T 12g 17 thaytuan nguyenhamp2 tomtatbaihoc

NGUYÊN HÀM Phần 2 III.. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 1.

NGUYÊN HÀM (Phần 2) III PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

1 Phương pháp đổi biến số

Định lí 1

Nếu f(u)du F(u) C= + và u = u(x) là hàm có đạo hàm liên tục thì

f[u(x)].u'(x)dx F[u(x)] C

Chứng minh:

Theo giả thiết: F'(u) f(u)= Ta có: F[u(x)] C ' F'[u(x)].u'(x) f[u(x)].u'(x).   = =

Ví dụ 1:Tính

3 2

x 1

x

 + b) 3x2 dx

x 1

Ví dụ 2:Tính

a) (x 1) xdx + b) ln xdx

x



Ví dụ 3:Tính

3 a) sin x cos x dx b) sin x dx 3

a

BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG VỚI ax + b (a  0)

Ví dụ 4:Tính

a) (2x 3) dx - 7

b) dx 2

(3 x 1)

c) sin(5x 1)dx

d) e 3x 1 + dx

2 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Định lí 2

Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì

u(x) v'(x)dx u(x) v(x)= -u'(x) v(x)dx

Chứng minh:

[u(x)v(x)]’ = u’(x)v(x) + u(x)v’(x)

Do đó, u(x)v’(x) = [u(x)v(x)]’ – u’(x)v(x)

Lấy nguyên hàm hai vế ta được

u(x) v'(x)dx=[u(x) v(x)]'dx-u'(x) v(x)dx

hay u(x) v'(x)dx u(x) v(x) = -u'(x) v(x)dx

Chú ý: vì dv = v’(x)dx, du = u’(x)dx nên đẳng thức trên có thể viết dưới dạng:

udv u v= -v du

Ví dụ 5:Tính

a) xe dx x b) (x 5)cosxdx + c) lnxdx

TỔNG QUÁT