Sáng kiến kinh nghiệm SKKN sử dụng công cụ đạo hàm, tích phân và số phức nhằm giúp học sinh giải nhanh một số bài toán tổ hợp

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "SỬ DỤNG CÔNG CỤ ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN VÀ SỐ PHỨC NHẰM GIÚP HỌC SINH GIẢI NHANH MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP"... Để giải quyết bài toán này có nhiều phương pháp kh

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

"SỬ DỤNG CÔNG CỤ ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN VÀ SỐ PHỨC NHẰM GIÚP HỌC SINH GIẢI NHANH MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ

HỢP"

A Đặt vấn đề:

Trong chương trình phổ thông, bài toán tổ hợp là một phần quan trọng để phát triển tư duy, tính sáng tạo của các em học sinh Những năm gần đây, các bài toán của Đại số tổ hợp thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng khá nhiều Để giải quyết bài toán này có nhiều phương pháp khác nhau, khi thì dùng trực tiếp các tính chất về tổ hợp, phép biến đổi tương đương, cũng có khi là sử dụng đạo hàm, tích phân, còn số phức thì thật sự còn mới mẻ Song trong nội dung bài viết này tôi trình bày một số

bài toán tổ hợp hay gặp mà cách giải là tổng thể sử dụng công cụ đạo hàm, tích phân và

số phức Đây thực sự là một công cụ hữu hiệu, giúp học sinh giải quyết bài toán nhanh, gọn, chính xác Mong muốn hơn của tôi là cho các em cái nhìn tổng thể về cách giải quyết bài toán này

Tất nhiên, tổ hợp được học ở trong chương trình lớp 11, cụ thể là ở giữa HKI Còn đạo hàm thì được trình bày ở cuối HKII của lớp 11, tích phân được học ở trong chương trình lớp 12, thậm chí số phức được trình bày ở cuối chương trình lớp 12 Hệ thống các bài tập

ở sách giáo khoa và sách bài tập về ứng dụng đạo hàm, tích phân và số phức để giải các bài toán tổ hợp thì không được trình bày nhiều, học sinh không được rèn luyện kỹ năng này trên lớp Do đó, khi gặp bài toán này ở các đề thi Đại học và Cao đẳng, phần lớn các

em không làm được

Nhằm mục đích để cho các em học sinh chuẩn bị bước vào các kỳ thi quan trọng, thấy được tổng thể các phương pháp giải quyết bài toán tổ hợp, từ đó tạo cho các em niềm tin

sẽ làm bài tốt trong các kỳ thi sắp tới Tôi chọn đề tài “Sử dụng công cụ đạo hàm, tích

phân và số phức nhằm giúp học sinh giải nhanh một số bài toán tổ hợp” làm sáng

kiến kinh nghiệm của mình Đồng thời áp dụng đề tài ngay cho các em học sinh dang học

lớp 12 năm 2013 này

B Giải quyết vấn đề:

I Cơ sở lý luận của vấn đề.

Rõ dàng các bài tập tổ hợp mà ta giải quyết ở chuyên đề này là: Tính tổng, Chứng minh

k

n

chọn các số hạng trong nhị thức, số mũ của nhị thức có vai trò cực kỳ quan trọng đối với bài toán ta cần giải quyết

c) Giả sử bài toán cần tính tổng của C n k (với k = 0,1,2, n)

= i) Mặt khác khai triển trực tiếp các số phức (thường chỉ xét các số phức có argument là 6

tính Từ đó sẽ tìm được mối liên hệ cho tổng cần tính

Sau đây tôi sẽ trình bày mỗi phương pháp một ví dụ tương ứng, để làm minh chứng cho

cơ sở lý luận của đề tài này Ở phần giải quyết vấn đề tôi cố gắng trình bày các bài toán một cách chi tiết, phân tích và nhận xét cách giải nhằm giúp học sinh thấy được khi nào dùng công cụ đạo hàm, tích phân hay số phức có hiệu quả cao nhất

Ví dụ 1: (Đề tuyển sinh đại học KA -2005)

Tìm số nguyên dương n sao cho :

Ví dụ 2: (Đề tuyển sinh đại học KA-2007)

Cho n là số nguyên dương,chứng minh:

1 2

1 2 2

1

6

1 4

1 2

2 5

2 3

2 1

C C

n n

n n

n n

 2n 1  2n 1 1 1

0 0

Thuận lợi: Năm 2013 tôi đặt mục tiêu là hoàn thành chuyên đề “ Sử dụng công cụ đạo

hàm, tích phân và số phức nhằm giúp học sinh giải nhanh một số bài toán tổ hợp”

thì lại trùng với việc tôi được trực tiếp giảng dạy hai lớp 12, mà số đông trong các em là những học sinh quyết tâm sẽ thi vào các trường Đại học và cao đẳng Đó là thuận lợi đáng kể để tôi áp dụng đề tài này, và tôi tin là lớp học sinh được tôi truyền đạt chuyên đề này sẽ đạt kết quả khác biệt so với lớp học sinh có chất lượng tương tự khi tôi cũng trực tiếp giảng dạy các em năm 2010

Khó khăn: Tỷ lệ học sinh làm được loại toán này còn rất thấp

Điều này tôi thu được vì cả hai năm lớp 10, 11 tôi đều trực tiếp dạy các em và sang năm

2013 này tôi đã tiến hành khảo sát chất lượng làm bài loại toán này thông qua một số bài kiểm tra đối với học sinh lớp 12C1 và 12C3

(Khảo sát chất lượng khi chưa đưa chuyên đề này vào giảng dạy)

Tôi hiểu rằng, việc lĩnh hội kiến thức này và rèn luyện kĩ năng của các em học sinh đòi hỏi nhiều công sức và thời gian Hiện tại nhận thức của học sinh thể hiện khá rõ đó là:

- Các em còn lúng túng trong việc tìm hướng giải quyết cho một bài toán tổ hợp

- Nhiều học sinh có tâm lí sợ loại bài tập này

Đây là chuyên đề đòi hỏi sự tư duy, phân tích của các em Thực sự là khó không chỉ đối với học sinh mà còn khó đối với cả giáo viên trong việc truyền tải kiến thức, lẫn phương

pháp tới các em Cụ thể là làm thế nào để các em hiểu khi nào thì bài toán tổ hợp sử

dụng được các công cụ trên

III Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề :

Trong dạy và học toán nhiệm vụ của thầy và trò là tìm ra một phương pháp phù hợp để giải các bài tập là quan trọng nhất Như đã nói ở trên, phần giải quyết vấn đề này, tôi sẽ

cố gắng trình bày các bài toán một cách chi tiết, phân tích và nhận xét cách giải nhằm giúp học sinh thấy được khi nào dùng công cụ đạo hàm, tích phân hay số phức có hiệu quả cao, giúp học sinh giải quyết bài toán nhanh, gọn, và chính xác Từ đó tạo cho các

em niềm tin sẽ làm bài tốt trong các kỳ thi sắp tới

Sau đây tôi xin đi vào từng phần cụ thể

1 SỬ DỤNG CÔNG CỤ ĐẠO HÀM TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP

n n

n C x nC x C

n n n

Đến đây thay x,a bằng hằng số thích hợp ta được tổng cần tìm

Dấu hiệu áp dụng đạo hàm cấp 2: Khi hệ số đứng trước tổ hợp có dạng

dấu, còn nếu tổng đan dấu ta sử dụng các công thức chứa (1- x)

- Nếu mất một số hạng thì ta đạo hàm cấp 1, nếu mất 2 số hạng thì ta đạo hàm cấp 2

Ta sẽ bàn và phân tích kỹ cách áp dụng của phương pháp này trong từng bài toán cụ thể

Tóm lại: Với loại bài tập này sau khi chọn được hàm số f (x) thích hợp ta tiến hành lấy đạo hàm hàm số đã chọn theo hai cách:

- Lấy đạo hàm trực tiếp hàm số đã cho

-Với phép lấy đạo hàm, ta lựa chọn một giá trị phù hợp cho x, rồi thay vào hai biểu thức và tính đạo hàm

Như vậy tôi nhấn mạnh cho học sinh thấy khi gặp bài toán có chứa hệ số kiểu a.n ta

n C x nC x C

Thay x=1, ta có điều phải chứng minh

Phân tích: do −1 đi kèm với lũy thừa, giữa các số hạng là dấu + nên ta xem như tổng

n C x nC x C

Phân tích: tương tự như bài trên nhưng độ chênh lệch ở đây là 2 nên ta nhân

n 2

n 1

Bài 2 Chứng minh rằng :

2 2

n n 3

3 n 2

2 n 2

1

n

] 1)!

[(n

-1)!

(2n )

-n.(C

) 3.(C )

Các dấu hiệu nhận biết sử dụng phương pháp tích phân

Nếu trong tổng dãy tổ hợp, các số hạng chứa các phân số 1;1 1 1; ; ; ;1;

2 3 4 n và mẫu số được xếp theo thứ tự tăng hoặc giảm đều theo một quy luật nào đó, ta nghĩ ngay đến việc

sử dụng tích phân Khi đó, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm hàm để tính tích phân với các cận thích hợp

Bước 2: Lấy tính tích phân cả hai vế: vế chưa khai triển nhị thức Newton và vế đã khai triển

Bước 3: Cho hai kết quả bằng nhau và kết luận

Ta sẽ tìm hiểu về phương pháp cơ bản (dùng tích phân hàm đa thức) và các phương pháp

bổ sung: Như nhân thêm x,x2, (tất nhiên các phương pháp Truy hồi tích phân hay là Dựa vào tích phân cho trước tôi xin phép sẽ không đề cập ở bài viết này do khuôn khổ

Tiếp theo ta nghiên cứu các bài toán cụ thể theo cách chia dạng sau:

3 1

Lưu ý: khi tính giá trị tích phân có gắn tổ hợp ta nên tách riêng từng tổ hợp một như trên

C , có dấu hiệu dùng tích phân,

0 (1 x dx)n

 Giải:

Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, mẫu số được xếp theo thứ tự tăng đều một đơn

vị, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân Bây giờ, ta suy nghĩ hàm lấy tích phân, các

C

1 3

k n

Phân tích: tổng không đan dấu, độ chênh lệch so với dạng cơ bản là 1 nên ta nhân

thêm x trước khi tích phân

1

n

u n





2 1 0

2

n

u n

1 2 3

3

1

9

1 6

1 3

C C

n n n n

n n

Giải

Áp dụng khai triển nhị thức Newton

n x C x C x C x C

n

n C

C C

3 3

1

9

1 6

1 3

1 2 1

1 3

1 1

1 3

1

0 3 1

0

3 2

HD: Vế trái có chứa các phân số, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân

2/Chứng minh:  

2 2

1 2

2

1

8

1 6

1 4

1 2

C C

n n

n n

+ Các dấu trong tổng xen kẽ đều nhau

+ k luôn lẻ, hoặc luôn chẵn hoặc khi chia k cho một số ta luôn được cùng một số dư (trong chương trình phổ thông ta chỉ cho HS làm với k = 3l, k = 3l + 1, k = 3l + 2)

Lưu ý

+ Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp (thường ta chọn là

x = i) So sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách tính

+ Khai triển trực tiếp các số phức (thường chỉ xét các số phức có argument là



+ Khai triển (1 + x)n, đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp (thường ta chọn là x = i) Sau đó so sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách tính

Điều quan trọng là phải quan sát tổng cần tìm có những đặc điểm gì để lựa chọn một

n

được điều này đòi hỏi phải có lượng lớn những nhận xét, sẽ vượt quá khuôn khổ cho phép của một đề tài sáng kiến kinh nghiệm Tôi chỉ đưa ra một số ví dụ minh hoạ cho một vài dạng hay gặp, qua đó người đọc sẽ trả lời được câu hỏi cho mình

3.2 Bài tập:

Dạng 1: Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp hoặc khai triển trực tiếp các số phức

Bài 1: Tính tổng sau S = C20090  C20092  C20094   C20092006  C20092008

17 20 C 3 ) 3 (

3 20 C 17 ) 3 (

1 20 C

3 2

1 20 2 3

4π isin 3

D = 20

20 C

18 20 3C

16 20 C 2 3

6 20 C 7 3

4 20 C 8 2 20 C 9 3

19 20 C 19 x) 3 (

3 20 C 3 x) 3 (

2 20 C 2 x) 3 (

1 20 x)C 3 (

0 20

19 3 19.

17 20 C

17 3 17.

5 20 C

5 3 5.

3 20 C

3 3 3.

18 20 C 9 18.3

6 20 C 3 6.3

4 20 C 2 4.3

πcos19.2320

19i2

32

119.2320

i 19 30.2 19

.2 3 10.

i 2

3 2

1 19 2 3 20.

3

19π isin 3

19π cos 19

18 20 C 9 18.3

6 20 C 3 6.3

4 20 C 2 4.3

Giải:

Xét khai triển:

15 C 15 x

14 15 C 14 x

13 15 C 13 x

3 15 C 3 x

2 15 C 2 x

1 15 xC

0 15

Nhân hai vế với x ta có:

15 C 16 x

14 15 C 15 x

13 15 C 14 x

3 15 C 4 x

2 15 C 3 x

1 15 C 2 x

0 15

Đạo hàm hai vế ta có:

(1 + x)15 + 15x(1 + x)14 =

15 15 C 15 x 16

14 15 C 14 x 15

13 15 C 13 x 14

3 15 C 3 x 4

2 15 C 2 x 3

1 15 xC

12 15 13C

6 15 7C

4 15 5C

2 15 3C

131514C

7158C

5156C

3154C

12 15 13C

6 15 7C

4 15 5C

2 15 3C

13 15 14C

7 15 8C

5 15 6C

3 15 4C

24 25 23.24C

22 25 21.22C

8 25 7.8C

6 25 5.6C

4 25 3.4C

2 25 2C

23 25 22.23C

9 25 8.9C

7 25 6.7C

5 25 4.5C

3 25 2.3C

phần thực và phần ảo của hai số phức bằng nhau

ĐS: B1 = 75.214 – 1; B2 = –25(1 + 3.214)

2) Tính các tổng sau:

99 100 C 2 99

97 100 C 2 97

95 100 C 2 95

7 100 C 2 7

5 100 C 2 5

3 100 C 2 3

IV Hiệu quả của SKKN

Như tôi đã nói ở trên, việc áp dụng đề tài này đối với học sinh lớp 12C1 và 12C3, đã thu được kết quả như sau (kết thúc học kì 2 năm học 2012-2013)

C Kết luận:

Qua thời gian viết SKKN và vận dụng chuyên đề này vào giảng dạy, tôi nhận thấy việc làm này đã thu được kết quả đáng kể từ phía các em học sinh Đây thực sự là một công cụ hữu hiệu, giúp học sinh giải quyết bài toán nhanh, gọn và chính xác Đồng thời các em đã

có được cái nhìn tổng thể về cách giải quyết bài toán này Điều này phần nào tạo cho các

em học sinh có được tâm thế tốt khi sắp bước vào các kỳ thi quan trọng

Qua việc ứng dụng đề tài này vào giảng dạy cho học sinh, tôi nhận thấy đây là một chuyên đề có thể tiếp tục áp dụng cho các năm tiếp theo, đặc biệt rất phù hợp với đối tượng là học sinh khá, giỏi Tất nhiên là phải tiếp tục hoàn thiện đề tài này hơn nữa

Bài học kinh nghiệm được rút ra từ quá trình áp dụng SKKN của tôi là:

Phải thường xuyên học hỏi trau rồi chuyên môn để tìm ra phương pháp dạy học phù hợp Người Thầy phải nhiệt tình, gương mẫu, làm cho các em thấy được tinh thần nghiêm túc

và hăng say nghiên cứu khoa học của mình, có vậy học sinh mới noi gương Thầy quyết tâm và ham mê học tập, từ đó để các em không cảm thấy áp lực trong học tập

Triếp theo là, thường xuyên tạo ra tình huống có vấn đề, kích thích sự tìm tòi học tập ở học sinh

Loại toán dùng công cụ đạo hàm, tích phân và số phức còn rất nhiều dạng, nhưng trong tài liệu này tôi chỉ trình bày một phần nhỏ Trong quá trình thực hiện đề tài, tôi đã nhận

được những góp ý quý báu của các đồng nghiệp, Song

do thời gian nghiên cứu và ứng dụng chưa dài, nên đề tài của tôi không tránh khỏi còn nhiều hạn chế Rất mong tiếp tục nhận được sự đóng góp khác từ phía đồng nghiệp để tôi

có thể hoàn thiện hơn đề tài của mình