Chương 5: Tính gần đúng đạo hàm tích phân[Phương pháp tính- BKHCM]

Phương pháp tính- ĐH BKHCM- HCMUT

Chương 5

TÍNH GẦN ĐÚNG

ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

1

I TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM :

Cho hàm y = f(x) và bảng số

x xo x1 x2 xn

y yo y1 y2 yn

Để tính gần đúng đạo hàm, ta xấp xỉ hàm bằng đa thức nội suy Lagrange Ln(x)

/ / / /

n n

≈

≈

2

1 TH bảng chỉ có 2 điểm nút :

x x0 x1

y y0 y1

h = x1- x0

y0= f(x0)

y1= f(x1) = f(x0+h)

Đa thức nội suy Lagrange

0 1

( )

n

−

−

Do đó với mọi x ∈ [x0, x1] ta có

1 0 ( 0 ) ( ) 0

f x

Công thức sai phân tiến :

0

'( ) f x h f x

f x

h

≈

Công thức sai phân lùi :

1 0 1

'( ) y y

f x

h

−

≈

Đổi x1 bằng x0

0

( ) ( ) '( ) f x f x h

f x

h

≈

Ví dụ : Cho hàm f(x) = ln x Dùng công

thức sai phân tiến, tính xấp xỉ f’(1.8) và sai số

với h = 0.1, 0.01, 0.001

Ta có f '(1.8) f(1.8 h) f(1.8)

h

≈

giải

0.1 0.540672212 0.015

0.01 0.554018037 0.16x10 -2

0.001 0.555401292 0.16x10 -3

2 TH bảng có 3 điểm nút cách đều :

x x0 x1 x2

y y0 y1 y2

h = x2- x1= x1 - x0

y0= f(x0)

y1= f(x1) = f(x0+h)

y2= f(x2) = f(x0+2h)

Đa thức nội suy Lagrange

( )

n

x x x x

6

Do đó với mọi x ∈ [x0, x2] ta có

2

"( ) y y y

f x

h

≈

Suy ra đạo hàm cấp 1

0

1

2

'( )

2

'( )

2

'( )

2

f x

h

f x

h

f x

≈

−

≈

≈

Công thức thứ 1 gọi là công thức sai phân tiến

0

'( )

2

f x

h

≈

Công thức thứ 2 gọi là công thức sai phân hướng tâm thường viết dưới dạng (thay x1 = x0)

0

'( )

2

f x

h

≈

Công thức thứ 3 gọi là công thức sai phân lùi

thường viết dưới dạng (thay x2 = x0)

0

'( )

2

f x

h

≈

đạo hàm cấp 2

f x

h

≈

Thay x1 = x0 ta được

f x

h

≈

9

a Dùng công thức sai phân hướng tâm, tính xấp xỉ f’(3) và sai sốvới h = 0.1, 0.01, 0.001

b Tính xấp xỉ f”(3) và sai số với h = 0.1, 0.01, 0.001

giải

'(3)

2

f

h

≈

0.1 0.407805936 0.40*10 -3 0.01 0.407411385 0.40*10 -5 0.001 0.407407442 0.36*10 -7

f’(3)=0.407407407

4

'( )

f x

x x

10

2

f

h

≈

0.1 -0.210213236 0.34*10 -3

0.01 -0.209879991 0.35*10 -5

0.001 -0.209875600 0.95*10 -6

f”(3) = -0.209876543

2 5

1 24

"( )

II TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN :

Cho hàm f(x) xác định và khả tích trên [a,b]

Ta cần tính gần đúng tích phân :

( )

b

a

I = ∫ f x dx

Ta phân hoạch đoạn [a,b] thành n đoạn bằng nhau với bước h = (b-a)/n

xo= a, x1= x0 +h, , xk = x0 + kh, , xn = b Xấp xỉ f(x) bằng đa thức nội suy Lagrange

Đa thức Lagrange trong TH các điểm cách đều

0

( 1)

n k n

k

với q

h

−

=

−

−

=

∑

0

0 0

( 1) ( 1) ( ) ( )

( 1) ( 1) ( ) ( )

k

n n k n

k k

k n k q k

dq y

−

=

−

=

=

∑

∑∫

13

Công thức trên gọi là công thức Newton-cotes , các hệ số Hk gọi là các hệ số cotes.

Hệ số cotes có các tính chất sau :

0

1

0,

n k k

n k k

H

=

−

=

∑

0

* ( ) n k k

k

=

0

n

n k k

−

=

14

Công thức sai số :

2 1 0 3 2 2

0

| ( 1) ( )|

( 1)!

| *|

| ( 1) ( )|

( 2)!

max | ( )| max | ( )|

n

n

M h

q q q n dq với n lẻ n

I I

M h

q q q n dq với n chẵn n

+ +

+ +



 +



∆ = − ≤ 

 +



∫

∫

1 Công thức hình thang :

Xét n = 1,

I ≈ (b-a)(Hoyo + H1y1)

1 0 0

1 ( 1)

2

1 2

Vậy ( ) ( 0 1)

2

b a

I ≈ − y + y

Công thức sai số :

0

| ( 1) |

Công thức hình thang mở rộng :

Ta chia [a,b] thành n đoạn nhỏ bằng nhau

[x0, x1], [x1, x2], , [xn-1, xn] Áp dụng công

thức hình thang trên từng đoạn

Ta có

( ) ( ) n ( )

n

x

−

n n

n n

n n

−

−

−

Công thức hình thang mở rộng :

17

Vậy

[ 2( ) ]

h

I ≈ y + y + + y− + y

Công thức sai số :

18

2 Công thức Simpson :

Xét n = 2,

I ≈ (b-a)(Hoyo + H1y1+H2y2)

2 0

0

H = ∫ q − q − dq =

1 6

H = H =

2 1

3

H + H + H = ⇒ H =

Vậy ( ) ( 40 1 2)

6

b a

I ≈ − y + y + y

Công thức sai số :

2

0

| ( 1)( 2) |

Công thức Simpson mở rộng :

Ta chia [a,b] thành n=2m đoạn nhỏ bằng nhau [x0, x1], [x1, x2], , [xn-1, xn] Áp dụng công thức simpson trên m đoạn

[x0, x2], [x2, x4], , [xn-2, xn] Điều kiện n phải chẵn

Ta có

n

x

−

n n

−

Vậy

h

I≈ y + y y+ + +y− + y y+ + +y− +y

21

a Dùng công thức hình thang mở rộng với n = 5

b Dùng công thức Simpson mở rộng với n = 8

1

0

x

I f x dx với f x

x





∫

Công thức sai số :

n

b a

22

Công thức hình thang

giải

a Ta có h=0.2, chia đoạn [0,1] thành n = 5 đoạn

bằng nhau

x0= 0 < x1= 0.2 < x2= 0.4 < x3= 0.6 < x4= 0.8 < x5= 1

2

h

I ≈ y + y y y y + + + + y

0.2[1 2(sin0.2 sin0.4 sin0.6 sin0.8 sin1) ]

2 0.2 0.4 0.6 0.8 1

= + + + + +

= 0.945078781

Công thức Simpson

3

h

0.25[1 4(sin0.25 sin0.75) 2sin0.5 sin1]

3 0.25 0.75 0.5 1

= 0.946086934

b Ta có h=0.25, chia đoạn [0,1] thành n=4 đoạn bằng nhau

x0= 0 < x1= 0.25 < x2= 0.5 < x3= 0.75 < x4 = 1

Công thức Simpson

3

h

I ≈ y + y y y y+ + + + y +y +y +y

sin0.25 sin0.5 sin0.75 sin1

b h=0.125, chia đoạn [0,1] thành n=8 đoạn

bằng nhau

x0= 0 < x1= 0.125 < x2= 0.25 < x3= 0.375 < x4= 0.5

x5= 0.625 < x6= 0.75 < x7= 0.875 < x8=1

xác định số đoạn chia tối thiểu n để sai số ≤10-5

1

0

ln(2.7 5.6)

I =∫ x + dx

giải

( ) ln(2.7 5.6)

(2.7 5.6) (2.7 5.6)

2 2

a.Dùng công thức hình thang mở rộng b.Dùng công thức Simpson mở rộng Với n vừa tìm được, hãy xấp xỉ tích phân trên

26

a Công thức sai số hình thang mở rộng

2

2.7

M h

2

2

12*5.6 n

−

2

12*5.6 *10

b Công thức sai số Simpson mở rộng

(4) 4

6*2.7

M h

4

4

180*5.6 n

−

4 4

180*5.6 *10

Chia đoạn [0,1] thành n=4 đoạn bằng nhau

x0= 0 < x1= 0.25 < x2= 0.5 < x3= 0.75 < x4= 1

Công thức Simpson

3

h

0.25[ln5.6 4ln(2.7*0.25 5.6) 4ln(2.7*0.75 5.6) 3

2ln(2.7*0.5 5.6) ln(2.7 5.6)]

= 1.932377388

29