TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1.. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành Ý nghĩa hình học của tích phân Nếu hàm số fx liên tục và không âm trên đoạn [a; b], thì tích phân b a
Trang 1
b a
S = -f(x) dx
b
a
S = f(x) dx
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC (Phần 1)
I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1 Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
Ý nghĩa hình học của tích phân
Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b], thì tích phân
b a f(x)dx
diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox và hai đường thẳng x=a; x=b
thang cong giới hạn bởi hàm số
y = f(x), Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là:
Tổng quát
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị của hàm số f(x) liên tục, trục hoành và hai
đường thẳng x = a, x = b được tính bởi công thức:
b a
S = f(x)dx
Trang 2Ví dụ 1:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 + x với
trục hoành, và hai đường thẳng x = -2; x = 1
2 Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Cho hai hàm số y = f1(x), y = f2(x) liên tục trên đoạn [a; b] Gọi S là diện tích của
phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đó và các đường thẳng x = a, x = b
Khi f (x) f (x) 01 2 , ta có: b1 2
a
S = f (x) - f (x) dx
Khi f (x) f (x)1 2 ta có: b1 2
a
S = f (x) - f (x) dx
Tổng quát:
b
a
S = f (x) - f (x) dx
Trang 3Chú ý:
Giả sử phương trình f1(x) - f2(x) = 0 có hai nghiệm c, d (c < d) trong đoạn [a; b]
Khi đó, f1(x) - f2(x) không đổi dấu trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] và
S = f (x) - f (x) dx = f (x) - f (x) dx d 1 2 b 1 2
+ f (x) - f (x) dx + f (x) - f (x) dx
= f (x) - f (x) dx + f (x) - f (x) dx b 1 2
d + f (x) - f (x) dx
Ví dụ 2:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
y = x - 2x, y = -x + 4x a)
x = -1;x = 2
2 2
y = x - 2x b)
y = -x + 4x
Ví dụ 3:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = ex và hai
đường thẳng y=2; x = 1
Ví dụ 4:Tính diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất giới hạn bởi
(C) : x + y = 2; (P) : y = x
