T 10h 12 phuongtrinhduongthang TTBH

VECTƠ CHỈ PHƯƠNG, VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG THẲNG 1.. Vectơ chỉ phương của đường thẳng Vectơ u 0 được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của nó song song hoặc trùn

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

I VECTƠ CHỈ PHƯƠNG, VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG THẲNG

1 Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ u 0 được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của nó

song song hoặc trùng với d

Nhận xét:

Nếu u là một vectơ chỉ phương của d thì ku (k  0) cũng là một vectơ chỉ phương

của d

Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ

chỉ phương

2 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ n 0 được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d nếu giá của nó

vuông góc với d

Nhận xét:

Nếu n là một vectơ pháp tuyến của d thì kn (k  0) cũng là một vectơ pháp tuyến

của d

Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một

vectơ pháp tuyến

Nếu u là một vectơ chỉ phương và n là một vectơ pháp tuyến của d thì u n

3 Mối liên hệ giữa vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương của đường thẳng

Nếu đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n = (a;b) thì vectơ chỉ phương của

đường thẳng d là u = (-b;a) hoặc u = (b;-a)

Nếu đường thẳng d có vectơ chỉ phương u= (u1;u2) thì vectơ pháp tuyến của

đường thẳng d là n = (-u2; u1) hoặc n = (u2;- u1)

Nếu đường thẳng d có vectơ chỉ phương u= (u1; u2) với u1 khác 0 thì hệ số góc của

d là 2

1

u k u



Nếu đường thẳng d có hệ số góc là k thì vectơ chỉ phương của d là u = (1;k)

II CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG

1 Phương trình tham số của đường thẳng

Cho đường thẳng d đi qua M (x ;y ) và có vectơ chỉ phương 0 0 0 u (u ;u ) 1 2

Phương trình tham số của d: 0 1

x x tu

y y tu





 (1) (t là tham số)

Ví dụ 1:Viết phương trình tham số của đường thẳng d biết

a) d đi qua A(-1; 1) và nhận u  2;5làm vectơ chỉ phương b) d đi qua M(2; 3) và N(3; 1)

c) d đi qua M(5; 1) và có hệ số góc k = 3

Ví dụ 2:Viết phương trình tham số của đường thẳng d biết

a) d đi qua A(3; 4) và B(4; 2) b) d đi qua N(5;1) và có hệ số góc k = -2

Ví dụ 3: Cho đường thẳng d có phương trình tham số x = 3 + t

y = 4 - 2t





a) Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của d b) Tìm các điểm của d ứng với các giá trị t = 0, t = - 4

2 Phương trình tổng quát của đường thẳng

Phương trình ax by c 0   với a2b2 0 được gọi là phương trình tổng quát

của đường thẳng

Nhận xét:

Nếu  có phương trình ax by c 0   thì  có: vectơ pháp tuyến là n (a;b) và

vectơ chỉ phương u ( b;a)  hoặc u (b; a) 

Nếu  đi qua M (x ;y )0 0 0 và có vectơ pháp tuyến n (a;b) thì phương trình của 

là: a(x x ) b(y y ) 0 0   0 

Ví dụ 4:Đường thẳng d có phương trình tổng quát là 2x - 5y - 1 = 0 Tìm một vectơ

pháp tuyến và một vectơ chỉ phương của d?

Ví dụ 5:Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua hai điểm

a) A(2; -1) và B(-1; 4) b) M (2; 2), N (4; 3)

3 Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát

Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát là ax + by + c = 0 (1)

Các hệ số Phương trình đường thẳng  Tính chất đường thẳng 

c = 0 ax by 0   đi qua gốc toạ độ O

a = 0 by c 0   // Ox hoặc  Ox

b = 0 ax c 0   // Oy hoặc  Oy

 đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b  0): Phương trình của : x y 1

a b  (phương trình đường thẳng theo đoạn chắn)

 đi qua điểm M (x ;y )0 0 0 và có hệ số góc k: Phương trình của : y y 0 k(x x ) 0

(phương trình đường thẳng theo hệ số góc)

Ví dụ 6:Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua A(-1; 0), B(0; 2)

III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Cho hai đường thẳng 1: a x b y c1  1  1 0 và 2: a x b y c2  2  2 0

Toạ độ giao điểm của 1 và 2 là nghiệm của hệ phương trình:

a x b y c 0

a x b y c 0



1 cắt 2 hệ (1) có một nghiệm  1 1

a  b (nếu a ,b ,c2 2 2 0)

1 // 2  hệ (1) vô nghiệm  1 1 1

a b  c (nếu a ,b ,c2 2 2 0)

12 hệ (1) có vô số nghiệm  1 1 1

a b  c (nếu a ,b ,c2 2 2 0)

Ví dụ 7:Cho đường thẳng d có phương trình x – y + 1 = 0, xét vị trí tương đối của d

với mỗi đường thẳng sau:

1: 2x + y – 4 = 0;

2: x - y – 1 = 0;

3: 2x - 2y + 2 = 0

Chú ý

Nếu đường thẳng d1 song song d thì phương trình d1 có dạng:

ax +by + c = 0 (c c)

Nếu đường thẳng d2 vuông góc d thì phương trình d2 có dạng:bx - ay + c = 02

hoặc -bx + ay + c2 = 0

x 2 t

y 1 2t

 







 



IV GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Cho hai đường thẳng d1: a x b y c1  1  1 0 (có vectơ pháp tuyến n1 (a ;b )1 1 )

và d2: a x b y c2  2  2 0 (có vectơ pháp tuyến n2 (a ;b )2 2 )

cos(d ,d )

n n a b a b



Chú ý: d1  d2  a a1 2b b1 2 0

Ví dụ 8:Tính số đo góc giữa hai đường thẳng

1

2

d : 2x - y + 3 = 0

d : x - 3y +1 = 0

V CÔNG THỨC TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Cho đường thẳng : ax by c 0 (a   2b2 0) và điểm M (x ;y ) 0 0 0

| ax by c | d(M ; )

 



Ví dụ 9:Tính khoảng cách từ điểm M(-2;1) đến đường thẳng : 3x – 2y + 1 = 0

Ví dụ 10:Tính khoảng cách từ M(1;-2) đến : x = -1+ 2t



 

VI MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Bài 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d biết d song song với đường thẳng

d’: 4x – 3y + 1 = 0 và khoảng cách từ điểm M(-2;1) đến d bằng 2

Bài 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d biết d song song với đường thẳng

d’: 4x – 3y + 1 = 0 và khoảng cách từ điểm M(0;2) đến d bằng 1

Bài 3: Cho tam giác ABC có A(3;5), B(4;-1) và C(-5;2)

a) Viết phương trình tổng quát của BC

b) Tính độ dài đường cao AH

c) Tính diện tích tam giác ABC

Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm B(-2; 4) đường thẳng

a) Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu của điểm B trên đường thẳng d

b) Tìm tọa độ điểm B’ là điểm đối xứng của điểm B qua đường thẳng d

Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, và đường thẳng d: x – y + 2 = 0

a) Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu của điểm O trên đường thẳng d

b) Tìm tọa độ điểm O’ là điểm đối xứng của điểm O qua đường thẳng d