Dạng toán quy luật dãy số lớp 6 rèn luyện cho học sinh được đức tính và phong cách làm việc trong khoa học như ý chí khắc phục và vượt qua khó khăn, lòng say mê và tìm tòi, sáng tạo tron
Trang 1I ĐẶT VẤN ĐỀ
1 Lý do chọn đề tài :
Trong dạy học toán nói chung, ở THCS nói riêng, giải toán có vị trí đặc biệt quan trọng Do vậy, việc dạy toán nói chung đã khó song việc nâng cao học sinh giỏi môn toán lại càng khó hơn
Dạng toán quy luật dãy số lớp 6 rèn luyện cho học sinh được đức tính và phong cách làm việc trong khoa học như ý chí khắc phục và vượt qua khó khăn, lòng say mê và tìm tòi, sáng tạo trong học tập Đồng thời thông qua hoạt động giải toán hình thành cho học sinh thói quen xét đoán vấn đề có căn cứ, làm việc
có kế hoạch, có kiểm tra kết quả cuối cùng, từng bước hình thành và rèn luyện cho học sinh thói quen suy nghĩ độc lập, linh hoạt Từ đó hình thành khả năng trình bày, diễn đạt một vấn đề một cách chặt chẽ và mạch lạc
Trong những năm qua việc giải toán tìm quy luật luôn tạo ra sự cuốn hút
và lòng say mê cho các thầy cô và các em nỗ lực hết sức trong việc dạy và học môn toán Đó là lý do tôi chọn đề tài: Rèn kỹ năng “ Giải toán tìm quy luật của một dãy số ” cho học sinh lớp 6
2 Mục đích của đề tài :
Tôi mong muốn tìm kiếm được nhiều tài liệu từ các nguồn khác nhau,
nghiên cứu kỹ càng các tài liệu đó và trình bày lại các kiến thức trong sáng kiến kinh nghiệm này thành một thể khép kín, và hi vọng có thể sử dụng như một tài liệu tham khảo cho học sinh và giáo viên
Nội dung trong đề tài cung cấp một số công thức cơ bản và kĩ thuật áp dụng
các công thức đó vào các bài tập ví dụ minh họa
3 Phạm vi và đối tượng của đề tài :
a Phạm vi nghiên cứu :
Nghiên cứu từ các tài liệu, các giáo trình về quy luật dãy số của các tác giả liên quan
b Đối tượng nghiên cứu :
Nghiên cứu một số dạng toán tìm quy luật của một dãy số
Trang 24 Phương pháp nghiên cứu :
Trong đề tài, các phương pháp sử dụng nằm trong các lĩnh vực sau đây: Tính số số hạng của một dãy số liên tiếp và tìm được số số hạng của một dãy số cách đều nhau
5 Thực trạng vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán tìm số số hạng và tổng của một dãy số :
Xuất phát bài toán trong sách giáo khoa như sau:
Tính: 1 + 2 + 3 +… + 9
Ta thấy rằng tổng trên có 9 số hạng chia thành 4 nhóm và cộng với 5, mỗi nhóm
là 10 như sau:
(1+ 9) + (2 + 8) + (3 + 7) + (4 + 6) + 5 = 45 Đây là bài toán mà lúc lên 7 tuổi nhà toán học Gauxơ đã tính nhanh tổng đó làm cho thầy giáo và các bạn trong lớp đều ngạc nhiên
Như vậy bài toán trên là cơ sở đầu tiên để chúng ta tìm hiểu và khai thác thêm rất nhiều các bài tập tương tự, được đưa ra nhiều dạng khác nhau, áp dụng
ở nhiều thể loại khác nhau, nhưng chủ yếu là tính toán, tìm số, giải toán có lời văn Để giải quyết được các dạng toán đó chúng ta cần nắm được kỹ năng tìm tổng số số hạng trong một dãy số Các bài toán được trình bày ở chuyên đề này, được phân ra các dạng khác nhau:
Dạng 1 Tìm số hạng của dãy số mà hai số liên tiếp của dãy số cách nhau cùng
một số đơn vị
- Tìm được số số hạng của một dãy số liên tiếp
- Tìm số số hạng của một dãy số cách đều nhau
Dạng 2 Tính tổng các số hạng của một dãy số mà hai số hạng liên tiếp của dãy
số cách nhau cùng một số đơn vị
Trong thực tế giảng dạy, khi được nhà trường phân công giảng dạy toán 6 tôi nhận thấy khả năng làm toán của học sinh còn rất nhiều hạn chế như: học sinh chưa xử lí được các tình huống đặt ra trong môn toán, cách tìm quy luật dãy số Qua khảo sát chất lượng đầu năm môn Toán vào tháng 8 của trường THCS Phạm Văn Đồng đạt kết quả như sau
Trang 3số HS
Học sinh còn nắm bắt các dạng toán này hạn chế, nhưng nguyên nhân chính là giáo viên hướng dẫn về cách tính chưa cụ thể còn mơ hồ cho nên học sinh chưa nắm bắt được cách ứng dụng cơ bản Vì vậy việc giải toán còn nhiều lúng túng làm bài chưa chính xác Học sinh chưa nắm kĩ các dạng toán đã học nên vận dụng chưa đạt
Trong thực tiển công tác giảng dạy bộ môn toán 6, tôi nhận thấy việc xây dựng các dạng bài tập tìm quy luật dãy số giúp rèn kĩ năng giải toán tìm quy luật của một dãy số của học sinh lớp 6 là rất cần thiết Qua đó, tôi có thể phát hiện những ưu điểm cũng như thiếu sót của học sinh về kiến thức, kĩ năng và tư duy
để có biện pháp kịp thời giúp các em phát huy hoặc khắc phục Mặt khác, cũng thông qua hoạt động giải toán, học sinh tự rút ra những ưu điểm và hạn chế của bản thân để khắc phục, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học toán tốt hơn để thi đạt kết quả cao
Trang 4II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Học sinh THCS có năng lực làm toán nhưng các em còn hạn chế về cách trình bày và chưa hiểu sâu các dạng toán Trong thực tiễn dạy học, để nâng cao khả năng làm toán cho học sinh, tôi đã thực hiện một số giải pháp sau
1 Các giải pháp thực hiện
a) Tìm hiểu thực trạng dạy và học, thực trạng học sinh và vốn hiểu biết của các em để có biện pháp phù hợp
b) Dạy chắc kiến thức về các khái niệm, quy tắc, công thức cho học sinh trong từng tiết học hằng ngày Tư duy chỉ xuất hiện trong tình huống có vấn đề Việc sách giáo khoa mới được viết theo hướng tạo điều kiện thuận lợi cho giáo viên áp dụng phương pháp đặt và giải quyết vấn đề
c) Tham khảo lại các loại toán ở bậc THCS, các loại sách nâng cao về môn toán, các tạp chí giáo dục Việc kích thích sự tò mò, óc sáng tạo của học sinh qua các bài toán nâng cao là hết sức cần thiết
d) Tìm hiểu kĩ nội dung, chương trình và sách giáo khoa THCS đặc biệt là
bộ môn toán lớp 6 và đề thi qua các năm đã ra những bài toán dạng giải toán tìm
số số hạng và tổng của một dãy số Học sinh làm bài chưa đạt nên đỗ điểm thấp e) Tạo tư duy từ thấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp là yêu cầu bắt buộc trong quá trình dạy học Đối với học sinh, chúng ta phải phân tích cụ thể, lặp lại nhiều lần và không được bỏ qua một chi tiết nhỏ nào để các em nắm kĩ và
từ đó vận dụng tốt hơn để làm các bài tập nâng cao
2 Các biện pháp thực hiện
Xác định được một số phương pháp cơ bản trên, để nâng cao chất lượng dạy toán cho học sinh lớp 6 Trường THCS Phạm Văn Đồng, tôi mạnh dạn thực hiện một số biện pháp sau :
2 1 Tìm số số hạng trong dãy số tự nhiên
Đ tìm s s h ng c a m t dãy s liên ti p ta dùng cách tính sau : ố số hạng của một dãy số liên tiếp ta dùng cách tính sau : ố số hạng của một dãy số liên tiếp ta dùng cách tính sau : ạng của một dãy số liên tiếp ta dùng cách tính sau : ủa một dãy số liên tiếp ta dùng cách tính sau : ột dãy số liên tiếp ta dùng cách tính sau : ố số hạng của một dãy số liên tiếp ta dùng cách tính sau : ếp ta dùng cách tính sau :
Số số hạng = ( số cuối – số đầu ) + 1
Trang 5Ví dụ 1 Cho dãy số 3, 4, 5, 6, 7,…, 35
Dãy số trên có bao nhiêu số số hạng ?
Giải :
Dãy số trên có các số số hạng là:
(35 – 3) + 1 = 33 ( số số hạng)
Đáp số: 33 số số hạng
Để tìm số số hạng của một dãy số cách đều nhau ta dùng cách tính sau:
Ví dụ 2 Cho dãy số 6, 8, 10, 12, …, 96.
Dãy số trên có bao nhiêu số chẵn ?
Giải:
Khoảng cách của dãy số là: 2 Dãy số trên có các số chẵn là:
(96 – 6) : 2 + 1 = 46 (số hạng) Đáp số: 46 số hạng
2.2 Tính tổng của một dãy số
Tính tổng của dãy số ta có thể dùng cách tính như sau :
tổng của dãy số sau: 6, 7, 8, …, 72
Giáo viên hướng dẫn :
- Tìm khoảng cách dãy số
- Tìm số số hạng vận dụng cách tính: (Số cuối – Số đầu) + 1
- Tính tổng: (Số đầu + Số cuối) Số số hạng : 2
Giải :
Dãy trên có các số số hạng là : (72 – 6) + 1 = 67 (số số hạng)
Tổng của dãy số đó là: ( 72 + 6 ) 67 : 2 = 2613
Đáp số: 2613
Tổng = ( số đầu + số cuối ) số số hạng : 2
Số Số hạng = ( Số cuối – Số đầu) : Khoảng cách + 1
Trang 6
Ví dụ 4 Tính tổng của dãy số có hai chữ số mà mỗi số chia hết cho 5 dư 1?
Giáo viên hướng dẫn :
- Học sinh tìm dãy số có hai chữ số
- Tìm số đầu và số cuối dãy số chia hết cho 5 và dư 1
- Tìm khoảng cách của dãy số
- Tìm số số hạng của dãy số
- Tính tổng của dãy số
Giải :
Dãy số có hai chữ số mà mỗi số chia hết cho 5 và dư 1 là:
11, 16, 21, …, 91, 96 Khoảng cách của dãy số là:
16 -11 = 5 Dãy số trên có các số số hạng là:
(96 - 11) : 5 + 1 = 18 (số số hạng ) Tổng của dãy số trên là:
(96 + 11) 18 : 2 = 963 Đáp số: 963
2.3 Từ những dạng bài tập trên giáo viên có thể cho học sinh làm thêm những bài tập có dạng nâng cao hơn áp dụng vào thực tiễn đời sống
Ví dụ 5 Hãy viết một dãy số gồm 8 số tự nhiên có số hạng đầu tiên là 35, số
hạng cuối cùng là 63, mỗi số hạng đều lớn hơn số hạng liền trước nó một số đơn
vị như nhau?
Giáo viên hướng dẫn :
Đối với bài toán này học sinh xác định được:
- 8 số tự nhiên chính là dãy số có 8 số hạng
- Số hạng đầu là 35
- Số hạng cuối là 63
Trang 7Như vậy ta phải tìm khoảng cách Muốn tìm khoảng cách giáo viên hướng dẫn học sinh ứng dụng cách tính trên chuyển thành tính khoảng cách: Khoảng cách = (số cuối – số đầu) : (số số hạng – 1)
Giải:
Khoảng cách của dãy số là:
(63- 35): (8-1) = 4 Vậy dãy số gồm 8 số tự nhiên đó là:
35, 39, 43, 47, 51, 55, 59, 63
Ví dụ 6 Trên sân vận động toàn bộ học sinh xếp thành 20 hàng Mỗi hàng sau
nhiều hơn hàng trước 4 bạn, hàng cuối cùng có 246 bạn Hỏi có tất cả bao nhiêu học sinh xếp hàng trên sân?
Giáo viên hướng dẫn: Học sinh xác định
- Số học sinh xếp thành 20 hàng chính là 20 số số hạng
- Số học sinh giữa hai hàng liên tiếp có khoảng cách là 4
- Số học sinh ở hàng cuối cùng là 246 bạn
- Tìm số học sinh xếp hàng đầu
- Từ cách tính trên,tìm số học sinh xếp hàng đầu như sau:
Giải:
Giải :
Số học sinh xếp hàng đầu là:
246 – (20 – 1) 4 = 170 (học sinh) Tổng số học sinh xếp hàng là:
( 246 + 170 ) 20 : 2 = 4160 (học sinh)
Đáp số: 4160 học sinh
Ví dụ 7 Cho dãy số 6, 9, 12, 15, …., 69, 72
a Từ 6 đến 72 dãy số có bao nhiêu số số hạng ?
b Số hạng thứ 2003 là số nào?
c Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy số ?
(Đề thi học sinh giỏi ngày 23/3/2003)
Số hạng đầu = Số hạng cuối – (số số hạng – 1) khoảng cách
Trang 8Giáo viên hướng dẫn :
- Xác định khoảng cách của dãy số: 9 – 6 = 3
- Tìm dãy số có bao nhiêu số số hạng thì vận dụng công thức:
Số số hạng = (số cuối – số đầu) : 3 + 1
- Tìm số hạng thứ 2003 chính là ta tìm số hạng cuối của dãy số có 2003
số hạng
- Tìm số hạng thứ 100 chính là tìm số hạng cuối của dãy số có 100 số hạng
Từ cách tính: số số hạng = (số cuối – số đầu) : khoảng cách +1
Học sinh rút ra tìm số hạng cuối như sau:
- Số hạng cuối = (số số hạng – 1) khoảng cách + số hạng đầu
- Áp dụng để giải câu b, c
- Tìm tổng của 100 số hạng đầu tiên ta dùng cách tính đã học
Giải :
Khoảng cách của dãy số là:
9 – 6 = 3 a) Từ 6 đến 72 dãy số có các số số hạng là:
23 1
3 : ) 6 72
b) Số hạng thứ 2003 là:
(2003 – 1) 3 + 6 = 6012 c) Số hạng thứ 100 là :
(100 – 1) 3 + 6 = 303 Tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy số là :
( 303 + 6 ) 100 : 2 = 15450 Đáp số : a) 23 số số hạng b) 6012
c) 15450
Ví dụ 8 Một quyển sách dày 284 trang Hỏi để đánh thứ tự các trang của cuốn
sách đó người ta phải dùng bao nhiêu lượt chữ số ?
(Đề thi học sinh giỏi ngày 11/3/2006)
Trang 9Giáo viên hướng dẫn: học sinh xác định được:
- Số có 1 chữ số từ 1 đến 9
- Số có 2 chữ số từ 10 đến 99
- Số có 3 chữ số từ 100 đến 284
- Rồi từ đó tìm số lượt chữ số để đánh số trang sách
Giải :
Các trang sách có 1 chữ số là:
(9 – 1) + 1 = 9 (trang) Các trang sách có 2 chữ số là:
(99 – 10) + 1 = 90 (trang) Các trang sách có 3 chữ số là : (284 – 100) + 1 = 185 (trang) Vậy người ta phải dùng số lượt chữ số để đánh số trang sách là:
9 1+ 90 2 + 185 3 = 744 (chữ số)
Đáp số : 744 chữ số
Ví dụ 9 Người ta viết 3897 chữ số để đánh số trang của một quyển sách Hỏi
quyển sách có bao nhiêu trang ?
Giáo viên hướng dẫn:
- Học sinh xác định được số có 1 chữ số, 2 chữ số, 3 chữ số và 4 chữ số như cách trên
- Sau đó tìm số chữ số để đánh trang của quyển sách
Giải :
Số trang từ 1 đến 9 phải viết: 9 1 = 9 (chữ số)
Các trang sách có 2 chữ số là:
(99- 10) + 1 = 90 (trang)
Số trang từ 10 đến 99 phải viết:
90 2 = 180 (chữ số) Các trang sách có 3 chữ số là:
(999 – 100) + 1 = 900 (trang)
Trang 10Số trang từ 100 đến 900 phải viết:
900 3 = 2700 (chữ số)
Vì 9 + 180 + 2700 = 2889
Mà 2889 < 3897 nên quyển sách có những trang được đánh số với 4 chữ số
Số trang đánh số với 4 chữ số là:
3897 2889
252 4
(trang) Vậy quyển sách có số trang sách là:
9 + 90 + 900 + 252 = 1251 (trang) Đáp số: 1251 trang
Ví dụ 10 Biết A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 9.10
Tính B = 3 A
Giải :
Ta có: B = 3 A
B = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + 9.10.3
B = 1.2.3 + 2.3 ( 4 – 1 ) + 3.4 ( 5 – 2 ) + … + 9 10 ( 11 – 8 )
B = 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 + … + 9.10.11 – 8.9.10
B = 9.10.11 = 990
Vậy : 3 A = 990 A = 330
Ví dụ 11 Cho A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 9.10
Tính C = A + 10 11
Giải :
Ta có :
A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 9.10
3A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + 9.10.3
3A = 1.2.3 + 2.3 ( 4 – 1 ) + 3.4 ( 5 – 2 ) + … + 9 10 ( 11 – 8 ) 3A = 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 + … + 9.10.11 – 8.9.10 3A = 9.10.11
Suy ra: A = 9.103.11 = 330
Vậy : C = 330 + 10 11 = 440
Trang 11Ví dụ 12 Tính tổng B theo A biết
A = 1.2 + 2.3 + … + n ( n + 1 ) + … + 98.99
B = 1.99 + 2 98 + 3.97 + … + n ( 100 – n ) + … + 98.2 + 99 1
Giải :
Ta có :
A = 1.2 + 2.3 + … + n ( n + 1 ) + … + 98 99
Suy ra : 3 A = 1.2.3 + 2.3.3 + … + n.( n + 1 ).3 + … + 98 99 3
3 A = 1.2.( 3 – 0 ) + 2.3.(4 – 1 ) + … + 98 99 ( 100 – 97 )
3 A = 98 99 100
A = 323400
3
100 99 98
Mặt khác ta có :
B = 1.99 + 2.98 + 3 97 + … + n ( 100 – n ) + … + 98 2 + 99.1
B = 1.99 + 2 ( 99 -1 ) + 3 ( 99 – 2) + … + 98 ( 99 -97 ) + 99 ( 99 – 98 )
B = ( 1.99 + 2 99 + 3 99 + … + 99 99 ) – ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 98 99 )
B = 99 ( 1 + 2 + 3 + … + 99 ) - A
Vậy : B = 99 A
2
99 100
= 490050 - 323400 = 166650
Ví dụ 13 Tính tổng
2 2 2 2
1
1 2
3 2
5 2
1
3
n n
n S
Giải :
Ta có :
2 2 12
1 1
1
1 2
i i i
i
i
Do đó :
2 2
2
2 2
2 2 2
2
1
2 1
1 1
1
1 1
3
1 2
1 2
1 1
n
n n n
S
n n S
Trang 12Ví dụ 14 Tính tổng S gồm 23 số hạng sau :
25 24 23
1
5 4 3
1 4 3 2
1 3
2 1
1
S
Giáo viên hướng dẫn: ta có thể áp dụng công thức
1
1
1 1
1
1 1
1 1
2
n n
n n n
Để phân tích các số hạng của tổng S và suy ra kết quả tổng quát bài toán trên
Giải :
Ta có :
25 24 23
1
5 4 3
1 4 3 2
1 3
2 1
1
S
1200 299
600
299 25
24
1 2
1 2
25 24
1 24 23
1
4 3
1 3 2
1 3 2
1 2 1
1 2
25 24 23
2
5 4 3
2 4 3 2
2 3
2 1
2
2
S S S S
Ví dụ 15 Tính tổng
8 3
1
3
1 3
1 3
1
S
Giải :
Ta có :
1 3
1
3
1 3
1 1
2
3
1
3
1 3
1 3
1
8 3
2
S
Lấy ( 1 ) trừ ( 2 ) ta được :
6561
3280 :
6561
6560 6561
1 1 3
1 1
S đó Do S