T 10d 07 daicuongvephuongtrinh tom tat bai hoc

Nếu có số thực x0 sao cho fx0 = gx0 là mệnh đề đúng thì x0 được gọi là một nghiệm của phương trình.. Điều kiện của phương trình Điều kiện xác định của phương trình hay gọi tắt là điều k

ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH

I KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG TRÌNH

1 Phương trình một ẩn

Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng f(x) = g(x)

f(x), g(x) là biểu thức của x

Nếu có số thực x0 sao cho f(x0) = g(x0) là mệnh đề đúng thì x0 được gọi là một

nghiệm của phương trình

Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó (tìm tập nghiệm)

Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm

(tập nghiệm là )

2 Điều kiện của phương trình

Điều kiện xác định của phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của phương trình) là

điều kiện của ẩn số x để f(x) và g(x) cùng có nghĩa

Chú ý:

Khi phép toán ở hai vế của một phương trình đều thực hiện được với mọi x, thì ta

có thể không ghi điều kiện của phương trình

Tìm điều kiện của phương trình, đôi khi ta có thể biết được nghiệm của phương

trình hoặc biết được phương trình này vô nghiệm

Các nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ các giao điểm của hai đồ thị

hàm số y = f(x) và y = g(x) Số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) bằng số giao

điểm của hai đồ thị nói trên

Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của các phương trình:

a)

x

x 1

2 x

 

1

x 3

x 1  

Ví dụ 2: Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình rồi suy ra tập nghiệm của

phương trình:

a) x2  1 x  x 2 3  b) 3x x 2  2 x 6 

3 Phương trình nhiều ẩn

2x 4xy y   x 2y 3 là một phương trình hai ẩn (x và y)

x 3xy y   xz 3 là một phương trình ba ẩn (x, y và z)

Nếu phương trình hai ẩn x và y trở thành mệnh đề đúng khi x = x0 và y = y0 (x0, y0 là

số) thì ta gọi cặp số (x0; y0) là một nghiệm của phương trình

4 Phương trình chứa tham số

Trong một phương trình ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có chữ khác,

được xem như những hằng số và được gọi là tham số

Giải và biện luận phương trình chứa tham số nghĩa là xét xem với giá trị nào của tham

số thì phương trình vô nghiệm, có nghiệm và tìm các nghiệm đó

II PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG - PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ

1 Phương trình tương đương

Cho hai phương trình f1(x) = g1(x) (1) có tập nghiệm T1

f2(x) = g2(x) (2) có tập nghiệm T2

Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm

Ta viết f1(x) = g1(x)  f2(x) = g2(x) (T1 = T2)

Để giải một phương trình ta thường dùng các phép biến đổi tương đương để biến

đổi phương trình đó thành một phương trình tương đương đơn giản hơn

2 Phép biến đổi tương đương

Định lí

Cho phương trình f(x) = g(x) có tập xác định D và hàm số y = h(x) xác định trên D

(h(x) có thể là một hằng số)

Khi đó trên D, ta có:

a f(x) = g(x)  f(x) + h(x) = g(x) + h(x)

b f(x) = g(x)  f(x).h(x) = g(x).h(x) (h(x) ≠ 0, x  D)

Lưu ý

Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép cộng hoặc trừ hai

vế với biểu thức đó

Quy đồng bỏ mẫu là thực hiện phép nhân hai vế phương trình cho một biểu thức

Ví dụ 3: Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

a) 3x x 2 x  2 3x x 2  x 2

b) x x 2 x  2  x 2  x x2

c) 2

2

2x 1





2

2x +1

=1 2x +1 = x -1

Các phép biến đổi tương đương thường gặp

Nếu hai vế của phương trình cùng dấu thì bình phương hai vế của nó ta được một

phương trình tương đương

Chú ý:f(x) = g(x)f2(x) = g2(x) (sai)

Ghi nhớ

0 (hoac

f(x) = g(x)

2

0 f(

g(x) f(x)

x) = g (x

=

)

g(x)  

Ví dụ 4: Giải phương trình x 1 x 3  

3 Phương trình hệ quả

Cho hai phương trình f1(x) = g1(x) (1) có tập nghiệm T1

f2(x) = g2(x) (2) có tập nghiệm T2

Nếu mọi nghiệm của phương trình (1) đều là nghiệm của phương trình (2) thì phương

trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1) (tức là tập nghiệm

T2 chứa T1)

f1(x) = g1(x)  f2(x) = g2(x) (T1  T2)

Chú ý

Khi bình phương hai vế của một phương trình, ta được phương trình hệ quả của

phương trình đã cho, tức là: f(x) = g(x)  2(x)= g2(x)

Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình

ban đầu, ta gọi đó là nghiệm ngoại lai Lúc đó để loại nghiệm ngoại lai, ta phải thử

lại các nghiệm vừa tìm được (thường gặp khi bình phương hai vế, nhân hai vế của

phương trình với một đa thức,…)

Ví dụ 5: Giải phương trình x - 4 = 3x 2

Ví dụ 6: Giải phương trình 2

2

1

x + 5 = x +

x - 3

Ví dụ 7: Giải phương trình (x23x 2) x 3 0  