Đề thi học sinh giỏi toán lớp 12 có đáp án chi tiết

Đề thi học sinh giỏi toán lớp 12 có đáp án chi tiết Đề thi học sinh giỏi toán lớp 12 có đáp án chi tiết Đề thi học sinh giỏi toán lớp 12 có đáp án chi tiết Đề thi học sinh giỏi toán lớp 12 có đáp án chi tiết Đề thi học sinh giỏi toán lớp 12 có đáp án chi tiết Đề thi học sinh giỏi toán lớp 12 có đáp án chi tiết Đề thi học sinh giỏi toán lớp 12 có đáp án chi tiết Đề thi học sinh giỏi toán lớp 12 có đáp án chi tiết Đề thi học sinh giỏi toán lớp 12 có đáp án chi tiết Đề thi học sinh giỏi toán lớp 12 có đáp án chi tiết Đề thi học sinh giỏi toán lớp 12 có đáp án chi tiết Đề thi học sinh giỏi toán lớp 12 có đáp án chi tiết Đề thi học sinh giỏi toán lớp 12 có đáp án chi tiết Đề thi học sinh giỏi toán lớp 12 có đáp án chi tiết Đề thi học sinh giỏi toán lớp 12 có đáp án chi tiết Đề thi học sinh giỏi toán lớp 12 có đáp án chi tiết Đề thi học sinh giỏi toán lớp 12 có đáp án chi tiết Đề thi học sinh giỏi toán lớp 12 có đáp án chi tiết Đề thi học sinh giỏi toán lớp 12 có đáp án chi tiết Đề thi học sinh giỏi toán lớp 12 có đáp án chi tiết

Sở Giáo dục và đào tạo thanh hoá Kỳ thi chọn HọC SINH GIỏI CẤP TRƯỜNG

Năm học: 2015-2016 Mụn thi: Toán - LỚP : 12

Thời gian: 180 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)

Bài 1(4 điểm) Cho hàm số y = x4 – 2mx2 + 1

a)Khảo sỏt và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1

b) Tỡm m để hàm số cú ba điểm cực trị đồng thời 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành một tam giỏc cú diện tớch bằng 4 2

Bài 2: (4 điểm) Giải cỏc phương trỡnh sau

a) cos 2x 2 sin(x 4) 2 1

1 sin x

π

=

−

b) cos6x(1+2sinx) + 2cos2x = 1 + 2cos5x.sin2x

Bài 4: (2điểm) Giải hệ phương trỡnh

2 2

2y(1 13y ) x(1 x ) 3xy(x y)

x (x 2) 2(1 4y)





Bài 5(2 điểm) Từ cỏc chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 viết ngẫu nhiờn một số tự nhiờn gồm

6 chữ số khỏc nhau Tớnh xỏc suất để cỏc chữ số 0,1,2 cú mặt trong số viết được

Bài 6:(2 điểm) Khai triển và rỳt gọn biểu thức

p(x) 1 x 2(1 x) = − + − + + n(1 x) , n N − ∈ thu được đa thức p(x) = ao + a1x+ … +an xn Tớnh hệ số a8 biết n thỏa món 2 3

C + C = n

Bài 7(2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giỏc ABC cõn ở A cú H(2;1) là

trung điểm của BC, AB 5BC

2

= và đường thẳng AC cú phương trỡnh 2x – y +2 = 0 Tỡm tọa độ điểm A

Bài 8:(4 điểm) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú SC ⊥ (ABCD) , SC = 3a

2 , đỏy ABCD là hỡnh thoi cú cạnh bằng a 3 và ABC 120ã = o

a)Tớnh theo a thể tớch của khối chúp S.ABCD

b)Tớnh gúc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD)

c)Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng SA,BD

……… Hết………

Sở Giáo dục và đào tạo thanh hoá

Tr ờng thpt lê văn linh HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG Năm học: 2015-2016

Môn thi: To¸n – LỚP : 12

ĐIỂM

1a y = x4 – 2mx2 + 1

a)Với m = 1 : y = x4- 2x2 + 1©

+) Tập xác định : D = R

+) Sự Biến thiên:

x

y lim→±∞ = +∞ ;y’ = 4x3 – 4x ; y’ = 0 x 0

x 1

=



⇔  = ±

Bảng biến thiên

x −∞ -1 0 1 +∞

y’ 0 0 0

y +∞ 1 +∞

0 0

Hàm số đồng biến trên các khoảng ( -1;0) và ( 1; +∞) , nghịch biến

trên (−∞;-1) và (0; 1)

Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 , yCĐ = 1

Hàm số đạt cực tiểu tại x = ± 1 , yCT = 0

+) Đồ thị : ( C) cắt Oy tại (0;1) ( C) cắt Ox tại (-1;0) và (1;0)

Hàm số là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục Oy là trục đối xứng

0.25 0.25

0.5

0.5

0.5

1b y = x4 – 2mx2 + 1

Ta có: y’ = 4x3 – 4mx; y’ = 0 x 02

x m (*)

=



⇔  =



Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi pt y’ = 0 có ba nghiệm phân

biệt, hay (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 ⇔m> 0

Với m >0 đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là A(0;1), B(- m ; 1-m2)

C( m; 1-m2)

Phương trình đường thẳng BC là y + m2 – 1 = 0

Theo bài ra SABC= 4 2 1BC.d(A, BC) 4 2

2

⇔ = ⇔ = ⇔ = Vậy m = 2thỏa mãn bài toán

0.5 0.5 0.25 0.25 0.5

2a

Điều kiện:x k2 (k Z)

2

π

≠ + π ∈ Khi đó cos 2x 2 sin(x 4) 2 1

1 sin x

π

=

−

2

2cos x 1 (sin x cos x) 2 1 sin x

0.5 0.5

2

π





 =  =± + π π

Đối chiếu điều kiện ta đợc nghiệm của phơng trình là

x = n2 , x= +n2 (n Z)

0.75 0.25

2b cos6x(1+2sinx) + 2cos2x = 1 + 2cos5x.sin2x

2

cos 6x 2 cos 6x.sin x 2cos x 1 2cos5x.sin 2x

cos 6x sin 7x sin 5x cos 2x sin 7x sin 3x

cos 6x cos 2x (sin 5x sin 3x) 0

cos 4x 0 2cos 4x(cos 2x sin x) 0

cos 2x sin x cos( x)

2 k

x

8 4 k2

2

=







π π

 = +



 π π



⇔ = +

 π

 = − + π



Z)

∈

0.5 1.0

0.5

2 2

2y(1 13y ) x(1 x ) 3xy(x y) (1)

x (x 2) 2(1 4y) (2)







Ta cú : (1) ⇔ (x y) + 3 + + = (x y) 27y 3 + 3y (*)

Xột hàm số f(t) = t3 +t ( t ∈ R) cú f’(t) = 3t2+ 1 > 0 với mọi t

⇒ f(t) là hàm số đồng biến trờn R mà (*) cú dạng f(x+y) = f(3y) nờn

x + y = 3y ⇔ x= 2y thay vào (2) ta được

x4 = 2x2+4x + 2 = 2(x+1)2

2 2

x

2

= − −



Từ đú kết luận nghiệm của hệ pt

0.5

0.5 0.5 0.25 0.25

5 Gọi số tự nhiờn cú 6 chữ số khỏc nhau là abcdef

+)Cú 9cỏch chọn a,cúA59cỏch chọn bộ bcdef

⇒ Ω = n( ) 9 5

9

A = 136080 Gọi A là biến cố : “số được viết cú mặt cỏc chữ số 0,1,2”

+) Cú 5 vị trớ để xếp chữ số 0 ,cú 5 vị trớ xếp chữ số 1,cú 4 vị trớ xếp

chữ số 2 , cú 3

7

A cỏch chọn 3 chữ số cũn lại 3

7

n(A) 5.5.4.A 21000

Vậy P(A) = 25

162

0.75 0.75 0.5

6

C + C = ⇔ n n 32 n 9

n 5n 36 0

≥



⇔ =

 − − =



Suy ra a8 là hệ số của x8trong biểu thức 8(1-x)8 + 9(1-x)8

Do đú a8 =8 C88+ 9C89= 89

1.0 0.5 0.5

7 Gọi E là hình chiếu của H trên AC Ta có :

HE = d(H,AC) = 5

AC = AB 5BC

2

= = 5 HC

AH = AC 2 − HC 2 = 2HC

Trong tam giác AHC : 12 12 12 HC 5 AH 5

AH + HC = HE ⇒ = ⇒ 2 =

Gọi A(x;y) , tọa độ điểm A thỏa mãn

2x y 2 0

AH 5 (2 x) (1 y) 25 x 2; y 2

− + =

 =  − + −  = − = −

Vậy A(2;6) , hoặc A(-2;-2)

0.5 0.5 0.5 0.5

8a

Ta có : SABCD = 2 SABC = AB AC sin120o=3 3a2

2 VS.ABCD = ABCD

1 SC.S

3 = 3 3a3

4 (đvtt)

0.5 0.5

8b Gọi H là hình chiếu của C trên AB ,ta có

AB CH

AB (SCH) AB SH

AB SC(do SC (ABCD))

⊥



Do đó ((SAB),(ABCD)) (CH,SH) SHC = =·

Trong tam giác BCH : CH = BC.sin·CBH = BC sin60o=3a

2 Tam giác SCH có SC = CH , SC CH(do SC (ABCD)) ⊥ ⊥ ⇒ ∆SCH

vuông cân tại C⇒ SHC 45 · = o Vậy((SAB),(ABCD)) 45 = o

0.5

0.5 0.5

8c Kẻ OI ⊥ SA Ta có

BD AC

BD (SAC) BD OI

BD SC(do SC (ABCD))

⊥

Theo định lí côsin trong tam giác ABC ⇒AC= 3a 2 2 3 5a

2

SCA

∆ đồng dạng với ∆ OIA OI OA OI 3 5a

0.5 0.5 0.5