SKKN sáng kiến kinh nghiệm đề tài vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán đại số 7

Là một giáo viên dạy toán lớp 7 tôi nhận thấy đa phần học sinh lớp 7 từ việc tiếp thu kiến thức về lý thuyết, định nghĩa, tính chất của tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để v

I ĐẶT VẤN ĐỀ:

1 Lí do chọn đề tài:

Toán học ngày nay giữ một vai trò quan trọng đối với cách mạng khoa học kỹ thuật

Nó ngày càng thu hút sự quan tâm của nhiều người đối với việc học toán ở trường phổ thông và kích thích sự ham muốn của học sinh ở mọi lứa tuổi.Toán học giúp cho học sinh dần hình thành và phát triển được sự linh hoạt, sáng tạo và tư duy trừu tượng Học toán giúp con người nâng cao trình độ tính toán, giúp khả năng tư duy logic, sáng tạo ngày càng nâng cao và phát triển Khi học toán là qua hoạt động giải bài tập giúp học sinh nâng cao dần khả năng suy luận, đào sâu, tìm hiểu và trình bày các vấn đề một cách logic

Là một giáo viên dạy toán lớp 7 tôi nhận thấy đa phần học sinh lớp 7 từ việc tiếp thu kiến thức về lý thuyết, định nghĩa, tính chất của tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để vận dụng kiến thức đã học vào việc giải bài tập vẫn còn lúng túng nhiều Từ việc tìm ra hướng giải quyết đến việc thực hiện các bước giải, kể cả những bài tương đối bình thường đến những bài toán khó

Hơn nữa bản thân tôi nhận thấy kiến thức về tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau khá quan trọng không chỉ ở lớp 7 mà còn gặp ở các bài toán tìm độ dài đoạn thẳng, tìm cạnh của một tam giác trong các bài toán tam giác đồng dạng ở lớp 8-9…

Chính vì vậy sau khi học xong kiến thức về tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, tôi đã trực tiếp khảo sát học sinh hai lớp 7A3, 7A4 do tôi trực tiếp giảng dạy về kiến thức liên quan đến tỷ lệ thức, tính chất dãy tỷ số bằng nhau và thấy kết quả như sau:

Lớp Số HS được

khảo sát

Số học sinh giải được

Số HS biết hướng nhưng không giải được

Số HS không thể giải được

9

7

26,5 21,2

21

23

61,7 69,7

Đây là một kết quả mà tôi không thể không suy nghĩ, trăn trở và băn khoăn chính vì thế nên tôi đã đi sâu vào nghiên cứu đề tài này nhằm tìm ra một số phương pháp giải để

Đề tài: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán đại số 7

giúp học sinh biết vận dụng lý thuyết về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau vào việc thực hành giải bài tập

2 Mục đích nghiên cứu đề tài

a) Kiến thức

- Học sinh hiểu và làm được một số dạng toán về tỷ lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau như: Tìm số hạng chưa biết, chứng minh liên quan đến tỷ số bằng nhau, toán chia tỷ lệ, tránh những sai lầm thường gặp trong giải toán liên quan đến dãy tỷ số bằng nhau

b) Kỹ năng:

- Học sinh có kỹ năng tìm số hạng chưa biết, giải toán chia tỉ lệ, giải các bài toán tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch

c) Thái độ:

Học sinh có khả năng tư duy, thành lập các bài toán mới, tính cẩn thận trong tính toán

3 Đối tượng nghiên cứu:

Học sinh lớp 7A3, 7A4 trường THCS Bùi Thị Xuân, Phú Giáo, Bình Dương

4 Phạm vi nghiên cứu:

Đề tài bao gồm các dạng toán liên quan đến tỷ lệ thức, tính chất của dãy tỷ số bằng nhau trong chương trình toán học ở lớp 7 THCS

5 Phương pháp nghiên cứu:

- Nghiên cứu từ các tài liệu và sách tham khảo có liên quan

- Thông qua các tiết dạy trực tiếp trên lớp

- Thông qua dự giờ rút kinh nghiệm từ đồng nghiệp

- Hệ thống lý thuyết của từng tiết dạy, từng chủ đề về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ

số bằng nhau , chốt lại các vấn đề cần lưu ý, đưa ra ví dụ đã được chọn lọc từ dễ đến khó,

chuyển tải kinh nghiệm để dạy tốt là điều trăn trở của nhiều giáo viên Việc truyền thụ kiến thức sẽ trở nên hấp dẫn học sinh hơn nếu giáo viên hiểu ý đồ của sách giáo khoa, giúp học sinh nắm kiến thức một cách hệ thống, dẫn đắt học sinh đi từ điều đã biết đến điều chưa biết

Bên cạnh đó, việc khai thác, mở rộng kiến thức cũng giúp học sinh say mê học Toán, phát huy khả năng tư duy sáng tạo của mình

Chính suy nghĩ trên, bản thân tôi đã tìm tòi, sưu tập và hệ thống kiến thức, giúp học sinh có những kinh nhgiệm giải toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau một cách nhẹ nhàng, đơn giản

Để học sinh có được điều trên thì trước hết phải xuất phát từ người thầy, người thầy phải đầu tư soạn bài theo từng chuyên đề của dạng toán một cách cơ bản, sâu rộng, giúp học sinh :

- Nhìn nhận từ một bài toán cụ thể thấy được bài toán khái quát

- Từ phương pháp giải khái quát thấy được cách giải một bài toán cụ thể

- Nhìn thấy được sự liên quan giữa các bài toán với nhau

- Biết vận dụng linh hoạt lý thuyết cơ bản vào giải toán

Với một sự lao động nghiêm túc tôi xin trình bày một phần nhỏ kinh nghiệm soạn bài của mình nhằm giúp học sinh rèn kỹ năng giải dạng toán vận dụng tính chất của tỉ lệ thức

và dãy tỉ số bằng nhau trongđại số 7

II NỘI DUNG

1 Lí thuyết:

Yêu cầu học sinh cần nhớ:

* Về tỉ lệ thức:

Đề tài: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán đại số 7

- Tỉ lệ thức là một đẳng thức giữa hai tỉ số

d

c b

a   ( Tích các ngoại tỉ bằng tích các trung tỉ)

a  hoặc

f

e d

c b

c a d b

c a d

c b

2 Phương pháp giải bài tập:

Dạng 1: Dạng áp dụng trực tiếp tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải

Dạng này tập trung chủ yếu vào đối tượng học sinh trung bình, yếu để các em củng cố và khắc sâu hơn kiến thức về tính chất dãy tỉ số bằng nhau

6 2 3 3

7

21 5 2 5

x y

x y

x

4 2 2 2

3

6 5 2 5

x y

x y

x

VD2: Tìm x,y,z biết:

a)

4 3

2

z y

x   và x yz 18; b)

4 3 2

z y

63.2

42.22

9

1843243

2

z y

x z

y x z y

93.3

62.33

5

1543243

2

z y

x z

y x z y

y x

4 2 2 2

19

38 9 10

3 5 9

3 10

5 3

x y

x y x y x

Đề tài: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán đại số 7

4 2 2 2

5

10 9

4

3 2 9

3 4

2 3

x y

x y x y x

VD2: Tìm x, y,z biết:

a)

5 4

3

z y

x   và x 2y 4z  93; b)

5 4 3

z y

x   và  2x y 3z 34Tương tự ở trên chúng ta cũng phải biến đổi sao cho xuất hiện tỉ số mới bằng với tỉ

số đã cho để áp dụng được tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

124.3

93.33

31

9320

83

4220

48

254

3

z y

x z

y x z y z y

84.2

63.22

17

3415

46

32

15

36

254

3

z y

x z

y x z

x z y

y a

x



 và mxny pzd Với a b c d, , , là các số cho trước và m  1 ;n  1 ;p  1

Phương pháp giải như sau:

Từ

pc

pz nb

ny ma

mx c

z b

ny ma

pc nb ma

d pc

nb ma

pz ny mx pc

pz nb

Dạng 3: Từ dữ kiện bài cho rút ra được dãy tỉ số bằng nhau để áp dụng tính chất

dãy tỉ số bằng nhau giải

VD1: Tìm x, y, z biết:

Gợi ý: Vì ở cả hai tỉ lệ thức đều có y, vậy nên ta sẽ biến đổi hai tỉ lệ thức trên sao

cho chúng sẽ có cùng một tỉ số chứa y bằng cách chia cả hai vế của hai tỉ lệ thức trên cho số nào đó để cả hai tỉ lệ thức thu được đều có tỉ số chứa y như nhau tức là các mẫu

của các tỉ số chứa y sẽ là BCNN của các mẫu số ban đầu chứa y Cụ thể: Biến đổi để

VD2: Tìm x, y,z biết:

a)

5 4

;

3

2

z y y

x   và x 2y 4z   92; b)

5 2

; 3 2

z y y

1283

z y z y

y x y x

Đề tài: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán đại số 7

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

81

92

9260

248

4215

12

8

z y

x z

y x z y

x

b) Từ

156415652

643

z y z y

y x y x

41

47

4745

68

32

156

4

z y

x z

y x z

y

x

VD3: Tìm a, b, c biết rằng: 2a = 3b = 4c và a – b + c = 35

Đã có dãy tỉ số bằng nhau chưa? Làm thế nào để có dãy tỉ số bằng nhau?

Gợi ý: Ta nên chia 2a, 3b, 4c cho BCNN (2,3,4) =12

VD4: Tìm x, y, z biết:

a)

5

4 4

5 3

2x  y  z và  2xy 3z 216

Ở đây vì dãy tỉ số đã cho có dạng không thuận tiện cho việc áp dụng tính chất dãy tỉ

số bằng nhau Vậy làm thế nào để sử dụng dãy tỉ số bằng nhau đã cho cho phù hợp

Gợi ý: Ta nên ta chia các tỉ số đó cho BCNN của các hệ số của tử số

Cụ thể Câu a) ta chia các tỉ số đó cho BCNN(2;3;4)=12

Câu b) ta chia các tỉ số đó cho BCNN(2;5;3)=30

Cách giải:

15 16 18 5

4 4

3 3

3216.2

3618.22

110

220603218

4215

16

18

z y

x z

y x z y

x

50 24 45 5

3 4

5 3

451

216

216150

2490

32

5024

45

z y

x z

y x z

17

51 10 7

2 5

x y

x y b x

b x a

b

a b a b

y x a

y b

x

1

VD6 : Tìm x,y,z biết

Đề tài: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán đại số 7

y z

b Gặp bài này, các em không tránh khỏi băn khoăn: Tạo ra 2x, 3y bằng cách nào đây?

Vì x còn vướng -1, y vướng -2 và z vướng -3 Cứ bình tĩnh và chúng ta sẽ làm từng bước xem như thế nào

Ta biến đổi (1) như sau : 2.( 1) 3.( 2) 3

Nhìn có vẻ khó vì nhiều số chưa biết tính như thế nào Không vấn đề gì, dựa vào

tính chất cuả dãy tỉ số bằng nhau ta có thể làm được dễ dàng

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

y x

 và 2x2  3y2   19Đến đây học sinh thấy ở phần dữ kiện bài toán có xuất hiện luỹ thừa của các biến Vậy phải biến đổi dãy tỉ số trên như thế nào để sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau?

Đề tài: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán đại số 7

Gợi ý: Vì ở điều kiện bài cho x2  2y2  44 có luỹ thừa bậc hai của cả x và y nên để suất hiện hai luỹ thừa này ta có thể bình phương các tỉ số của dãy tỉ số đã cho lên

Cách giải:

a) Ta có:

9 4 ) 1 ( 3 2

2 2

y x y

2 4

1 22

22 18

4

2 18

2 9

2 2

2 2 2

2

y y

x x

y x y y

2

y x

9 4 ) 1 ( 3 2

2 2

y x y

2 4

1 19

19 27

8

3 2 27

3 8

2 9

2 2

2 2

2 2

2

y y

x x

y x y

x y

2

y x

VD2: Tìm x, y,z biết:

a)

5 4

3

z y

x   và x2 2y2 4z2 141

b)

5 4

3

z y

x   và  2x2 y2  3z2   77

Cách giải:

a) Từ

25 16 9 ) 1 ( 5 4 3

2 2 2

z y x z

y x

416

39

1141

141100

329

42100

432

22516

9

2 2

2 2

2 2 2 2 2

2

2

z z

y y

x x

z y x z y z

y

x

z y

z y x

b) Từ

25 16 9 ) 1 ( 5 4 3

2 2 2

z y x z

y x

416

39

177

7775

1618

32

75

318

22516

9

2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

2

z z

y y

x x

z y x z

x z

z y

z y x

Tổng quát lên với bài tập dạng: Tìm x,y,z biết

c

z b

y a

x



 và mx k ny k  pz k d Với a,b,c,d,m,n,p,d,klà các số cho trước và kN

Phương pháp giải như sau:

pc

pz nb

ny ma

mx c

z b

k k k

pc

pz nb

ny ma

mx



k k k k

k k

k k k k

k k

k

k

k

pc nb ma

d pc

nb ma

pz ny mx pc

pz nb

Dạng 5: Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh sự tồn tại của các dãy tỉ số

mới từ các tỉ số ban đầu

VD1: Cho tỉ lệ thức: (a,b,c,d 0 ;a b;c d)

d

c b

b a d

d c

d c b a

b a

Đề tài: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán đại số 7

Từ

d

b c

a d

c b

a    Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

d c

b a d c

b a d

b a d c

b a d

b a d c

b a c

d c b a

b a d c

b a d c

b a

z y

x   và xyz  48 Dạng này học sinh rất hay nhầm lẫn vì các em thấy có xuất hiện dãy tỉ số bằng nhau ở phần đầu, vì thế đa số các em áp dụng luôn tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải

6

12 6 3

x xy

42

24

4824

43

2

z y

x xyz

z y

24 6

21

124

244

x k

k k

k

k

k

Vậy các giá trị x,y,z thoả mãn bài toán là: x=-2; y=-3; z=-4

Lưu ý: Cách giải này học sinh có thể áp dụng cho hầu hết các bài toán áp dụng tính

chất dãy tỉ số bằng nhau ở trên, tuy nhiên trong quá trình giải bài tập cụ thể các em có thể chọn lựa phương pháp giải phù hợp nhất với bài

Đề tài: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán đại số 7

Dạng 7: Bài tập vận dụng tỷ lệ thức vào thực tiễn, đời sống con người, vào hình học.

VD 1: Tìm số đo các góc của tam giác ABC biết rằng số đo các góc này tỉ lệ với 2, 3, 4

3 tấm vải thứ hai và 3

4 tấm vải thứ ba, thì số vải còn lại ở ba tấm bằng nhau Hãy tính chiều dài của ba tấm vải lúc ban đầu

Bài cho rất rõ ràng, dễ hiểu Chỉ cần học sinh biểu diễn được số vải còn lại ở mỗi

tấm sau khi bán thì bài toán trở nên đơn giản và rất dễ dàng

2

a

=3

b

=4

Có ba tủ sách đựng tất cả 2250 cuốn sách Nếu chuyển 100 cuốn từ tủ thứ nhất sang

tủ thứ 3 thì số sách ở tủ thứ 1, thứ 2, thứ 3 tỉ lệ với 16;15;14 Hỏi trước khi chuyển thì mỗi tủ có bao nhiêu cuốn sách ?

Bài này khá phức tạp ở chỗ: số lượng sách trong mỗi tủ trước và sau khi chuyển

Đề tài: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán đại số 7

Vậy: Trước khi chuyển thì: Tủ 1 có : 900 quyển sách

Tủ 2 có : 750 quyển sách

Tủ 3 có : 600 quyển sách

VD4: Một ô tô đi từ AB mỗi giờ đi đươc 60,9 km Hai giờ sau, một ô tô thứ hai

cũng đi từ AB với vận tốc 40,6 km Hỏi ô tô thứ nhất đi từ AB mất mấy giờ Biết

rằng xe ô tô thứ hai đến muộn hơn ô tô thứ nhất là 7 giờ

Với bài toán này, học sinh phải nhớ được mối quan hệ giữa ba đại lượng trong

chuyển động: Quãng đường = Vận tốc.Thời gian

Nhưng nhớ được công thức rồi mà đầu bài cho rắc rối quá Giáo viên giúp học sinh nhận ra mối quan hệ về thời gian đi từ AB của hai xe ô tô

Lời giải:

* Gọi thời gian ô tô thứ 1 đi từ AB là : x (h) (Đ/k x>0)

ô tô thứ 2 xuất phát sau 2h nhưng lại tới B muộn hơn 7h nên thời gian ô tô thứ 2 đi từ

VD5:

Ba xí nghiệp cùng xây dựng chung một cây cầu hết 38 triệu đồng Xí nghiệp I có

40 xe ở cách cầu 1,5 km, xí nghiệp II có 20 xe ở cách cầu 3 km, xí nghiệp III có 30 xe

ở cách cầu 1 km Hỏi mỗi xí nghiệp phải trả cho việc xây dựng cầu bao nhiêu tiền, biết rằng số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số xe và tỉ lệ nghịch với khoảng cách từ xí nghiệp đến cầu?

Chắc chắn nhiều học sinh không làm được bài toán này vì đầu bài rắc rối quá, vừa

tỉ lệ thuận lại vừa tỉ lệ nghịch thì làm như thế nào? Thật đơn giản, cứ làm bình thường thôi:

Đề tài: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán đại số 7

Bài 3 Ba lớp 7A, 7B, 7C có tất cả 144 học sinh Nếu rút ở lớp 7A 1

Bài 4 Số học sinh 3 khối 6, 7, 8 tỉ lệ với 10, 9, 8 Tính số học sinh mỗi khối, biết rằng số

học sinh khối 8 ít hơn số học sinh khối 6 là 50 học sinh

Bài 5 Học sinh lớp 7A chia thành 3 tổ lần lượt tỉ lệ với 2; 3; 4 Tìm số học sinh mỗi tổ

biết lớp 7A có 45 học sinh

Bài 6 Một trường có 3 lớp 6 Biết rằng 2

3 số học sinh lớp 6A bằng số học sinh lớp 6B và

bằng 4

5 số học sinh lớp 6C Lớp 6C có số học sinh ít hơn tổng số học sinh 2 lớp kia là 57

học sinh Tính số học sinh mỗi lớp

Bài 7 Một bể chứa hình chữ nhật có chiều rộng và chiều dài tỉ lệ với 4 và 5; Chiều rộng

và chiều cao tỉ lệ với 5 và 4 Thể tích của bể là 64m3 Tính chiều rộng, chiều dài và chiều

Bài 12 Ba đường cao của một tam giác có độ dài bằng 4; 12; x Biết rằng x là một số tự

nhiên Tìm x( Cho biết mỗi cạnh của tam giác nhỏ hơn tổng hai cạnh kia và lớn hơn hiệu

của chúng)

Đề tài: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán đại số 7

Bài 13 Một người đi bộ từ A đến B đã tính rằng: Nếu đi với vận tốc 6 km/h thì đến B

lúc 11h 45phút Nhưng người đó chỉ đi được 4

5 quãng đường với vận tốc dự định trước, đoạn đường còn lại chỉ đi với vận tốc 4,5 km/h nên đã đến B lúc 12h Hỏi người đó khởi hành lúc mấy giờ và quãng đường AB bao nhiêu km?

Bài 14 Trên một công trường xây dựng có 3 đội công nhân làm việc Biết rằng 2

3 số

công nhân đội I bằng 8

11 số công nhân đội II và 4

5 số công nhân đội III; Số công nhân đội

I ít hơn tổng số công nhân đội II và đội III là 18 người Tính số công nhân của mỗi đội

Bài 15 Ba đội công nhân phải vận chuyển tổng cộng 1530 kg hàng từ kho theo thứ tự đến

3 địa điểm cách kho 1500m, 2000m, 3000m Hãy phân chia số hàng cho mỗi đội sao cho khối lượng hàng tỉ lệ nghịch với khoảng cách cần chuyển

Bài 16 Ba công nhân tiện được tất cả 860 dụng cụ trong cùng một thời gian Để tiện một

dụng cụ, người thứ nhất cần 5 phút, người thứ hai cần 6 phút, người thứ ba cần 9 phút Tính số dụng cụ mỗi người tiện được

C KẾT LUẬN 1/ Tính mới của đề tài:

- Phát huy tính tích cực,độc lập họat động của học sinh trong tiết học

- Phát huy tính sáng tạo, khả năng suy luận và phán đoán của học sinh trong quá trình giải bài tập toán

- Trình bày bài giải một cách logic, có thể giải bài toán bằng nhiều cách

- Giáo dục tính cẩn thận của học sinh

- Thu hút sự chú ý của học sinh

Tuy nhiên cũng còn gặp một số hạn chế:

- Do thời gian còn hạn chế nên muốn thực hiện được giải pháp thì phải đưa vào giờ dạy trái buổi hoặc bồi dưỡng học sinh giỏi nếu không sẽ không có thời gian để luyện tập cho học sinh

-Toán về chứng minh các đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước, nếu ta nghiên cứu sâu hơn đối với các đẳng thức phức tạp còn rất nhiều dạng toán phức tạp mà chưa đưa ra