A. PHẦN MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI. Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài toán là phương tiện có hiệu quả không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng và kĩ xảo . Trong quá trình giải toán học sinh thường gặp không ít khó khăn, có nhiều yếu tố dẫn đến những sai lầm thường gặp của học sinh. Vì lẽ đó việc nghiên cứu những sai lầm thường gặp của học sinh trong quá trình giải toán từ đó đưa ra biện pháp khắc phục đó là việc làm vô cùng quan trọng và cần thiết của người giáo viên. Trong chương trình Toán ở Trung học phổ thông (THPT), Tổ hợp – xác suất là một chủ đề mới được đưa vào giảng dạy trong những năm gần đây, trong đó xuất hiện nhiều thuật ngữ, ký hiệu, khái niệm mới, vì vậy chứa đựng những khó khăn nhất định khi giải toán chủ đề này. Học sinh (HS) thường mắc phải một số sai lầm khi giải những bài toán liên quan đến chủ đề Tổ hợp – xác suất nên giáo viên (GV) cần tìm biện pháp để giúp HS phát hiện và sửa chữa kịp thời góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán ở trường THPT. Thực tế cho thấy rằng việc giảng dạy toán tổ hợp, xác suất luôn là một dạng toán khó đối với học sinh. Chẳng hạn các em thường lúng túng không biết khi nào dùng quy tắc nhân xác suất, khi nào dùng quy tắc cộng hoặc khi nào dùng chỉnh hợp, khi nào tổ hợp để tìm số kết quả đồng khả năng và kết quả thuận lợi của một biến cố, … Là một giáo viên Toán, tôi thiết nghĩ mình cần phải trang bị đầy đủ lí thuyết và kĩ thuật về tổ hợp, xác suất và giúp học sinh tránh những sai lầm khi giải bài toán xác suất. Với những lý do trên tôi đã chọn đề tài nghiên cứu là: “Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài toán tổ hợp, xác suất”. II. Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu những sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài toán tổ hợp, xác suất từ đó nêu ra biện pháp khắc phục. III. Nhiệm vụ nghiên cứu: Nghiên cứu một số quan điểm lí luận về sai lầm thường gặp trong giải toán tổ hợp, xác suất của học sinh. Nghiên cứu những biện pháp khắc phục sai lầm cho học sinh khi giải toán tổ hợp, xác suất. IV: Giới hạn của đề tài: Đề tài tập trung vào nghiên cứu những sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải toán tổ hợp, xác suất. V. Phương pháp nghiên cứu: Để hoàn thành đề tài người viết ngoài việc tích cực học tập, trau dồi các kiến thức đã học ở chuyên đề, tích cực nghiên cứu các tài liệu liên quan còn sử dụng nhiều phương pháp phân tích, tổng hợp, đúc rút kinh nghiệm từ thực tiễn dạy học để áp dụng thực hiện đề tài.
Trang 1MỤC LỤC
Trang A PHẦN MỞ ĐẦU Lý do chọn đề tài……… …2
B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Cơ sở lý luận của đề tài……… 4
II Thực trạng của đề tài……… 4
2.1 Thực trạng chung……… 4
2.2 Thực trạng đối với giáo viên……… 5
2.3 Thực trạng đối với học sinh……… 5
III Các giải pháp thực hiện……… 6
3.1 Một số sai lầm thường gặp trong giải toán tổ hợp, xác suất của học sinh THPT……… 6
3.2 Biện pháp giúp HS phát hiện và sửa chữa sai lầm trong giải toán tổ hợp, xác suất……… 22
C KẾT LUẬN……… 24
Trang 2A PHẦN MỞ ĐẦU
I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối với học sinh cóthể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Các bài toán làphương tiện có hiệu quả không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắmvững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng và kĩ xảo 1 Trong quá trìnhgiải toán học sinh thường gặp không ít khó khăn, có nhiều yếu tố dẫn đến nhữngsai lầm thường gặp của học sinh Vì lẽ đó việc nghiên cứu những sai lầm thườnggặp của học sinh trong quá trình giải toán từ đó đưa ra biện pháp khắc phục đó làviệc làm vô cùng quan trọng và cần thiết của người giáo viên
Trong chương trình Toán ở Trung học phổ thông (THPT), Tổ hợp – xác suất
là một chủ đề mới được đưa vào giảng dạy trong những năm gần đây, trong đóxuất hiện nhiều thuật ngữ, ký hiệu, khái niệm mới, vì vậy chứa đựng những khókhăn nhất định khi giải toán chủ đề này Học sinh (HS) thường mắc phải một số sailầm khi giải những bài toán liên quan đến chủ đề Tổ hợp – xác suất nên giáo viên(GV) cần tìm biện pháp để giúp HS phát hiện và sửa chữa kịp thời góp phần nângcao chất lượng dạy học môn toán ở trường THPT
Thực tế cho thấy rằng việc giảng dạy toán tổ hợp, xác suất luôn là một dạngtoán khó đối với học sinh Chẳng hạn các em thường lúng túng không biết khi nàodùng quy tắc nhân xác suất, khi nào dùng quy tắc cộng hoặc khi nào dùng chỉnhhợp, khi nào tổ hợp để tìm số kết quả đồng khả năng và kết quả thuận lợi của mộtbiến cố, …
Là một giáo viên Toán, tôi thiết nghĩ mình cần phải trang bị đầy đủ lí thuyết
và kĩ thuật về tổ hợp, xác suất và giúp học sinh tránh những sai lầm khi giải bàitoán xác suất
Với những lý do trên tôi đã chọn đề tài nghiên cứu là:
“Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài toán tổ hợp, xác suất”.
Trang 3II Mục đích nghiên cứu:
Nghiên cứu những sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài toán
tổ hợp, xác suất từ đó nêu ra biện pháp khắc phục
III Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Nghiên cứu một số quan điểm lí luận về sai lầm thường gặp trong giải toán
tổ hợp, xác suất của học sinh
- Nghiên cứu những biện pháp khắc phục sai lầm cho học sinh khi giải toán tổhợp, xác suất
IV : Giới hạn của đề tài:
Đề tài tập trung vào nghiên cứu những sai lầm thường gặp của học sinh THPTkhi giải toán tổ hợp, xác suất
V Phương pháp nghiên cứu:
Để hoàn thành đề tài người viết ngoài việc tích cực học tập, trau dồi các kiếnthức đã học ở chuyên đề, tích cực nghiên cứu các tài liệu liên quan còn sử dụngnhiều phương pháp phân tích, tổng hợp, đúc rút kinh nghiệm từ thực tiễn dạy học
để áp dụng thực hiện đề tài
Trang 4B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I Cơ sở lý luận của đề tài.
Toán học đóng vai trò vô cùng to lớn đối với sự phát triển nói chung của xã hộiloài người Vì lẽ đó cần thiết phải tăng cường đưa những lĩnh vực toán học cónhiều tính ứng dụng trong thực tiễn vào chương trình phổ thông Lí thuyết xác suất
là một trong những môn của Toán học ứng dụng đã được đưa vào chương trìnhtoán THPT từ khi đổi mới SGK năm 2007 Tổ hợp, xác suất là bộ môn toán học córất nhiều ứng dụng trong thực tiễn như:
- Trong vật lí phân tử để nghiên cứu các hệ rất nhiều phân tử; trong động lựchọc, cơ học lượng tử… cần thiết phải sử dụng tổ hợp, xác suất
- Lí thuyết xác suất được sử dụng rộng rãi trong sinh vật học và hiện nay ditruyền học hiện đại đang tiếp tục sử dụng rộng rãi các phương pháp Thống kê xácsuất
- Sự vận dụng các phương pháp Thống kê xác suất trong việc tổ chức và điềukhiển nền sản xuất đã mang lại cho nền kinh tế quốc dân nhiều lợi ích rất to lớn
Vì vậy việc dạy học tổ hợp, xác suất phải tạo điều kiện cho học sinh vượt rangoài khuôn khổ của quyết định luận cơ học, hình thành cho các em những tưtưởng về biến cố ngẫu nhiên và xác suất, về mối quan hệ biện chứng giữa tất nhiên
và ngẫu nhiên; chẳng hạn: “Khi một hiện tượng xảy ra một cách ngẫu nhiên thì ta
có thể coi đó là tín hiệu của một hay nhiều quy luật mà hiện nay khoa học chưabiết đến, hoặc mới biết nửa vời Cho nên người ta thường nói “cái tất nhiên bộc lộ
ra bên ngoài cái ngẫu nhiên””
II Thực trạng của vấn đề.
2.1 Thực trạng chung.
Trang 5Xuất phát từ mục tiêu đổi mới chương trình giáo dục phổ thông là: Coi trọngthực hành, vận dụng kiến thức vào thực tế, nội dung của chương trình tinh giản,giảm tính hàn lâm, tập trung vào các kiến thức, kĩ năng cơ bản và thiết thực, tíchhợp được nhiều mặt giáo dục Do vậy, hệ thống kiến thức và kĩ năng tương ứngcần truyền thụ cho học sinh trong chương trình phổ thông là hoàn toàn mới.
2.2 Thực trạng đối với giáo viên.
Đối với đa số giáo viên không quen và không hào hứng khi dạy phần này, bởivì: Nội dung tổ hợp, xác suất mới được đưa vào chương trình phổ thông, cách suyluận không hoàn toàn giống suy luận toán học thuần túy, hơn nữa các kiến thức về
Lí thuyết xác suất mặc dù giáo viên đã học ở chương trình đại học nhưng lâukhông dùng đến những kiến thức này đã ít nhiều bị mai một Bên cạnh đó khôngnhiều giáo viên ý thức được sự cần thiết phải dạy xác suất ở chương trình phổthông Dường như đối với họ sự tuân thủ chương trình của bộ đề ra là vấn đề quantrọng, còn vì sao chương trình phải có phần này thì họ không quan tâm lắm
2.3 Thực trạng đối với học sinh.
Đối với học sinh, hầu hết các em đều không hứng thú đối với việc học xác suất
vì những kiến thức này khó và mới lạ Những điều đó là: Học sinh phải làm quenvới các khái niệm phép thử, không gian mẫu, các biến cố liên quan đến phép thử,các phép toán trên biến cố, các định nghĩa xác suất và các công thức tính xác suất,các vấn đề khó như: Các suy luận có lí có tính không đơn trị: Chúng có thể đượchiểu khác nhau đối với những bộ óc khác nhau và đối với những hoàn cảnh cụ thểkhác nhau Học sinh thường lúng túng khi xác định biến cố đối của một biến cố,các em thường nhầm lẫn khi sử dụng các quy tắc tính xác suất, nhầm lẫn khi sửdụng hai quy tắc đếm hoặc lúng túng không biết khi nào sử dụng chỉnh hợp và khinào sử dụng tổ hợp, để tính số phần tử của không gian mẫu và số kết quả thuận lợicho biến cố Khi giải toán xác suất đa số học sinh không dám lập luận bằng ngônngữ logic chặt chẽ mà chỉ đưa ra công thức và kết quả
Trang 6Vì vậy, trong quá trình dạy học tổ hợp, xác suất giáo viên không chỉ dạy chohọc sinh nắm vững các khái niệm, định lí; các quy tắc, công thức mà chủ yếu làphải dạy cho học sinh biết vận dụng các khái niệm, các định lí; các quy tắc, cáccông thức vào giải các bài toán cụ thể và các bài toán có nội dung thực tiễn Nhằmkhắc phục những khó khăn và sai lầm của học sinh.
III CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN.
3.1 Một số sai lầm thường gặp trong giải trong tổ hợp, xác suất của học sinh THPT.
3.1.1 Sai lầm do HS chưa có khả năng trực giác xác suất
Nếu các yếu tố của Đại số và hình học có được chỗ dựa là trực giác số và trựcgiác không gian tương ứng của HS thì đối với các yếu tố của lí thuyết xác suất cơ
sở tương tự là không có Trực giác xác suất là trực giác toán học được thể hiệntrong nghiên cứu các tình huống xác suất (được hiểu theo nghĩa rộng, bao gồm cảnhững tình huống trong các mô hình toán học - xác suất, lẫn những tình huốngthực tiễn mang đặc trưng xác suất).Chính điều này dẫn đến những khó khăn ở HSkhi học các yếu tố của lí thuyết xác suất
Ví dụ 1: Gieo 3 đồng xu đồng chất và đối xứng Hãy tìm xác suất của các
biến cố ngẫu nhiên sau đây :
Biến cố A1 : Không có mặt sấp nào xuất hiện
Biến cố A2 : Có một mặt sấp xuất hiện
Biến cố A3 : Có hai mặt sấp xuất hiện
Biến cố A4 : Có ba mặt sấp xuất hiện
Giải : HS giải như sau :
Ở kết quả của phép thử T : « Gieo 3 đồng xu đồng chất và đối xứng », có thểxảy ra một và chỉ một biến cố ngẫu nhiên trong các biến cố ngẫu nhiên sau đây :
A1 ; A2 ; A3 ; A4 và các biến cố này là đồng khả năng Từ đó vận dụng định nghĩa cổđiển của xác xuất sẽ tính được : ( )1 ( 2) ( 3) ( 4) 1
4
Sai lầm: Do HS ngộ nhận rằng các biến cố A1; A2 ; A3 ; A4 là đồng khả năng.Nhưng thực tế thì khi thực hiện phép thử T, biến cố A1 chỉ có thể xảy ra một
Trang 7trường hợp là trong kết quả của phép thử T, cả 3 đồng xu đều xuất hiện mặt ngửa.Còn biến cố A2 có thể xảy ra trong 3 trường hợp:
- Trường hợp 1: Trong kết quả của phép thử T, đồng xu thứ nhất xuất hiệnmặt sấp và hai đồng xu còn lại xuất hiện mặt ngửa
- Trường hợp 2: Trong kết quả của phép thử T, đồng xu thứ hai xuất hiệnmặt sấp và hai đồng xu còn lại xuất hiện mặt ngửa
- Trường hợp 3: Trong kết quả của phép thử T, đồng xu thứ ba xuất hiện mặtsấp và hai đồng xu còn lại xuất hiện mặt ngửa
Vậy khi thực hiện phép thử T, biến cố A2 có khả năng xảy ra nhiều hơn biến
cố A1 Bởi vậy các biến cố A1; A2 ; A3 ; A4 là không đồng khả năng Như vậy, việcphân tích này bước đầu cho ta thấy “trực giác” trên của HS là sai
Ví dụ 2: Gieo 3 đồng xu đồng chất và đối xứng Hãy tìm xác suất của các biến
cố ngẫu nhiên sau đây:
a) Biến cố A1: “Không có mặt sấp nào xuất hiện”
b) Biến cố A2: “Có một mặt sấp xuất hiện”
c) Biến cố A3: “Có hai mặt sấp xuất hiện”
d) Biến cố A4: “Có ba mặt sấp xuất hiện”
Một học sinh giải như sau:
Ở kết quả của phép thử T: “Gieo 3 đồng xu đồng chất và đối xứng”, có thể xảy
ra một và chỉ một biến cố ngẫu nhiên trong các biến cố ngẫu nhiên sau đây:
P A P A P A P A
Lời giải trên là sai vì ngộ nhận rằng các biến cố A A A A1, , ,2 3 4 là đồng khả năng.
Thật vậy, ta có thể phân tích cho học sinh hiểu như sau:
Khi thực hiện phép thử T , biến cố A1 chỉ có thể xảy ra một trường hợp:
Trong kết quả của phép thử T , ở cả 3 đồng xu đều xuất hiện mặt ngửa; còn biến cố A2 có thể xảy ra trong 3 trường hợp sau đây:
Trang 8- Trường hợp 1: Trong kết quả của phép thử T , ở đồng xu thứ nhất xuất hiện mặt sấp và ở hai đồng xu khác xuất hiện mặt ngửa.
- Trường hợp 2: Trong kết quả của phép thử T , ở đồng xu thứ 2 xuất hiện mặt sấp và hai đồng xu còn lại xuất hiện mặt ngửa.
- Trường hợp 3: Trong kết quả của phép thử T , ở đồng xu thứ 3 xuất hiện mặt sấp, còn hai đồng xu khác xuất hiện mặt ngửa.
Vậy biến cố A2 có khả năng xảy ra nhiều hơn biến cố A1, khi phép thử T thực hiện Bởi vậy các biến cố A A A A1, , ,2 3 4 là không đồng khả năng Như vậy việc phân tích này bước đầu cho ta thấy “trực giác” trên của học sinh là sai.
P A P B P B P B b) Ta có A2 B B1 2 B3 B B B1 2 3B1 B2 B3
Theo quy tắc cộng xác suất, ta có
P A 2 P B B B 1 2 3P B B B 1 2 3P B B B 1 2 3
Theo quy tắc nhân xác suất, ta tìm được
1 2 3 1 2 3
18
P B B B P B P B P B
Tương tự 1 2 3 1 2 3
18
P B B B P B B B
Vậy 2
38
P A
c) Ta có A3 B B B1 2 3B B B1 2 3B B B1 2 3
Lập luận tương tự câu b) ta được 3
1.8
P A P B B B P B P B P B
Trang 93.1.2 Sai lầm khi nhận dạng và thể hiện khái niệm tổ hợp, xác suất
Trong nhiều trường hợp, HS không hiểu rõ bản chất của các khái niệm tổhợp, xác suất do đó dẫn đến sai lầm khi giải toán
Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa khác màu vào 5 lọ hoa khác
nhau ( mỗi lọ cắm không quá một bông )
Giải : HS giải như sau:
Cắm 3 bông hoa vào 5 lọ hoa (mỗi lọ cắm không quá một bông) như vậy có
3 lọ được cắm hoa và 2 lọ không được cắm hoa Vậy số cách cắm hoa là :C 53 10
( cách )
Sai lầm : Ở đây HS đã không tính đến thứ tự cắm các bông hoa khác màu
vào các lọ hoa khác nhau Do các bông hoa khác màu và các lọ hoa khác nhau nêncách lựa chọn có liên quan đến thứ tự Trong khi đó lời giải đúng phải là: Do cácbông hoa khác màu được cắm vào các lọ hoa khác nhau nên số cách cắm là :
Điển hình nhất là việc nhầm lần giữa quy tắc cộng và quy tắc nhân xác suất,
HS không chú ý đến điều kiện để áp dụng công thức cộng là các biến cố phải xungkhắc, còn điều kiện để áp dụng công thức nhân là các biến cố phải độc lập
Ví dụ 4: Có một giỏ đựng 6 quả táo và 4 quả lê Hai HS lấy ngẫu nhiên mỗi
người một quả từ giỏ hoa quả Tính xác suất của biến cố “ Hai người lấy được hailoại quả khác nhau ” ?
Giải : HS giải như sau
Gọi A là biến cố HS thứ nhất lấy được quả táo, ( ) 1
Trang 10Gọi C là biến cố hai người lấy được hai loại quả khác nhau Khi đó :
.
CA B A B Áp dụng công thức cộng và nhân xác suất ta có :
1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
6 4 4 6 12
P C P A P B P A P B
Sai lầm: HS đã cho rằng các biến cố A và B là độc lập nên đã áp dụng sai
công thức nhân xác suất Thực tế ở đây các biến cố không độc lập với nhau nênkhông được sử dụng công thức nhân xác suất
Nhưng lời giải đúng phải được trình bày như sau:
2 10
( ) 90
n A
Gọi A là biến cố hai người lấy được hai loại quả khác nhau
TH1: HS thứ nhất chọn được quả táo thì HS thứ hai chọn được quả lê
3.1.4 Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt:
HS thường mắc phải một số kiểu sai lầm ngôn ngữ do chưa nắm rõ được bảnchất vấn đề
Ví dụ 5: HS thường hay nói "Tổ hợp chập k của n là k
n
C ", hoặc "chỉnh hợpchập k của n là k
n
A "
Sai lầm: Do lẫn lộn giữa đối tượng được định nghĩa và đối tượng dùng để
chỉ đối tượng ấy Chính xác phải là "số tổ hợp chập k của n phần tử là k
Trang 11Giải: HS đã giải như sau:
Gọi số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau có dạng : abcd
Do đây là số tự nhiên chẵn nên d có thể là 0,2,4,6
số nữa
Lời giải đúng phải là:
Gọi số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau có dạng : abcd
Trang 12sự phân biệt với các suy luận diễn dịch? Đồng thời, làm thế nào để giúp các em sửdụng kết hợp hai suy luận này trong quá trình học Xác suất?
Ví dụ 7: Bài tập 40, SGK tr.83 ĐS-GT 11 nâng cao.
Trong một trò chơi điện tử, xác xuất để An thắng trong một trận là 0,4 (không
có hoà) Hỏi An phải chơi tối thiểu bao nhiêu trận để xác suất An thắng ít nhất mộttrận trong loạt chơi đó lớn hơn 0,95
Bài giải học sinh: Gọi A là biến cố: “An thắng ít nhất một trận trong loạt chơi
Chú ý: Do học sinh chưa học phương trình và bất phương trình mũ nên để giải
phương trình (*), giáo viên nên hướng dẫn học sinh thử bằng máy tính bỏ túi
Ví dụ 8: Bài tập 42, SGK tr85 ĐS-GT11 nâng cao.
Gieo ba con súc sắc cân đối một cách độc lập Tính xác suất để tổng số chấmtrên mặt xuất hiện của ba con súc sắc bằng 9
Bài giải của học sinh: Các kết quả của phép thử 63216
Kết quả của phép thử là bộ 3 số (x,y,z) trong đó x,y,z tương ứng là kết quả củaviệc gieo con súc sắc thứ nhất, thứ 2, thứ 3 Gọi A là biến cố: “Tổng số chấm trênmặt xuất hiện của 3 con súc sắc là 9”
Trang 13Ta có: 9=1+2+6=1+3+5=2+3+4=1+4+4=2+2+5=3+3+3.
Do đó số kết quả thuận lợi cho biến cố A là A 6
Vậy 63 1
366
3.1.7 Sai lầm trong việc sử dụng định nghĩa cổ điển của xác suất.
Ví dụ 9: Bài tập 26, tr 75 SGK ĐS-GT 11 nâng cao.
Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương nhỏ hơn 9 Tính xác suất để
a) Số được chọn là số nguyên tố
b) Số được chọn chia hết cho 3
Sai lầm thường gặp
Số các phần tử của không gian mẫu là: 8
a) Gọi A là biến cố: “Số được chọn là số nguyên tố”
Tập các số nguyên tố nhỏ hơn 9 là {2, 3, 5, 7}