Luận van “Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học môn Toán lớp 10

Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn 1.1. Quá trình nhận thức : Trong dạy học nói chung, dạy học Toán nói riêng cần chú ý đến cơ chế cũng như những điều kiện ảnh hưởng đến sự phát triển của nhận thức của người học, bởi điều đó có vai trò quyết định đến khả năng lĩnh hội tri thức tạo tiền đề cho việc phát triển trí tuệ, phát triển NLGQVĐ của họ. Người ta có thể xem xét khoa học các đối tượng nghiên cứu tâm lí học theo nhiều góc độ khác nhau. Và đối với sự phát triển của nhận thức cũng không nằm ngoài qui luật đó. Các nghiên cứu cho thấy có thể chia quá trình nhận thức thành hai cấp độ: nhận thức cảm tính và nhận thức lí tính. Nhận thức cảm tính (cảm giác, tri giác, …) có vai trò quan trọng trong đời sống tâm lí của con người, nó cung cấp vật liệu cho các hoạt động tâm lí cao hơn. Tuy nhiên, thực tế cuộc sống luôn đặt ra VĐ mà bằng nhận thức cảm tính, con người không thể nhận thức và giải quyết được. Muốn nhận thức và giải quyết được những vấn đề như vậy, con người phải đạt tới mức độ nhận thức cao hơn, đó là nhận thức lí tính (còn gọi là tư duy). Trong tâm lí học, một trong những nghiên cứu đầy đủ nhất về tư duy đã được trình bày trong các công trình của X. L. Rubinstein. Những công trình này đã thúc đẩy mạnh mẽ việc giải quyết hàng loạt các vấn đề cơ bản liên quan đến nghiên cứu hình thức hoạt động tâm lí phức tạp. Theo cách hiểu của X. L. Rubinstein: “Tư duy đó là sự khôi phục trong ý nghĩ của chủ thể về khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các tư liệu cảm tính xuất hiện do tác động của khách thể” Có thể chỉ ra một số định nghĩa khác về tư duy, chẳng hạn: “Tư duy là quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính qui luật của sự vật hiện tượng trong hiện thực khách quan” 19, tr. 117, hoặc: “Tư duy là một quá trình tâm lí liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ quá trình tìm tòi và sáng tạo cái chính yếu, quá trình phản ánh một cách hay từng phần hay khái quát thực thế trong khi phân tích và tổng hợp nó. Tư duy sinh ra trên cơ sở hoạt động thực tiễn, từ nhận thức cảm tính và vượt xa giới hạn của nó” 51. Tư duy con người mang bản chất xã hội, sáng tạo và có cá tính ngôn ngữ. Trong quá trình phát triển, tư duy con người không dừng lại ở trình độ thao tác bằng chân tay, bằng hình tượng mà con người còn đạt tới trình độ tư duy bằng ngôn ngữ, tư duy trừu tượng, tư duy khái quát hình thức tư duy đặc biệt của con người 19, tr. 119. Trong quá trình tư duy, con người sử dụng phương tiện ngôn ngữ sản phẩm có tính xã hội cao, để nhận thức tình huống có vấn đề, để từ đó tiến hành các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hoá nhằm đi đến những khái niệm, phán đoán, suy lí, những qui luật những sản phẩm khái quát của tư duy. Tư duy có đặc điểm mới về chất so với cảm giác và tri giác. Tư duy có những đặc điểm cơ bản sau 19, tr. 119125: ) Tư duy chỉ nảy sinh khi gặp hoàn cảnh có vấn đề; ) Tư duy có tính khái quát; ) Tư duy có tính gián tiếp; ) Tư duy của con người có quan hệ mật thiết với ngôn ngữ: tư duy và ngôn ngữ có quan hệ chặt chẽ với nhau, không tách rời nhau nhưng cũng không đồng nhất với nhau. Sự thống nhất giữa tư duy và ngôn ngữ thể hiện ở khâu biểu đạt kết quả của quá trình tư duy. ) Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính: tư duy thường bắt đầu từ nhận thức cảm tính, dù tư duy có tính khái quát và tính trừu tượng đến đâu thì nội dung của tư duy vẫn chứa đựng những thành phần cảm tính (cảm giác, tri giác, hình tượng trực quan, ...). X. L. Rubinstein khẳng định rằng: “Nội dung cảm tính bao giờ cũng có trong tư duy trừu tượng, tựa hồ như làm thành chỗ dựa cho tư duy” 19, tr. 122. ) Tư duy là một quá trình: tư duy được xét như một quá trình, nghĩa là tư duy có nảy sinh, diễn biến và kết thúc. Quá trình tư duy bao gồm nhiều giai đoạn kế tiếp nhau đươc minh hoạ bởi sơ đồ Hình 1.1 (do K. K. Plantônôv đưa ra): Hình 1.1 (Dẫn theo Nguyễn Văn Thuận 51) ) Quá trình tư duy là một hành động trí tuệ: quá trình tư duy được diễn ra bằng cách hành những thao tác trí tuệ nhất định. Có rất nhiều thao tác trí tuệ tham gia vào một quá trình tư duy cụ thể với tư cách một hành động trí tuệ: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hoá, ... Cái cốt lõi là chúng ta phải thấy được tác dụng của tư duy trong đời sống xã hội, bởi con người dựa vào tư duy để “nhận thức những qui luật khách quan của tự nhiên, xã hội và lợi dụng những qui luật đó trong hoạt động thực tiễn của mình” 51. 1.2. Năng lực giải quyết vấn đề trong Toán học Theo phân tích trên thì chúng ta cần có những quan tâm đúng mực đến sự phát sinh và cơ chế của quá trình nhận thức để áp dụng vào dạy học có hiệu quả. Bởi đó là điều kiện tiên quyết để GQVĐ được tốt hơn, góp phần phát triển năng lực GQVĐ của người học nói chung, và trong dạy học Toán nói riêng. 1.2.1. Năng lực và năng lực toán học 1.2.1.1. Năng lực, kĩ năng, kĩ xảo và mối liên hệ a) Năng lực ở phương Tây có nhiều quan điểm về NL: Theo quan điểm di truyền học, trường phái A. Binet (18751911) và T. Simon cho rằng: NL phụ thuộc tuyệt đối và tính chất bẩm sinh của di truyền gen. Theo quan điểm xã hội học, E. Durkhiem (18581917) cho rằng: NL, nhân cách con người được quyết định bởi xã hội (như một môi trường bất biến, tách rời khỏi điều kiện chính trị). Theo phái tâm lí học hành vi, J. B. Watson (18701958) coi NL của con người là sự thích nghi “sinh vật” với điều kiện sống. Nhìn chung, các quan điểm này chủ yếu xem xét NL từ khía cạnh bản năng, từ yếu tố bẩm sinh, di truyền của con người mà coi nhẹ yếu tố giáo dục. Các nhà tâm lí học Mác xit nhìn nhận và nghiên cứu vấn đề NL theo cách khác. Họ không tuyệt đối hoá vai trò của yếu tố bẩm sinh di truyền đối với NL mà nhấn mạnh đến yếu tố hoạt động và HT trong việc hình thành NL C. Mác chỉ rõ: “Sự khác nhau về tài năng tự nhiên của các cá nhân không phải là nguyên nhân mà là kết quả của sự phân công lao động” 32, tr. 167. Ph. Ăng ghen thì cho rằng: “Lao động đã sáng tạo ra con người” 2, tr. 641. Trường phái tâm lí học Xô viết với A. G. Côvaliov 11, tr. 84127, N. X. Lâytex, …và tiêu biểu là B. M. Chieplôv đã có nhiều công trình nghiên cứu về NL trí tuệ. B.M. Chieplôv coi NL là những đặc điểm tâm lí cá nhân có liên quan với kết quả tốt đẹp với việc hoàn thành một hoạt động nào đó. Theo ông có hai yếu tố cơ bản liên quan đến khái niệm NL: Thứ nhất, NL là những đặc điểm tâm lí mang tính cá nhân. Mỗi cá thể khác nhau có NL khác nhau về cùng một lĩnh vực. Không thể nói rằng: Mọi người đều có năng lực như nhau Thứ hai, khi nói đến NL, không chỉ nói tới các đặc điểm tâm lí chung mà NL còn phải gắn với một hoạt động nào đó và được hoàn thành có kết quả tốt Cũng theo quan điểm trên, X. L. Rubinstein chú trọng đến tính có ích của hoạt động, ông coi NL là điều kiện cho hoạt động có ích của con người: “Năng lực là toàn bộ những thuộc tính tâm lí làm cho con người thích hợp với một hoạt động có ích lợi cho xã hội nhất định” . Ở Việt Nam, nhấn mạnh đến tính mục đích và nhân cách của NL, Phạm Tất Dong và Phạm Minh Hạc đưa ra nhận định nghĩa: “Năng lực chính là một tổ hợp các đặc điểm tâm lí của một con người (còn gọi là tổ hợp thuộc tính tâm lí của một nhân cách), tổ hợp đặc điểm này vận hành theo một mục đích nhất định tạo ra kết quả của một hoạt động nào đấy” 19, tr.45. b) Kĩ năng, kĩ xảo và mối quan hệ với năng lực M. A. Đanilôp và M.N. Xcatkin 16, tr. 26: Kĩ năng bao giờ cũng xuất phát từ kiến thức, kĩ năng chính là kiến thức trong hành động. Kĩ năng là khả năng của con người biết sử dụng một cách có mục đích và sáng tạo những kiến thức. Theo X.Roegiers 45, tr. 79 thì cho rằng: Kĩ năng là khả năng thực hiện một cái gì đó. Đó là một hoạt động được thực hiện. Meirieu cho rằng: Kỹ năng là một hoạt động trí tuệ ổn định và có thể tái hiện trong những trường kiến thức khác nhau. Không một kĩ năng nào tồn tại ở dạng thuần khiết và mọi khả năng đều biểu hiện qua những nội dung. Như vậy, qua tổng hợp các nghiên cứu chúng tôi cho rằng: Kĩ năng là ở phương thức hành động dựa trên cơ sở của tri thức, luôn được biểu hiện qua các nội dung cụ thể. Kĩ năng có thể được hình thành theo con đường luyện tập. Kĩ năng là một bộ phận cấu thành năng lực. Những nghiên cứu về hoạt động cho thấy: Kết quả của việc hoàn thành một hoạt động nào đó phụ thuộc vào kĩ năng thực hiện những hành động thành phần của nó. Đồng thời, thể hiện mức độ tinh vi, thành thục khi thực hiện các kĩ năng đó chính là kĩ xảo. Như vậy, NL và kĩ năng, kĩ xảo có mối liên hệ khăng khít, gắn bó, NL thường bao gồm một tổ hợp các kĩ năng thành phần có quan hệ chặt chẽ với nhau, giúp con người hoạt động có kết quả. Nhìn nhận vấn đề NL dưới góc độ gắn với các kĩ năng, xét từ phương diện tìm cách phát triển những NL cho HS trong HT, X. Rogiers đã mô hình hoá khái niệm NL thành các kĩ năng hành động trên những nội dung cụ thể trong một loại tình huống hoạt động: “Năng lực chính là sự tích hợp các kĩ năng tác động một cách tự nhiên lên các nội dung trong một loạt các tình huống cho trước để giải quyết những vấn đề do tình huống này đặt ra” 45, tr.90. Tóm lại, NL và kĩ năng là những vấn đề (VĐ) khá trừu tượng trong tâm lí học. Tuy còn có những cách hiểu và diễn đạt khác nhau, song về cơ bản các nhà tâm lí học đều thống nhất rằng: ) NL tồn tại và phát triển thông qua hoạt động; để có NL cần phải có những phẩm chất của cá nhân đáp ứng yêu cầu của một loại hoạt động nhất định, đảm bảo cho hoạt động ấy đạt hiệu quả cao. ) Người có năng lực về một hoạt động nào đó cần phải: + Có tri thức về hoạt động đó; + Tiến hành thạo động theo đúng các yêu cầu của nó một cách có hiệu quả; + Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đề ra; + Biết tiến hành có kết quả trong những điều kiện khác nhau. c) Trên cơ sở tìm hiểu những quan điểm về NL, xét từ phương diện giáo dục, chúng tôi tổng hợp lại như sau: ) NL thể hiện đặc thù tâm lí, sinh lí khác biệt của cá nhân, chịu ảnh hưởng của yếu tố bẩm sinh di truyền về mặt sinh học, được phát triển hay hạn chế còn do những điều kiện khác của môi trường sống. ) Những yếu tố bẩm sinh của NL cần có môi trường điều kiện xã hội (ở đây ta sẽ giới hạn trong môi trường giáo dục) thuận lợi mới phát triển được, nếu không sẽ bị thui chột. Do vậy NL không chỉ là yếu tố bẩm sinh, mà còn phát triển trong hoạt động, chỉ tồn tại và thể hiện trong mỗi hoạt động cụ thể. ) Nói đến NL là nói đến NL trong một loại hoạt động cụ thể của con người. ) Cấu trúc của NL bao gồm một tổ hợp nhiều kĩ năng thực hiện những hành động thành phần và có liên quan chặt chẽ với nhau. Đồng thời NL còn liên quan đến khả năng phán đoán, nhận thức, hứng thú và tình cảm. ) Hình thành và phát triển những NL cơ bản của HS trong HT và đời sống là nhiệm vụ quan trọng của các nhà trường sư phạm.

Mở đầu

1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1.1 Trước những biến đổi to lớn của thế giới trong thời đại ngày nay, đòi

hỏi nhà trường phải đào tạo ra những con người có năng lực giải quyết vấn đềtrong học tập và trong thực tiễn cuộc sống Hình thành và bồi dưỡng năng lựcgiải quyết vấn đề sẽ trở thành yêu cầu cấp bách của tất cả các quốc gia, các tổchức giáo dục và các doanh nghiệp

Trong đổi mới giáo dục, ở hầu khắp các nước trên thế giới, người ta rấtquan tâm đến bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua cácmôn học, thể hiện đặc biệt rõ nét ở trong quan điểm trình bày kiến thức vàphương pháp dạy học thông qua chương trình, sách giáo khoa

Raja Roy Singh trong cuốn “Nền giáo dục cho thế kỉ XXI - Những triểnvọng của Châu á - Thái Bình Dương” đã khẳng định: “Để đáp ứng được nhữngđòi hỏi mới được đặt ra do sự bùng nổ kiến thức và sáng tạo ra kiến thức mới,cần thiết phải phát triển năng lực tư duy, năng lực giải quyết vấn đề sáng tạo Các năng lực này có thể quy gọn là “năng lực giải quyết vấn đề”

Hội nghị giữa Hội đồng giáo dục Australia và các Bộ trưởng Bộ Giáo dục

- Đào tạo - Việc làm các bang của Australia (9/1992) đã đưa ra kiến nghị coiphát hiện và giải quyết vấn đề là một trong bảy năng lực then chốt (Keycompetencies)

Ở Việt Nam, các Nghị quyết Hội nghị lần thứ tư khoá VII (1993), lần thứhai khoá VIII (1997) của Ban chấp hành Trung ương Đảng cộng sản Việt nam

và Luật Giáo dục (1998) đã chỉ rõ: “Cuộc cách mạng về phương pháp giáo dụchướng vào người học, rèn luyện và phát triển khả năng suy nghĩ, khả năng giảiquyết vấn đề một cách năng động, độc lập, sáng tạo ngay trong quá trình học tập

ở nhà trường phổ thông áp dụng những phương pháp giáo dục hiện đại để bồidưỡng năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề” Năng lực đầu tiêntrong bốn năng lực cơ bản mà “mẫu người” tương lai cần có chính là “năng lựcphát hiện và giải quyết vấn đề nảy sinh trong cuộc sống, khoa học côngnghệ, ” Thái Duy Tuyên khi bàn về mục tiêu và phương pháp bồi dưỡng conngười Việt Nam trong điều kiện mới đã chỉ ra: “Giáo dục không chỉ đào tạo conngười có năng lực tuân thủ, mà chủ yếu là những con người có năng lực sáng

tạo, , biết cách đặt vấn đề, nghiên cứu và giải quyết vấn đề ” Các dự án pháttriển Giáo dục tiểu học, Trung học cơ sở và Trung học phổ thông ở nước ta hiệnnay đang thực hiện đổi mới Giáo dục theo định hướng trên.

1.2 Ở trường phổ thông, có thể xem học Toán là học phát hiện và giải

quyết các vấn đề Toán học (tìm tòi ở mức độ học tập các tri thức Toán học theocon đường tìm tòi suy lí và khái quát hóa) và dạy Toán là dạy hoạt động Toánhọc Hơn nữa, môn Toán là môn học có tính khái quát cao, mang đặc thù riêngcủa khoa học Toán học nên chứa đựng nhiều tiềm năng để bồi dưỡng năng lựcgiải quyết vấn đề

Mặt khác trong dạy học Toán, mà cụ thể là: Dạy học khái niệm, dạy họcđịnh lí, và dạy học giải bài tập Toán, mỗi cái có một vai trò quan trọng riêng,một ý nghĩa nhất định trong việc góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề,phát triển trí tuệ cho học sinh

1.3 Đã có một số tác giả quan tâm nghiên cứu phát triển một số loại năng

lực cụ thể trong dạy học môn Toán Về năng lực học Toán học nói chung cóA.N Kôlmôgôrôv, V.A Cruchetxki; ở trung học cơ sở về năng lực tư duy sángtạo có Tôn Thân; về năng lực Toán học trong lĩnh vực số học có Trần ĐìnhChâu; về năng lực sáng tạo trong lĩnh vực hình học có Trần Luận; ở trung họcphổ thông về năng lực giải Toán có Lê Thống Nhất; Nguyễn Thị HươngTrang; Các nghiên cứu này đã tạo nên bức tranh nhiều màu sắc về năng lựcnói chung và năng lực Toán học nói riêng Tuy nhiên căn cứ vào thực trạng dạyhọc Toán ở trung học phổ thông hiện nay, có thể nói vấn đề bồi dưỡng năng lựcgiải quyết vấn đề chưa được quan tâm và phát triển một cách đầy đủ

1.4 Trong đổi mới nội dung, đổi mới chương trình đang thực hiện ở nhà

trường phổ thông, có rất nhiều vấn đề phát sinh, những đòi hỏi mới trong nhữnghoàn cảnh mới Những nội dung kiến thức, bài tập của hôm nay, ngày mai sẽ cóthể không phù hợp nữa Hơn nữa, xét thực trạng dạy học ở trường trung học phổthông hiện nay, các nhà Toán học Hoàng Tụy và Nguyễn Cảnh Toàn viết: “ Kiến thức, tư duy, tính cách con người chính là mục tiêu của giáo dục Thếnhưng, hiện nay trong nhà trường, tư duy, tính cách bị chìm đi trong kiếnthức ”, “ Ta còn chuộng cách nhồi nhét, luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt để giảinhững bài toán oái oăm, giả tạo, chẳng giúp ích gì mấy cho việc phát triển trí tuệ

mà còn làm cho học sinh xa rời thực tế, mệt mỏi và chán nản ” Khối lượngkiến thức thì phong phú, nội dung, chương trình liên tục thay đổi, làm sao có thểnhồi nhét hết vào trong đầu học sinh đang ở tuổi có nhiều mối quan tâm khác!

Do đó, thay vì việc dạy nhồi nhét, luyện nhớ, chúng ta hãy góp phần phát triểncho học sinh cách phát hiện và giải quyết vấn đề, dạy cho họ cách học Mà dạyhọc Toán vừa tạo ra cơ hội thuận lợi, vừa đòi hỏi phát triển những biện pháp sưphạm thích hợp để hình thành và phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho họcsinh

Những cơ sở lý luận và thực tiễn nói trên đã đặt ra yêu cầu và tạo điềukiện cho việc nghiên cứu năng lực giải quyết vấn đề trên bình diện đề xuất cácbiện pháp sư phạm để bồi dưỡng các năng lực này trong dạy học Toán ở trunghọc phổ thông, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường trunghọc phổ thông nói riêng, qua đó phát triển khả năng giải quyết vấn đề nói chung

Vì tất cả các lí do trên chúng tôi đã chọn vấn đề “Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học môn Toán lớp 10 " làm đề tài nghiên cứu.

2 Mục đích nghiên cứu

Hệ thống hoá và thống nhất một số vấn đề lí luận và thực tiễn về năng lực

giải quyết vấn đề trong dạy học Toán ở THPT; từ đó xây dựng các BPSP nhằmbồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh trong dạy học môn Toán ởlớp 10 trung học phổ thông

3 Giả thuyết khoa học

Nếu xác định được một số thành tố của NLGQVĐ và xây dựng được cácBPSP phù hợp thì có thể góp phần phát triển năng lực này cho HS THPT trongdạy học môn Toán lớp 10

4 phương pháp nghiên cứu

4.1 Nghiên cứu lí luận:

- Nghiên cứu các văn kiện của Đảng, Nhà nước, các chủ trương và chính

sách của Bộ Giáo dục và Đào tạo có liên quan đến nhiệm vụ dạy học Toán ởtrường THPT

- Nghiên cứu các tài liệu triết học, tâm lí học, giáo dục học và lí luận DH

bộ môn Toán có liên quan đến đề tài

- Phân tích chương trình, SGK, sách bài tập, sách giáo viên, sách thamkhảo hiện hành ở trường THPT, và các sách trong chương trình trước hiện hành

ở nước ta

4.2 Quan sát

Dự giờ quan sát biểu hiện GV và HS (về nhận thức, thái độ, hành vi)trong hoạt động dạy và học Toán (trước và trong khi thực nghiệm)

4.3 Điều tra thực tiễn và xin ý kiến chuyên gia:

- Phỏng vấn, sử dụng phiếu điều tra GV và HS về:

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu cơ sở lí luận và thực tiễn của đề tài:

Hệ thống hoá, làm rõ những vấn đề về cơ sở lí luận và thực tiễn, phươngpháp luận có liên quan đến NLGQVĐ trong dạy học Toán

5.2 Đề xuất các BPSP bồi dưỡng NLGQVĐ cho HS trong DH Toán lớp

10 ở THPT

5.3 Tổ chức thực nghiệm sư phạm xem xét tính khả thi của phương án đề

xuất; tìm hiểu khả năng triển khai trong thực tiễn

6 Những đóng góp của luận văn và ý nghĩa của đề tài

6.1 Về mặt lí luận: Góp phần làm rõ các thành tố của NLGQVĐ của HS

trong dạy học Toán

6.2 Về mặt thực tiễn: Xây dựng hệ thống các BPSP bồi dưỡng cho HS

NLGQVĐ trong dạy học Toán lớp 10 THPT

7 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, nội dungchính của luận văn được trình bày trong ba chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn

1.1 Quá trình nhận thức

1.2 Năng lực giải quyết vấn đề trong Toán học

1.3 Vấn đề phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh trong dạyhọc Toán

1.4 Các năng lực thành tố của năng lực giải quyết vấn đề của học sinhtrong dạy học Toán ở THPT

1.5 Các biểu hiện và cấp độ của năng lực giải quyết vấn đề

Chương 2: Các biện pháp sư phạm góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh THPT trong dạy học môn Toán lớp 10

2.1 Tổng quan về chương trình môn Toán lớp 10 THPT

2.2 Định hướng xây dựng và thực hiện các biện pháp

2.3 Một số biện pháp sư phạm nhằm góp phần phát triển năng lực giảiquyết vấn đề cho học sinh trong học môn Toán lớp 10 THPT

2.4 Kết luận

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

3.1 Mục đích thực nghiệm

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm

3.4 Kết luận

Người ta có thể xem xét khoa học các đối tượng nghiên cứu tâm lí họctheo nhiều góc độ khác nhau Và đối với sự phát triển của nhận thức cũng khôngnằm ngoài qui luật đó

Các nghiên cứu cho thấy có thể chia quá trình nhận thức thành hai cấp độ:nhận thức cảm tính và nhận thức lí tính

Nhận thức cảm tính (cảm giác, tri giác, …) có vai trò quan trọng trong đờisống tâm lí của con người, nó cung cấp vật liệu cho các hoạt động tâm lí caohơn Tuy nhiên, thực tế cuộc sống luôn đặt ra VĐ mà bằng nhận thức cảm tính,con người không thể nhận thức và giải quyết được Muốn nhận thức và giảiquyết được những vấn đề như vậy, con người phải đạt tới mức độ nhận thức caohơn, đó là nhận thức lí tính (còn gọi là tư duy)

Trong tâm lí học, một trong những nghiên cứu đầy đủ nhất về tư duy đãđược trình bày trong các công trình của X L Rubinstein Những công trình này

đã thúc đẩy mạnh mẽ việc giải quyết hàng loạt các vấn đề cơ bản liên quan đếnnghiên cứu hình thức hoạt động tâm lí phức tạp Theo cách hiểu của X L.Rubinstein: “Tư duy - đó là sự khôi phục trong ý nghĩ của chủ thể về khách thểvới mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các tư liệu cảm tính xuất hiện dotác động của khách thể”

Có thể chỉ ra một số định nghĩa khác về tư duy, chẳng hạn: “Tư duy làquá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ cótính qui luật của sự vật hiện tượng trong hiện thực khách quan” [19, tr 117],hoặc: “Tư duy là một quá trình tâm lí liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ - quátrình tìm tòi và sáng tạo cái chính yếu, quá trình phản ánh một cách hay từng

phần hay khái quát thực thế trong khi phân tích và tổng hợp nó Tư duy sinh ratrên cơ sở hoạt động thực tiễn, từ nhận thức cảm tính và vượt xa giới hạn củanó” [51].

Tư duy con người mang bản chất xã hội, sáng tạo và có cá tính ngôn ngữ.Trong quá trình phát triển, tư duy con người không dừng lại ở trình độ thao tácbằng chân tay, bằng hình tượng mà con người còn đạt tới trình độ tư duy bằngngôn ngữ, tư duy trừu tượng, tư duy khái quát - hình thức tư duy đặc biệt củacon người [19, tr 119] Trong quá trình tư duy, con người sử dụng phương tiệnngôn ngữ - sản phẩm có tính xã hội cao, để nhận thức tình huống có vấn đề, để

từ đó tiến hành các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá,khái quát hoá nhằm đi đến những khái niệm, phán đoán, suy lí, những qui luật -những sản phẩm khái quát của tư duy

Tư duy có đặc điểm mới về chất so với cảm giác và tri giác Tư duy cónhững đặc điểm cơ bản sau [19, tr 119-125]:

*) Tư duy chỉ nảy sinh khi gặp hoàn cảnh có vấn đề;

*) Tư duy có tính khái quát;

*) Tư duy có tính gián tiếp;

*) Tư duy của con người có quan hệ mật thiết với ngôn ngữ: tư duy vàngôn ngữ có quan hệ chặt chẽ với nhau, không tách rời nhau nhưng cũng khôngđồng nhất với nhau Sự thống nhất giữa tư duy và ngôn ngữ thể hiện ở khâu biểuđạt kết quả của quá trình tư duy

*) Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính: tư duy thường bắtđầu từ nhận thức cảm tính, dù tư duy có tính khái quát và tính trừu tượng đếnđâu thì nội dung của tư duy vẫn chứa đựng những thành phần cảm tính (cảmgiác, tri giác, hình tượng trực quan, ) X L Rubinstein khẳng định rằng: “Nộidung cảm tính bao giờ cũng có trong tư duy trừu tượng, tựa hồ như làm thànhchỗ dựa cho tư duy” [19, tr 122]

*) Tư duy là một quá trình: tư duy được xét như một quá trình, nghĩa là tưduy có nảy sinh, diễn biến và kết thúc Quá trình tư duy bao gồm nhiều giai

đoạn kế tiếp nhau đươc minh hoạ bởi sơ đồ Hỡnh 1.1 (do K K Plantụnụv đưara):

Hỡnh 1.1 (Dẫn theo Nguyễn Văn Thuận [51])

*) Quỏ trỡnh tư duy là một hành động trớ tuệ: quỏ trỡnh tư duy được diễn rabằng cỏch hành những thao tỏc trớ tuệ nhất định Cú rất nhiều thao tỏc trớ tuệtham gia vào một quỏ trỡnh tư duy cụ thể với tư cỏch một hành động trớ tuệ: phõntớch, tổng hợp, so sỏnh, trừu tượng hoỏ, khỏi quỏt hoỏ,

Cỏi cốt lừi là chỳng ta phải thấy được tỏc dụng của tư duy trong đờisống xó hội, bởi con người dựa vào tư duy để “nhận thức những qui luật khỏchquan của tự nhiờn, xó hội và lợi dụng những qui luật đú trong hoạt động thựctiễn của mỡnh” [51]

1.2 Năng lực giải quyết vấn đề trong Toỏn học

Theo phõn tớch trờn thỡ chỳng ta cần cú những quan tõm đỳng mực đến sựphỏt sinh và cơ chế của quỏ trỡnh nhận thức để ỏp dụng vào dạy học cú hiệu quả

Xuất hiện các liên t ởng

Sàng lọc các liên t ởng và hình thành giả thuyết

Kiểm tra giả thuyếtNhận thức vấn đề

Giải quyết vấn đề

Hoạt động t duy mới

Bởi đó là điều kiện tiên quyết để GQVĐ được tốt hơn, góp phần phát triển nănglực GQVĐ của người học nói chung, và trong dạy học Toán nói riêng.

1.2.1 Năng lực và năng lực toán học

1.2.1.1 Năng lực, kĩ năng, kĩ xảo và mối liên hệ

Các nhà tâm lí học Mác xit nhìn nhận và nghiên cứu vấn đề NL theo cáchkhác Họ không tuyệt đối hoá vai trò của yếu tố bẩm sinh di truyền đối với NL

mà nhấn mạnh đến yếu tố hoạt động và HT trong việc hình thành NL

C Mác chỉ rõ: “Sự khác nhau về tài năng tự nhiên của các cá nhân khôngphải là nguyên nhân mà là kết quả của sự phân công lao động” [32, tr 167] Ph.Ăng ghen thì cho rằng: “Lao động đã sáng tạo ra con người” [2, tr 641]

Trường phái tâm lí học Xô viết với A G Côvaliov [11, tr 84-127], N X.Lâytex, …và tiêu biểu là B M Chieplôv đã có nhiều công trình nghiên cứu về

NL trí tuệ B.M Chieplôv coi NL là những đặc điểm tâm lí cá nhân có liên quanvới kết quả tốt đẹp với việc hoàn thành một hoạt động nào đó Theo ông có haiyếu tố cơ bản liên quan đến khái niệm NL:

Thứ nhất, NL là những đặc điểm tâm lí mang tính cá nhân Mỗi cá thể

khác nhau có NL khác nhau về cùng một lĩnh vực Không thể nói rằng: Mọingười đều có năng lực như nhau!

Thứ hai, khi nói đến NL, không chỉ nói tới các đặc điểm tâm lí chung mà

NL còn phải gắn với một hoạt động nào đó và được hoàn thành có kết quả tốt

Cũng theo quan điểm trên, X L Rubinstein chú trọng đến tính có ích củahoạt động, ông coi NL là điều kiện cho hoạt động có ích của con người: “Nănglực là toàn bộ những thuộc tính tâm lí làm cho con người thích hợp với một hoạtđộng có ích lợi cho xã hội nhất định”

Ở Việt Nam, nhấn mạnh đến tính mục đích và nhân cách của NL, PhạmTất Dong và Phạm Minh Hạc đưa ra nhận định nghĩa: “Năng lực chính là một tổhợp các đặc điểm tâm lí của một con người (còn gọi là tổ hợp thuộc tính tâm lícủa một nhân cách), tổ hợp đặc điểm này vận hành theo một mục đích nhất địnhtạo ra kết quả của một hoạt động nào đấy” [19, tr.45]

b) Kĩ năng, kĩ xảo và mối quan hệ với năng lực

M A Đanilôp và M.N Xcatkin [16, tr 26]: "Kĩ năng bao giờ cũng xuấtphát từ kiến thức, kĩ năng chính là kiến thức trong hành động Kĩ năng là khảnăng của con người biết sử dụng một cách có mục đích và sáng tạo những kiếnthức"

Theo X.Roegiers [45, tr 79] thì cho rằng: "Kĩ năng là khả năng thực hiệnmột cái gì đó Đó là một hoạt động được thực hiện"

Meirieu cho rằng: "Kỹ năng là một hoạt động trí tuệ ổn định và có thể táihiện trong những trường kiến thức khác nhau Không một kĩ năng nào tồn tại ởdạng thuần khiết và mọi khả năng đều biểu hiện qua những nội dung"

Như vậy, qua tổng hợp các nghiên cứu chúng tôi cho rằng: Kĩ năng là ởphương thức hành động dựa trên cơ sở của tri thức, luôn được biểu hiện qua cácnội dung cụ thể Kĩ năng có thể được hình thành theo con đường luyện tập Kĩnăng là một bộ phận cấu thành năng lực

Những nghiên cứu về hoạt động cho thấy: Kết quả của việc hoàn thànhmột hoạt động nào đó phụ thuộc vào kĩ năng thực hiện những hành động thànhphần của nó Đồng thời, thể hiện mức độ tinh vi, thành thục khi thực hiện các kĩnăng đó chính là kĩ xảo Như vậy, NL và kĩ năng, kĩ xảo có mối liên hệ khăng

khít, gắn bó, NL thường bao gồm một tổ hợp các kĩ năng thành phần có quan hệchặt chẽ với nhau, giúp con người hoạt động có kết quả.

Nhìn nhận vấn đề NL dưới góc độ gắn với các kĩ năng, xét từ phươngdiện tìm cách phát triển những NL cho HS trong HT, X Rogiers đã mô hình hoákhái niệm NL thành các kĩ năng hành động trên những nội dung cụ thể trongmột loại tình huống hoạt động: “Năng lực chính là sự tích hợp các kĩ năng tácđộng một cách tự nhiên lên các nội dung trong một loạt các tình huống cho trước

để giải quyết những vấn đề do tình huống này đặt ra” [45, tr.90]

Tóm lại, NL và kĩ năng là những vấn đề (VĐ) khá trừu tượng trong tâm líhọc Tuy còn có những cách hiểu và diễn đạt khác nhau, song về cơ bản các nhàtâm lí học đều thống nhất rằng:

*) NL tồn tại và phát triển thông qua hoạt động; để có NL cần phải cónhững phẩm chất của cá nhân đáp ứng yêu cầu của một loại hoạt động nhất định,đảm bảo cho hoạt động ấy đạt hiệu quả cao

*) Người có năng lực về một hoạt động nào đó cần phải:

+ Có tri thức về hoạt động đó;

+ Tiến hành thạo động theo đúng các yêu cầu của nó một cách có hiệuquả;

+ Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đề ra;

+ Biết tiến hành có kết quả trong những điều kiện khác nhau

c) Trên cơ sở tìm hiểu những quan điểm về NL, xét từ phương diện giáo

dục, chúng tôi tổng hợp lại như sau:

*) NL thể hiện đặc thù tâm lí, sinh lí khác biệt của cá nhân, chịu ảnhhưởng của yếu tố bẩm sinh di truyền về mặt sinh học, được phát triển hay hạnchế còn do những điều kiện khác của môi trường sống

*) Những yếu tố bẩm sinh của NL cần có môi trường điều kiện xã hội (ởđây ta sẽ giới hạn trong môi trường giáo dục) thuận lợi mới phát triển được, nếukhông sẽ bị thui chột Do vậy NL không chỉ là yếu tố bẩm sinh, mà còn pháttriển trong hoạt động, chỉ tồn tại và thể hiện trong mỗi hoạt động cụ thể

*) Nói đến NL là nói đến NL trong một loại hoạt động cụ thể của conngười.

*) Cấu trúc của NL bao gồm một tổ hợp nhiều kĩ năng thực hiện nhữnghành động thành phần và có liên quan chặt chẽ với nhau Đồng thời NL còn liênquan đến khả năng phán đoán, nhận thức, hứng thú và tình cảm

*) Hình thành và phát triển những NL cơ bản của HS trong HT và đờisống là nhiệm vụ quan trọng của các nhà trường sư phạm

1.2.1.2 Năng lực toán học và một số thành phần đặc trưng của tư duy toán học ảnh hưởng đến năng lực toán học

a) Năng lực toán học

*) Theo V A Crutecxki năng lực toán học được hiểu theo 2 ý nghĩa, 2mức độ:

Một là, theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với việc

học toán, đối với việc nắm giáo trình toán học ở trường phổ thông, nắm mộtcách nhanh và tốt các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng

Hai là, theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học), tức là năng lực hoạt

động sáng tạo toán học, tạo ra những kết quả mới, khách quan có giá trị lớn đốivới xã hội loài người

Giữa hai mức độ hoạt động toán học đó không có một sự ngăn cách tuyệtđối Nói đến năng lực học tập toán không phải là không đề cập tới năng lực sángtạo Có nhiều em học sinh có năng lực, đã nắm giáo trình toán học một cách độclập và sáng tạo, đã tự đặt và giải các bài toán không phức tạp lắm; đã tự tìm racác con đường, các phương pháp sáng tạo để chứng minh các định lý, độc lậpsuy ra các công thức, tự tìm ra các phương pháp giải độc đáo cho những bài toánkhông mẫu mực Tuy nhiên, đó chỉ chiếm một tỉ lệ rất nhỏ

*) Theo A N Kôlmôgôrôv xem xét NL toán học trên cơ sở 3 thành tốliên có liên quan đến khả năng biến đổi biểu thức chữ, tưởng tượng và suy luậnlôgic:

1) NL biến đổi thành thạo các biểu thức chữ phức tạp, NL tìm kiếm các phương pháp xa lạ với các qui tắc thông thường để giải phương trình;

2) Trí tưởng tượng hình học hay “trực giác hình học”;

3) Nghệ thuật suy luận lôgic được phân nhỏ hợp lí, tuần tự.

*)Theo V A Cruchetxki [28, tr 168] nhìn nhận dưới góc độ thu nhận và

xử lí thông tin đã phân chia NL toán học bao gồm 4 thành tố cơ bản là:

1) Thu nhận thông tin toán học;

2) Chế biến thông tin toán học;

3) Lưu trữ thông tin toán học;

4) Thành phần tổng hợp chung là khuynh hướng toán học của trí tuệ.

*) Theo UNESCO đã công bố 10 tiêu chí NL toán học cơ bản như sau:

1) NL phát biểu và tái hiện những định nghĩa, kí hiệu, các phép toán, các KN;

2) NL tính nhanh và tính cẩn thận, sử dụng đúng các kí hiệu;

3) NL dịch chuyển các dữ liệu thành kí hiệu;

4) NL biểu diễn các dữ kiện, ẩn, các điều kiện ràng buộc giữa chúng thành kí hiệu;

5) NL theo dõi một hướng suy luận hay chứng minh;

6) NL xây dựng một chứng minh;

7) NL giải một bài toán đã toán học hoá;

8) NL giải một bài toán có lời văn (chưa toán học hóa);

9) NL phân tích bài toán và xác định phép toán có thể áp dụng;

10) NL khái quát hoá.

Trong các bài viết của Viện sĩ B V Gơnhedencô viết về giáo dục học ởtrường phổ thông, ông đưa ra các yêu cầu đối với tư duy toán học của học sinh

4) Phân chia rõ tiến trình suy luận;

5) Thói quen lí lẽ đầy đủ về lôgic [51].

Theo A Ia Khinsin, những nét độc đáo của tư duy toán học là:

1) Suy luận theo sơ đồ lôgic chiếm ưu thế;

2) Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất đi đến mục đích;

3) Phân chia rành mạch các bước suy luận;

4) Sử dụng chính xác các kí hiệu (mỗi kí hiệu toán học có một ý nghĩa xác định chặt chẽ);

5) Tính có căn cứ đầy đủ của lập luận [51].

*) Theo A A Stoliar, dạy Toán có thể xem như dạy cho học sinh hoạtđộng toán học, mà đi liền với mỗi hoạt động sẽ có những NL tương ứng Họctoán bao gồm các hoạt động liên quan đến Số học, Đại số, Giải tích, Hình học,

… nên ta có thể phân chia NL thành thành các NL học Số học, NL học Đại số,

NL học Giải tích, NL học Hình học…Mặt khác, toán học có tính trừu tượng cao

và tính lôgic chặt chẽ nên hoạt động học toán liên quan chặt chẽ với tư duy toánhọc Do đó, NL toán học có thể được nghiên cứu từ những góc độ riêng Cónhững tác giả đã cụ thể hoá và vận dụng NL này vào DH Toán theo các khíacạnh, phạm vi và chủ đề khác nhau

Tiếp cận từ góc độ bồi dưỡng tư duy sáng tạo, Tôn Thân đã tập trungnghiên cứu ba trong năm thành phần cơ bản của tư duy sáng tạo là “tính mềmdẻo, tính nhuần nhuyễn, và tính độc đáo” [50, tr 12-13]

Theo hướng bồi dưỡng NL toán học cho HS THCS, Trần Đình Châu tậptrung vào bốn yếu tố của nó trong DH Số học [7, tr 38-39]

Từ khía cạnh rèn luyện NL tư duy trong NL toán học, Nguyễn Thái Hoèđưa ra các yêu cầu rèn luyện tư duy qua giải bài tập toán [22, tr 4]; Nguyễn VănThuận tìm hiểu các đặc trưng của tư duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữtoán học cho HS ở đầu cấp THPT [51]

Nghiên cứu rèn luyện NL giải toán, Lê Thống Nhất đã đi theo hướng tìmhiểu, phân loại các sai lầm và biện pháp sửa chữa cho HS THPT [33] CònNguyễn Thị Hương Trang thì tiếp cận NL này từ quan điểm “phát hiện vàGQVĐ một cách sáng tạo” [53], …

Trên cơ sở nghiên cứu những lí luận và thực tiễn, có thể thấy:

*) NL toán học là những đặc điểm tâm lí về hoạt động trí tuệ của học sinh,giúp họ nắm vững và vận dụng tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc, những kiếnthức, kĩ năng, kĩ xảo trong môn Toán.

*) NL toán học được hình thành, phát triển, thể hiện thông qua (và gắnliền với) các hoạt động của HS nhằm giải quyết những nhiệm vụ HT trong mônToán: xây dựng và vận dụng khái niệm, chứng minh và vận dụng định lí, giảibài toán,…

b) Một số thành phần đặc trưng của tư duy toán học ảnh hưởng đến năng lực toán học

Để thuận lợi cho việc nghiên cứu những vấn đề liên quan đến NLGQVĐnhư đề xuất các NL thành tố và các BPSP ở các phần sau của luận văn, chúngtôi thấy cần thiết phải phân tích, làm rõ một số loại tư duy dưới đây

a) Tư duy trực giác

Khái niệm trực giác được đề cập từ lâu và có những cách hiểu khác nhau,điều đó chứng tỏ vai trò quan trọng trong quá trình nhận thức và sáng tạo khoahọc Theo đại bách khoa toàn thư Xôviết thì trực giác là năng lực nhận thứcchân lí bằng cách xét đoán trực tiếp mà không có sự biện giải bằng chứng minh.Theo Cruchetxki thì nhiều trường hợp, sự bừng sáng đột ngột của học sinh cónăng lực có thể giải thích bởi ảnh hưởng vô thức bởi kinh nghiệm quá khứ mà

cơ sở của chúng là năng lực khái quát hóa các đối tượng, các quan hệ, các phéptoán toán học và năng lực tư duy bằng cấu trúc rút gọn

Các tài liệu khác nhau, hiểu trực giác toán học theo nhiều nghĩa khác nhau

và trong thực tế cũng tồn tại nhiều dạng khác nhau; nó có thể coi là sự bừngsáng đột ngột, chưa nhận thức được, có thể là trực quan cảm tính và cũng có thể

là kết quả của sự vận động không có ý thức các cách thức hoạt động khái quát

và các cấu trúc rút gọn

J Bruner đã viết: “Thông thường tư duy trực giác dựa trên cơ sở quen biếtvới những kiến thức cơ bản trong lĩnh vực đang xét với cơ cấu của lĩnh vực này.Điều đó cho phép thực hiện tư duy trực giác dưới những dạng biến đổi đột ngột,việc chuyển nhanh từ chỗ này sang chỗ kia, bỏ qua những khâu của vấn đề, …”

Và cũng cần chú ý rằng không phải tất cả các phát minh (phát minh vĩđại) đều là trực giác, nhưng có rất nhiều phát minh bắt đầu từ trực giác Newtonchỉ với quả táo rơi trên cây xuống mà đã đi tới định lí vạn vật hấp dẫn Có thể hệthống các tiên đề của hình học Ơclit khi ông nêu ra có lẽ phần lớn cũng xuấtphát từ trực giác chăng?

Vào năm Gauss 7 tuổi, thầy giáo đã ra cho cả lớp bài tập: “Hãy tính tổng củamột 100 số tự nhiên từ 1 đến 100” và Gauss đã đưa ra cách trả lời chính xác chỉsau một lát suy nghĩ Làm thế nào ở độ tuổi đó, ông đã có thể tính được phéptính phức tạp này?

Phải chăng xuất phát từ trực giác, Ông đã nghĩ: “Dù thay đổi trật tự củacon số trong phép tính thì kết quả vẫn không thay đổi, vì thế mình có thể nhóm 1với 100, 2 với 99, 3 với 98, … để tạo thành các cặp có tổng bằng nhau, và mình

có 50 cặp số như vậy (?)”, suy luận đưa ra đáp án là 101.50 = 5050

Suy nghĩ này được thể hiện qua sơ đồ sau:

Không rõ thời điểm đó Ông thực sự đã suy nghĩ như thế nào, nhưng có lẽbằng trực giác toán học khi ghép đôi các cặp với nhau như trên? Qua ví dụ trên,cho thấy cần phải có những quan tâm hợp lí đối với tư duy trực giác bởi nó cũngnhững ý nghĩa rất lớn trong học tập cũng như trong cuộc sống

b) Tư duy lôgic

Tư duy lôgic được hiểu là: “Tư duy thay thế các hành động với các sự vật

có thực bằng sự vận dụng các khái niệm theo qui tắc của lôgic học” Tư duylôgic là thứ tư duy chặt chẽ, không mâu thuẫn, nó không chỉ là thực hiện giảiquyết vấn đề, mà còn là phương hướng GQ Ta sẽ thấy rằng, nếu hiểu một cáchđầy đủ thì tư duy lôgic đóng vai trò quan trọng trong việc PH và GQVĐ, nóchứng đựng cả những thao tác tiền lôgic, như mò mẫn, dự đoán, bác bỏ, khẳngđịnh, đặt giả thuyết Theo các tác giả Koliagin, Oganhexian, Lukankin, Xanhixkilà: “Tư duy lôgic được đặc trưng bởi kĩ năng đưa hệ quả từ những tiền đề, kĩ

1 +2 +3 + ………… + 98 + 99 +100

101

năng phân chia ra trường hợp riêng và phối hợp chúng lại để khảo sát một cáchtoàn diện vấn đề đang xét, kĩ năng dự đoán về mặt lí thuyết một kết quả cụ thểnào đó” [51].

Theo quan điểm trên, tư duy lôgic chứa đựng ba thành phần cơ bản đó là:suy diễn, dự đoán, chia trường hợp riêng Tuy nhiên, mức độ của từng thànhphần ấy thì không được định chuẩn một cách rõ ràng, bởi như đối với dự đoánchẳng hạn, cũng có nhiều mức độ, đối với suy diễn thì cũng có những cái trựctiếp và gián tiếp

Vấn đề dự đoán trong tư duy lôgic thường gặp nhiều trong DH toán ởtrường PT, như các bài toán quĩ tích hình học phẳng, tìm giá trị lớn nhất nhỏnhất của các hàm số khi chưa có công cụ đạo hàm, đặc biệt là những dự đoán vềphương hướng GQ bài toán

Xét ví dụ dưới đây, mô tả lại quá trình mày mò, suy luận để tìm lời giảicủa một HS có NL toán học

Ví dụ 1 2: Cho x, y là 2 số dương S là số lớn nhất trong các số x, y +

1 1

,

x y Tìm giá trị nhỏ nhất của S.

Nếu HS có thói quen mò mẫm, dự đoán, thì họ sẽ biết thử một số trường

hợp, từ đó hình thành nên một điều dự đoán - mà điều dự đoán ấy sẽ làm cơ sở

cho việc tìm ra lời giải của bài toán

Trong bài toán này khi cho x, y thay đổi thoả mãn là 2 số dương thì ta

thấy các S vẫn có thể nhận giá trị của một trong ba số x, y + x y

1 , 1

mà khôngtheo qui luật nào Vì vậy rất khó có thể xác định được GTNN của S Mặt kháctrong quá trình giải các bài toán tìm GTLN, GTNN thông qua BĐT chúng tathấy cái “nút” của vấn nhiều khi là ở chỗ các số bằng nhau Từ thói quen đó mà

có thể các em sẽ thử trường hợp đặc biệt: cho x = y + 1x 1y Khi đó ta có:

2 2

1

21

Để kiểm tra điều này ta lại tiếp tục mò mẫm:

Nếu S ≥ 2 khoảng xét của nó hơi rộng ta thử xem S < 2?

Nhìn lại lời giải có thể thấy rằng, cái “nút” của vấn đề chính là ở chỗ: biết

xét trường hợp đặc biệt là khi ba số x, y +1 1,

x y bằng nhau Nếu ta không xét

trường hợp đó ta sẽ khó lòng giải được bài toán này Và vì sao ta biết đượctrường hợp đó là bởi vì, chính quá trình dự đoán đã gợi ý lên điều này

Các tác giả Koliagin, Oganhexian, cho rằng: phát triển tư duy lôgíc của

HS là một trong những nhiệm vụ quan trọng bậc nhất của GV dạy Toán, của

những người biên soạn chương trình SGK và cả những người nghiên cứu vềgiáo dục toán học Theo các tác giả, đối với mọi cấp học, cần phải thường xuyênquan tâm tới việc phát triển tư duy lôgíc của HS, và cần chú ý ngay từ lớp nhỏ(dẫn theo [51]).

c) Tư duy sáng tạo

Theo Từ điển tiếng Việt, “sáng tạo” là tìm ra cái mới, cách giải quyết vấn

đề mới không bị gò bó và phụ thuộc vào cái đã có Nội dung của sáng tạo gồmhai ý chính có tính mới (khác cái cũ, cái đã biết) và có lợi ích (giá trị hơn cáicũ) Như vậy sự sáng tạo cần thiết cho bất kì hoạt động nào của xã hội loàingười Sáng tạo thường được nghiên cứu trên nhiều phương diện như là một quátrình phát sinh cái mới trên nền tảng cái cũ, như một kiểu tư duy, như là mộtnăng lực của con người

Các nhà nghiên cứu đưa ra nhiều quan điểm khác nhau về tư duy sáng tạo.Nhà tâm lý học người Đức Mehlhow cho rằng "Tư duy sáng tạo là hạt nhân của

sự sáng tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục" Theo ông, tưduy sáng tạo được đặc trưng bởi mức độ cao của chất lượng, hoạt động trí tuệnhư tính mềm dẻo, tính nhạy cảm, tính kế hoạch, tính chính xác Trong khi đó,J.DanTon lại cho rằng "Tư duy sáng tạo đó là những năng lực tìm thấy những ýnghĩa mới, tìm thấy những mối quan hệ, là một chức năng của kiến thức, trítưởng tượng và sự đánh giá, là một quá trình, một cách dạy và học bao gồmnhững chuỗi phiêu lưu, chứa đựng những điều như: sự khám phá, sự phát sinh,

sự đổi mới, trí tưởng tượng, sự thí nghiệm, sự thám hiểm"

Trong cuốn: "Sáng tạo Toán học", G Polya cho rằng: "Một tư duy gọi là

có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó Có thể coi

là sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán saunày Các bài toán vận dụng những tư liệu phương tiện này có số lượng càng lớn,

có dạng muôn màu muôn vẻ, thì mức độ sáng tạo của tư duy càng cao, thí dụ:lúc những cố gắng của người giải vạch ra được các phương thức giải áp dụngcho những bài toán khác Việc làm của người giải có thể là sáng tạo một cách

gián tiếp, chẳng hạn lúc ta để lại một bài toán tuy không giải được nhưng tốt vì

đã gợi ra cho người khác những suy nghĩ có hiệu quả"

Theo Nguyễn Bá Kim: "Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán lànhững điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặtkhác nhau của tư duy sáng tạo Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khảnăng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quảmới Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ" [28]

Theo Tôn Thân: "Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập tạo ra ýtưởng mới, độc đáo, và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao" Và theo tác giả "Tưduy sáng tạo là tư duy độc lập và nó không bị gò bó phụ thuộc vào cái đã có.Tính độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích vừa trong việc tìm giảipháp Mỗi sản phẩm của tư duy sáng tạo đều mang rất đậm dấu ấn của mỗi cánhân đã tạo ra nó” [50]

Tác giả Trần Thúc Trình đã cụ thể hóa sự sáng tạo với người học Toán: "Đốivới người học Toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họ đương đầu vớinhững vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà họ chưa từng biết Như vậy,một bài tập cũng được xem như là mang yếu tố sáng tạo nếu các thao tác giải nókhông bị những mệnh lệnh nào đó chi phối (từng phần hay hoàn toàn), tức là nếungười giải chưa biết trước thuật toán để giải và phải tiến hành tìm hiểu những bước

đi chưa biết trước Nhà trường phổ thông có thể chuẩn bị cho học sinh sẵn sàng hoạtđộng sáng tạo theo nội dung vừa trình bày

Theo định nghĩa thông thường và phổ biến nhất của tư duy sáng tạo thì

đó là tư duy để tạo ra cái mới Lecne trong [30], đã chỉ ra các thuộc tính của tưduy sáng tạo là:

- Có sự tự lực chuyển các tri thức và kĩ năng sang một tình huống sáng tạo;

- Nhìn thấy những vấn đề mới trong điều kiện quen biết "đúng qui cách";

- Nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết;

- Nhìn thấy cấu tạo của đối tượng đang nghiên cứu;

- Kĩ năng nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìm hiểulời giải (khả năng xem xét đối tượng ở những phương thức đã biết thành mộtphương thức mới);

- Kĩ năng sáng tạo một phương pháp giải độc đáo tuy đã biết nhưngphương thức khác

Qua nghiên cứu, người ta cũng đã khái quát 13 yếu tố tạo thành tư duy

sáng tạo như sau: (1) Phương pháp giải quyết khác thường; (2) nhìn trước đượccác vấn đề; (3) nắm được mối liên hệ cơ bản; (4) cấu tạo các yếu tố từ đó tạo rachức năng mới; (5) thay đổi hướng nghiên cứu; (6) nhìn thấy các con đường, cáccách giải quyết khác nhau một cách tích cực; (7) chuyển từ mô hình này sang

mô hình khác; (8) nhạy cảm với các vấn đề mới nảy sinh từ các vấn đề cũ đãgiải quyết xong; (9) biết trước kết quả; (10) nắm được các tư tưởng khác nhautrong một tình huống nào đó; (11) phân tích các sự kiện theo một trật tự tối ưu;(12) từ đó tìm ra tư tưởng chung; (13) giải đáp được những tình huống đặc biệt

Theo nghiên cứu của các nhà tâm lý học, giáo dục học, về cấu trúc của tư

duy sáng tạo, có năm đặc trưng cơ bản sau:

1 Tính mềm dẻo: chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệkhác

2 Tính nhuần nhuyễn: tìm được nhiều giải pháp, xét nhiều phương diện

3 Tính độc đáo: tìm kiếm và quyết định được phương thức mới

4 Tính hoàn thiện: lập kế hoạch, phối hợp các hoạt động

5 Tính nhạy cảm vấn đề: nhanh chóng phát hiện ra vấn đề, liên tëng tốt Ngoài ra còn những yếu tố khác như: tính chính xác, năng lực đánh giá,phán đoán, năng lực định nghĩa lại

Ví dụ 1.3 : Trong mặt phẳng (Oxy) cho điểm A=(0,4) và hai đường tròn

(I), (J) đi qua A, với I=(-2,0), J=(4,0) Viết phương trình đường thẳng (D) qua A,cắt (I) tại M, cắt (J) tại N sao cho AM=AN

Đây là một bài toán trong hình học lớp 10 Thông thường nếu xét đườngthẳng (D) qua A, cho cắt (I) và (J) tại M, N rồi cho AM=AN thì bài toán trở lênrất khó khăn và phức tạp Vì như vậy ta phải xét trường hợp đường thẳng (D)

Sau đây là một số lời giải thể hiện được các tư duy sáng tạo:

Cách 1: Gọi P và Q là trung điểm của AM và AN, theo tính chất của dây cung

 IP^AM và JQ^AN và A cũng là trung điểm của PQ

Ta có hình thang vuông IPQJ, đường trung bình của hình thang này qua A

và cắt IJ tại trung điểm T=(1,0) Vậy (D) là đường thẳng qua A và có

vectơ pháp tuyến AT =(1,-4)

Vậy phương trình (D) là:

1.(x-0)- 4.(y-4)= 0, hay: x- 4y+16=0

Cách giải này, kết hợp được tính

chất của dây cung trong đường tròn, có

tính mềm dẻo trong tư duy

Cách 2: Nếu học sinh chú ý đến tính chất A là trung điểm MN, thì gợi nhớ đến

phép đối xứng tâm Đối xứng đường tròn (I) qua A được đường tròn (I') DoM(I) nên N(I') Do đó, (D) chính là trục đẳng phương của (J) và (I') Cụ thể:

Phương trình (I): (x+2)2+y2=IA2=20;

Cách 3: Nếu gọi M=(xM,yM)(I) thì ta có: (xM+2)2+y2M=20 (1)

Cách này chỉ dùng đến công thức trung điểm của đoạn thẳng, thể hiệnđược tính độc đáo của tư duy.

Khi bàn về quan hệ giữa các khái niệm "tư duy tích cực", "tư duy độc lập"

và "tư duy sáng tạo", V.A Crutexcki cho rằng có thể biểu diễn quan hệ đó dướidạng những vòng tròn đồng tâm (xem hình biểu diễn dưới) Đó là những mức độ

tư duy khác nhau mà mỗi mức độ tư duy đi trước là tiền đề cho mức độ tư duy đisau Trong tư duy sáng tạo có tư duy tích cực và tư duy độc lập, nhưng khôngphải mọi tư duy tích cực đều là tư duy độc lập, và không phải mọi tư duy độc lập

là tư duy sáng tạo

Ví dụ 1.4: Một học sinh chăm chú nghe thầy giảng các chứng minh định lí,

cố gắng để hiểu được tài liệu, ở đây có thể nói đến tư duy tích cực

Nếu giáo viên, đáng lẽ giải thích, lại yêu cầu học sinh tự phân tích định lídựa theo bài đọc trong sách giáo khoa, tự nghiên cứu, tìm hiểu cách chứng minh,thì trong trường hợp này có thể nói đến tư duy độc lập (và tất nhiên cũng là tưduy tích cực) Có thể nói đến tư duy sáng tạo khi học sinh tự khám phá, tự tìm racách chứng minh mà học sinh đó chưa biết

Muốn phát triển tư duy sáng tạo toán học cho học sinh ta phải cần rènluyện tinh thần lao động kiên trì, nhẫn nại, gian khổ, vượt khó khăn

Việc vận dụng các phương pháp đặc biệt hoá, tổng quát hoá ngoài việcđóng vai trò là phương pháp suy nghĩ cơ bản giúp ta giải các bài toán đã chosẵn, hoặc giúp ta mò mẫm, dự doán để tìm ra cách giải, mà chúng còn quantrọng nữa ở chỗ giúp ta phát hiện ra những vấn đề mới, hoặc giúp ta nhìn thấy sựliện hệ giữa nhiều vấn đề với nhau Trong cuốn "Làm thế nào để học tốt toánphổ thông", tác giả Đào Văn Trung đã nêu: Tư duy sáng tạo chỉ cho người tacách giải quyết vấn đề mà hoạt động tư duy đem lại được thành quả mới có giátrị cho bản thân hoặc xã hội Sự mới mẻ là tiêu chí rõ nhất của tư duy sáng tạo,không những thành quả mới mẻ, có ích mà cả quá trình tư duy cũng mới mẻ Nó

biểu hiện trong quá trình tư duy phải thay đổi quan điểm và khắc phục thói quenphương thức tư duy.

Khi HS có những cách giải mà thể hiện suy nghĩ, cách giải không giốngnhư cách thường giải (bởi trong trường hợp này có ý nghĩa của những con số mànếu thay đổi đi một chút thì không thể giải được theo cách đó); tuy có thể khôngđầy đủ, chưa chặt chẽ nhưng người giáo viên cần có những động viên, khuyếnkhích kịp thời, cổ vũ cho họ và hãy lấy đó là những tín hiệu tốt bởi ít ra việc dạyhọc của mình đã có những hiệu quả đáng ghi nhận

1.2.2 Năng lực giải quyết vấn đề trong Toán học

1.2.2.1 Vai trò của hoạt động giải quyết vấn đề trong học Toán

Mỗi nội dung kiến thức trong Toán học dạy cho học sinh đều liên hệ mậtthiết với những hoạt động nhất định Đó là những hoạt động được tiến hànhtrong quá trình hình thành và vận dụng kiến thức đó Theo Nguyễn Bá Kim [29,

tr 13], việc phát hiện được những hoạt hoạt động tiềm tàng trong một nội dung

đã vạch được một con đường để người học chiếm lĩnh nội dung đó, đồng thờigiúp họ cụ thể hoá được mục đích DH có đạt được hay không và đạt đến mức độnào

Đối với HS, trong hoạt động Toán học, mỗi vấn đề được biểu thị thànhcác câu hỏi, yêu cầu bài toán chưa có sẵn lời giải hoặc cách thực hiện [15, tr.116] Để GQ được nhiêm vụ học toán, HS cần phải tiến hành những hoạt độngphát hiện (PH) và giải quyết (GQ) những tình huống liên quan đến môn Toán:Chẳng hạn, xây dựng khái niệm (KN), hình thành qui tắc, công thức, chứngminh định lí (ĐL) và giải bài tập toán Mỗi nhiệm vụ nhận thức trong tình huống

đó (dù ở cấp độ nào) cũng có cấu trúc như một bài toán - do đó có thể coi là mộtbài toán Vì vậy, có thể nói rằng: vấn đề trong học toán là bài toán (theo nghĩarộng) mà HS chưa biết đường lối giải

Quá trình nhận thức theo hướng QGVĐ (cũng giống như quá trình GQ bàitoán, nhiệm vụ) có thể chia thành các bước: Tìm hiểu vấn đề (dự đoán vấn đềliên quan, làm rõ và giới hạn vấn đề); thực hiện việc GQVĐ; tự kiểm tra các kếtquả và quá trình Trong đó, ở bước đầu và cuối, hoạt động nhận thức của HSdiễn ra thường được bắt đầu bởi tư duy trực giác, trong tình hình đòi hỏi cách tưduy phê phán, cách tiếp cận sáng tạo để đạt kết quả tìm tòi, xác minh VĐ, mặt

khác ở bước GQVĐ thì hoạt động nhận thức lại diễn ra trong tình hình mà ở đó

VĐ đòi hỏi cách tư duy lôgic, chặt chẽ Như vậy, hoạt động GQVĐ vừa cần tưduy lôgic lại vừa cần tư duy sáng tạo và càng không thể thiếu tư duy trực giác

1.2.2.2 Nội dung của hoạt động GQVĐ trong dạy học Toán

Giải quyết các vấn đề được nhận định theo nghĩa thông thường là thiết lậpnhững phương pháp thích ứng để giải quyết các khó khăn, trở ngại Với nhữngvấn đề có độ khó cao hơn, các phương pháp giải quyết cần phải tiến bộ hơn khigiải pháp thông thường không thể đáp ứng với hoàn cảnh khó khăn này Một sốnhà tâm lí học nhận định rằng hầu hết các kiến thức học hỏi liên quan đến việcgiải quyết các vấn đề nói chung và vấn đề khó khăn nói riêng

Bransford trong nghiên cứu “the IDEAL problem Solver – Con người lítưởng giải quyết các vấn đề khó khăn” xuất bản 1984 đã đề nghị năm thànhphần trong việc GQVĐ là:

1) Nhận diện vấn đề;

2) Tìm hiểu cặn kẽ vấn đề khó khăn;

3) Đưa ra một giải pháp;

4) Thực hiện giải pháp;

5) Đánh giá hiệu quả việc thực hiện.

Từ cách hiểu vấn đề và GQVĐ ở trên, trong học toán, chúng tôi quanniệm hoạt động GQVĐ liên quan đến: các hoạt động của HS nhằm nhận ra trongtình huống - bài toán những yếu tố toán học cùng các mối quan hệ giữa chúng;tìm thấy hướng giải quyết bài toán - vấn đề là kiến thức và kĩ năng đã có để tiếnhành thực hiện các hoạt động toán học (tính toán, biến đổi, suy luận, …) để điđến lời giải bài toán, thực hiện được yêu cầu của VĐ Như vậy, hoạt động giảiquyết vấn đề trong dạy học toán bao gồm :

+) Phát hiện, huy động kiến thức và phương pháp đã biết liên quan tới nộidung những vấn đề cụ thể trong học toán ;

+) Phát hiện hướng giải quyết và tiến hành GQ những VĐ toán học mộtcách có kết quả;

+) Vận dụng trong những tình huống học toán tương tự, đặc biệt và kháiquát

Dưới góc nhìn để thấy rõ hơn trong thành phần hoạt động học toán thì cóthể xem hoạt động GQVĐ trong toán học gồm hai hoạt động chính :

*) Phát hiện vấn đề trong toán học;

+) Phát hiện các vấn đề trong tình huống học toán (xây dựng KN, quy tắc,công thức, xác định tính chất; chứng minh định lí; giải bài toán);

+) Phát hiện cấu trúc của bài toán, vấn đề: điều gì đã có, được sử dụng;điều gì cần phải tìm, phải xác định;

+) Phát hiện đường lối của bài toán, vấn đề;

+) Phát hiện sai lầm nhược điểm trong lời giải;

*) Giải quyết vấn đề trong học toán;

+) Định nghĩa khái niệm; phát biểu định lí;

+) Tiến hành các phép tính toán, suy luận chứng minh;

+) Trình bày lời giải bài toán;

+) Sửa chữa sai lầm, chính xác hoá cách giải quyết

Đồng thời, có thể thấy rằng, ranh giới giữa hoạt động phát hiện và giảiquyết vấn đề trong hoạt động nhận thức chỉ là tương đối: trong phát hiện lại cóGQVĐ, để giải quyết vấn đề lại cần phát hiện, cứ tiếp tục phát triển như vậy vànâng cao hơn nữa hoạt động nhận thức Song ở mỗi bước thì bao giờ cũng pháthiện trước rồi mới giải quyết sau và hoạt động toán học của HS là sự tổng hoàgiữa hoạt động phát hiện và hoạt động giải quyết, chúng luôn đan xen và tácđộng tương hỗ lẫn nhau trong quá trình tìm tòi và xác minh kiến thức, hìnhthành kĩ năng và phương pháp toán học

1.2.2.3 Năng lực giải quyết vấn đề trong học Toán và mối quan hệ với các năng lực khác

Ở góc độ coi GQVĐ như một phương thức DH, đã có nhiều công trìnhnghiên cứu ở Việt Nam (Nguyễn Bá Kim - Vũ Dương Thụy [26], Nguyễn HữuChâu [5], … và trên thế giới (V Ôkôn [34], I Ia Lecne [30], …)

Tuy nhiên, GQVĐ không chỉ được xem như một cách tiếp cận DH màcòn được coi như một mục tiêu, một NL cần đạt đến trong DH: Trần Kiều [24,

tr 20], Vũ Văn Tảo và Trần Văn Hà [48], [49], …

Ở bình diện vận dụng cụ thể trong DH toán, đã có một số tác giả xem xét

PH và GQVĐ từ các khía cạnh khác nhau: Nguyễn Lan Phương nghiên cứu về

kĩ thuật thực hiện PH và GQVĐ trong DH toán (thể hiện qua DH quan hệ vuônggóc trong không gian ở hình học lớp 11) [36], Nguyễn Thị Hương Trang tiếpcận PH và GQVĐ theo góc độ một xu hướng sáng tạo khi rèn luyện NL giải

toán cho học sinh (thể hiện qua DH giải phương trình, bất phương trình ởTHPT) [53], …

Tập trung xem xét GQVĐ dưới góc độ một NL cần phát triển cho HS đểlàm căn cứ cho việc nghiên cứu bản chất và thành phần của NLGQVĐ của HStrong quá trình dạy học toán THPT được chúng tôi trình bày ở phần sau của luậnvăn

Từ những nghiên cứu về NL và hoạt động GQVĐ, vận dụng vào thực tiễn

DH toán ở trường THPT, chúng tôi quan niệm: NLGQVĐ của HS trong họctoán là một tổ hợp các NL thể hiện ở các kĩ năng (thao tác tư duy và hành động)trong hoạt động HT nhằm giải quyết những nhiệm vụ của môn toán

a) Năng lực giải quyết vấn đề trong học Toán

Từ quan điểm về NLGQVĐ có hai hoạt động thành phần là hoạt động PH

và GQ trong học toán, có thể xem NLGQVĐ theo hai nhóm năng lực phát hiệnvấn đề (NLPHVĐ) và năng lực giải quyết vấn đề (NLGQVĐ) trong học toánnhư sau:

*) Nhóm năng lực phát hiện vấn đề trong học toán

+) NL phát hiện mâu thuẫn, có vấn đề trong tình huống: Nhận ra biểutượng, dấu hiệu bản chất, tính chất chung, mối quan hệ về mặt toán học của mộtloạt sự vật hiện tượng;

+) NL phát hiện sai lầm, nhược điểm trong cách giải bài toán, trong quátrình tìm hiểu giới hạn cách GQVĐ;

+) NL PH được những ứng dụng trong thực tiễn của kiến thức toán học

*) Nhóm năng lực GQVĐ trong học toán

+) NL sửa chữa sai lầm.

b) Mối quan hệ giữa năng lực GQVĐ với một số năng lực khác

Từ những công trình nghiên cứu có liên qua tới vấn đề NL trong học Toán

mà chúng tôi được tiếp cận, đối chiếu với quan niệm về NLGQVĐ, có thể thấyrằng: trong thực tiễn, tuỳ theo quan niệm về “vấn đề” ở trong phạm vi mà ta cónhững mối quan hệ khác nhau giữa NLGQVĐ với NL học toán, NL giải toán,

…, chúng đan xen, tương hỗ, gắn bó với nhau trong quá trình nhận thức nhiềumặt của HS:

+) Nếu hiểu mỗi VĐ trong học toán của HS theo nghĩa hẹp (là khái niệm,định lí, bài toán, …, thì NLGQVĐ là một trong những thành phần quan trọnghình thành nên NL học toán Trong học toán, NLGQVĐ có thể xem xét, nghiêncứu theo đặc thù từng phân môn: Đại số, Hình học, … Chúng có những biểuhiện riêng gắn với tính chất các hoạt động tương ứng ở mỗi phân môn, đồng thời

có mối liên hệ chặt chẽ tương hỗ lẫn nhau, tạo nên NLGQVĐ và NL học toánthông qua quá trình DH toán (yếu tố GD) Mặt khác, nếu xét theo các tình huống

DH điển hình của môn Toán thì có thể nói đến NL học khái niệm, NL suy luậnchứng minh định lí, NL giải toán, … trong NL học toán nói chung Trong đóNLGQVĐ đều có mặt và đóng vai trò quan trọng ở mỗi NL thành phần (nhất là

NL giải toán bởi tính VĐ trong bài toán và hoạt động giải toán tự nó đã thể hiện

rõ đặc thù GQVĐ)

+) Nếu xét ở phạm vi của thực tiễn cuộc sống, mỗi HS luôn phải nhận biết

và GQ những VĐ xảy ra đối với bản thân (trong đó có những VĐ của việc họctoán) thì NLGQVĐ có cấu trúc phức tạp hơn, bao gồm nhiều thành phần và cóvai trò rộng hơn NL HT (nói riêng là NL học toán) Nhưng nếu xét riêng ở phạm

vi học toán, hay hẹp hơn nữa là trong hoạt động giải toán thì mỗi bài toán có thểchứa đựng nhiều vấn đề Khi đó, NLGQVĐ lại là một bộ phận trong NL giảitoán, NL học toán, …

+) NL tư duy sáng tạo đòi hỏi sự phát triển của NLGQVĐ ở mức độ cao.+) NL học toán là một thành phần (cùng với năng khiếu bẩm sinh tươngđối cao) để hình thành nên NL toán học.

+) ở các nhà toán học nổi tiếng, NL sáng tạo toán học là sự phát triển NLtoán học, NLGQVĐ ở mức độ cao dựa trên cơ sở rất quan trọng là tài năng đặcbiệt (yếu tố bẩm sinh)

1.3 Vấn đề phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh trong dạy học Toán :

*) Về mặt triết học, từ các qui luật “mâu thuẫn” và “lượng chất”, có thểthấy: mâu thuẫn giữa kiến thức, kĩ năng toán học đã có ở HS với yêu cầu xâydựng và sử dụng KT mới đã tạo ra nhu cầu, động lực để các em tiến hành hoạtđộng GQVĐ trong dạy học toán Do đó, nếu HS thường xuyên được tập luyệnhoạt động GQVĐ (mặt số lượng hoạt động) sẽ tạo ra sự phát triển NLGQVĐ(mặt chất lượng hoạt động)

*) Từ quan điểm trong hoạt động GD, chúng tôi thấy rằng: NL và kĩ năngthường gắn với một loại hoạt động cụ thể NL chỉ được hình thành, phát triển,thể hiện thông qua hoạt động đó Do đó, chỉ có thể đo được sự phát triển NLthông qua xác định mức độ thành thạo của các thao tác, kĩ năng tiến hành nhữnghoạt động thành phần

Tuy nhiên điều cốt yếu và cũng không dễ dàng là tìm ra những thao tháctương ứng để thông qua đó đánh giá được mức độ phát triển của NL A V.Pêtrôpxki đã chỉ rõ: “Trong quá trình tư duy giải quyết các VĐ, tính chất của cácthao tác hoạt động phụ thuộc và mục đích mà các thao tác nói trên hướng tới vàvào nội dung của vấn đề cần giải quyết” [35, tr 153] Để thuận lợi cho việc

“thao tác hoá” NL trong hoạt động học tập, chúng ta có thể tham khảo cách tiếpcận của X Roegiers: NL học tập được cụ thể hoá thành những “hoạt động củahọc sinh trên nội dung tri thức trong một loạt tình huống sư phạm có ý nghĩa vớicác em” [45, tr 90]

Do đó, để kiểm tra đánh giá NL của HS trong HT toán, chúng ta có thể(và cần phải) tạo ra cho HS một tình huống toán học cùng loại (không giống ynhư tình huống đã học mà chỉ tương tự về bản chất, còn khác nhau về hìnhthức)

*) Từ góc độ tâm lí học, để NL GQVĐ được phát triển thuận lợi (dưới tácđộng của giáo dục chứ không phải tự phát), cần chú ý đảm bảo những điều kiệnsau trong dạy học toán:

+) HS có động cơ, thái độ học tập tốt: GV gây hứng thú và kích thích HStích cực tham gia hoạt động tìm tòi sáng tạo trong học toán

+) HS được chuẩn bị tốt về kiến thức, kĩ năng:

Đặc biệt là cần cho HS nắm những phương thức cơ bản để phát hiện vàgiải quyết những vấn đề trong học toán một cách sáng tạo X L Rubinstein cho

rằng: NL có quan hệ qua lại với kiên thức, kĩ năng và kĩ xảo NL là điều kiện để nắm chắc các kiến thức, kĩ năng và kĩ xảo; mặt khác chính trong quá trình nắm vững chúng thì năng lực cũng được hình thành Con người muốn hình thành năng lực phải dựa trên một hệ thống kiến thức nhất định làm cơ sở cho khái quát, lĩnh hội và hình thành các kĩ năng (đồng thời cũng hình thành những NL nhất định)[55]

+) GV tổ chức cho HS được tham gia nhiều vào hoạt động phát hiện tìnhhuống và xây dựng các nội dung học tập, giải quyết các vấn đề thực tiễn Tạođiều kiện cho HS thể hiện khả năng hoạt động tích cực và độc lập trong việcphát hiện và giải quyết các nhiệm vụ trong quá trình học toán

*) Từ đặc điểm về tâm lí lứa tuổi, NL tư duy và nhận thức của HS THPT

HS THPT ở lứa tuổi 16 - 18 đang ở giai đoạn phát triển cả về thể chất vàtâm hồn có khả năng tự điều chỉnh trong hoạt động HT; tri giác có chủ địnhchiếm ưu thế, NL ghi nhớ tăng lên rõ rệt, sự tập trung chú ý cao hơn và có khảnăng di chuyển: hoạt động HT dần dần hướng vào thỏa mãn nhu cầu nhận thức,

… Mặt khác, do tiếp xúc với nhiều môn học, nhiều thầy, cô giáo, nhiều PPDH,

… nên đòi hỏi các em phải có những biến chuyển lớn về NL quan sát, ghi nhớ,

tư duy lôgic, tính độc lập, kiên trì, … (J Piaget [37, tr 232-243], Trần TrọngThuỷ, …) Những đặc điểm này tạo điều kiện thuận lợi cho việc hình thành vàphát triển NLGQVĐ ở HS

*) Từ cơ sở khoa học của lí thuyết tình huống của DH GQVĐ (12, tr.127], [30], [34], …), có thể thấy việc đưa HS vào tình huống gợi vấn đề tronghọc tập toán làm cho các em thấy cần thiết và có khả năng, từ đó chủ động, tích

cực tiến hành hoạt động GQVĐ có kết quả, thông qua đó mà nâng caoNLGQVĐ.

*) Từ quan điểm đổi mới mục tiêu, nội dung và PPDH theo hướng chútrọng phát huy tính tích cực HT và phát triển NL tự học cho HS, nên quan tâmhình thành và phát triển NLGQVĐ chính là một hướng thiết thực phục vụ chonhững yêu cầu trên

*) Từ thực tiễn trong dạy học Toán ở THPT, việc chú ý đến NLGQVĐcủa HS không được quan tâm một cách đầy đủ, nhất là việc vận dụng toán họcvào thực tiễn Điều này cũng có một lí do là những bài toán có nội dung thựctiễn trong SGK cải cách năm 2000 không nhiều, vấn đề này Trần Thúc Trình(1998) có ý kiến cho rằng: "Đáng tiếc là hiện nay trong các sách giáo khoa vàbài tập còn quá ít các bài toán thực tế Điều này cần được nhanh chóng khắcphục" [54, tr 37] Trong các sách giáo khoa môn Toán và các tài liệu tham khảo

về Toán thường chỉ chú ý tập trung làm rõ những vấn đề, những bài toán trongnội bộ Toán học nhưng cũng chưa đáp ứng được so với yêu cầu; số lượng cácvấn đề lí thuyết, các ví dụ, bài tập Toán có nội dung liên môn và thực tế trongcác sách giáo khoa Hình học, Đại số và Giải tích ở bậc THPT để học sinh học vàrèn luyện còn rất ít Nhận ra được hạn chế trên, SGK phân ban hiện hành đã cóhàm lượng những bài toán thực tế nhiều hơn, phong phú hơn và thực tiễn hơn.Trở lại nhận xét trên, nhiều giáo viên toán thường không quan tâm đến nhữngbài toán có nội dung thực tiễn, các thầy cô luyện cho HS nhiều dạng toán, nhưngchỉ là những dạng mang màu sắc toán học một cách thuần túy

Nhiều công trình nghiên cứu đã chỉ ra rằng: Giảng dạy Toán học ở PTkhông nên xa rời với thực tiễn “Loại bỏ ứng dụng ra khỏi toán học cũng cónghĩa là đi tìm một thực thể sống chỉ còn bộ xương, không có tí thịt, dây thầnkinh hoặc mạch máu nào” [51]

Tăng cường và làm rõ mạch toán ứng dụng Toán học là góp phần thựchiện lí luận liên hệ thực tiễn, học đi đôi với hành, nhà trường gắn liền với đờisống [51]

Ngô Hữu Dũng đã cho rằng: ứng dụng toán học vào thực tế là một trongnhững năng lực toán học cơ bản, cần phải rèn luyện cho HS [15]

Nói về những yêu cầu đối với toán học nhà trường PT nhằm phát triểnvăn hóa toán học, tác giả Trần Kiều cho rằng: “Học toán trong nhà trường phổthông không phải chỉ tiếp nhận hàng loạt các công thức, định lí, phương phápthuần túy mang tính lí thuyết …, cái đầu tiên và cái cuối cùng của quá trình họcToán phải đạt tới là hiểu được nguồn gốc thực tiễn của Toán học và nâng caokhả năng ứng dụng, hình thành thói quen vận dụng toán học vào cuộc sống” [26,

tr 4]

V V Firsôv khẳng định: “Việc giảng dạy Toán ở trường PT không thểkhông chú ý đến sự cần thiết phải phản ánh khía cạnh ứng dụng khoa học Toánhọc, điều đó phải thực hiện bằng việc dạy cho HS ứng dụng Toán học để giảiquyết các bài toán có nội dung thực tế” [51]

Việc giải các bài toán có nội dung thực tế thường được tiến hành qua cácbước:

Bước 1: Chuyển bài toán thực tế về dạng ngôn ngữ thích hợp với lí thuyết toán học dùng để giải (lập mô hình toán học của bài toán);

Bước 2: Giải bài toán trong khuôn khổ của lí thuyết toán học;

Bước 3: Chuyển kết quả lời giải toán học về ngôn ngữ của lĩnh vực thực

tế [21, tr 248].

Trong ba bước trên, bước 1 thường là bước quan trọng nhất Để tiến hànhbước này, điều quan trọng là tập luyện cho HS biết xác định những đại lượngtrong mối liên quan về đại lượng với nhau, phát hiện ra những mối liên quan vềlượng của chúng để trên cơ sở đó có thể biểu thị được đại lượng này thông quađại lượng khác và cũng trên cơ sở đó mà lập phương trình, hệ phương trình

Mặt khác, cũng cần tập luyện cho HS biểu thị những tình huống thực tếbằng những biểu thức có chứa những biến đại diện cho những đại lượng chưabiết

Trong Đại số 10, HS được trang bị một cách khá đầy đủ về phương trình

và hệ phương trình Do đó, Đại số 10 có nhiều tiềm năng để rèn luyện cho HSnăng lực toán học hóa tình huống thực tiễn, đặc biệt nên quan tâm đến các bàitoán Qui hoạch tuyến tính và các bài toán tìm phương án tối ưu

Xét ví dụ sau, mà lí thuyết và cách giải của bài tương tự đã được viết khá

cơ bản ở bài đọc thêm ở sách Đại số 10:

Ví dụ 1.5.Người ta dự định dùng hai loại nguyên liệu để chiết xuất ít nhất

140 kg chất A và 9 kg chất B Từ mỗi tấn nguyên liệu loại I giá 4 triệu đồng, cóthể chiết xuất được 20 kg chất A và 0,6 kg chất B Từ mỗi tấn nguyên liệu loại IIgiá 3 triệu, có thể chiết xuất được 10 kg chất A và 1,5 kg chất B Hỏi phải dùngbao nhiêu tấn nguyên liệu mỗi loại để chi phí mua nguyên liệu là thấp nhất, biếtrằng cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp không quá 10 tấn nguyênliệu loại I và không quá 9 tấn nguyên liệu loại 2

Phân tích bài toán trên, nếu sử dụng x tấn nguyên liệu loại I và y tấnnguyên liệu loại II thì theo giả thiết, có thể chiết xuất được (20x + 10y) kg chất

A và ((0,6x + 1,5y) kg chất B Theo giả thiết x và y phải thỏa mãn các điều kiệnsau

0 ≤ x ≤ 10 và 0 ≤ y ≤9

140 10

20x y , hay 2xy 14;

9 5 , 1 6 ,

0 x y , hay 2x 5y 9.Tổng số tiền mua nhiên liệu là T (x;y) = 4x + 3y

Bài toán đã cho trở thành: Tìm có số x và y thỏa mãn hệ điều kiện

2

14 2

9 0

10 0

y x

y x

y II

sao cho T Tx;y 4x 3y cã gi¸ trÞ nhá nhÊt

Bài toán này dẫn đến hai bài toán nhỏ sau:

Bài toán 1 Xác định tập hợp (S) các điểm có tọa độ (x; y) thỏa mãn hệ

(II)

Bài toán 2 Trong tất cả các điểm thuộc (S), tìm điểm (x;y) sao cho T(x;y)

có giá trị nhỏ nhất

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

9

4

Trên Hình 1.3 ta ký hiệu A(5; 4), B(10; 2), C(10; 9), D(2,5; 9).

Dễ thấy miền nghiệm của hệ bất phương trình (II) là miền tứ giác ABCD(kể cả biên)

Với mỗi T xác định, ta nhận thấy có vô số điểm M(x; y) sao cho 4x + 3y =

T, những điểm M như thế nằm trên đường thẳng EF với E(T/4; 0), F(0; T/3) Hệ

số góc của đường thẳng EF là - 4/3 Cho T nhỏ xuống thì đường thẳng EF sẽ

"tĩnh tiến dần xuống" phía dưới Nhìn vào hình vẽ ta nhận thấy rằng: Trongnhững đường thẳng có hệ số góc - 4/3, thì đường thẳng đi qua A là đường thẳng

ở vị trí "Thấp nhất" đang còn có điểm chung với tứ giác ABCD Chưa đạt tới vịtrí này thì T chưa phải là nhỏ nhất Vượt quá "ngưỡng" này thì toạ độ của mọiđiểm trên đường thẳng sẽ không còn thoả mãn hệ điều kiện ràng buộc nữa Từ

đó dễ dàng đi đến kết luận là khi x = 5, y = 4 thì T đạt giá trị nhỏ nhất

Vậy để chi phí nguyên liệu là ít nhất, cần sử dụng 5 tấn nguyên liệu loại I

và 4 tấn nguyên liệu loại II (khi đó tổng chi phí là 32 triệu)

Với việc rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đếntình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập, góp phần phát triển NLGQVĐ choHS

*) Theo tổng kết của các nhà toán học trên thế giới, việc học tập nhàtrường đặc biệt có hiệu quả:

- Nếu người học có động cơ;

- Nếu những yêu cầu về trí tuệ của giờ học phù hợp với những khả năng thể chất và trí tuệ của người học;

- Nếu người học có cơ hội, xây dựng những mối quan hệ có ý nghĩa giữa các thành phần của nhiệm vụ học tập và mục tiêu học tập;

- Nếu người học, dựa vào các tiêu chuẩn hay thông tin, phản hồi, có thể xác định được người học có tiến bộ hay không và có tiến bộ gì;

- Và nếu quá trình học diễn ra dưới những điều kiện làm cho người học

dễ dàng thích nghi nói chung với hoàn cảnh.

Hình 1.3

Thực tiễn dạy học cho thấy, nếu HS nắm được phương pháp, qui tắc thuậtgiải thì khối lượng VĐ liên quan mà họ GQ được tương đối nhiều Song vấn đềđặt ra là, số lượng, qui tắc thuật giải không nhiều, mà đối với những VĐ có độphức tạp cao hơn thì hầu như không có Điều này cũng dễ lí giải bởi Toán học làmột môn khoa học nên đòi hỏi độ chính xác và có tính lôgic cao Trên cơ sởphân tích đặc điểm tâm sinh lí của HS THPT cũng như SGK, sách tham khảo,chúng tôi thiết nghĩ, nếu chúng ta dạy cho HS những qui tắc có những điểmchung với qui tắc thuật giải, Còn gọi là các qui tắc “tựa thuật giải” thì NLGQVĐ của HS sẽ được nâng lên rõ rệt.

1.4 Các năng lực thành tố của năng lực giải quyết vấn đề trong học Toán của học sinh THPT

Trên cơ sở phân tích các kết quả của nhà khoa học, chúng tôi thấy rằng,mỗi năng lực đều có cấu riêng gồm nhiều thuộc tính, trong đó các thuộc tínhkhông chỉ tồn tại bên cạnh nhau một cách đơn giản, mà chúng liên hệ với nhaumột cách hữu cơ, chúng tác động lẫn nhau trong một hệ thống nhất định Đặcbiệt điều có ý nghĩa quyết định đối với mỗi NL không phải bản thân từng thuộctính riêng lẻ mà sự kết hợp chúng theo một cấu trúc nhất định, và chúng tôi đưa

ra và phân tích 7 NL thành tố của NLGQVĐ của HS trong học Toán như sau:

1.4.1 NLTT 1: Phát hiện mâu thuẫn trong tình huống, thấy được nhu

cầu cần giải quyết vấn đề trong tình huống, từ đó huy động, tái hiện những kiến thức, kĩ năng đã học có liên quan để khai thác tình huống, tiếp cận, nhận biết tình huống có vấn đề

Theo Nguyễn Bá Kim [26], Phạm Gia Đức [18, tr 134-135] và HoàngChúng [9] thì hoạt động nhận thức một vấn đề toán học nói chung bao gồm haigiai đoạn chính: hình thành, xây dựng và củng cố, vận dụng Mặt tâm lí củaNLGQVĐ trong hoạt động này là hứng thú tìm tòi, lòng ham hiểu biết nên nếu

sự hứng thú không được hình thành thì bản thân sự lĩnh hội kiến thức sẽ diễn rathấp hơn nhiều so với tiềm năng sẵn có của HS

Mõu thuẫn giữa nhiệm vụ nhận thức vấn đề bởi sự phỏt triển trớ tuệ của

HS đó là hạt nhõn của tỡnh huống cú vấn đề và là động lực của hoạt động tỡm tũitrong HT (M A Đanilụp 1980)

Động cơ đỳng đắn và phự hợp phải gắn liền với nội dung toỏn học, động

cơ này lại được cụ thể hoỏ thành từng nhiệm vụ HT - là từng đơn vị (tế bào) củahoạt động GQVĐ Để GQ nhiệm vụ đú, nhất thiết HS phải tiến hành một loạtcỏc hành động như huy động và tổ chức kiến thức cú liờn quan đến tỡnh huốngchứa VĐ; tỏch biệt và kết hợp cỏc kiến thức; dự đoỏn và kiểm tra điều dự đoỏn;

… với cỏc thao tỏc tương ứng như: nhận biết, nhớ lại ( ở đõy đúng vai trũ NLhuy động, tỏi hiện kiến thức), bổ sung, phõn nhúm,…

Như vậy HS cần phải hoà nhập vào tỡnh huống cú vấn đề, tức là nhận thấy

cú sự mõu thuẫn giữa tỡnh huống mới với vốn tri thức kĩ năng của bản thõn Từ

đú nảy sinh nhu cầu tỡm hiểu xem cú điều gỡ mới chứa đựng bờn trong tỡnhhuống Đồng thời từ việc nắm vững cỏc dữ kiện qui gọn, trỏnh đuợc tỡnh trạnglan man khụng định hướng

Để hỡnh thành, xõy dựng nhu cầu GQVĐ từ tỡnh huống đó cú, HS cần huyđộng cỏc kiến thức, kĩ năng cú liờn quan đến cỏc dữ kiện trong tỡnh huống đú.Trờn cơ sở xỏc định mối liờn hệ giữa cỏc kiến thức, kĩ năng đó cú với VĐ đangcần giải quyết, từ đú HS sẽ hỡnh thành, xõy dựng được nhu cầu cầu giải quyếtvấn đề trong tỡnh huống nờu ra

Vớ dụ1.6 Ví dụ : Cho elip (E): 1

b

y a

x

2

2 2

2



 và đờng thẳng (D): Ax + By + C = 0.Chứng minh rằng (D) tiếp xúc với (E) khi và chỉ khi a 2 A 2  b 2 B 2  C 2

Đối với HS lớp 10, đây là một bài toán khó Do cha đợc học phơng pháp

đạo hàm nên cách giải của họ chỉ có thể sử dụng đến phơng pháp tìm nghiệmduy nhất Nh vậy (D) tiếp xúc với (E) khi và chỉ khi hệ phơng trình

1 b

y a

x

2 2 2

x

2

2 2

1 b y a

1 Y

Điều kiện đờng thẳng tiếp xúc với đờng tròn là quen thuộc:

 Khoảng cách từ tâm O(0; 0) của (T) đến (D'): aAX + bBY + C = 0 tiếp xúc với (T): ) bằng 1

B b A a

C

2 2 2

đề núi riờng nếu đi từ trực giỏc (bằng quan sỏt, tư duy trờn đối tượng cụ thể) đếnkết luận lụgic (bằng suy diễn, tư duy trừu tượng) cú những phự hợp nhất địnhđối với đặc điểm tõm lớ, sinh lớ và nhận thức ở lứa tuổi HS THPT

Nhà sư phạm - tõm lớ người Mĩ J Bruner đó viết rằng: “Cũng cú thể là, vớ

dụ kỡ lạ nhất về phương diện này là sự trỡnh bày khởi đầu và hỡnh học Ơclit chohọc sinh cấp 2 dưới dạng tiờn đề và định lớ khụng dựa vào một thực nghiệm,xem xột một hỡnh thỏi hỡnh học đơn giản nào Nếu như đứa trẻ đó nắm được khỏiniệm và phương phỏp tớnh toỏn dễ hiểu dưới dạng hỡnh học trực giỏc thỡ nú cũng

cú thể nắm được ý nghĩa sõu sắc của cỏc định lớ và cỏc tiờn đề xuất hiện saunày”

Mụ tả cho NLTT này trong dạy học Toỏn, chỳng tụi xột vớ dụ sau:

Vớ dụ 1.7.: Xột cỏch hỡnh thành định lớ về dấu của tam thức bậc 2 cho học

f

GV: Hãy cho biết dạng của đồ thị hàm số bậc hai f x ax2bxc a 0

t¬ng øng víi c¸c trêng hîp D>0, D<0, D =0 ?

Mong đợi câu trả lời:

1 D  0( tam thức bậc hai vô nghiệm)

2.D  0 (tam thøc bËc hai cã nghiÖm kÐp

a

b x

D : f (x)cïng dÊu víi a víi mäi x (  ;x1)  (x2;  );

f (x) tr¸i dÊu víi a víi mäi x (x1;x2)

X

0

y

X 0

y

X 0

y

X 0

y

X0

Sau đó, thầy giáo sẽ chính xác lại các nhận xét, dự đoán của HS để phátbiểu nội dung định lí

Vì vậy, một trong những kĩ năng cần thiết để HS GQVĐ nói chung vàtrong Toán học nói riêng chính là khả năng nhận ra được những biểu tượng trựcquan của VĐ

1.4.3 NLTT 3: Phát hiện những thuộc tính chung, bản chất tạo nên nội

hàm của vấn đề thông qua các hoạt động trí tuệ như so sánh, tương tự, khái quáthoá, đặc biệt hoá, trừu tượng hoá, cụ thể hoá,…

Để GQVĐ, không chỉ dừng lại ở mức độ nhận biết những thuộc tính bênngoài của nó, bởi nó chỉ là giai đoạn nhận thức cảm tính, cần phải chuyển quamột giai đoạn nhận thức lí tính, tức là cần phải tìm hiểu bản chất của vấn đề

Từ những ví dụ cụ thể riêng lẻ, giáo viên cần hướng dẫn HS sử dụng cácthao tác tư duy thông dụng trong toán học để thiết lập và biểu diễn mối liên hệgiữa các tình huống đã cho và những kết quả mới Từ đó khái quát hoá rút ranhững điểm chung, cốt lõi của vấn đề

Đồng thời với việc rút ra những cái chung từ những cái riêng, cần phảicho HS thấy, bên cạnh cái chung cho những lớp đối tượng cùng loại, đối vớinhững đối tượng cụ thể, còn có thể có những hướng giải quyết khác biệt nữa, mànếu thay đổi đi một dữ kiện nào đó thì hướng giải khác biệt đó không thực hiệnđược

Trong quá trình học tập môn Toán ở trường PT, học sinh có rất nhiều cơhội để thể hiện NL xem xét các sự vật, hiện tượng một cách đầy đủ, trong tất cảcác mặt, các mối quan hệ (bên trong và bên ngoài, trực tiếp và gián tiếp) trongtổng thể những mối quan hệ phong phú, phức tạp và muôn vẻ của nó với các sựvật khác, đồng thời cũng tránh được những sai lầm của cách xem xét chủ quan,phiến diện Qua đó thể hiện suy nghĩ một cách sáng tạo trong học Toán, tìmđược nhiều hướng hay để giải quyết một vấn đề, tìm được cách chứng minh tối

ưu cho một định lí hay mệnh đề Toán học, hay phát triển kết quả lên một nấcthang mới, điều mà xã hội luôn mong muốn