Su dung MTCT trong mot so bai toan (LN huyen)

ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY HỖ TRỢ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN THI ĐẠI HỌC VÀ HỌC SINH GIỎI Lương Ngọc Huyên--- Trong chuyên đề này chúng tôi trình bày một số ứng dụng của MTCT để giải và t

ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY HỖ TRỢ GIẢI MỘT SỐ

DẠNG TOÁN THI ĐẠI HỌC VÀ HỌC SINH GIỎI

Lương Ngọc Huyên -

Trong chuyên đề này chúng tôi trình bày một số ứng dụng của MTCT để giải và tìm hướng giải cho các dạng toán: giải phương trình lượng giác, giải phương trình đại số, giải phương trình siêu việt; kiểm tra giới hạn của hàm số; kiểm tra đạo hàm của hàm số; kiểm tra tích phân của hàm số; tính toán với số phức…Các bài toán trong phần này được chọn lọc từ các đề thi đại học, đề thi thử đại học và đề thi chọn học sinh giỏi trong cả nước để đảm bảo tính sát thực của những bài toán nêu ra

Qua những ví dụ và bài tập tương tự nêu ra chúng ta có thể nhận thấy những tiện ích của MTCT trong giải toán Nhờ sự trợ giúp của MTCT, ta có thể tìm lời giải bài toán nhanh hơn, đúng hướng hơn Việc sử dụng MTCT ở đây không chỉ đơn thuần là tính toán, mà nó là sự kết hợp khéo léo giữa toán học và MTCT để có thể xử lí tốt hơn những vấn đề, những bài toán đặt ra Đây chính là điều mà chúng tôi muốn đề cập đến trong chuyên đề này

• Shift + OFF: Tắt máy

• AC: Xoá mang hình, thực hiện phép tính mới

1.3 Phím chức năng

• CLS: Xoá màn hình

• DEL: Xoá số vừa đánh

• ENG: Chuyển dạng a.10n với n giảm.

• ENG: Chuyển dạng a.10n với n tăng

1.4 Hàm, tính toán, và chuyển đổi

• Sin, Cos, Tan: Sin, Cosin, Tan

• Sin-1, Cos-1, Tan-1: Hàm ngược của các hàm số Sin, Cosin, Tan

• Log, Ln: Logarit cơ số 10, cơ số e

• ex, 10x: Hàm mũ cơ số e, cơ số 10

• x2, x3: Bình phương, lập phương

• x-1: Hàm nghịch đảo

• x!: Giai thừa

• %: Phần trăm.

• ab/c: Nhập hoặc đọc phân số, hỗn số, số phập phân và ngược lại

• d/c: Đổi hỗn số ra phân số

• POL(: Chuyển toạ độ đề các sang tạo độ thực

• Rec(: Chuyển toạ độ cực sang toạ độ đề các

• RAN#: Hiện số ngẫu nhiên

• DT: Nhập dữ liệu, hiện kết quả

• δn: Độ lệch tiêu chuẩn theo n.

• δn−1: Độ lệch tiêu chuẩn theo n-1.

• n : Tổng tần số

• ∑xTổng các biến ước lượng

• ∑x2Tổng bình phương các biến ước lượng

• DEC, HEX, BIN, OCT: Cơ số 10,16, 2, 8

• (-): Dấu âm.

• +, -, *, / , ^: Cộng, Trừ, Nhân, Chia, Mũ

• <-, ->, á, â: Di chuyển dữ liệu

• : Ngăn cách phần nguyên và phần thập phân.

• , : Ngăn cách các giá trị trong hàm.

o Chọn 1: SD: Trạng thái giải bài toán thống kê 1 biến

o Chọn 2: REG: Thống kê 2 biến

o Chọn 2: Rag: Chuyển chế độ Radial.

o Chọn 3: Gra: Chuyển chế độ Graph

• MODE 5:

o Chọn 1: Fix:Ấn định số thập phân (0-9)

o Chọn 2: Sci: Ấn định số có nghĩa (0-9) của số a ghi dưới dạng a.10n

o Chọn 3: Norm: Chọn 1 hoặc 2 để ghi kết quả tính toán dạng khoa học a.10n

• MODE 6:

o Chọn 1: DISP: Chọn kiểu hiện thị

• Chọn 1: EngON: Hiện số dạng kỹ thuật

• Chọn 2: EngOFF: Không hiện số dạng kỹ thuật

o Chọn →

• Chọn 1: ab/c: Kết quả ở dạng hỗn số

• Chọn 2: d/c: Kết quả ở dạng phân số

o Chọn →

 Chọn 1: DOT: Dấu chấm ngăn cách phần thập phân

 Chọn 2: COMMA: Dấu phảy ngăn cách phần thập phân

2 Ứng dụng của MTCT trong giải phương trình

Khi giải các phương trình ta thường dùng cách nhẩm nghiệm để biến đổi phương trình ấy về dạng đơn giản hơn (mà thường là đưa về phương trình tích) Khi

đó, việc giải một phương trình phức tạp được chuyển về việc giải những phương trình dễ hơn Chúng tôi sẽ minh họa phương pháp này thông qua việc giải một

số phương trình lượn giác, phương trình đa thức, phương trình vô tỉ, phương trình siêu việt, hệ phương trình,…

Để giải phương trình lượng giác bằng phương pháp này, ta sẽ tiến hành theo các bước sau:

Bước 1 Tiến hành phép thử để tìm một nghiệm đặc biệt Có hai cách để sử dụng

MTCT tìm nghiệm của một phương trình, đó là:

Cách 1 Thử các giá trị đặc biệt trên MTCT,

Cách 2 Dùng chức năng giải phương trình có sẵn trên MTCT.

Bước 2 Giải phương trình, hệ phương trình với nghiệm tìm được Từ nghiệm tìm

được ta phân tích (thành tích) phương trình cần giải về về các phương trình đơn giản hơn

Ví dụ 1 Giải phương trình: cos3 x + cos 2 x + sin 2 x + sin - 5cos x x = 3 (1).

Phân tích Thử trên MTCT thu được các nghiệm 2 ; 5

(4 - 3 ) (2 -1) 2 sin - 5 t t + t + t x t = ⇔ 3 4 - 2 t t + (2sin -8) x t + (sin - 4) 0 x =

Do thử nghiệm ở trên nên ta biết (1) có nghiệm 1

Ví dụ 2 Giải phương trình: 3cos2x + 5sinx + cosx - sin2x = 4 (2).

Phân tích. Thử trên MTCT thu được các nghiệm ; 5

(3) ⇔ 6cos x + cos 2 - 3sin 2 x x + 9sin -8 0 (3') x =

Thử trên MTCT thu được nghiệm

Phân tích Sử dụng MTCT ta tìm được hai nghiệm của (4) là x=10 và x= −11 Từ

đó phân tích thành nhân tử đa thức

4 3 114 2 218 220 ( 10)( 11)( 2 2 2)

x − −x x + x+ = −x x+ x − x−Đây là phương trình tích của các phương trình đơn giản

Ví dụ 5 Tìm nghiệm x>1 của phương trình x4−2x3−12x2−21x+30 0= (5)

Phân tích Sử dụng MTCT ta tìm được một nghiệm của (5) là x= >5 1 Từ đó phân tích thành nhân tử đa thức

f x'( ) 3= x3−6x+ =3 3(x−1)2 > ∀ >0, x 1

Do đó ( )f x đồng biến trên khoảng (1;+∞) Suy ra ( )f x > f(1) 1,= ∀ >x 1 Vậy (*) không có nghiệm với x>1

Kết luận: (5) có nghiệm duy nhất x=5 thỏa mãn x>1

Ví dụ 6 Cho hàm số y x = −4 6 x2+ 4 x + 6. Chứng minh rằng hàm số có 3 điểm cực trị phân biệt

Phân tích Ta có y ' 4 = x3− 12 x + 4. Sử dụng MTCT ta tính được các nghiệm của 'y

là x1≈ − 1,8 ; x2 ≈ 0,3 ; x3 ≈ 1,5 và các khoảng chứa nó.

Hướng dẫn giải Ta có y ' 4 = x3− 12 x + 4. Ta sẽ chứng minh phương trình ' 0y = có

3 nghiệm phân biệt

Thật vậy, Áp dụng định lý về hàm số liên tục cho hàm số g x ( ) 4 = x3− 12 x + 4 trên các đoạn [ − − 2; 1 0;1 1;2 ] [ ] [ ], , ta được điều phải chứng minh

Phân tích Dùng chức năng SOLVE ta tìm được nghiệm x=5 Sau đó bằng đạo hàm

ta chứng minh được (7) có nhiều nhất một nghiệm Vậy (7) có nghiệm duy nhất x=5

g x đồng biến Suy ra (7) có nhiều nhất một nghiệm.

Mặt khác, x=5 là một nghiệm của (7) Do đó (7) có nghiệm duy nhất x=5

Nhận xét Nếu không dùng thành thạo máy tính thì sẽ rất khó khăn khi tìm nghiệm

5,

x= đặc biệt đối với những phương trình mà nghiệm lớn Chẳng hạn như trong (7)

trên ta thay x bởi 3 x−55 ta được phương trình

Ví dụ 8 (VMO 2008) Hãy xác định số nghiệm của hệ phương trình

29log log 1

Từ hệ phương trình dễ dàng suy ra u>0,v>0 Xét phương trình (*) Ta có

Suy ra '( )f v đồng biến trên khoảng (0;+∞) Do đó '( ) 0f v = có không quá 1 nghiệm,

do đó (*) có không quá 2 nghiệm

Dùng MTCT ta tìm được hai khoảng nghiệm của (*) (có thể chọn là 1;1

9

  và (1;3) ) Vậy ( ) 0f v = có đúng hai nghiệm phân biệt

Hướng dẫn giải Đặt u=log ,3x v=log2 y, ta được

1

1 1

Suy ra '( )f v đồng biến trên khoảng (0;+∞) Do đó '( ) 0f v = có không quá 1 nghiệm,

do đó (*) có không quá 2 nghiệm

Nhận xét Ta có thể giải hệ trên bằng cách biến đổi tương đương về dạng

có dạng bậc nhất với y nên có thể rút y và thế vào phương trình còn lại Điều khó

khăn duy nhất khi làm theo cách này là phương trình bậc 4 nhận được, điều này hoàn toàn đơn giải nếu chúng ta sử dụng MTCT

Bài tập tương tự

Bài 1 Giải các phương trình sau:

a ) sin 3 x − 6sin 2 x + 9sin x − cos3 x + 9cos x = 8.

b ) sin 2 x + sin x = cos8 x + cos6 x + cos7 x

c ) 4sin x + cos x + 3sin tan - 3tan x x x = 3.

d ) sin 2 x + 3sin x − 2cos x = 3.

e ) sin 5 x + sin 2 x + cos6 x = cos 4 x + cos x

3 Ứng dụng của MTCT kiểm tra giới hạn của hàm số

Để kiểm tra giới hạn của một hàm số tại x x= 0 ta sử dụng MTCT tính giá trị của

hàm số đó tại những điểm gần x Giá trị thu được của hàm số sẽ tiệm cận với giá trị 0

của giới hạn tìm được Cụ thể:

+ Với x là số thực, ta nhập hàm số vào máy rồi sử dụng phím CALC tính giá trị 0

của hàm số tại một số giá trị của x gần bằng x0 (sai số khoảng 10−6→10−10) Chẳng hạn:

Khi x dần tới 1 có thể nhập giá trị x gần bằng 1 ví dụ như 1,000001 hoặc 0,999999

Khi x dần tới 1+ thì phải nhập giá trị x > 1, ví dụ như 1,000001

Khi x dần tới 1- thì phải nhập giá trị x < 1, ví dụ như 0,999999

2

π

- 0,0000001 + Đối với giới hạn vô cực:

Khi x→ −∞ thì nhập giá trị tuyệt đối của x khoảng từ -109 đến -103 (nếu nhập giá trị x có trị tuyệt đối quá lớn ví dụ như -1021 hoặc -1015 thì máy hiện kết quả là 0 hoặc hiện sai kết quả)

Khi x→ +∞ nhập giá trị tuyệt đối của x khoảng từ 103 đến 109 (nếu nhập giá trị x quá lớn ví dụ như 1015 hoặc 1021 thì máy hiện kết quả là 0 hoặc hiện sai kết quả)

Lưu ý.

1 Đối với giới hạn lượng giác cần cài đặt đơn vị đo “Radian”

2 Ta cần tính tại một vài giá trị của x để dễ biết chính xác kết quả

3 Khi máy báo kết quả:

+ Khoảng 105, 107 hay lớn hơn thì hiểu kết quả là +∞.

+ Khoảng -107, -105 hay nhỏ hơn thì hiểu kết quả là −∞.

+ Khoảng1,357.10-05 hiểu kết quả là 0

lim0

2 2

4 Ứng dụng của MTCT kiểm tra kết quả tính tích phân xác định

Trong một số trường hợp, một số bài toán tích phân phức tạp đã giải được kết quả nhưng chưa đánh giá được độ chính xác kết quả là đúng hay sai, khi đó ta có thể sử

dụng MTCT (Dùng phím dx∫ ) để kiểm tra kết quả

Lưu ý Đối với tích phân lượng giác cần cài đặt đơn vị đo “Radian”.

1

1

t x

t

−

=+ Vậy

+ Tìm kết quả của z1+z2: Ấn 5 + 6 ENG + 2 − 7 ENG = màn hình hiện phần

thực là 7, ấn tiếp SHIFT = màn hình hiện phần ảo -1i Vậy z1+ = −z2 7 i.

+ Tương tự ta có z1− = +z2 3 13i.

+ Tìm kết quả của z z : Ấn ( 51 2 + 6 ENG ) x ( 2 − 7 ENG ) = màn hình hiện

phần thực là 52, ấn tiếp SHIFT = màn hình hiện phần ảo -23i Vậy z z1 2 =52 23− i

tiếp SHIFT = màn hình hiện phần ảo 234i Vậy 3

1 415 234

z = + i

Ấn ( 5 + 6 ENG ) x ( 2 − 7 ENG ) x (5 + 2 ENG ) = màn hình hiện phần

thực là 306, ấn tiếp SHIFT = màn hình hiện phần ảo -11i Vậy z z z1 2 3 =306 11− i.

Ví dụ 2 Tìm căn bậc hai của số phức -3 + 4i.

Phân tích Ấn SHIFT + −3 SHIFT ) 4 ) = , màn hình hiện

( 3, 4)

126.8698976

Pol r

Khi đó 1 + 2i chính là một căn bậc hai của -3 + 4i, suy ra căn bậc hai còn lại là -1 - 2i

Giải Ta có (1 2 )+ i 2 = − +3 4i Do đó -3 + 4i có các căn bậc hai là 1 + 2i và -1 - 2i

Ví dụ 3 Tìm căn bậc hai của số phức 4 6 5+ i

Phân tích Tương tự, dùng MTCT ta tìm được một căn bậc hai của 4 6 5+ i là

Ví dụ 4 Giải phương trình 4z2−2z i− 3 0= trên tập số phức.

Phân tích Phương trình có biệt thức '

1 4 3i

bậc hai của 1 4 3+ i là 2 + 1,732050808i = 2+i 3

Giải Phương trình 4z2−2z i− 3 0= có biệt thức

Nhận xét Khi tìm căn bậc hai của số phức với sự hỗ trợ của MTCT thì ta được kết

quả chính xác và nhanh hơn rất nhiều so với việc phải giải hệ để tìm căn bậc hai như trong sách giáo khoa trình bày

Bài tập tương tự.

Bài 1 Cho z= 3+i Tính

2012 2013

Bài 2 Tìm căn bậc hai của số phức z = -5 + 12i.

Bài 3 Giải phương trình z2+ +(1 2 )i z− + =3 2i 0 trên tập số phức

6 Dự đoán tích chất của dãy số

Để dự đoán tính của dãy số ta làm theo các bước sau:

- Lập quy trình trên MTBT để tính một số số hạng của dãy số,

- Tìm quy luật cho dãy số, dự đoán tính chất của dãy số,

- Chứng minh tính chất tìm được bằng quy nạp

+ Trước hết ta tính một số số hạng đầu của dãy ( )a , quy trình sau n

1 SHIFT STO A 0 SHIFT STO B

ANPHA C ANPHA = ANPHA A ( ANPHA A + 1 )

÷ ( ( ANPHA A + 2 ) ( ANPHA A + 3 ) ) ×

( ANPHA B + 1 ) ANPHA : ANPHA A ANPHA =

ANPHA A + 1 ANPHA : ANPHA B ANPHA = ANPHA C

ta được dãy 1, 7 , 27 11 13 9, , , ,

6 20 50 15 14 8+ Từ đó phân tích các số hạng để tìm quy luật cho dãy trên:

Hướng dẫn giải Chứng minh công thức (1) đúng bằng quy nạp.

Ví dụ 2 (Singapore MO) Xét dãy số 1 2 *

+ Tính một số số hạng đầu của dãy ( )a bằng quy trình n

3 SHIFT STO A × 2 - 1 + 1 SHIFT STO B

× 2 - ANPHA A + 1 SHIFT STO A

× 2 - ANPHA B + 1 SHIFT STO BSHIFT COPY

Hướng dẫn giải Chứng minh công thức (2) đúng bằng quy nạp.

Ví dụ 3 Xét sự hội tụ của dãy số ( )a với n

MODE 1SHIFT STO A

sin ( ANPHA A ) ÷ ( ANPHA A + 1 ) ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA A + 1 = =

ta được kết quả sau (độ chính xác 10-9):

Dựa vào sự biểu diễn trên giúp cho ta rút ra nhận xét khi n càng lớn thì a càng gần 0 ( n n

a → 0) và đó chính là bản chất của dãy hội tụ đến số 0

10 1,999997647 20 2,000000000+ Dựa vào kết quả trên ta nhận xét được:

- Dãy số ( )u là dãy tăng n

- Dự đoán giới hạn của dãy số bằng 2

1 1

rằng dãy ( )x có giới hạn và tìm giới hạn của nó n

Bài 4 (VMO 2008) Cho dãy

* 2

.1

2

n

x n