TÍCH PHÂN Phần 1I.. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN Định nghĩa Cho fx là hàm số liên tục trên đoạn [a; b].. Giả sử Fx là một nguyên hàm của hàm fx trên đoạn [a; b].. Hiệu số Fb – Fa được gọi là tíc
Trang 1TÍCH PHÂN (Phần 1)
I KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
Định nghĩa
Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm
f(x) trên đoạn [a; b] Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích
phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), kí hiệu là
a
b f(x)dx
Chú ý:
Trong trường hợp a = b hoặc a > b, ta quy ước
f(x)dx 0; f(x)dx f(x)dx
Vì mọi nguyên hàm của f(x) chỉ khác nhau một hằng số C, do đó trong định nghĩa
trên lấy F(x) là một nguyên hàm bất kỳ của f(x)
Ví dụ 1:Tính
1
0
0 b) sin2t dt
II TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN
Ví dụ 2:Tính
2
0
-2 b) | sin x | - x dx
Trang 2III PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Định lí 1
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] Giả sử hàm số x = (t) có đạo hàm và
liên tục trên đoạn [; ] sao cho () = a, () = b và a (t) b với mọi
t [; ] Khi đó,
b a f(x)dx f[ (t)] '(t)dt
= (Nếu < ta xét đoạn [; ])
Ví dụ 3:Tính
1 2
2 0
1
1 x
0
1
4 x
+
Ví dụ 4:Tính
2 0
sin x
1 3cos x
6 b) cot xdx
2
1
x 2 0 c) xe + dx
3
2 3 -1 d) x x + 5dx
Định lí 2
Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì
b u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - u'(x)v(x)dx
a b
hay udv = uv - vdu
a
Ví dụ 5:Tính
0 a) (x -1) cos xdx
0 b) (x +1)e dx
e 5 1
ln x
x
0 d) (x + cos x) sin xdx