phụ sẽ giúp HS dễ dàng giải quyết

1.5.2 Một số đặc điểm cơ bản của thủ pháp hoạt động nhận thức

Từ quan niệm TPHĐNT và nhóm các TP cụ thể theo tư tưởng sư phạm của

G Polya và các ví dụ đã trình bày, ta thấy TPHĐNT có các đặc điểm cơ bản sau:

i) TPHĐNT giúp người học tăng nhanh khả năng tìm giải pháp giải quyết vấn đề

Với vấn đề phức tạp, nếu biết vận dụng TP một cách phù hợp thì sẽ dễ dàng tìm được giải pháp hiệu quả Các ví dụ trình bày trên đây đã minh họa rõ điều này

ii) TPHĐNT không có quy tắc chung tiến hành các bước cụ thể để tìm giải pháp mà chúng gợi ý cho người học những gì nên làm để có thể nhanh chóng tìm ra giải pháp; một TP có nhiều cách thực hiện để đưa ra nhiều giải pháp khác nhau

Trở lại ví dụ 1.1, sau khi sử dụng TP quy nạp, thực nghiệm để dự đoán được

giá trị của x sao cho A đạt giá trị nhỏ nhất, HS có thể giải bài toán bằng hai cách khác nhau nhờ vận dụng TP phân nhỏ chia bài toán ban đầu thành các bài toán quen

thuộc, đơn giản hơn

TP bổ sung yếu tố phụ trong ví dụ 1.9 sẽ trình bày ở phần sau, cho thấy rõ

hơn điều này

iii) Một số vấn đề có thể được giải quyết bằng nhiều TP khác nhau nên cần lựa chọn TP hiệu quả hơn để sử dụng và ngược lại một số vấn đề đòi hỏi phải sử dụng nhiều hơn một TP để có giải pháp hiệu quả

Ví dụ 1.8 (Lớp 9) Tính: 4+ 7 + 4− 7

Các biểu thức 4+ 7 và 4− 7 khó gợi cho HS liên tưởng tới biểu diễn các biểu thức dưới dấu căn thành bình phương của một tổng (hoặc hiệu) HS có thể bổ sung hằng số phụ (nhân 2 với 4+ 7 và 4− 7), để đưa các biểu thức dưới dấu căn thành bình phương (vì ( )2

8 2 7− = 7 1− )

Ngoài ra, biểu thức dưới dấu căn thức có dạng là tổng và hiệu của hai số, nên

bổ sung ẩn phụ bổ trợ giả thiết, ta có lời giải này ngắn gọn và độc đáo hơn:

Mặt khác, nhiều khi để giải quyết một vấn đề ta cần sử dụng nhiều TP, chẳng

hạn: ví dụ 1.6 chúng ta phải sử dụng TP bổ sung yếu tố phụ (vẽ DL vuông góc với DI) và TP phân nhỏ thành hai bài toán bộ phận

iv) Các TPHĐNT có mối liên hệ mật thiết nhau

Mỗi TP cung cấp cho người học toán một hoặc một số cách phát hiện và giải quyết vấn đề Các TP có thể độc lập với nhau nhưng cũng có thể liên hệ mật thiết và không tách rời nhau Chẳng hạn, các TP phân nhỏ, TP tách biệt và TP kết hợp là trái ngược nhau nhưng liên hệ chặt chẽ với nhau trong một thể thống nhất, xen kẽ nhau, bổ sung lẫn nhau, thúc đẩy quá trình giải quyết vấn đề một cách sáng tạo TP kết hợp giúp chúng ta liên kết những ý tưởng, tính chất, chức năng từ những đối tượng khác với đối tượng cho trước để bài toán có được tính hài hòa, rõ nét hơn (ví dụ 1.3, 1.6 )