Đề Tài Sáng Kiến Kinh Nghiệm Rèn Kỹ Năng Giải Các Dạng Toán “ Ứng Dụng Hệ Thức Vi-Et”

Đổi mới chương trình, tăng cường sử dụng thiết bị dạy học, ứng dụng côngnghệ thông tin trong dạy học, đổi mới phương pháp dạy học toán hiện nay ởtrường THCS đã và đang làm tích cực hoạt

PHẦN I: MỞ ĐẦU 0

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu: 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu: 3

4 Phạm vi và đối tượng nghiên cứu: 3

5 Phương pháp nghiên cứu: 3

PHẦN II: NỘI DUNG 4

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4

1.Cơ sở lí luận 4

2.Cơ sở thực tiễn 5

CHƯƠNG II 6

CÁC DẠNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG HỆ THỨC VIÉT 6

A NHỮNG GIẢI PHÁP MỚI CỦA ĐỀ TÀI 6

B CÁC DẠNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI – ÉT 6

I KIẾN THỨC CƠ BẢN: 6

1 Định lý Vi-ét: 6

2 Các bộ điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước: 6

3 Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của phương trình bậc hai 8

4 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: 8

II CÁC DẠNG BÀI TẬP 9

1 Dạng 1: Giải phương trình bậc hai bằng cách tính nhẩm nghiệm 9

2 Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số khi biết một nghiệm của phương trình đã cho 10

nào đó của giả thiết 11

4 Dạng 4: Tính giá trị của một hệ thức giữa các nghiệm của phương trình bậc hai 12

5 Dạng 5: Xác định dấu của các nghiệm, xác định các hệ số của phương trình theo điều kiện về dấu của nghiệm 14

6 Dạng 6: Xác định tham số để các nghiệm của phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước 17

7 Dạng 7: (1) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai không phụ thuộc tham số m 21

8 Dạng 8: Nghiệm chung của hai hay nhiều phương trình, hai phương trình tương đương 25

9 Dạng 9:Tìm giá trị của tham số để biểu thức x1, x2của đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 28

10.Dạng 10: Chứng minh bất đẳng thức của biểu thức nghiệm 32

11.Dạng 11: Ứng dụng hệ thức Viét đảo vào bài tập 33

12.D¹ng 12: Lập phương trình đường thẳng y = ax + b (d) với a ≠ 0 quan hệ với Parabol y = mx2 với m ≠ 0 36

Chương III Thực nghiệm sư phạm 41

1.MỤC ĐÍCH THỰC NGHIỆM 41

2.NỘI DUNG THỰC NGHIỆM 41

1 Thực nghiệm qua bài dạy trên lớp: 41

2.Thực nghiệm qua các tiết tự chọn 56

3 Kết quả thực nghiệm và một sô chú ý 65

a Chưa áp dụng giải pháp 65

PHẦN III : KẾT LUẬN

PHẦN III : KẾT LUẬN 68

DANH SÁCH CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO 70

PHỤ LỤC 0

PHẦN I: MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Bộ môn Toán học được coi là một trong những môn học quan trọng, nó đượcvận dụng và phục vụ rộng rãi trong đời sống hàng ngày của chúng ta Bởi trướchết Toán học hình thành ở các em học sinh tính chính xác, hệ thống, khoa học,logic và tư duy cao,…do đó nếu chất lượng dạy và học ở trường THCS đượcnâng cao thì có nghĩa là các em học sinh tiếp cận với nền tri thức khoa học hiệnđại, có ý nghĩa giàu tính nhân văn của nhân loại

Đổi mới chương trình, tăng cường sử dụng thiết bị dạy học, ứng dụng côngnghệ thông tin trong dạy học, đổi mới phương pháp dạy học toán hiện nay ởtrường THCS đã và đang làm tích cực hoạt động tư duy học tập của học sinh,khơi dậy và phát triển khả năng tự học, tự tìm tòi, tự sáng tạo, … nhằm nâng caonăng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện và hình thành kỹ năng vậndụng kiến thức một cách khoa học, hợp lý, sáng tạo vào thực tế cuộc sống

Chúng ta đã biết rằng dạy toán không chỉ đơn thuần là dạy cho học sinh cónhững khái niệm, những định lí, những kiến thức…., mà điều quan trọng hơn cả

là người thầy phải dạy cho học sinh có được năng lực trí tuệ, năng lực này sẽđược hình thành và phát triển trong hoạt động học tập Trong xu thế hiện nay,việc đổi mới phương pháp dạy học là vấn đề cấp bách và cần thiết, nhằm hìnhthành cho học sinh thói quen tư duy tích cực, độc lập sáng tạo, nâng cao nănglực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện cho các em khả năng vận dụng kiếnthức vào thực tiễn, đòi hỏi mỗi giáo viên đứng lớp phải có một phương pháptruyền đạt kiến thức phù hợp, có khả năng hệ thống, phân loại và chọn lựa cácdạng bài tập phong phú, đáp ứng được yêu cầu tối thiểu của người học, tác độngđến tình cảm, đem lại niềm tin và sự hứng thú trong học tập của học sinh.Trongchương trình toán 9, lí thuyết phần lớn có tính chất hệ thống, cung cấp phươngpháp, bài tập thì phong phú, rèn luyện được kỹ năng giải toán cho học sinh

Trong đó “Ứng dụng hệ thức Vi-ét” là phần kiến thức quan trọng, cơ bản của

chương “ Hàm số y = ax 2 ( a khác 0 ) – Phương trình bậc hai một ẩn” Nhiều

lúc, nhờ hệ thức Viét mà ta có thể giải quyết được một số yêu cầu khác liên quancủa bài toán Để chứng minh một bài toán nói chung, đòi hỏi học sinh cần có khảnăng phân tích, phán đoán, tư duy tích cực, lí luận và trình bày tốt mới giải quyếtđược vấn đề

Hệ thức Viét là một nội dung quan trọng trong chương trình Đại số 9 Là mộtphần không thể thiếu trong quá trình ôn thi Trong các tài liệu tham khảo chỉ viếtvắn tắt nên học sinh lúng túng khi học phần này Qua 2 năm dạy lớp 9, bằngkinh nghiệm giảng dạy và tìm tòi thêm các tài liệu tôi đã phân chia ứng dụng của

Hệ thức Vi-ét thành nhiều dạng để học sinh dễ nhận dạng và vận dụng linh hoạtkhi gặp dạng toán này Hệ thức Vi-ét còn được tiếp tục vận dụng trong chươngtrình Toán THPT tuy nhiên trong bài viết này tôi chỉ đề cập trong nội dungchương trình Toán THCS Hệ thức Vi-ét được ứng dụng rộng vào bài tập vì thế

để học sinh dễ nhớ, dễ vận dụng thì khi dạy giáo viên nên chia ra thành nhiềudạng ứng dụng và phân chia thời gian dạy đối với từng nội dung phải thích hợp.Với mong muốn hệ thống những kiến thức trọng tâm về việc ứng dụng Hệthức viét để giải các bài toán ôn thi vào lớp 10 THPT cho học sinh lớp 9 đạtđiểm số cao nhất, giúp học sinh tháo gỡ và giải quyết những khó khăn, vướngmắc trong học tập đồng thời nâng cao chất lượng bộ môn toán nên bản thân tôi

đã chọn đề tài:

Rèn kỹ năng giải các dạng toán “ Ứng dụng hệ thức Vi-et” làm đề tài sáng

kiến kinh nghiệm trong năm học 2014 – 2015 này

2 Mục đích nghiên cứu:

Phân chia ứng dụng của Hệ thức Vi-ét thành nhiều dạng bài tập để học sinh dễnhận dạng và vận dụng linh hoạt để giải bài tập nhanh và đạt chất lượng caonhất

3 Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Tìm hiểu nội dung dạy học về Hệ thức Viét ở trường THCS

- Tìm hiểu mạch kiến thức về Hệ thức Viét mà các em học sinh đã được học

- Phân chia ứng dụng hệ thức Viét thành nhiều dạng bài tập để giảng dạy

- Điều tra về thực trạng học toán ở trường THCS

4 Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:

- Đề tài nghiên cứu trong phạm vi học sinh lớp 9 ở trường THCS đang côngtác, năm học 2014 - 2015

- Đề tài nghiên cứu một số dạng bài ứng dụng hệ thức Viét theo đúng nội dung

ôn thi vào lớp 10 THPT bao gồm cả kiến thức cơ bản và nâng cao đáp ứngnhu cầu học tập của học sinh muốn đạt điểm cao khi thi vào các trườngTHPT công lập và THPT chuyên trên toàn quốc

5 Phương pháp nghiên cứu:

- Nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SGV, SBT toán 9, tài liệu có liên quan

- Nghiên cứu qua theo dõi các bài kiểm tra

- Nghiên cứu qua thực tế giảng dạy, học tập của từng đối tượng học sinh

- Phương pháp mà tôi sử dụng để nghiên cứu chủ yếu đó là phương pháp thựcnghiệm

PHẦN II: NỘI DUNG

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.Cơ sở lí luận

Trước sự phát triển mạnh mẽ của nền kinh tế tri thức khoa học, công nghệ thôngtin như hiện nay, nền giáo dục đào tạo nước ta đang đứng trước những thời cơ vàthách thức mới Để hòa nhập với tiến độ phát triển đó thì giáo dục và đào tạo luônđảm nhận vai trò hết sức quan trọng trong việc “ đào tạo nhân lực, nâng cao dân trí,bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng và nhà nước đề ra

Là giáo viên ai cũng muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng,phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học Một vấn đề được đặt ra cho người giáoviên là phải dạy học như thế nào để học sinh không những nắm vững nội dung kiếnthức cơ bản một cách có hệ thống mà phải rèn luyện khả năng tư duy lôgic, rènluyện kỹ năng làm bài tập của bộ môn toán cũng như các môn khoa học khác Cóthái độ, quan điểm rõ ràng trong các bài tập của mình để tạo được sự hứng thú, say

mê trong học tập, tiếp thu kiến thức và có thể đưa các kiến thức đó ra áp dụng vàocuộc sống đời thường Do đó trong quá trình giảng dạy, mỗi giáo viên phải biết chắtlọc ra những nội dung kiến thức cơ bản một cách rõ ràng ngắn gọn và đầy đủ nộidung , phải đi từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng và rút ra những nội dung kiếnthức chính trong bài học Đồng thời có thể gợi mở , đặt vấn đề để học sinh pháttriển tư duy và kĩ năng phân tích nội dung và làm các bài tập toán học một cách chặtchẽ, rõ ràng và có hệ thống, đồng thời giúp cho các em nhận ra các dạng bài toán đãhọc một cách nhanh nhất

Để phát triển khả năng tư duy và sáng tạo trong việc học toán và giải toán thìviệc tìm ra kết quả của một bài toán phải được coi như là giai đoạn mở đầu cho mộtcông việc, tiếp theo là khai thác, phân tích bài toán đó Trong quá trình dạy học toánnói chung và quá trình giải toán nói riêng, người dạy cần tạo cho học sinh thói quen

là “sau khi tìm được lời giải một bài toán, dù lời giải bài toán đó đơn giản hay phứctạp, thì cũng cần tiếp tục suy nghĩ lật lại vấn đề, tìm thêm lời giải khác, cố gắng tìm

ra phương án giải tối ưu nhất có thể được” Hãy luôn nghĩ đến việc khai thác bàitoán bằng các con đường tương tự hoá, tổng quát hoá, đặc biệt hoá để tạo ra bàitoán mới trên cơ sở bài toán đã có Đối với việc học toán thì việc rèn luyện kỹ nănggiải toán là hết sức cần thiết, cần phải rèn luyện thường xuyên kỹ năng giải toánbằng nhiều cách, giải nhiều bài tập thuộc nhiều dạng khác nhau và sau đó tự mìnhsuy nghĩ rồi rút ra bài học kinh nghiệm Trước khi giải một bài toán, nên tìm hiểuxem bài toán thuộc loại nào? dạng nào? Sau đó tư duy chọn phương pháp giải chothích hợp, có định hướng cho phương pháp giải đó và khai thác bài toán tốt hơn

2.Cơ sở thực tiễn

* Về học sinh: Đối với học sinh trường THCS rất nhiều các em học sinh còn yếu về

môn toán, với nhiều lí do khác nhau, điều này hạn chế rất lớn đến việc phát huy tínhtích cực và độc lập nhận thức khi giải toán của học sinh, dẫn đến các em không hamhọc toán và không tự tin khi giải toán, lúng túng trong lí luận và trình bày Trongkhi đó ứng dụng hệ thức vào các dạng bài tập lại là một phần rất quan trọng trongbài thi vào lớp 10 THPT

*Về giáo viên: Chưa định hướng, xây dựng cho học sinh thói quen học tập và lòng

yêu thích môn học, chưa xây dựng phương pháp học tập tốt và kỹ năng giải toáncho học sinh, dạy học đổi mới chưa triệt để, ngại sử dụng đồ dùng dạy học, phươngtiện dạy học, ứng dụng công nghệ thông tin

*Về phụ huynh: Chưa thật sự quan tâm đến việc học tập của con em mình như theo

dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở sự học tập ở nhà Giữ mối liên lạc với nhà trườngchưa thường xuyên, việc theo dõi nắm bắt thông tin kết quả học tập của con emmình chưa kịp thời và chưa hiệu quả

CHƯƠNG II CÁC DẠNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG HỆ THỨC VIÉT

A NHỮNG GIẢI PHÁP MỚI CỦA ĐỀ TÀI

Đề tài đề ra giải pháp gồm các nội dung sau:

- Sắp xếp các dạng bài ứng dụng hệ thức Viét theo mức độ từ dễ đến khó

- Xây dựng các phương pháp giải cơ bản theo từng dạng bài

- Rèn kỹ năng làm thành thạo các bài toán ứng dụng hệ thức Viét

- Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán

* Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức cơ bản

* Đối với học sinh khá:

- Phát triển tư duy, kỹ năng giải các dạng toán ứng dụng hệ thức Viét có lồngghép bài tập nâng cao

- Đưa ra cách giải hay, sáng tạo, cho các dạng bài

Chú ý: Phương trình (*) chỉ có nghiệm khi S2  4P

2 Các bộ điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước:

Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = 0

(1) Có nghiệm:

TH1: a = 0: phương trình bx + c = 0 có 1 nghiệm

TH2: a  0;  (’)  0 phương trình ax2+bx+c = 0 có 2 nghiệm

(2) Vô nghiệm   (’) < 0

(3) Có nghiệm kép ( hai nghiệm bằng nhau)  a  0 ;  (’) = 0

(4) Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau)  a  0 ;  (’) > 0

(5) Hai nghiệm trái dấu  a.c < 0

(6) Hai nghiệm cùng dấu  a  0 ;  (’)  0 và P > 0

(7) Hai nghiệm cùng dấu dương(lớn hơn 0)  a  0 ;  (’)  0; S > 0 và P

> 0

(8) Hai nghiệm cùng dấu âm(nhỏ hơn 0)  a  0 ;  (’)  0; S < 0 và P >0

(9) Hai nghiệm đối nhau  a  0;  (’) > 0 và S = 0

(10) Hai nghiệm nghịch đảo của nhau  a  0 ;  (’) > 0 và P = 1

(11) Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn

a

P S

a

P S

- Nếu a = 0 xét phương trình bx + c = 0 có nghiệm x = c

b



 0

- Nếu a  0

TH1: Phương trình có một nghiệm bằng 0  P = 0

TH2: Phương trình có 2 nghiệm trái dấu ( có 1 nghiệm dương)  ac < 0TH3: Phương trình có 2 nghiệm dương 

( ') 0 0 0

P S

Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của hai số đó nhỏ nhất khi hai sốbằng nhau

Giả sử x x 1 , 2 0và x x1 2 Pkhông đổi, còn x1 x2 Sthay đổi

Vận dụng Định lý Viét và Viét đảo ta chia làm các dạng bài tập sau:

1 Dạng 1: Giải phương trình bậc hai bằng cách tính nhẩm nghiệm

 Phương pháp

trình có một nghiệm là x 1 = 1, còn nghiệm kia là x 2 = c

a

trình có một nghiệm là x 1 = -1, còn nghiệm kia là x 2 = - c

a Nếu phương trình có nghiệm x1, x2 thì theo hệ thức Viét ta có:

x1+ x2 = 7 và x1x2 = 10 ta nhẩm được hai nghiệm là x1= 2, x2 = 5

b Tương tự như câu a) ta có x1 + x2 = -6 và x1x2 = 8 nên

- Thay giá trị của tham số vừa tìm được vào x 1 x2 hoặc x1.x2để tìm nghiệm còn lại (nếu cần).

Tương tự như ví dụ trên ta tìm được m = -2 và nghiệm còn lại là x = -1

x có hai nghiệm x1, x2 và x2  0 Lập phương trình

bậc hai có hai nghiệm là

Bài 3: Lập một phương trình bậc hai mà các nghiệm của nó bằng tổng và tích của

các nghiệm của phương trình 2 0

*

a

b c y

a

bc y

y  

2 2

b c y

Bài 4: Cho phương trình 2 5 1 0

a Là các số đối của nghiệm phương trình (1)

b Là nghịch đảo của nghiệm của phương trình (1)

Hướng dẫn: a y1y2  x1x2  5m ; Phương trình: 2 5 1 0





 my y

x x

x x x x y

2 1

2 1 2 1 2

2 1 2 1 2

x x x x y y





 my y

4 Dạng 4 : Tính giá trị của một hệ thức giữa các nghiệm của phương trình bậc hai.

Ví dụ 1: Cho phương trình x2+ mx + 1 = 0 ( m là tham số)

Nếu phương trình có nghiệm x1, x2 Hãy tính giá trị biểu thức sau theo m:

Áp dụng định lý Viét có : 1 2

1 2

3 7

a Ta có  '= -1 < 0 nên phương trình vô nghiệm

b Ta có P < 0 nên phương trình có hai nghiệm trái dấu

c Ta có ' = 2; S = 2 3 > 0; P = 1 > 0 nên phương trình có hai nghiệmdương phân biệt

d Ta có  =57; S = -9 < 0; P = 6 > 0 nên phương trình có hai nghiệm âmphân biệt

Ví dụ 2: Tìm điều kiện của m để phương trình sau:

2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0

a Có hai nghiệm khác dấu b Có hai nghiệm phân biệt đều âm

c Có hai nghiệm phân biệt đều dương

d Có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau

Giải:

a Phương trình có hai nghiệm khác dấu khi P < 0 hay m - 1 < 0  m < 1

b Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm khi

không có giá trị nào của m thoả mãn

d.Phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhauhay phương trình có hai nghiệm đối nhau

Phương trình có hai nghiệm đối nhau khi

- Khi P < 0 thì kết luận ngay phương trình có hai nghiệm trái dấu

- Khi P > 0 ta phải xét đến hai yếu tố còn lại là  và S

 Bài tập áp dụng:

Bài 1: Cho phương trình (m 1)x2  2(m 4)x m   1 0 Tìm m để phương trình có

a Một nghiệm b Hai nghiệm phân biệt cùng dấu

c Hai nghiệm phân biệt cùng âm

Bài 2: Cho phương trình (m – 4)x2 – 2(m – 2)x+ m – 1 = 0 Tìm m để phương trìnhcó:

a Hai nghiệm cùng dấu b.Có một nghiệm dương

c.Có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn.

Bài 3: Cho phương trình: x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0

a Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm khi m thay đổi

b Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1 , 2thỏa mãn 1< x1 < x2 < 6

Bài 4: Cho phương trình: (m – 1) x2 – 2(m – 3)x + m - 4 = 0 Tìm m để phươngtrình có hai nghiệm

a Trái dấu b Hai nghiệm dương c Hai nghiệm nhỏ hơn 2

Bài 5: Cho phương trình: x2 + mx + 2m- 4 = 0 Tìm m để phương trình có ít nhấtmột nghiệm không âm

a Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau ( m = 52 )

b Tìm m để phương trình có hai nghiệm nghịch đảo nhau m 1

Bài 8: Tìm giá trị của m để phương trình:

a 2x2 + mx + m - 3 = 0 có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương ( 0 < m < 3)

b x2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0 có hai nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối (m = 1)

Bài 9: Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x + 3m + 1 = 0 Xác định điều kiện của m để hai

nghiệm là độ dài hai cạnh một hình chữ nhật

0 3

1

m m

Bài 10: Xác định m để phương trình x2 - (m + 1)x + 2m = 0 có hai nghiệm phân biệt sao

cho hai nghiệm là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5

6 Dạng 6: Xác định tham số để các nghiệm của phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước.

'

a

- Tính tổng S và tích P của hai nghiệm x1 và x2 .

- Kết hợp đẳng thức của giả thiết lập hệ phương trình gồm 3 phương trình

- Giải tìm tham số.

- Đối chiếu điều kiện, thử lại, kết luận.

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình x2 + 2x + m = 0 (m là tham số) có hai nghiệm

Thay vào (3) ta được m = -5

4 (thoả mãn điều kiện)

Thay vào (3) ta được (6 - m)(3m - 6) = 12 giải ra ta được m = 4 (thoả mãn)

Ví dụ 3: Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 + 2mx + 4 = 0 Xác định m

 m2  2    2 2 m2  2 2   m  2

Kết hợp với điều kiện '  0 ta được m = 2 hoặc m = -2

Ví dụ 4: Cho phương trình x2 – (2m-1)x + m – 1 = 0 Tìm m để phương trình cóhai nghiệm thỏa mãn 2 2

Ta có: 2m 1  2  0 víi mäi m   2m 1  2   1 1 0 víi mäi m

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

 Bài tập bổ sung:

Bài 1: Cho phương trình 3x2 - 4x + m = 0 Tìm các giá trị của m để phương

trình có nghiệm x1, x2 thỏa mãn x 1 3x2

Bài 2: Xác định giá trị của k sao cho hai nghiệm của phương trình x2 - 6x + k

= 0 thỏa mãn điều kiện 3x1 2x2  20

Bài 3: Cho phương trình x2 + 2x + 3k = 0 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phươngtrình, tìm giá trị của k để x1  x2  14

Bài 4: Cho phương trình (k + 1)x2 - 2(k + 2)x + k - 3 = 0 Xác định k để có hai

Bài 6: Cho phương trình x2 - 2(m- 2)x + (m2 + 2m - 3) = 0 Tìm m để phương

trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: 1 1 1 5 2

2 1

x x x x

2

m

m

Bài 7: Cho phương trình: (2m - 1)x2 + 2(1 - m)x + 3m = 0 Tìm m để phương

trình có hai nghiệm sao cho x21x22 4

2

m m m m m

0

m

m

 m = 0

Bài 8: Cho phương trình x2 + (m - 3)x - 2m + 1 = 0 Xác định m để phương trình

có hai nghiệm thỏa mãn: x21x226x1x2 0

m

m m

1 0

1 2 1 2

6

m

m m

m m

Bài 10: Cho phương trình x2 + mx + n - 3 = 0

Tìm m và n để hai nghiệm x 1 , x 2 của phương trình thỏa mãn hệ thức

2 2 2 1

x x x x

2 1

x x

3

13 4

n m n

m n m

( t/

m)

Bài 11: Cho phương trình x2 - ( 2m + 1)x + m2 + m = 0 Tìm m để phương trình

có hai nghiệm thỏa mãn - 2< x1 < x2 <4

Hướng dẫn : *= 1>0 * x1= m , x2= m + 1  x1

< x2

3 2 4 2

2 1

Bài 12: Tìm các giá trị của tham số a sao cho phương trình x2 + 2ax + 4 = 0

(1) có các nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn điều kiện 3

2 1 2 2 2

2 2 1 2 1 2 2 2

x x

x x

5

2 1

2 1

2 2 1

x x x

x

5 4

2 2 2 2

c q

p n m

Phương trình đã cho có nghiệm  '  0  m - 1

hay 4x1x2 = (x1 + x2 - 2)2 là hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc

vào m Cách giải chung của dạng này là theo hệ thức Viét ta có hai biểu thức

liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình Từ một trong hai biểu thức ta rút m theo hai nghiệm, sau đó thế vào biểu thức còn lại ta được biểu thức cần tìm

Tuy nhiên có thể dùng cách biến đổi tương đương để khử m từ hai phương trình, taxét tiếp ví dụ sau:

Bài 1: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình:

x2 - (m + 3)x + 2m - 5 = 0 mà hệ thức này không phụ thuộc vào m

Hướng dẫn: = (m -1) 2 + 28 0

m = S - 3 và m = P25 ta có hệ thức : 2(x1x2)  x1x2  11

Bài 2: Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0 Hãy tìm một biểu thức liên hệ

giữa hai nghiệm không phục thuộc vào m

2

2 '

m

m m

1





x = m Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm.

Hãy biểu diễn nghiệm này theo nghiệm kia

2

m m

+

1

1 2

2 1 2 1

2

2 5 0

5 2

2

x

x x

x x x x

a

- Biến đổi biểu thức đã cho xuất hiện x 1 +x 2 , x 1 x 2

- Thay giá trị của (tính theo m).

thức H = x11  x2x21  x1 không phụ thuộc vào m

4

19 2

1 '

1 '

Ví dụ 1: Cho hai phương trình: x2 - 3x + 2m + 6 = 0 (1) và x2 + x - 2m - 10 = 0 (2)

Chứng minh rằng: Với mọi m, ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm

Hướng dẫn: 1 2  26 > 0  có một biệt thức không âm

Ví dụ 2: Cho hai phương trình ax2 + bx + c = 0 (1) và ax2 + bx - c = 0 (2)

Chứng minh rằng với mọi a, b, c ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm

Hướng dẫn : 1 2  2 2 0



Ví dụ 3: Cho hai phương trình x2 - 3x - a - 2 = 0 (1) và x2 + ax + 1 = 0 (2) CMR

với mọi a trong hai phương trình trên có ít nhất một phương trình có hai nghiệm phânbiệt

Hướng dẫn: 1 2  (a +2) 2 + 9 > 0  có một biệt số lớn hơn 0.

Ví dụ 4: Cho b, c là các số thỏa mãn: 11 2

c

b Chứng minh rằng ít nhất một trong hai

phương trình sau có nghiệm: x2 + 2bx + c = 0 và x2 + 2cx + b = 0

2 ' 1 '

Ví dụ 5: Cho hai phương trình bậc hai: x2 + a1xb1  0 và x2 + a2xb2  0có các hệ

số thỏa mãn điều kiện: a1a2  2 (b1b2) Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phươngtrình trên có nghiệm

Hướng dẫn: Giả sử hai phương trình vô nghiệm:

 a1a2  2 (b1 b2) ( mâu thuẫn với giả thiết)

(2)Tìm giá trị của tham số để hai phương trình có ít nhất có một nghiệm chung.

Phương pháp:

 Cách 1:

- Giả sử x0là nghiệm chung, lập hệ hai phương trình (ẩn x và tham số).

- Giải hệ phương trình tìm x0, tìm tham số.

trình, tìm nghiệm chung.

- Rút kết luận.

 Cách 2: Rút tham số từ một phương trình đã cho.

- Thế giá trị của tham số vào phương trình còn lại, tìm x.

- Thay giá trị của x tìm m.

- Rút kết luận.

Ví dụ 1: Với giá trị nào của k thì hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung

x2 - (k + 4)x + k + 5 = 0

x2 - (k + 2)x + k +1 = 0 Hướng dẫn: x0= 2 ; k = 1

Ví dụ 2: Tìm giá trị nào của m để hai phương trình sau đây có ít nhất một nghiệm

Ví dụ 3: Tìm giá trị nguyên của a để hai phương trình sau có ít nhất một

nghiệm chung 2x2 + (3a - 1)x - 3 = 0 (1)

(3)Tìm giá trị của tham số để hai phương trình bậc hai đã cho tương đương với nhau

4 3 2 1

x x x x

x x x x

- Giải hệ phương trình tìm giá trị của tham số

n m n m mn

n m

* Thử lại, kết luận

Ví dụ 2: Cho hai phương trình 2 2  3 0

Tìm m và n để các phương trình (1) và (2) tương đương

*Phương trình (2) có ac = - 6<0  (2) có hai nghiệm phân biệt

3

3

2

n m m

n m

n m n

a

- Thay giá trị S và P tính giá trị của biểu thức theo tham số.



đẳng thức tìm giá trị của tham số.

- Đối chiếu điều kiện rút ra kết luận.

Ví dụ 1: Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + m - 5 = 0 với m là tham số

Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên Với giá trị nào của m thì biểu thức A

Cho phương trình x2 - mx + m - 1= 0 với m là tham số.

Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất củabiểu thức:

2

 khi m = -2; Cmax= 1 khi m = 1

Hoặc ta chứng minh C - 1 0 và C + 1

2  0

Ví dụ 3 : Cho Cho phương trình x2 – (2m-1)x + m – 1 = 0 Tìm GTLN cña

Vì m 2  2  0 víi mäi m  A  m 2  2  2 2 víi mäi m

Dấu bằng xảy ra khi (m – 2)2 = 0 hay m = 2 Vậy GTLN của

9

2 '

Bài 2: Xác định a để tổng bình phương hai nghiệm của phương trình

0 2

Bài 3: Cho phương trình 2 2 1 0

0 1

3 2'

15 4

15 4

15 2

Bài 5: Cho phương trình x2  mxm 1  0 Tìm giá trị nhỏ nhất A = x21x22  6 x x1 2

của và giá trị tương ứng của m

1 0

1 2

3 2 '

m

m m

1 0

min 2 1

m

m x

x

Bài 8: Cho phương trình 2 ( 1 ) 0

2 1 2

Bài 9: Cho phương trình 2 2 3 1 0

* x1x2=

m m

3 1 3

4

2 '

m

m m

max   m

A

10.Dạng 10: Chứng minh bất đẳng thức của biểu thức nghiệm

Ví dụ 1: Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình

Ví dụ 2: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình x2 - 18x + 1= 0

mà S1 = 18, S2 = 322, S3 = 5778 không chia hết cho 17 nên S4 , S5,… đều

không chia hết cho 17  Sn không chia hết cho 17với mọi n là số tự nhiên

11.Dạng 11: Ứng dụng hệ thức Viét đảo vào bài tập

Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết

3 5

Suy ra x, y là nghiệm của phương trình X2 - 3X + 2 = 0

Giải phương trình ta được x1 = 1; x2 = 2 Vậy (x ; y)  2;1 ; 1; 2   

b Đặt S = x - y; P = xy ta có hệ