ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ 1.. Cực trị của hàm số a.. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
Trang 1ÔN TẬP HỌC KÌ 1
I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
1 Tính đơn điệu của hàm số
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K
Nếu f’(x) > 0, x K thì hàm số f(x) đồng biến trên K
Nếu f’(x) < 0, x K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K
Các bước để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số:
Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x)
Bước 2: Tính đạo hàm: y’ = f’(x)
Tìm các điểm xi mà f’(xi) = 0 hoặc f’(xi) không xác định
Bước 3: Lập bảng biến thiên: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần, xét dấu
đạo hàm trong từng khoảng, rồi dựa vào định lý đơn điệu chỉ ra khoảng đồng
biến, nghịch biến
2 Cực trị của hàm số
a Quy tắc 1
Tìm tập xác định
Tính f’(x) Tìm các điểm tại đó f’(x) =0 hoặc f’(x) không xác định
Lập bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị
b Quy tắc 2
Tìm tập xác định
Tính f’(x) Giải phương trình f’(x) =0 và kí hiệu xi (i = 1, 2,…,n) là
các nghiệm của nó
Tính f”(x) và f”(xi)
Dựa vào dấu của f”(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm xi
3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b]
Trang 2Bước 1: Tìm các điểm x1, x2,…, xn trên khoảng (a; b), tại đó f’(x) bằng 0 hoặc f’(x)
không xác định
Bước 2: Tính f(a), f(x1), f(x2),…, f(xn), f(b)
Bước 3: Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên Ta có:
M = max f x ,m = minf xa;b a;b
4 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
Các bước khảo sát hàm số:
Bước 1: Tìm tập xác định
Bước 2: Sự biến thiên
Bước 3: Đồ thị
5 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Trường hợp 1:
Phương trình tiếp tuyến của hàm số y = f(x) tại một điểm M(x0; y0)
Xác định x0; y0
Tính f’(x0)
Phương trình tiếp tuyến: y f '(x )(x x ) y 0 0 0
Trường hợp 2:
Phương trình tiếp tuyến của hàm số y = f(x) có hệ số góc k cho trước
Tính f’(x)
Giải phương trình f’(x)=k tìm ra được x0
Tìm y0 và viết phương trình tiếp tuyến: y f '(x )(x x ) y 0 0 0
6 Sự tương giao của đồ thị hàm số
Số giao điểm của hai đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) chính là số nghiệm của
phương trình hoành đồ giao điểm: f(x) = g(x)
Để biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị (C): y = f(x) ta đưa
phương trình về dạng f(x) = g(m) Khi đó, số nghiệm của phương trình chính là số
giao điểm của đồ thị (C): y = f(x) và đường thẳng (d): y = g(m)
II HÀM SỐ LUỸ THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
1 Công thức luỹ thừa
a Lũy thừa với số mũ nguyên
Trang 3b Lũy thừa với số mũ thực
a và b là các số thực dương
Chú ý:
2 Công thức lôgarit
3 Đạo hàm của hàm số luỹ thừa, mũ và lôgarit
Trang 44 Phương trình mũ
Các phương pháp cơ bản giải phương trình mũ:
Đưa về cùng cơ số
Đặt ẩn phụ
Phương pháp lôgarit hoá
5 Phương trình lôgarit
Các phương pháp cơ bản giải phương trình lôgarit:
Đưa về cùng cơ số
Đặt ẩn phụ
Phương pháp mũ hoá
6 Bất phương trình mũ
f(x) g(x)
f(x) g(x)
a 1
f(x) g(x)
0 a 1
7 Bất phương trình lôgarit
log f(x) log g(x)
0 f(x) g(x)
a 1
log f(x) log g(x)
f(x) g(x) 0
0 a 1
III NGUYÊN HÀM
f(x)dx = F(x) + CF'(x) = f(x)
Tính chất:
f '(x) dx f(x) C= +
kf(x) dx k f(x) dx= (k là hằng số khác 0)
f(x) g(x) dx± =f(x) dx ±g(x) dx
Bảng các nguyên hàm cơ bản
Trang 5Các phương pháp tính nguyên hàm
Phương pháp đổi biến số
f[u(x)].u'(x)dx = F[u(x)]+ C
Với u = ax + b (a 0), ta có f(ax b)dx =1 F(ax b) + C
a
Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
u(x) v'(x)dx = u(x) v(x) - u'(x) v(x)dx
udv = u v- v du
Bài 1: Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = -x3 + 3x2
Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình -x3 + 3x2 - m = 0
Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =x - 5x + 42
x - 2 Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 3x +2006
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 3x3 - x2 -7x +1 trên đoạn
[0; 2] (Đề thi tốt nghiệp 2007)
Bài 4: Giải các phương trình:
a) 22x+2- 9.2 +2 = 0 x
b) log x +log (4x) = 54 2
Bài 5: Tính các nguyên hàm sau:
a) (sin x 2cos x)sin xdx
b) x(1+ln x)dx