Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 10 tỉnh vĩnh phúc năm học 2015 2016(có đáp án)

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số sau có tập xác định là ¡.. Tìm điểmKtrên đường thẳng BD sao cho Kkhông trùng với Dvà đường thẳng AKvuông góc với đường thẳng KM.. Gọigiao đ

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10,11 THPT NĂM HỌC 2015-2016

ĐỀ THI MÔN: TOÁN10- THPT

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

Câu 1 (1,5điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số sau có tập xác định là ¡ .

2

2015 2016

x y





Câu 2 (2,5điểm).

a) Giải bất phương trình x 2 2  2x 5 x1.

b) Giải phương trình x4 2x3 2x2 x  x

Câu 3 (1,0 điểm).Cho phương trình x3 (2m1)x2(m2)x m  2 0 , trong đó m là tham

số Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có ba nghiệmphân biệt x x x thỏa mãn1, ,2 3

x x x 

Câu 4 (3,0 điểm).

a) Cho hình vuông ABCD M là trung điểm của , CD Tìm điểmKtrên đường thẳng BD sao cho

Kkhông trùng với Dvà đường thẳng AKvuông góc với đường thẳng KM

b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCDcóA  5;1 , điểmCnằm trên

đường thẳng :d x 2y 3 0 Gọigiao điểm của đường tròn tâmBbán kính BDvới đường thẳngCD là ( E E D) Hình chiếu vuông góc của D trên đường thẳng BE là điểm N4; 2  

Tìm tọa độ các điểm , , B C D

c) Cho tam giác ABCkhông vuông với độ dài các đường cao kẻ từđỉnh ,B C lần lượt là , h h , b c

độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnhAlà m Tính a cos A , biết h b 8,h c 6,m a 5.

Câu 5 (1,0 điểm).Giải hệ phương trình

ïí

ïî

Câu 6 (1,0 điểm).Cho hai số thực dương ,a b thỏa mãn a b< và

1

3

ab

b a





 Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức

1 2 1 2

P

a a b





-Hết -ĐỀ CHÍNH THỨC

Thí sinh không được sử dụng tài liệu.Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh………

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10,11 THPT NĂM HỌC 2015-2016

ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN10 - THPT

I LƯU Ý CHUNG:

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn

II ĐÁP ÁN:

1 (1,5 điểm)

Hàm số có tập xácđịnh¡ khi và chỉ khi

2

Với m= ta có ( ) 4 0,1, f x = > x" Î ¡ Do đó m= thỏa mãn.1 0,25

1 ( ) 0,

m

ì >

ïï

ïî

1

m

ì >

ïï

Û íï - - <

2 a (1,5 điểm)

Điều kiện xác định:

5 2

2x 1 2 (x 2)(x 1) 2x 1 4 2x 5

2

6 3

x x

é ³ ê Û

ê £

Vậy nghiệm của bất phương trình là x³ 6 hoặc

5

3

b (1,0 điểm)

Điều kiện xác định: x  hoặc 1 x 0

PT đã cho tương đương x2 x2  2x2 x  x2  x 0,25 Đặt t x2 x t, 0, ta được PT: t4 t2 2.t0.

hoặc t  2.

0,25

Với t  2 thì x2 x 2 0  x1;x2.Vậy các nghiệm của PT là x   1;0;1;2  0,25

3 (1,0 điểm)

PT

2

2

1

x





Yêu cầu bài toán tương đương: Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt x x khác1, 2 1 thỏa 0,25

(Đáp án có 04 trang)

mãnx12+ =x22 16.

Phương trình (1) có hai nghiệmx x phân biệt khác1, 2 1 khi

2

(*)

m

Theo định lí Viet ta có

1 2

1 2

2 2





 

 Khi đó x12x22 16 (x1x2)2 2x x1 2 16

Do đó4m2- 2(2- m) 16.=

0,25

2

m

5 2

m 

Kết hợp vớiđiều kiện (*) ta đượcm= , 2

5 2

4 (3,0 điểm)

a (1,0 điểm)

K

B A

D

Gọi a là độ dài cạnh hình vuông ABCD Đặt DA u DC v ; 

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

thì u v a

và u v . 0.

 

Giả sử DK xDB x ( 0)

thì DK x u v    0,25 Suy ra AK DK DA (x1)u xv

và

1 2

MK DK DM xux v

0,25

AK MK  x u xv xu  x v  x x a x x  a 

0,25

Vậy, điểmK nằm trên BD thỏa mãn

3 4

uuur uuur

0,25

b (1,0 điểm)

I N

E C

A

D

B

Gọi I AC BD , do BND 900 nênIA IB ICIDIN, suy ra ANC 90 0 0,25

CN có véc tơ pháp tuyến uuurAN=(9; 3- )

nên phương trình CN: 3x y- - 14=0. 0,25

Tọa độ C thỏa mãn hệ

x y





 , suy ra C5;1 

Do BD=BE và BC^DE nên C là trung điểm DE, suy ra CI BE Do đó D đối xứng||

Phương trình AC y   , từ đó suy ra : 1 0 D4;4 

Do I0;1

nên B   4; 2 

Vậy B4; 2 ,  C5;1 , D4; 4 

0,25

c (1,0 điểm)

F E

K

M

N

B

A

C

Vẽ đường cao BM và CN của tam giác ABC ( MAC N, AB ) Gọi K là trung điểm của

BC, qua K kẻ đường thẳng song song với CN và BM cắt AB, AC lần lượt tại E và F Khi

đó E là trung điểm BN và F là trung điểm CM

0,25

Bốn điểm , , ,A E K F nằm trên đường tròn đường kính AK  , theo định lý sin trong tam5

giác EKF ta được EF AK.sinEKF 5sinA

0,25

Áp dụng định lý cosin trong tam giác EKF ta được :



25sin A 25 24.cosA 25 1 cos A 25 24.cosA

24 cos

25

A

(vì cosA  ).0

0,25

5

(1,0 điểm) Giải hệ

ïí

ïî Cộng tương ứng hai vế của (1) và (2) ta được

x + x + x=y - y + y- Û (x+1)3+ + = -(x 1) (y 2)3+ -(y 2) 0,25

(x 1 y 2) (éx 1) (x 1)(y 2) (y 2) 1ù 0

Thếy= + vào(2) ta được: x 3

2

6

6

x

x

ê = ê ê

-ê = ê

0,25

Vậy hệ có nghiệm (x y; )

là:

6 (1,0 điểm).

Ta có 3b a   1 ab

  2

3

Đặt

b

t

a



ta được

3 3

a

Ta có

P

Mặt khác

2

4

1

3

a

b



0,25

Do đó P 4 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

1

3