Luận văn hay "VẬN DỤNG MỘT SỐ TRI THỨC CỦA PHÉP BIỆN CHỨNG DUY VẬT TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG"

MỞ ĐẦU1. Lí do chọn đề tàiĐào tạo nguồn nhân lực góp phần phát triển đất nước và hội nhập quốc tế là nhiệm vụ quan trọng mà Đảng và Nhà nước giao cho ngành giáo dục. Trong thực tiễn quá trình thực hiện nhiệm vụ đó, việc đổi mới giáo dục nói chung và đổi mới phương pháp dạy học nói riêng đang trở thành một trong những yêu cầu bức thiết. Điều 28, Chương II, Luật Giáo dục đã quy định: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của HS; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh...”.Lịch sử phát triển của xã hội loài người gắn liền với lịch sử phát triển của triết học, của khoa học tự nhiên. Trong chiều dài lịch sử đó triết học và khoa học tự nhiên nói chung, toán học nói riêng luôn luôn gắn bó mật thiết với nhau, nương tựa và thúc đẩy lẫn nhau. Angghen đã nói: “Cái thúc đẩy các nhà triết học, hoàn toàn không phải chỉ riêng sức mạnh của tư duy thuần túy như họ tưởng tượng. Trái lại, trong thực tế, cái thật ra đã thúc đẩy họ tiến lên chủ yếu là sự phát triển mạnh mẽ ngày càng nhanh chóng và ngày càng mãnh liệt của khoa học tự nhiên và của công nghiệp”. Luận điểm này đã vạch rõ về mặt lý luận, quy luật phát triển của triết học sát cánh với khoa học tự nhiên.Mỗi hình thức cơ bản của triết học duy vật đều tương ứng với một trình độ nhất định của khoa học tự nhiên. Logic của sự phát triển bên trong của triết học duy vật là trùng hợp với logic của sự phát triển bên trong của khoa học tự nhiên. Sự phát triển của khoa học tự nhiên đến một trình độ nhất định sẽ vạch ra phép biện chứng khách quan của tự nhiên. Thích ứng với trình độ khoa học tự nhiên hiện đại là triết học duy vật hiện đại – triết học của chủ nghĩa Mác, chủ nghĩa duy vật biện chứng và chủ nghĩa duy vật lịch sử. Triết học Mác – Lê Nin ra đời đánh dấu một bước tiến mới về mặt lí luận đồng thời đóng vai trò quan trọng trong việc tiếp tục thúc đẩy sự phát triển của khoa học tự nhiên cũng như toán học.Việc nghiên cứu, vận dụng các nguyên lý, cặp phạm trù và quy luật của phép biện chứng duy vật vào dạy học toán là việc làm rất cần thiết và quan trọng. Nhiều nhà giáo dục, nhà sư phạm với tài năng, tâm huyết của mình đã nghiên cứu vấn đề này như: Nguyễn Cảnh Toàn với tác phẩm “Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu toán học”, Đào Tam quan tâm với khía cạnh “Một số cơ sở phương pháp luận của toán và việc vận dụng chúng trong dạy học Toán ở trường phổ thông”, Lê Văn Đoán với vấn đề “Quan điểm duy vật biện chứng về khả năng phát triển của toán học”, Phạm Đình Khương với đề tài “Vận dụng cặp phạm trù nội dung hình thức để hướng dẫn học sinh tìm lời giải trong hoạt động giải toán”,... cùng với những kết quả nghiên cứu trong một số luận án tiến sĩ của Nguyễn Phú Lộc, Lê Duy Phát, Nguyễn Thanh Hưng, Nguyễn Chiến Thắng, Đỗ Văn Cường,... được công bố trong những năm qua đã làm sáng tỏ phần nào được khả năng to lớn của việc vận dụng một số tri thức của phép biện chứng duy vật nhằm nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường phổ thông.Trong chương trình môn Toán Trung học phổ thông, nội dung lớp 11 đóng vai trò rất quan trọng. Học sinh bước đầu tiếp cận với kiến thức giải tích, tìm hiểu các dạng phương trình, hệ phương trình mới, tiếp cận với toán ứng dụng, chuyển từ tư duy hình học phẳng sang không gian… Do đó, việc xem xét các kiến thức toán học trong mối quan hệ biện chứng là rất quan trọng. Tuy nhiên chưa có đề tài nào nghiên cứu cụ thể việc vận dụng một số tri thức của phép duy vật biện chứng vào dạy học cho học sinh lớp 11 Trung học phổ thông.Xuất phát từ những lí do nêu trên chúng tôi chọn đề nghiên cứu là: Vận dụng một số tri thức của phép biện chứng duy vật trong dạy học môn Toán lớp 11 Trung học phổ thông.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐỀ CƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN TRUNG

VINH, 2013

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Đào tạo nguồn nhân lực góp phần phát triển đất nước và hội nhập quốc

tế là nhiệm vụ quan trọng mà Đảng và Nhà nước giao cho ngành giáo dục.Trong thực tiễn quá trình thực hiện nhiệm vụ đó, việc đổi mới giáo dục nóichung và đổi mới phương pháp dạy học nói riêng đang trở thành một trongnhững yêu cầu bức thiết Điều 28, Chương II, Luật Giáo dục đã quy định:

“Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của HS; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh ”.

Lịch sử phát triển của xã hội loài người gắn liền với lịch sử phát triểncủa triết học, của khoa học tự nhiên Trong chiều dài lịch sử đó triết học vàkhoa học tự nhiên nói chung, toán học nói riêng luôn luôn gắn bó mật thiết

với nhau, nương tựa và thúc đẩy lẫn nhau Ang-ghen đã nói: “Cái thúc đẩy các nhà triết học, hoàn toàn không phải chỉ riêng sức mạnh của tư duy thuần túy như họ tưởng tượng Trái lại, trong thực tế, cái thật ra đã thúc đẩy họ tiến lên chủ yếu là sự phát triển mạnh mẽ ngày càng nhanh chóng và ngày càng mãnh liệt của khoa học tự nhiên và của công nghiệp” Luận điểm này đã vạch

rõ về mặt lý luận, quy luật phát triển của triết học sát cánh với khoa học tựnhiên

Mỗi hình thức cơ bản của triết học duy vật đều tương ứng với một trình

độ nhất định của khoa học tự nhiên Logic của sự phát triển bên trong của triếthọc duy vật là trùng hợp với logic của sự phát triển bên trong của khoa học tựnhiên Sự phát triển của khoa học tự nhiên đến một trình độ nhất định sẽ vạch

ra phép biện chứng khách quan của tự nhiên Thích ứng với trình độ khoa học

tự nhiên hiện đại là triết học duy vật hiện đại – triết học của chủ nghĩa Mác,chủ nghĩa duy vật biện chứng và chủ nghĩa duy vật lịch sử Triết học Mác –

Lê Nin ra đời đánh dấu một bước tiến mới về mặt lí luận đồng thời đóng vaitrò quan trọng trong việc tiếp tục thúc đẩy sự phát triển của khoa học tự nhiêncũng như toán học.

Việc nghiên cứu, vận dụng các nguyên lý, cặp phạm trù và quy luật củaphép biện chứng duy vật vào dạy học toán là việc làm rất cần thiết và quantrọng Nhiều nhà giáo dục, nhà sư phạm với tài năng, tâm huyết của mình đã

nghiên cứu vấn đề này như: Nguyễn Cảnh Toàn với tác phẩm “Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu toán học”, Đào Tam quan tâm với khía cạnh “Một số cơ sở phương pháp luận của toán và việc vận dụng chúng trong dạy học Toán ở trường phổ thông”, Lê Văn Đoán với vấn

đề “Quan điểm duy vật biện chứng về khả năng phát triển của toán học”, Phạm Đình Khương với đề tài “Vận dụng cặp phạm trù nội dung - hình thức

để hướng dẫn học sinh tìm lời giải trong hoạt động giải toán”, cùng với

những kết quả nghiên cứu trong một số luận án tiến sĩ của Nguyễn Phú Lộc,

Lê Duy Phát, Nguyễn Thanh Hưng, Nguyễn Chiến Thắng, Đỗ Văn Cường, được công bố trong những năm qua đã làm sáng tỏ phần nào được khả năng

to lớn của việc vận dụng một số tri thức của phép biện chứng duy vật nhằmnâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường phổ thông

Trong chương trình môn Toán Trung học phổ thông, nội dung lớp 11đóng vai trò rất quan trọng Học sinh bước đầu tiếp cận với kiến thức giảitích, tìm hiểu các dạng phương trình, hệ phương trình mới, tiếp cận với toánứng dụng, chuyển từ tư duy hình học phẳng sang không gian… Do đó, việcxem xét các kiến thức toán học trong mối quan hệ biện chứng là rất quantrọng Tuy nhiên chưa có đề tài nào nghiên cứu cụ thể việc vận dụng một sốtri thức của phép duy vật biện chứng vào dạy học cho học sinh lớp 11 Trunghọc phổ thông

Xuất phát từ những lí do nêu trên chúng tôi chọn đề nghiên cứu là: "Vận dụng một số tri thức của phép biện chứng duy vật trong dạy học môn Toán lớp 11 Trung học phổ thông".

2 Mục đích nghiên cứu

Vận dụng một số nguyên lý, cặp phạm trù và quy luật của phép biệnchứng duy vật vào dạy học môn Toán lớp 11 nhằm nâng cao chất lượng hiệuquả dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông

3 Đối tượng và khách thể nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu: Một số tri thức của phép biện chứng duy vật

và khả năng vận dụng vào dạy học môn Toán cho học sinh lớp 11 ở trườngTrung học phổ thông

3.2 Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học môn Toán cho học sinh

lớp 11 ở trường Trung học phổ thông

4 Giả thuyết khoa học

Cần thiết và có thể vận dụng được một số tri thức của phép biện chứngduy vật gồm các nguyên lý, cặp phạm trù và quy luật vào dạy học môn Toánlớp 11 cho học sinh Trung học phổ thông, góp phần nâng cao hiệu quả dạyhọc môn Toán ở trường Trung học phổ thông

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

5.1 Làm rõ cơ sở lý luận của việc vận dụng các nguyên lý, quy luật vàcặp phạm trù của phép biện chứng duy vật vào dạy học môn Toán cho họcsinh Trung học phổ thông

5.2 Khảo sát thực trạng vận dụng một số tri thức của phép biện chứngduy vật vào dạy học môn Toán cho học sinh lớp 11 Trung học phổ thông hiệnnay

5.3 Nghiên cứu cụ thể việc vận dụng một số tri thức của phép biện chứng duyvật vào dạy học môn Toán cho học sinh lớp 11 Trung học phổ thông trong các tìnhhuống dạy học điển hình

5.4 Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi và hiệuquả của nội dung nghiên cứu đã đề xuất, đồng thời kiểm định giả thuyết khoahọc của đề tài

6 Phương pháp nghiên cứu

6.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu về

phương pháp dạy học Toán, một số tài liệu tham khảo về việc vận dụng một

số tri thức triết học duy vật biện chứng vào dạy học Toán, các cơ sở về tâm lýhọc, giáo dục học, sách giáo khoa, sách giáo viên, sách tham khảo về chươngtrình lớp 11 ở trường Trung học phổ thông hiện hành

6.2 Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát, tìm hiểu về việc vận

dụng triết học duy vật biện chứng trong dạy học môn Toán lớp 11 ở trườngTrung học phổ thông qua các hình thức dự giờ, điều tra, phỏng vấn

6.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm

thông qua lớp học thực nghiệm và lớp học đối chứng ở một số trường Trunghọc phổ thông trên địa bàn tỉnh Thanh Hóa Đánh giá kết quả thực nghiệm sưphạm bằng phương pháp thống kê toán học trong khoa học giáo dục

7 Đóng góp của luận văn

7.1 Góp phần làm sáng tỏ cơ sở lý luận và thực tiễn của việc vận dụngmột số tri thức phép biện chứng duy vật trong dạy học Toán ở trường Trunghọc phổ thông phổ thông

7.2 Thể hiện được khả năng vận dụng một số nguyên lý, cặp phạm trù và quyluật của phép biện chứng duy vật trong dạy học môn Toán cho học sinh lớp 11Trung học phổ thông thông qua các tình huống dạy học điển hình

8 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, nội dung luận văn được trình bàytrong 3 chương:

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Chương 2: VẬN DỤNG MỘT SỐ TRI THỨC CỦA PHÉP BIỆN CHỨNG DUY VẬT VÀO DẠY HỌC MÔN TOÁN LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Mối quan hệ giữa triết học và toán học

1.1.1 Những thể hiện của triết học trong toán học

Mỗi khoa học có thế giới quan và phương pháp luận riêng Toán họcđược xem là khoa học nghiên cứu về các quan hệ số lượng, hình dạng và logictrong thế giới khách quan hay là khoa học nghiên cứu vế cấu trúc số lượng màngười ta có thể trang bị cho một tập hợp bằng một hệ tiên đề Triết học làkhoa học về những quy luật chung nhất của sự vận động, phát triển của tựnhiên, xã hội và tư duy Vì lẽ đó sự tác động qua lại lẫn nhau, thúc đẩy lẫnnhau cùng phát triển giữa Toán học và Triết học là một sự tất yếu trong đóTriết học đóng vai trò là cơ sở thế giới quan và phương pháp luận của toánhọc

Einstein đã nhận xét: “Cái khái quát của triết học cần phải dựa trên các kết quả khoa học Tuy nhiên, mỗi khi đã xuất hiện và được truyền bá rộng rãi, chúng thường ảnh hưởng đến sự phát triển của tư tưởng khoa học khi chúng chỉ ra rất nhiều phương hướng phát triển có thể có” Thật vậy, triết học đã

tác động tích cực đến sự phát triển của toán học, trước hết, nó dẫn đến một sốkhuynh hướng toán học Chẳng hạn, những tư tưởng triết học từ lâu đã khẳngđịnh tính phức tạp trong giới tự nhiên Điều này dẫn đến toán học sau này cókhuynh hướng đi sâu vào nghiên cứu hệ thống phức tạp đó Đặc biệt kể từgiai đoạn toán học hiện đại với tư tưởng về cấu trúc và sự phát triển của xácsuất thống kê, người ta càng thấy rõ những lĩnh vực trong đó không thể khẳngđịnh “đúng, sai” mà chỉ có thể nói đến một xác suất đúng hay sai nào đó

( 0 p 1),   chẳng hạn như trong cơ học lượng tử, do lưỡng tính “sóng, hạt” nênkhông thể khẳng định vị trí của một hạt ở một thời điểm xác định mà chỉ cóthể nói đến xác suất để hạt ở vị trí đó Từ năm 1965, toán học mờ ra đời chínhnhờ các khái niệm không gian, ánh xạ, hệ nhị phân mà hầu như mọi sự vậtđều có những tọa độ diễn tả ra bằng những dãy 0 và 1 Đó là lĩnh vực toánhọc chuyên nghiên cứu về các tập hợp mờ tức là những tập hợp không có ranh

giới rõ rệt vì không thể khẳng định được một phần tử nào đó là thuộc tập hợphay không mà chỉ có thể nói đến một xác suất p để phần tử thuộc tập hợp.Điều này được ứng dụng rất nhiều trong kỹ thuật máy tính điện tử.

Vấn đề cơ bản của Triết học trong Toán học là sự cụ thể hóa vấn đề

về mối quan hệ giữa vật chất và ý thức vào trong toán học Đó là mối quan hệgiữa số lượng và hình thức không gian của các sự vật trong thế gới hiện thựcvới các tri thức Toán học Mối quan hệ ấy được thể hiện bằng sơ đồ dưới đây:

Mối quan hệ

Mối quan hệ

Khi giải quyết vấn đề này đã hình thành hai khuynh hướng đối lập nhau,đấu tranh với nhau là chủ nghĩa duy vật và chủ nghĩa duy tâm trong Toán học.Đây cũng là sự thể hiện một cách cụ thể hai trào lưu Triết học là chủ nghĩaduy vật và chủ nghĩa duy tâm trong Triết học và Toán học

Chủ nghĩa duy vật trong Toán học cho rằng sự xuất hiện của Toán học làkết quả của sự phản ánh các sự vật, hiện tượng trong thế giới thực Những con

số và những kích thước hình học trong Toán học không phải là kết quả sángtạo thuần túy của tư duy mà nó là kết quả của sự phản ánh số lượng và hìnhdáng của các sự vật ở trong hiện thực Toán học, không có số lượng chungchung, thuần túy tách rời các sự vật mà ngay cả kích thước (chiều dài, chiềurộng, chiều cao ) cũng không phải là sự phản ánh không gian trống rỗng ở bên

Mối quan hệ

số lượng và hình thức không gian

sự vật

Tri thức toán học

ngoài các vật thể mà nó là kết quả của sự phản ánh không gian của các vật thểtrong thế giới hiện thực.

Đối lập với quan niệm trên, chủ nghĩa duy tâm trong Toán học lại chorằng, trong mối quan hệ giữa Toán học và thế giới hiện thực thì Toán học làcái có trước, là yếu tố sản sinh ra các đối tượng trong thế giới hiện thực Điểnhình cho xu hướng ấy là quan niệm của Pitago Từ chỗ tuyệt đối hóa, trừutượng hóa số lượng tách khỏi những sự vật vật chất ông cho rằng các kháiniệm về "con số" là cái có trước thế giới hiện thực, coi quan hệ số lượng làbản chất của các sự vật, quy định quan hệ tồn tại của các sự vật Ví dụ: Phải

có khái niệm số 1 rồi mới có 1 con người, 1 cái cây, 1 con vật… Trên cơ sở

đó, trường phái Pitago đã phát triển thành chủ nghĩa tượng trưng trong Toánhọc và chủ nghĩa duy tâm, thần bí, đầy mê tín về các con số Quan niệm nàycòn tồn tại trong dân gian đến tận ngày nay Chẳng hạn, quan niệm số 0 là sốmay mắn, số 13 là số rủi ro…… Trường phái này càng phát triển thì khuynhhướng duy tâm càng tăng lên

Tiếp bước trường phái duy tâm Pitago, Platôn lại đẩy lên một mức độduy tâm cao hơn Vì ông cho rằng, không chỉ khái niệm về con số là cái cótrước mà tất cả những khái niệm nói chung và các khái niệm Toán học nóiriêng đều là cái có trước Khái niệm tồn tại khách quan và ở vị trí giữa thếgiới của những sự vật và thế giới của những ý niệm Nó tuy là hình ảnh yếu ớtcủa những ý niệm, nhưng cùng với những ý niệm sáng tạo ra thế giới hiệnthực

Đối lập với quan niệm của Plantôn là quan niệm của Arixtôt Ông chorằng, những khái niệm Toán học là kết quả của sự trừu tượng hóa thế giớihiện thực Nó là cái có sau thế giới hiện thực Các sự vật tồn tại trong thế giớihiện thực là cái có trước, nó tồn tại khách quan Nhờ có tư duy trừu tượng củacon người mà hình thành nên các khái niệm Toán học

Trong lịch sử phát triển của Triết học, cuộc đấu tranh giữa quan niệm củaPlatôn và Pitago với quan niệm của Arixtôt đã diễn ra quyết liệt trong thời kỳ

cổ đại Đó là sự thể hiện một cách sinh động và phức tạp việc giải quyết cácvấn đề cơ bản của triết học trong Toán học Cuộc đấu tranh giữa những tưtưởng, quan điểm của các nhà triết học cũng như các nhà toán học cũng đều

xoay quanh mối quan hệ giữa vật chất và ý thức mà cụ thể là mối quan hệgiữa các khái niệm, các tri thức của Toán học với thế giới hiện thực.

Đồng tình và ủng hộ cho quan điểm của Arixtôt, các nhà duy vật trongToán học đã chứng minh rằng, những quy luật và những khái niệm, những lýthuyết Toán học đều là những điều ghi chép lại, những "phản ánh" thu được

do kết quả của sự trừu tượng hóa từ các vật thể cụ thể và từ những tính chấtcủa chúng Ngược lại, các nhà toán học duy tâm lại cho rằng, các khái niệm,quy luật, lý thuyết toán học là cái có trước hiện thực Trong đó chủ nghĩa duytâm khách quan cho rằng, những khái niệm Toán học tồn tại bên ngoài sự vật,

có trước sự vật và đối lập với tư duy của con người Chủ nghĩa duy tâm chủquan cho rằng các khái niệm, các định luật và lý thuyết Toán học là sản phẩm

sự sáng tạo thuần túy của tư duy Đặc biệt, đến thời kỳ ra đời và phát triển củaToán học hiện đại, họ cho rằng những khái niệm và những con số ở trongToán học cũng tương tự như những ký hiệu mà con người đã đặt ra trongToán học để thuận tiện cho hoạt động nhận thức của con người chứ khôngphản ánh một đối tượng có thực nào cả

Như vậy, cuộc đấu tranh giữa chủ nghĩa duy vật và chủ nghĩa duy tâmkhông chỉ diễn ra trong Triết học mà nó còn diễn ra trong Toán học Cuộc đấutranh giữa các trường phái ấy diễn ra trong suốt chiều dài lịch sử của Toánhọc, từ khi Toán học chưa tách rời khỏi Triết học cho đến khi Toán học táchkhỏi Triết học và cho đến tận ngày nay Chủ nghĩa duy tâm chủ quan haykhách quan đều giải quyết sai lầm về vấn đề cơ bản của Triết học trong Toánhọc Đó là mối quan hệ giữa Toán học và thế giới hiện thực Chỉ có chủ nghĩaduy vật, cụ thể là chủ nghĩa duy vật biện chứng mới giải quyết một cách đúngđắn vấn đề triết học cơ bản của Toán học

1.1.2 Những thể hiện của toán học trong triết học

Triết học được xem là thế giới quan và phương pháp luận cho sự pháttriển của Toán học, ngược lại Toán học phát triển đã tác động tích cực đếnTriết học, đóng vai trò quan trọng đối với sự phát triển của triết học

1.1.2.1 Vai trò của các ký hiệu toán học trong nhận thức khoa học

Những thể hiện của Toán học trong triết học được thể hiện trước hết ởchỗ, Toán học giúp cho Triết học khái quát và trừu tượng từ các đại lượng, sốlượng và hình thức không gian để tìm ra được những quy luật vận động và

phát triển chung của những đối tượng ấy; cung cấp cho các bộ môn khoa học

cụ thể những phương pháp và cách thức tính toán một cách chính xác, mangtính định lượng về quy luật vận động và sự phát triển của những đối tượng màcác khoa học cụ thể có phản ánh Đồng thời nó giúp cho Triết học và khoahọc tăng cường tính lôgic, hệ thống chặt chẽ

Trên cơ sở nghiên cứu lịch sử phát triển của toán học, chúng ta nhận thấyrằng, kết cấu logic và sự phát triển của các lý thuyết toán học ngày càng phụthuộc vào việc sử dụng các ký hiệu toán học và sự cải tiến các ký hiệu đó.Ngày nay, chúng ta đã có đầy đủ căn cứ để khẳng định rằng, các ký hiệu toánhọc không những chỉ là phương tiện thuận lợi cho việc nghiên cứu khoa họcnói chung và toán học nói riêng, mà chúng còn có một giá trị nhận thức luận

to lớn Sở dĩ các ký hiệu toán học có vai trò quan trọng như vậy là do nộidung khách quan của chúng quy định

Chúng ta đều biết rằng, nhiều nhà triết học duy tâm thường khẳng định tưduy của con người không có khả năng đưa ra các chân lý khách quan Song,trên thực tế họ lại luôn minh chứng cho nhận thức luận duy tâm của mìnhbằng cách sử dụng hệ thống ký hiệu và công thức toán học do các nhà toánhọc đưa ra Giải thích việc sử dụng hệ thống này, các nhà triết học duy tâmcho rằng, đối tượng của toán học mang tính trừu tượng cao, trong khi quy luậtphát triển của toán học lại rất phức tạp, ngôn ngữ ký hiệu thì ngày càng được

sử dụng nhiều trong toán học, nên các chân lý toán học không có tính kháchquan Từ đó, họ coi toán học chỉ là một hệ thống ký hiệu đã được lựa chọn từtrước một cách thích hợp và căn cứ vào đó để minh chứng cho học thuyết củamình Bác bỏ quan niệm đó, các nhà triết học duy vật đã dựa vào toàn bộ quátrình phát triển của tri thức khoa học để chỉ ra sai lầm của chủ nghĩa duy tâm

về đối tượng của toán học và phân tích một cách đúng đắn nội dung, ý nghĩacủa các ký hiệu toán học

Theo quan điểm duy vật biện chứng, các ký hiệu toán học, trước hết được

sử dụng để ghi lại các khái niệm và các mệnh đề toán học Chẳng hạn, trong

số học các số tự nhiên, các ký hiệu 1, 2,3, biểu thị đặc điểm về lượng củanhóm đối tượng chứa một, hai, ba,… đối tượng Các ký hiệu > , = , < biểudiễn những sự tương quan, chẳng hạn 1< 2 (1 bé hơn 2) Đồng thời, người tacòn sử dụng đấu hiệu các phép tính số học như: +, , , :   để biểu thị nhữngmối liên hệ có thể có giữa các số tự nhiên Tất cả các ký hiệu nói trên chophép ta diễn đạt một cách hoàn toàn chính xác nhiều mệnh đề của số học các

số tự nhiên Ví dụ, ký hiệu (4 6) 10 = 7 2    biểu diễn một mệnh đề số học Trong đại số học, người ta thường dùng các ký hiệu là các chữ như

a, b,c, , x, y, z, để biểu đạt các thông số và những đại lượng biến thiên.Chẳng hạn, trong phương trình ax 2  bx c 0   , mỗi hệ số a, b,c có thể nhận bất

kỳ giá trị thực nào, còn ẩn số x cần tìm là thuộc tập hợp các số phức Việc sửdụng các ký hiệu về đại lượng biến thiên cho phép ta diễn đạt ở dạng tổngquát các quy luật của đại số và cả các quy luật của các lý thuyết toán họckhác Chẳng hạn như: a b c a (b c) , a b c (a b) c a (b c)       

Trong thực tế, nếu chúng ta khảo sát những sự thể hiện khác nhau củacùng một tiêu đề xuất phát thì không những chỉ các khái niệm về đối tượngcủa lý thuyết thay đổi, mà cả các khái niệm về sự tương quan và liên hệ giữachúng cũng thay đổi Chẳng hạn, trong hệ tiên đề pêanô, các ký hiệu

> , = , < , +, , , :   sẽ có ý nghĩa khác nhau tuỳ theo ký hiệu 1, 2,3, biểu thịcác số tự nhiên về lượng hay về thứ tự Ví dụ, ký hiệu 3< 4 nếu biểu thị vềlượng thì có nghĩa là 3 bé hơn 4, song nếu biểu thị về thứ tự thì có nghĩa là 3đứng trước 4

Như vậy, có thể nói, các ký hiệu toán học cho phép ta ghi lại một cách côđọng và dưới dạng dễ nhận thức những mệnh đề rất rườm rà trong ngôn ngữthông thường Nhờ đó, ta có thể dễ nhớ và có khả năng nắm được nội dungcủa chúng Đồng thời, các ký hiệu này còn được sử dụng một cách có hiệuquả trong toán học để ghi lại các khái niệm và các mệnh đề, mỗi khi chúngphản ánh được những tương quan về lượng và những hình dạng không giannhất định của thế giới hiện thực Chính vì vậy, trước khi sử dụng những ký

hiệu vào những lập luận của mình, nhà toán học cần chỉ rõ mỗi ký hiệu nhưthế biểu thị cái gì, nếu không sẽ dẫn đến những hiểu biết sai lệch điều mà các

ký hiệu muốn nói và khi đó mọi lập luận trong toán học sẽ không thể tiếp tụctiến hành Chỉ khi ý nghĩa của các ký hiệu đã được thiết lập một cách chínhxác, chúng ta mới có khả năng hiểu được điều mà các quan hệ muốn diễn đạt.Với cách diễn đạt nội dung của nó bằng lời Rõ ràng, việc phát biểu côngthức này bằng lời sẽ dài dòng hơn rất nhiều, và nếu so sánh cách chứng minhbất đẳng thức trên bằng ký hiệu với cách chứng minh bằng lời thì chúng tacàng nhận thấy sự thuận tiện của việc sử dụng các ký hiệu toán học

Tuy nhiên, không phải lúc nào các ký hiệu toán học cũng có thể biểu diễnmột cách ngắn gọn nội dung toán học và các khoa học khác Các ký hiệu toánhọc sẽ không thực hiện được nhiệm vụ chủ yếu này của chúng, nếu chúng chỉ

là những biểu hiện ngắn gọn của những dạng ngôn ngữ dài dòng hơn Chẳnghạn, việc xây dựng cơ học cổ điển đã diễn ra với việc sử dụng các vectơ đểdiễn tả chuyển động Theo đánh giá của Albert Einstein, ở đây toàn bộ côngviệc đã làm chỉ là chuyển những sự kiện đã được thừa nhận từ trước thànhmột ngôn ngữ phức tạp và kỳ lạ Nhưng, theo ông, chính cái ngôn ngữ kỳ lạ làvectơ ấy đã dẫn đến những điều khái quát quan trọng mà trong đó vectơ giữvai trò nòng cốt

1.1.2.2.Vai trò của toán học trong sự hình thành và phát triển thế giới quan duy vật

Ở thời kì cổ đại, toán học mới chỉ ở giai đoạn toán học sơ cấp mộc mạc vàcùng với nó là triết học duy vật thô sơ, chất phác Những kiến thức toán họcmới chỉ là những phát kiến rời rạc, hầu như chưa có hệ thống đang hòa lẫntrong kho tàng các kiến thức triết học Đó là hình học của Euclide, là nhữngkiến thức về đại số ( cách giải phương trình bậc 3, bậc 4, dùng công cụ logarit

để tính toán gần đúng), về số học (số nguyên tố, ước chung lớn nhất, bộichung nhỏ nhất, phương trình Diophante), lượng giác Lúc này triết học vàtoán học gắn bó tới mức khó phân biệt ranh giới giữa chúng Các nhà triết gia

cũng đồng thời là các nhà toán học: Thales, Pythagore, Zenon…Những tưtưởng, quan niệm toán học đã ảnh hưởng đến thế giới quan triết học của cácông, dù còn nhiều hạn chế nhưng ít nhiều chứa đựng những quan điểm duyvật biện chứng khá sâu sắc.

Pythagore (547 – 471 TCN): là nhà toán học nổi tiếng thời cổ đại vớinhững phát kiến về tổng các góc trong tam giác, quan hệ giữa bình phươngcác cạnh trong tam giác vuông, về số vô ước, số bè bạn, số hoàn chỉnh…Khi nghiên cứu toán học, Pythagore cho rằng con số là khởi nguyên củathế giới Đối với ông, mọi cái trên thế giới đều là hiện thân của những con số,một vật tương ứng với một con số nhất định Chẳng hạn, điểm hình học đượccoi là đơn vị đơn giản nhất tương ứng với số 1, đường thẳng coi như số 2, mặtphẳng xem như số 3…Thậm chí linh hồn con người cũng đươc tạo thành từcác con số Chúng đóng vai trò quyết định tính đa dạng của các hiện tượng tựnhiên và đẳng cấp trong xã hội

Quan niệm ấy của các ông đã thể hiện lập trường duy tâm khi thần thánhhóa các con số nhưng nó lại có điểm hợp lí ở chỗ nhấn mạnh vai trò quantrọng của các con số và nhận thức toán học Hơn nữa, ông còn có nhiều quanđiểm biện chứng sâu sắc về mối quan hệ giữa số chẵn và số lẻ, số hữu hạn và

số vô hạn, giữa tính thống nhất và tính nhiều vẻ, vận động và đứng yên

Zenon (490 – 430TCN): đã làm toát lên những tư tưởng về phép biệnchứng bằng cách phản chứng Những nghịch lý “phân đôi”, “Asin và conrùa”, “mũi tên bay” đặt ra nhiều vấn đề biện chứng sâu sắc về mối quan hệgiữa tính thống nhất của thế giới, giữa vận động và đứng yên, giữa tính giánđoạn và tính liên tục của thời gian và không gian, giữa tính hữu hạn và vôhạn

Ở thời kỳ đầu này, toán học đã góp phần hình thành cơ sở của logic hìnhthức nhờ vậy tư duy có lập luận chính xác, chặt chẽ Điều đó góp phần hìnhthành nên các nguyên tắc của tư duy khoa học, ví dụ từ quan hệ a b  và b c suy ra a c 

Toán học từ chỗ “toán học kinh nghiệm” tức là mới dừng lại ở đong, đotrực tiếp hoặc ước lượng bằng kinh nghiệm đã tiến lên trình độ lý luận Hìnhhọc xuất hiện lý luận về so sánh hình dựa trên sự so sánh một số đoạn thẳnghay góc nào đó, quy tắc tính diện tích, thể tích một số hình đơn giản Đại sốxuất hiện các công thức, phương trình để tìm các ẩn số theo các số đã biết.Tuy những lý luận này mới chỉ hạn chế ở chỗ phát hiện ra những mối liên hệ

có tính quy luật (được phát biểu bằng các định lí, các công thức) trong những

sự vật, hiện tượng tĩnh tại, riêng lẻ nhưng đây cũng là bước tiến rất lớn từ cáiđơn nhất, ngẫu nhiên lên cái phổ biến, tất nhiên Toán học đã thông qua cơhọc và thiên văn học góp phần vào cuộc cách mạng của Copecnic thay hệ địatâm bằng hệ nhật tâm Sự phát triển của thế giới quan mới gắn liền với cuộccách mang mà Copecnic đòi hỏi phải có một nền toán học mang những tưtưởng mới về chất ra đời

Cũng ở thời kỳ này, những thành tựu của số học, hình học cũng đã tạo ramối liên hệ đầu tiên với những quan niệm của phép biện chứng Chẳng hạn,mối quan hệ giữa số thực và số ảo, giữa vô hạn và hữu hạn…

Như vậy là, toán học đã có những đóng góp nhất định vào sự hình thành vàphát triển một số yếu tố biện chứng, tuy chỉ dừng lại ở việc góp phần hìnhthành và củng cố thế giới quan duy vật siêu hình máy móc

Thời kỳ Phục hưng, nhu cầu nghiên cứu các vận động cơ học, vật lý đẩytoán học sang một giai đoạn mới Trọng tâm của toán học hướng vào nghiêncứu sự biến thiên của các hàm số, sự nghiên cứu đạo hàm rồi nguyên hàm,tích phân cùng với phương pháp toạ độ của Decartes ra đời làm nền tảng cho

lý thuyết các hàm số thực và phức, lý thuyết các phương trình vi phân thực vàphương trình đạo hàm riêng, lý thuyết các chuỗi hình học giải tích, hình học

vi phân cùng với các phép biến đổi hình học Vận động thực sự tràn vào toánhọc Như F.Enggen đánh giá: “Đại lượng biến đổi của Decartes đã đánh dấubước ngoặt trong toán học Nhờ đó, vận động và biện chứng đã đi vào toánhọc và phép tính vi phân và tích phân lập tức trở thành cần thiết

Toán học cũng đã giáng một đòn mạnh mẽ vào thế giới quan siêu hình

“mà điểm trung tâm là quan niệm về tính bất di bất dịch tuyệt đối của tựnhiên” Nó đã tạo cho các nhà khoa học một phương tiện mới trong nhận thức

về các hiện tượng, sự vật Toán học đã góp phần phát hiện ra định luật vạn vậthấp dẫn ở thế kỷ XVII, quy luật truyền sóng và truyền nhiệt ở thế kỷ XVIII,thuyết tương đối của Einstein cũng là nhờ sự phát triển từ trước của hình họcphi Euclide Vậy là, một cách gián tiếp, toán học đã thông qua vật lý học đónggóp vào cuộc cách mạng thế giới quan thay chủ nghĩa duy vật siêu hình máymóc dựa trên cơ học Newton bằng chủ nghĩa duy vật biện

Trong thời kỳ này, sự ra đời của tư tưởng xác suất – thống kê Đây là mộtthành tựu khá quan trọng Tư tưởng này khẳng định sự tồn tại khách quan củacái ngẫu nhiên bên cạnh cái tất nhiên và mối quan hệ biện chứng giữa chúng

Tư tưởng xác suất – thống kê cho ta một quan niệm mới về sự phụ thuộc lẫnnhau giữa các sự vật, hiện tượng, quá trình Nó vượt hẳn quan điểm coi sựphụ thuộc, liên hệ giữa các sự vật chỉ là đơn tại chặt chẽ và tính tất nhiênthống trị tuyệt đối trong giới tự nhiên Như vậy, các tư tưởng vận động, liên

hệ và xác suất – thống kê đã góp phần hình thành tư duy biện chứng và là cơ

sở khoa học để luận chứng cho thế giới quan duy vật biện chứng

Sự rà soát lại tác phẩm “Cơ bản” của Euclide đã làm nảy sinh ra phươngpháp tiên đề hiện đại Khi muốn tiên đề hóa một lý thuyết toán học nào đó,người ta chọn ra trong các khái niệm của lý thuyết đó một số vừa đủ kháiniệm không định nghĩa gọi là khái niệm cơ bản, từ đó mọi tính chất khác đềuphải chứng minh chặt chẽ bằng suy luận logic dựa trên các tiên đề và các tínhchất đã được chứng minh trước đó Do các khái niệm cơ bản không được địnhnghĩa nên muốn tưởng tượng chúng thế nào cũng được miễn là thỏa mãn hệtiên đề cho trước nên hệ tiên đề đặc trưng một cái gì đó trừu tượng gọi là cấutrúc toán học như cấu trúc “không gian Euclide”, “không gian Lobasepxki”,cấu trúc “nhóm”, “vành”, “trường”…

Toán học hiện đại đóng vai trò nền tảng trong quá trình nhất thể hóa khoahọc Nó góp phần quan trọng vào sự nhận thức những cơ sở nền tảng của sựtổng hợp tri thức vốn chứa đựng nội dung thế giới quan, phương pháp luậnsâu sắc Đồng thời nó là một trong những cơ sở khoa học để luận chứng chothế giới quan duy vật biện chứng về sự thống nhất vật chất của thế giới.

Như vậy ta có thể mạnh dạn khẳng định từ khi mới hình thành và trongquá trình phát triển của mình, toán học luôn tạo ra cơ sở thế giới quan duy vậtbiện chứng bằng cách trực tiếp hay gián tiếp

Toán học thời kỳ đầu tức là đến thời kỳ toán học sơ cấp là cơ sở cho sự rađời của chủ nghĩa duy vật máy móc, siêu hình Nó cũng góp phần khẳng địnhthế giới quan duy vật, chống lại thế giới quan tôn giáo – kinh viện

Sang thời kỳ toán học cao cấp, khi mà trọng tâm toán học chuyển sangnghiên cứu các đại lượng biến đổi trước hết là tư tưởng vận động, toán học làmột trong các nguồn gốc đẻ ra tư duy biện chứng và là cơ sở khoa học để hìnhthành và luận chứng cho thế giới quan duy vật biện chứng trong giới tự nhiên

vô sinh

Toán học hiện đại hoàn thiện sâu sắc thế giới quan duy vật biện chứngtrong các lĩnh vực tự nhiên, xã hội và tư duy Nó góp phần củng cố, hoànthiện và phát triển thế giới quan duy vật biện chứng

1.1.2.3 Toán học thúc đẩy triết học tiến lên

Toán học đã làm rõ thêm, sâu sắc thêm về quan điểm tính thống nhất củathế giới, không chỉ thể hiện ở khía cạnh định tính mà còn ở khía cạnh địnhlượng Ở khía cạnh định tính thì khoa học càng tiến lên, loài người càng thấy

rõ rằng đâu đâu trong vũ trụ thì vật chất cũng được cấu tạo từ các hạt cơ bản

và các hạt này ở đâu cũng tuân theo cùng những quy luật biến đổi, tương tácnhư nhau Ở khía cạnh quan hệ về số lượng thì ngay trước khi loài ngườikhám phá ra các cấu trúc toán học, các nhà khoa học đã rất chú ý đến hiệntượng cùng một dạng phương trình đại số hay phương trình vi phân lại diễn tảđược quan hệ số lượng trong những hiện tượng rất đa dạng của thế giới khách

quan Ví dụ, phương trình dạng y a x b   diễn tả mối quan hệ giữa hai đạilượng biến thiên xvà y khi mà chúng có các số gia tỉ lệ thuận với nhau nhưthời gian và đoạn đường đi được, như chi phí bỏ ra mua sắm và số lượng hànghóa cần mua.

Đối với mối liên hệ phổ biến, toán học làm rõ tính khách quan và tínhphổ biến của các mối liên hệ ngay trong nội bộ toán học Toán học càng pháttriển, ranh giới giữa các chuyên ngành toán học cũng khó được xác định rạchròi Chẳng hạn, trong hình học vi phân, trong xác suất thống kê đều sử dụngcác cấu trúc đại số nhóm, vành, trường Decartes sáng tạo ra hình học giải tíchnhư là một công cụ nghiên cứu hình học thông qua các phép biến đổi đại số.Hơn nữa, tất cả các khái niệm, định lý trong toán học đều chứa đựng nhữngmặt trái ngược nhau, rời rạc và liên tục, vi phân và tích phân, số âm và sốdương, số vô tỉ và số hữu tỉ, chiều thuận và chiều nghịch của định lý, hữu hạn

và vô hạn,… là những khái niệm luôn song hành, tồn tại khách quan, tác độnglẫn nhau tạo thành mâu thuẫn biện chứng thống nhất với nhau và xuất hiện ởmọi lúc, mọi nơi trong toán học

Đối với nguyên lý về sự phát triển, toán học đã làm rõ ràng rằng sự pháttriển toán học là kết quả của quá trình thay đổi dần về lượng dẫn đến sự thayđổi về chất, là quá trình diễn ra theo đường xoắn ốc Giai đoạn toán học sơcấp, vận động chưa vào trong toán học vì cơ học, vật lý chưa phát triển nhưng

sự biến thiên đã tiềm ẩn trong cái tĩnh tại Khi người xưa tính chu vi, diện tíchhình tròn bằng cách nội tiếp đa giác đều rồi cứ gấp đôi mãi số cạnh của đagiác thì chính là đã thay đổi sự biến thiên liên tục bằng một dãy những độtbiến: khi đi trên một cạnh của đa giác đều nội tiếp thì phương không thay đổi,khi đã đến một đỉnh rồi tiếp tục đi trên cạnh tiếp theo thì phương thay đổi độtngột

Như vậy, trong việc tính chu vi, diện tích hình tròn đã manh nha nguyêntắc của phép tính vi tích phân Tư tưởng về các đại lượng biến thiên đã đượctích lũy dần nhưng mãi đến khi nhu cầu nghiên cứu các vận động cơ học và

vật lý đặt ra mạnh mẽ cộng thêm sự ra đời phương pháp toạ độ của Decartesthì phép tính vi tích phân mới chính thức ra đời.

Tóm lại, qua sự phân tích ở trên ta thấy rằng toán học trong quá trìnhphát triển đã góp phần rất quan trọng vào sự phát triển tiến lên của triết học

Đó là toán học đã cung cấp cho triết học những dữ kiện, dữ liệu giúp cho triếthọc xây dựng nên lý luận cho mình; những thành tựu của toán học là minhchứng hùng hồn cho sự đúng đắn của các học thuyết triết học duy vật tiến bộ,làm phong phú, sâu sắc thêm những tư tưởng triết học Có thể nói, toán họcgóp phần hình thành, phát triển và củng cố, hoàn thiện chủ nghĩa duy vật biệnchứng – cơ sở phương pháp luận của thế giới quan khoa học

1.1.3 Tác động giữa triết học và toán học

1.1.3.1 Sự cần thiết của mối liên minh giữa Triết học và Toán học

Những thành tựu của khoa học tự nhiên nói chung, Toán học nói riêng gầnđây cho thấy bất kỳ nhà khoa học nào dù muốn hay không đều phải tiến tớicác kết luận chung về mặt lý luận Nền lý luận vững chắc của toán học cũngnhư tất cả các ngành khoa học khác chỉ có thể là triết học duy vật biện chứng

vì nó là phương pháp luận chung nhất của nhận thức khoa học

Với ý nghĩa ấy, Toán học muốn phát triển buộc phải vận dụng tư duy triếthọc duy vật biện chứng vào quá trình nghiên cứu cũng như dạy và học toánhọc Các nhà toán học cũng phải là những nhà triết học thông thái

Những nhà toán học dù có thái độ thế nào đi nữa thì họ cũng vẫn bị triếthọc chi phối Vì vậy, vấn đề là họ phải được trang bị một triết học duy nhấtđúng đắn - triết học duy vật biện chứng để được hướng dẫn một con đườngđúng đắn đi tới đích một cách nhanh nhất Các nhà toán học phải liên hệ chặtchẽ, bắt tay góp sức cùng với các nhà duy vật chống lại những quan điểm duytâm sai lầm

Mỗi khi Toán học đạt được thành tựu nào đó, nó phải tiến tới các kết luậnchung về lý luận để minh họa, làm phong phú thêm, sâu sắc thêm những quanđiểm Triết học

Theo F.Enggen, tư duy lý luận của mỗi thời đại, tức là kể cả tư duy lý luậncủa thời đại chúng ta, là một sản phẩm lịch sử mang những những hình thứcrất khác nhau trong những thời đại rất khác nhau, và do đó có một nội dungrất khác nhau Thế cho nên cũng như bất kỳ khoa học nào khác, khoa học về

tư duy là một khoa học lịch sử, là khoa học về sự phát triển lịch sử của tư duycon người Điều đó có một ý nghĩa quan trọng ngay cả với việc ứng dụng thực

tế tư duy vào lĩnh vực kinh nghiệm Bởi vì trước hết, lý luận về các quy luậtcủa tư duy hoàn toàn không phải là một chân lý vĩnh viễn một khi đã có là cứmãi mãi không thay đổi

1.1.3.2 Triết học luôn luôn chi phối các nhà toán học

Dù những nhà toán học có thái độ như thế nào đi chăng nữa thì họ cũngvẫn bị triết học chi phối Vấn đề là ở chổ, họ muốn bị chi phối bởi một thứtriết học sai lầm hay họ muốn được hướng dẫn bởi một hình thái tư duy lýluận dựa trên sự hiểu biết về lịch sử tư tưởng và những thành tựu của nó.Những nhà khoa học tưởng rằng họ thoát khỏi Triết học khi họ không để ýđến nó hoặc phỉ báng nó Nhưng vì rằng không có tư duy thì họ không thểtiến được một bước, và muốn tư duy thì họ cần phải có những phạm trù logic,

mà những phạm trù ấy thì họ tiếp thu một cách không phê phán, hoặc trongcái ý thức chung, thông thường của những người gọi là có học thức, cái ý thức

bị thống trị bởi những tàn tích của những hệ thống triết học đã lỗi thời

F.Enggen trong tác phẩm “Chống Đuyrinh”, NXB Sự thật, Hà Nội, 1960,tr.60 đã khẳng định: “Một quan niệm vừa biện chứng vừa duy vật về tự nhiênđòi hỏi người ta phải thông thạo toán học và khoa học tự nhiên”

Triết học muốn xây dựng các quan điểm của mình thì không được tồn tạimột cách đơn độc mà tài liệu của nó được phân bố trong các ngành khác nhaucủa khoa học trong đó có vai trò quan trọng của toán học Vì vậy, một chứngminh về mặt triết học có thể hiểu theo hai nghĩa hoặc là đối chiếu những tiền

đề triết học với các quy luật đã được xác định của các ngành khoa học khácnhau hoặc là thể nghiệm việc vận dụng lý luận đó

Do đó “một quan niệm vừa biện chứng, vừa duy vật về tự nhiên đòi hỏingười ta phải thông thạo toán học và khoa học tự nhiên Triết học không hề cóquyền được tồn tại đơn độc Nó thu thập các tài liệu của mình từ trong cácnghành khác nhau của khoa học thực chứng” ( theo Nguyễn Hữu Vui, về mốiquan hệ giữa triết học và khoa học tự nhiên, trang 196)

1.1.3.3 Sự liên minh giữa các nhà toán học và các nhà triết học duy vật biện chứng là một yêu cầu cấp bách đồng thời là một tất yếu lịch sử của thời đại

Thế giới đang phát triển với một tốc độ như vũ bão đặt ra vô số vấn đề cầnphải giải quyết Nhu cầu thực tiễn ấy đòi hỏi các ngành khoa học cũng phảiphát triển kịp thời để đáp ứng Vì vậy, sự liên minh giữa các nhà toán học vàcác nhà triết học duy vật biện chứng là một yêu cầu cấp bách đồng thời là mộttất yếu lịch sử của thời đại

Sự liên minh ấy cũng cho thấy rằng, một điều không kém phần quan trọng

đó là những đại biểu của các nhà toán học hiện đại cần phải có can đảm đểbảo vệ và truyền bá chủ nghĩa duy vật, chống những quan điểm triết học duytâm chủ nghĩa và hoài nghi chủ nghĩa duy vật

Nếu không làm tròn nhiệm vụ ấy một cách triệt để thì chủ nghĩa duy vậtkhông thể đứng vững được Các nhà bác học lớn cũng sẽ bất lực trong nhữngkết luận và khái quát triết học của họ vì khoa học tự nhiên đang tiến bộ nhanh,đang trải qua một thời kỳ đảo lộn cách mạng sâu sắc trong tất cả mọi lĩnh vực,đến nỗi nó tuyệt đối không thể không cần đến những kết luận triết học

Theo V.I.Lênin, Về tác dụng của chủ nghĩa duy vật chiến đấu Toàn tập,trang 33, nhà xuất bản sự thật, Hà Nội, “…Chúng ta cần hiểu rằng nếu không

có một cơ sở triết học vững vàng, thì tuyệt nhiên không có khoa học tự nhiênnào hay chủ nghĩa duy vật nào có thể chống nổi sự lấn bước của những tưtưởng tư sản và sự phục hồi của thế giới quan tư sản Muốn đương đầu đượctrong cuộc đấu tranh ấy và đưa nó đến thành công, nhà bác học phải là một

nhà duy vật hiện đại, một đồ đệ tự giác của chủ nghĩa duy vật mà Mác làngười đại diện, nghĩa là nhà bác học ấy phải là một nhà duy vật biện chứng.Không lúc nào trong thời đại chúng ta, mối quan hệ biện chứng giữa cácngành trí tuệ lại khăng khít như vậy mà bề ngoài tưởng chừng như có vẻ rấtkhó hiểu Ví dụ, có ai ngờ phép đếm nhị phân lại liên quan chặt chẽ với dịchthuật thông qua máy tính.

1.1.3.4 Mối liên hệ, tác động qua lại giữa triết học và toán học đòi hỏi phải áp dụng phương pháp duy vật biện chứng đối với việc nghiên cứu, dạy và học toán học.

Đổi mới phương pháp dạy và học toán học đang là vấn đề được đặt ra cấpbách đối với ngành giáo dục và được sự quan tâm của toàn xã hội Đổi mớiphương pháp dạy và học toán cũng là một trong những vấn đề lớn vì chúng tađều biết rằng toán là một môn học vô cùng quan trọng đối với mọi học sinh

và chiếm thời lượng lớn trong chương trình phổ thông

Mặc dù bộ đã chỉnh lý sách giáo khoa và thay đổi phương pháp dạy nhưngcách dạy toán phổ biến hiện nay đa phần giáo viên đưa kiến thức (khái niệm,định lý) rồi giải thích, chứng minh; trò cố gắng tiếp thu nội dung khái niệm,nội dung định lý, hiểu chứng minh định lý, cố gắng tập vận dụng các côngthức, các định lý càng nhiều càng tốt Nhiều học trò giỏi thường thắc mắckhông biết giả thiết và kết luận của các bài toán ở đâu mà ra, ai nghĩ ra đầutiên và làm thế nào mà nghĩ ra được Nhà trường không hề dạy cho họ cách

“phát hiện vấn đề” để tự đề xuất ra các bài toán nên khi họ làm xong bài toán,chân trời của họ ít được mở rộng

Thay đổi cách dạy và học hiện nay là đặt người học ở vị trí trung tâm, tựmình phát hiện ra vấn đề, giải quyết vấn đề và đánh giá kết quả đã đạt được

Có thế qua lao động tìm tòi, sáng tạo ấy, không những tư duy của họ đượcphát triển mà họ còn có thêm lòng tự tin, sự hứng thú, ham muốn tìm tòi sángtạo Giáo viên lúc này đóng vai trò hướng dẫn quá trình lao động ấy

1.2 Phép biện chứng duy vật

1.2.1 Vai trò của phép biện chứng duy vật trong triết học

Định nghĩa khái quát về phép biện chứng duy vật, Ph Ăngghen chorằng : “ Phép biện chứng …là môn khoa học về những quy luật phổ biến của

sự vận động và phát triển của tự nhiên, của xã hội loài người và của tư duy”

Các nhà kinh điển của chủ nghĩa Mác – Lê Nin còn có một số địnhnghĩa khác về phép biện chứng duy vật Khi nhấn mạnh vai trò của nguyên lý

về mối liên hệ phổ biến, Ph Ăngghen đã định nghĩa : “ Phép biện chứng làkhoa học về sự liên hệ phổ biến ” ; còn khi nhấn mạnh vai trò của nguyên lý

về sự phát triển (trong đó có bao hàm học thuyết về sự phát triển của nhậnthức) trong phép biện chứng mà C.Mác đã kế thừa từ triết học của Hêghen,V.I.Lênin đã khẳng định : “ Trong số những thành quả đó thì thành quả chủyếu là phép biện chứng duy vật, tức là học thuyết về sự phát triển dưới hìnhthức hoàn bị nhất, sâu sắc nhất và không phiến diện, học thuyết về tính tươngđối của nhận thức của con người, nhận thức này phản ánh vật chất luôn luôn

phát triển không ngừng” (V.I.Lênin toàn tập, NXB tiến bộ, Matxcơva, 1980)

Phép biện chứng là một khoa học triết học, xét trên nhiều phương diện,

nó là hiện tượng có ý nghĩa thế giới quan rộng lớn như bản thân triết học Nhưvậy phép biện chứng hình thành, phát triển từ khi triết học ra đời, mà đỉnh cao

là triết học Mác – Lênin Phép biện chứng duy vật Mác – Lênin dựa trêntruyền thống tư tưởng biện chứng của nhiều thế kỉ, vạch ra những đặt trưngchung nhất của phép biện chứng khách quan, nghiên cứu những quy luật phổbiến của sự vận động và phát triển của tự nhiên, của xã hội loài người và của

tư duy

Phép biện chứng duy vật của chủ nghĩa Mac – Lênin có hai đặc trưng

cơ bản sau đây :

Một là, phép biện chứng duy vật của chủ nghĩa Mac – Lênin là phép biện chứng được xác lập trên nền tảng của thế giới quan duy vật khoa học.

Với đặc trưng này, phép biện chứng duy vật chẳng những có sự khác biệt căn

bản với phép biện chứng duy tâm cổ điển Đức, đặc biệt là với phép biệnchứng của Hêghen ( là phép biện chứng được xác lập trên nền tảng thế giớiquan duy tâm) mà còn có sự khác biệt về trình độ phát triển so với nhiều tưtưởng biện chứng đã từng có trong lịch sử triết học từ thời cổ đại (là phépbiện chứng về căn bản được xây dựng trên lập trường của chủ nghĩa duy vậtnhưng đó là chủ nghĩa duy vật còn ở trình độ trực quan, ngây thơ và chấtphác).

Hai là, trong phép biện chứng duy vật của chủ nghĩa Mác – Lênin có

sự thống nhất giữa nội dung thế giới quan (duy vật biện chứng) và phương pháp luận (biện chứng duy vật), do đó nó không dừng lại ở sự giải thích thế giới mà còn là công cụ để nhận thức thế giới và cải tạo thế giới Mỗi nguyên

lý, quy luật trong phép biện chứng duy vật của chủ nghĩa Mác – Lênin không

chỉ là sự giải thích đúng đắn về tính biện chứng của thế giới mà còn là

phương pháp luận khoa học của việc nhận thức và cải tạo thế giới Trên cơ sởkhái quát các mối liên hệ phổ biến và sự phát triển, những quy luật phổ biếncủa các quá trình vận động, phát triển của tất thảy mọi sự vật, hiện tượngtrong tự nhiên, xã hội và tư duy, phép biện chứng duy vật của chủ nghĩa Mác– Lê nin cung cấp những nguyên tắc phương pháp luận chung nhất cho quátrình nhận thức thế giới và cải tạo thế giới, đó không chỉ là nguyên tắcphương pháp luận khách quan mà còn là phương pháp luận toàn diện, pháttriển, lịch sử - cụ thể, phương pháp luận phân tích mâu thuẫn nhằm tìm ranguồn gốc, động lực cơ bản của các quá trình vận động, phát triển,…Với tưcách đó, phép biện chứng duy vật chính là công cụ khoa học vĩ đại để giai cấpcách mạng nhận thức và cải tạo thế giới

Với những đặc trưng cơ bản đó mà phép biện chứng duy vật giữ vai trò

là một nội dung đặc biệt quan trọng trong thế giới quan và phương pháp luậntriết học của chủ nghĩa Mác – Lênin, tạo nên tính khoa học và cách mạng củachủ nghĩa Mac – Lênin, đồng thời nó cũng là thế giới quan và phương phápluận chung nhất của hoạt động sáng tạo trong các lĩnh vực nghiên cứu khoahọc

1.2.2 Một số tri thức của phép biện chứng duy vật

1.2.2.1 Nguyên lý về mối liên hệ phổ biến

* Nội dung của nguyên lý :

Mọi sự vật hiện tượng của thế giới đều nằm trong mối liên hệ phổ biếnkhông có sự vật hiện tượng nào tồn tại một cách biệt lập mà chúng tác độnglẫn nhau, rằng buộc quy định và chuyển hoá lẫn nhau, các mối liên hệ trongmỗi tổng thể của nó quy định sự biến đổi của sự vật, khi các mối liên hệ thayđổi tất yếu sẽ dẫn đến thay đổi sự vật

Quan điểm biện chứng duy vật còn khẳng định tính khách quan và đadạng hoá của mối liên hệ giữa các sự vật, hiện tượng Mối liên hệ là kháchquan, là thống nhất vật chất của thế giới Tính đa dạng của mối liên hệ trựctiếp và gián tiếp; có mối liên hệ chung bao quát toàn bộ thế giới, có mối liên

hệ bao quát một số lĩnh vực hoặc một lĩnh vực riêng biệt của thế giới đó, cómối liên hệ bản chất và không bản chất, có mối liên hệ tất yếu và ngẫunhiên… các loại liên hệ khác nhau có vai trò khác nhau đối với sự vận động

và phát triển của sự vật về mối liên hệ cũng đòi hỏi phải thừa nhận tính tươngđối trong sự phân loại của các mối liên hệ

* Ý nghĩa của nguyên lý :

Từ nghiên cứu quan điểm duy vật biện chứng về mối liên hệ phổ biến

và có thể rút ra phương pháp luận khoa học để nhận thức và cải tạo hiệnthực.Vì bất cứ sự vật hiện tượng nào trong thế giới đều tồn tại trong mối liên

hệ với các sự vật khác và mối liên hệ rất đa dạng phong phú, do đó khi nhậnthức về sự vật, hiện tượng chúng ta phải có quan điểm toàn diện, tránh quanđiểm phiến diện chỉ xét sự vật, hiện tượng ở một mối liên hệ đã vội vàng kếtluận về bản chất hay về tính quy luật của chúng

Quan điểm toàn diện đòi hỏi chúng ta nhận thức về sự vật trong mốiliên hệ qua lại giữa các bộ phận, giữa các yếu tố, giữa các mặt của chính sựvật và trong sự tác động qua lại giữa sự vật đó với các sự vật khác, kể cả mốiliên hệ trực tiếp và mối liên hệ gián tiếp Chỉ trên cơ sở đó mới có thể nhậnthức đúng về sự vật Chẳng hạn, khi giải một bài toán hình học không gian

cần phải đặt các yếu tố hình học có trong bài toán (điểm, đường thẳng, mặtphẳng, góc giữa hai đường thẳng, …) trong mối liên hệ với nhau, với các yếu

tố khác không có trong đề bài toán, liên hệ với các yếu tố từ thực tiễn để làm

rõ quy luật, bản chất các mối liên hệ của bài toán từ đó mới tìm ra hướng giảibài toán

Cần phải biết phân biệt các mối liên hệ, phải biết chú ý đến các mối liên

hệ bên trong, mối liên hệ bản chất, mối liên hệ chủ yếu, mối liên hệ tấtnhiên Trong hoạt động thực tế, theo quan điểm toàn diện, khi tác động vào

sự vật, chúng ta không những phải chú ý tới những mối liên hệ nội tại của nó

mà còn phải chú ý tới những mối liên hệ của sự vật ấy với các sự vật khácchẳng hạn mối liên hệ giữa Toán học và Vật lý trong việc sử dụng kiến thức

về đạo hàm (đại số và giải tích 11) của Toán học để giải quyết yêu cầu tìmvận tốc tức thời trong môn Vật lý

1.2.2.2 Nguyên lý về sự phát triển:

* Nội dung của nguyên lý :

Trái với quan điểm siêu hình xem xét sự phát triển chỉ là sự tăng lên haygiảm đi đơn thuần về mặt lượng, không có sự thay đổi về chất của sự vật, hiệntượng, quan điểm biện chứng khẳng định sự phát triển là một quá trình tiếnlên từ thấp đến cao Quá trình đó diễn ra vừa dần dần vừa nhảy vọt, đưa tới sự

ra đời của cái mới thay thế cái cũ Dù trong hiện thực khách quan hay trong tưduy, sự phát triển diễn ra không phải lúc nào cũng theo đường thẳng mà rấtquanh co, phức tạp, thậm chí có thể có những bước lùi tạm thời

Theo quan điểm biện chứng, sự phát triển là kết quả của quá trình thay đổidần dần về lượng dẫn đến sự thay đổi về chất, là quá trình diễn ra theo đườngxoáy ốc Điều đó có nghĩa là quá trình phát triển dường như sự vật ấy quaytrở về điểm khởi đầu song trên cơ sở mới cao hơn

Sự phát triển không bao quát toàn bộ sự vận động nói chung Nó chỉ kháiquát xu hướng chung của sự vận động, xu hướng vận động đi lên của sự vật,

sự vật mới ra đời thay thế cho sự vật cũ Sự phát triển chỉ là trường hợp đặc

biệt của sự vận động Trong quá trình phát triển, sự vật sẽ hình thành nhữngquy định mới cao hơn về chất, sẽ làm thay đổi mối liên hệ, cơ cấu, phươngthức tồn tại và vận động của mình.

Sự phát triển bao giờ cũng mang tính khách quan Bởi vì như trên đãphân tích, theo quan điểm duy vật biện chứng, nguồn gốc của sự phát triểnnằm ngay trong bản thân sự vật Đó là quá trình giải quyết liên tục những mâuthuẫn nảy sinh trong sự tồn tại và vận động của sự vật, nhờ đó sự vật luônluôn phát triển Vì thế, sự phát triển là tiến trình khách quan, không phụ thuộcvào ý muốn, nguyện vọng, ý chí, ý thức con người Dù con người có muốnhay không muốn, sự vật vẫn phát triển theo khuynh hướng chung nhất của thếgiới vật chất

Sự phát triển mang tính phổ biến vì nó diễn ra ở mọi lĩnh vực của tựnhiên, xã hội và tư duy, ở bất cứ sự vật hiện tượng nào của thế giới kháchquan Ngay cả các khái niệm, các phạm trù phản ánh hiện thực cũng nằmtrong quá trình vận động và phát triển, hoặc đúng hơn, mọi hình thức của tưduy cũng luôn phát triển Ngoài tính khách quan và tính phổ biến, sự pháttriển còn có tính đa dạng phong phú Khuynh hướng phát triển là khuynhhướng chung của mọi sự vật, mọi hiện tượng, song mỗi sự vật hiện tượng lại

có quá trình phát triển không giống nhau, tồn tại ở không gian khác nhau, ởthời gian khác nhau Đồng thời trong quá trình phát triển của mình, sự vật cònchịu sự tác động của các hiện tượng khác, của rất nhiều yếu tố khác Sự tácđộng đó có thể thúc đẩy hoặc kìm hãm sự phát triển của sự vật, đôi khi có thểlàm thay đổi chiều hướng của phát triển của sự vật, thậm chí làm cho sự vậtthụt lùi

* Ý nghĩa của nguyên lý :

Quan điểm phát triển đòi hỏi không chỉ nắm bắt những cái hiện đang tồntại ở sự vật, mà còn phải thấy rõ khuynh hướng phát triển trong tương lai củachúng, phải thấy được những biến đổi đi lên cũng như những biến đổi có tínhchất thụt lùi Song điều cơ bản là phải khái quát những biến đổi để vạch ra

khuynh hướng biến đổi chính của sự vật Chẳng hạn việc mở rộng các tập hợp

số (từ số tự nhiên đến số phức) là một quá trình phát triển của toán học,tương ứng với việc ra đời một tập hợp số mới đó là việc giải quyết thành côngnhững yêu cầu bức thiết từ thực tiễn đồng thời cũng tương ứng với sự pháttriển đi lên của xã hội loài người

Xem xét sự vật theo quan điểm phát triển còn phải biết phân chia quátrình phát triển của sự vật ấy thành những giai đoạn Trên cơ sở ấy để tìm raphương pháp nhận thức và cách tác động phù hợp nhằm thúc đẩy sự vật tiếntriển nhanh hơn hoặc kìm hãm sự phát triển của nó, tuỳ theo sự phát triển đó

có lợi hay có hại đối với đời sống của con người

Quan điểm phát triển góp phần khắc phục tư tưởng bảo thủ, trì trệ, địnhkiến trong hoạt động nhận thức và hoạt động thực tiễn của chúng ta Nếuchúng ta tuyệt đối hoá nhận thức, nhất là nhận thức khoa học về sự vật hayhiện tượng nào đó thì các khoa học tự nhiên, khoa học xã hội và nhân văn sẽkhông thể phát triển và thực tiễn sẽ dậm chân tại chỗ

Quan điểm lịch sử cụ thể đòi hỏi chúng ta khi nhận thức về sự vật và tácđộng vào sự vật phải chú ý điều kiện, hoàn cảnh lịch sử - cụ thể, môi trường

cụ thể trong đó sự vật sinh ra tồn tại và phát triển Một luận điểm nào đó làluận điểm khoa học trong điều kiện này nhưng sẽ không phải là luận điểmkhoa học trong điều kiện khác Chẳng hạn, phương trình x2  1  0 không cónghiệm trong tập số thực nhưng lại có nghiệm trong tập số phức

1.2.2.3 Quy luật thống nhất và đấu tranh giữa các mặt đối lập

“Mặt đối lập là những mặt có những đặc điểm, những thuộc tính, nhữngtính quy định có khuynh hướng biến đổi trái ngược nhau tồn tại một cáchkhách quan trong tự nhiên, xã hội và tư duy Sự tồn tại của các mặt đối lập làkhách quan và là phổ biến trong tất cả các sự vật”3, tr 275

Tất cả sự vật trên thế giới chúng ta đều chứa những mặt trái ngượcnhau, chẳng hạn như trong sinh học thì có đồng hoá và dị hoá, trong hình học

thì có Hình học Ơclit và Hình học phi Ơclit những mặt mâu thuẫn đó có mốiquan hệ biện chứng với nhau

Hêghen khẳng định: mâu thuẫn là nguồn gốc của tất cả mọi vận động

và của tất cả mọi sức sống, chỉ trong chừng mực một vật chứa đựng trongbản thân nó một mâu thuẫn thì nó mới vận động, mới có xung lực và hoạtđộng Giữa các mặt đối lập bao giờ cũng có những nhân tố giống nhau.Chẳng hạn xét về nguyên liệu cấu thành cực bắc và cực nam của nam châm

là giống nhau Chủ nghĩa tư bản và thời kì qúa độ lên Chủ nghĩa xã hội là hai

xã hội đối lập, thế nhưng trong cả hai xã hội đó đều tồn tại kinh tế thị trường Tóm lại có thể nêu thực chất quy luật thống nhất và đấu tranh giữa cácmặt đối lập: mọi sự vật và hiện tượng đều có những mâu thuẫn, những mặt,những khuynh hướng đối lập trong bản thân mình, các mặt, các khuynhhướng đối lập đó nằm trong trạng thái qua lại tạo thành xung lực nội tại của

sự vận động, phát triển dẫn đến sự mất đi của cái cũ và sự ra đời của cái mới Toán học phát triển theo quy luật thống nhất biện chứng giữa hai mặtđối lập Hai mặt đối lập đó là: một mặt càng phát triển càng khái quát, càngtrừu tượng, mặt khác càng phát triển lại càng nâng cao thêm khả năng ứngdụng cụ thể, chẳng hạn từ Hình học Ơclit phát triển thành Hình học phi Ơclitquay trở lại ứng dụng cho lí thuyết tương đối trong Vật lí

Như vậy, việc nghiên cứu quy luật thống nhất và đấu tranh của các mặtđối lập có ý nghĩa quan trọng trong nhận thức và hoạt động thực tiễn, muốnphát hiện ra mâu thuẫn phải tìm ra trong thể thống nhất những mặt nhữngkhuynh hướng trái ngược nhau, trong sự tác động qua lại giữa các sự vật vàhiện tượng, mà như V I Lênin đã viết “Sự phân đôi của cái thống nhất và sựnhận thức của các bộ phận của nó, đó là thực chất của phép biện chứng ”

3, tr 281

1.2.2.4 Quy luật phủ định của phủ định

“Sự phủ định là sự thay thế sự vật này bằng sự vật khác trong quá trìnhvận động và phát triển” 3, tr 275 Phủ định biện chứng nói lên một giaiđoạn, một nấc thang trong quá trình phát triển, với tư cách là kết quả của phủđịnh lần thứ nhất, cái mới cũng chứa đựng trong bản thân của mình xu hướngdẫn tới phủ định lần tiếp theo– phủ định của phủ định Chỉ có thông qua phủđịnh của phủ định mới dẫn tới việc ra đời một sự vật, trong đó có sự lặp lạimột số đặc trưng cơ bản của cái xuất phát ban đầu, nhưng trên cơ sở cao hơnđến đây một chu kì phát triển được kết thúc Khái quát một chu kì phát triển

đó tạo thành nội dung cơ bản của quy luật phủ định của phủ định

Sự phát triển biện chứng thông qua những lần phủ định biện chứng- nhưtrên đã nói là sự thống nhất giữa loại bỏ, kế thừa và phát triển Một lần phủđịnh biện chứng được thực hiện sẽ mang tới những nhân tố tích cực mới Do

đó, sự phát triển thông qua những lần phủ định biện chứng sẽ tạo ra xu hướngtiến lên không ngừng

Diễn tả quy luật phủ định của phủ định bằng đường xoáy trôn ốc chính

là hình thức cho phép biểu đạt rõ ràng nhất của các đặc trưng của quá trìnhphát triển biện chứng: tính kế thừa, tính lặp lại nhưng không quay trở lại vàtính chất tiến lên của sự phát triển mỗi vòng mới của đường xoáy trôn ốc thểhiện một trình độ cao hơn của sự phát triển, đồng thời dường như quay lại cái

đã qua, dường như lặp lại vòng trước, sự nối tiếp nhau của các vòng thể hiệntính vô tận của sự phát triển từ thấp lên cao

“Xoáy trôn ốc” cũng là một trong những hình thức trình bày các chủ đề

trong môn Toán của trường phổ thông nghĩa là một vấn đề nào đó được lặp

đi lặp lại chứ không chỉ học một lần mà thôi, chẳng hạn khái niệm hàm số ởlớp 7 và khái niệm hàm số ở lớp 10, khái niệm phương trình ở lớp 8 và khái

niệm phương trình ở lớp Trung học phổ thông, định nghĩa tỉ số lượng giác ởlớp 9 và tỉ số lượng giác ở lớp 10 Cần phải hiểu rằng quy luật phủ định tronghoàn cảnh này không có nghĩa là kiến thức lớp sau chống lại và mâu thuẫnvới kiến thức lớp trước mà chỉ là chỉ là sự hoàn thiện, chính xác hoá và trừutượng hoá với văn phong chặt chẽ và tường minh hơn.

Chúng ta có thể hiểu tinh thần cơ bản của quy luật phủ định của phủ địnhnhư sau: Quy luật này nói lên mối liên hệ, sự kế thừa giữa cái bị phủ định vàcái phủ định, do sự kế thừa đó phủ định biện chứng không phải là sự phủđịnh sạch trơn bác bỏ tất cả sự phát triển trước đó, mà là điều kiện cho sựphát triển nó duy trì và giữ gìn nội dung tích cực của các giai đoạn trước lặplại một số đặc điểm cơ bản của cái xuất phát nhưng trên cơ sở mới cao hơn

Do vậy, quy luật phủ định của phủ định nêu lên mối liên hệ, sự kếthừa, giữa cái khẳng định và cái phủ định cho sự phát triển, nó bảo tồn nộidung tích cực của các giai đoạn có trước và bổ sung thêm những thuộc tínhmới làm cho sự phát triển có tính chất tiến lên, không phải theo đường thẳng

mà theo đường “xoáy ốc”

1.2.2.5 Quy luật chuyển hoá từ những sự thay đổi về lượng thành những

sự thay đổi về chất và ngược lại

Trước hết ta cần nắm được khái niệm về “chất’’ và “lượng”: theo giáo trình triết học Mác- Lênin, thì “Chất” là phạm trù triết học dùng để chỉ

tính quy định khách quan vốn có của sự vật, là sự thống nhất hữu cơ củanhững thuộc tính làm cho sự vật là chính nó chứ không phải cái khác;

“Lượng” là phạm trù triết học dùng để chỉ tính quy định vốn có của sự vật về

mặt số lượng, quy mô, trình độ, nhịp điệu của sự vận động và phát triển cũngnhư các thuộc tính của sự vật 3, tr 264-266

Trong tự nhiên và trong xã hội có không ít sự vật mà xét riêng về cácyếu tố cấu thành chúng hoàn toàn đồng nhất nhưng các sự vật đó lại khácnhau về chất Ví dụ: kim cương và than chì đều do các bon tạo thành thếnhưng có sự khác biệt căn bản về chất.

Trong quá trình vận động và phát triển của sự vật chất và lượng đềubiến đổi nhưng không phải bất kì sự thay đổi nào lượng cũng ngay lập tứclàm thay đổi về chất

Bất kì sự vật nào cũng là sự thống nhất giữa chất và lượng, sự thay đổidần dần về lượng vượt qua giới hạn của nó sẽ dẫn tới sự thay đổi về chấtthông qua “bước nhảy” và chất mới ra đời dẫn đến sự thay đổi của lượng

Chẳng hạn nguyên hàm của hàm xm nói chung là

Tuy nhiên khi m

biến đổi thành –1 thì nguyên hàm ấy lại trở thành lnx (ở đây có sự biến đổi từhàm đại số sang hàm siêu việt), trong Hình học độ cong dương giãm dần rồitriệt tiêu và chuyển thành độ cong âm Sự thay đổi từ từ đó của độ cong khiđạt đến giới hạn độ cong bằng không thì xảy ra một sự đột biến tạo nên sựthay đổi về chất đang từ Hình học Ơclit rồi thành Hình học Hipecpôlic Bảnthân Hình học Ơclit và Hình học Lôbasepxki là mâu thuẫn với nhau, vì dựavào hai hệ tiên đề trái ngược nhau nhưng lại thống nhất với nhau ở chỗ Hìnhhọc Ơclit là giới hạn của Hình học Lôbasepxki khi bán kính dần tới không Hàm số đồng biến trong khoảng này nhưng lại có thể nghịch biến trongkhoảng kia, biện luận phương trình và bất phương trình thì tập nghiệm phụthuộc vào tham biến

Như vậy sự thay đổi về chất dẫn đến sự thay đổi về lượng và ngược lại,

nó phụ thuộc vào sự thay đổi phương thức liên kết giữa các yếu tố tạo thành

sự vật Do đó trong quá trình hoạt động phải biết cách tác động vào phương

thức liên kết giữa các yếu tố tạo thành sự vật trên cơ sở hiểu rõ bản chất, quyluật kết cấu của sự vật đó.

1.2.2.6 Cặp phạm trù cái chung, cái riêng

Phép biện chứng duy vật quan niệm:

- Cái riêng là phạm trù triết học dùng để chỉ một sự vật, một hiện tượng,một quá trình riêng lẻ nhất định

- Cái chung là phạm trù triết học dùng để chỉ những thuộc tính chungkhông những có ở một kết cấu vật chất nhất định, mà còn được lặp lại trongnhiều sự vật, hiện tượng hay quá trình riêng lẻ khác

Phép biện chứng duy vật cho rằng cái riêng, cái chung đều tồn tại kháchquan, giữa chúng có mối liên hệ hữu cơ với nhau Điều đó thể hiện ở chỗ:Thứ nhất, cái chung chỉ tồn tại trong cái riêng, thông qua cái riêng mà biểuhiện sự tồn tại của mình Nghĩa là không có cái chung thuần tuý tồn tại bênngoài cái riêng Thứ hai, cái riêng chỉ tồn tại trong mối liên hệ với cái chung.Nghĩa là không có cái riêng nào tồn tại tuyệt đối độc lập, không có liên hệ vớicái chung Thí dụ, mỗi con người là một cái riêng, nhưng mỗi con ngườikhông thể tồn tại ngoài mối liên hệ với xã hội và tự nhiên Không cá nhân nàokhông chịu sự tác động của các quy luật sinh học và các quy luật xã hội Đó lànhững cái chung trong mỗi con người Thứ ba, cái riêng là cái toàn bộ, phongphú hơn cái chung; cái chung là cái bộ phận, nhưng sâu sắc hơn cái riêng Cáiriêng phong phú hơn cái chung vì ngoài những đặc điểm chung, cái riêng còn

có cái đơn nhất Thí dụ, hình lập phương bên cạnh cái chung với các hìnhlăng trụ tứ giác (hai mặt đáy là những tứ giác bằng nhau, nằm trên hai mặtphẳng song song; các mặt bên là các hình bình hành…)còn có đặc điểm riêng

Thứ tư, cái đơn nhất và cái chung có thể chuyển hóa lẫn nhau trong quátrình phát triển của sự vật Sở dĩ như vậy là vì trong hiện thực cái mới bao giờcũng xuất hiện dưới dạng cái đơn nhất Về sau theo quy luật, cái mới hoànthiện dần và thay thế cái cũ, trở thành cái chung, cái phổ biến, nhưng về saunữa, khi không phù hợp với điều kiện mới mà bị mất dần đi và trở thành cáiđơn nhất Như vậy sự chuyển hóa từ cái đơn nhất thành cái chung là biểu hiệncủa quá trình cái mới ra đời thay thế cái cũ Ngược lại sự chuyển hoá từ cáichung thành cái đơn nhất là biểu hiện của quá trình cái cũ, cái lỗi thời bị phủđịnh.

1.2.2.7 Cặp phạm trù nguyên nhân và kết quả

Phạm trù nguyên nhân và kết quả phản ánh mối quan hệ sản sinh ra nhaugiữa các sự vật, hiện tượng trong hiện thực khách quan

- Nguyên nhân là phạm trù chỉ sự tác động lẫn nhau giữa các mặt trongmột sự vật hoặc giữa các sự vật với nhau, gây ra một biến đổi nhất định nàođó

- Kết quả là những biến đổi xuất hiện do tác động lẫn nhau giữa các mặttrong một sự vật hoặc giữa các sư vật với nhau gây ra

Phép biện chứng duy vật khẳng định mối liên hệ nhân quả có tính kháchquan, tính phổ biến, tính tất yếu Tính khách quan thể hiện ở chỗ: mối liên hệnhân quả là cái vốn có của bản thân sự vật, không phụ thuộc vào ý thức củacon người Dù con người biết hay không biết, thì các sự vật vẫn tác động lẫnnhau và sự tác động đó tất yếu gây nên biến đổi nhất định Con người chỉphản ánh vào trong đầu óc mình những tác động và những biến đổi, tức là mốiliên hệ nhân quả của hiện thực, chứ không sáng tạo ra mối liên hệ nhân quảcủa hiện thực từ trong đầu mình Quan điểm duy tâm không thừa nhận mốiliên hệ nhân quả tồn tại khách quan trong bản thân sự vật Họ cho rằng, mốiliên hệ nhân quả là do Thượng đế sinh ra hoặc do cảm giác con người quyđịnh

Tính phổ biến thể hiện ở chỗ: mọi sự vật, hiện tượng trong tự nhiên vàtrong xã hội đều có nguyên nhân nhất định gây ra Không có hiện tượng nàokhông có nguyên nhân, chỉ có điều là nguyên nhân đó đã được nhận thức haychưa mà thôi Không nên đồng nhất vấn đề nhận thức của con người về mốiliên hệ nhân quả với vấn đề tồn tại của mối liên hệ đó trong hiện thực.

Tính tất yếu thể hiện ở chỗ: cùng một nguyên nhân nhất định, trong nhữngđiều kiện giống nhau sẽ gây ra kết quả như nhau Tuy nhiên trong thực tếkhông thể có sự vật nào tồn tại trong những điều kiện, hoàn cảnh hoàn toàngiống nhau Do vậy tính tất yếu của mối liên hệ nhân quả trên thực tế phảiđược hiểu là: Nguyên nhân tác động trong những điều kiện và hoàn cảnh càng

ít khác nhau bao nhiêu thì kết quả do chúng gây ra càng giống nhau bấynhiêu

Nguyên nhân là cái sinh ra kết quả, nên nguyên nhân luôn luôn có trướckết quả, còn kết quả bao giờ cũng xuất hiện sau khi nguyên nhân đã xuất hiện.Tuy nhiên không phải hai hiện tượng nào nối tiếp nhau về mặt thời gian cũng

là quan hệ nhân quả Thí dụ, ngày kế tiếp đêm, mùa hè kế tiếp mùa xuân, sấm

kế tiếp chớp,v.v, nhưng không phải đêm là nguyên nhân của ngày, mùa xuân

là nguyên nhân của mùa hè, chớp là nguyên nhân của sấm, v,v Cái phân biệtquan hệ nhân quả với quan hệ kế tiếp về mặt thời gian là ở chỗ nguyên nhân

và kết quả có quan hệ sản sinh ra nhau Nguyên nhân sinh ra kết quả rất phứctạp, bởi vì nó còn phụ thuộc vào nhiều điều kiện và hoàn cảnh khác nhau Mộtkết quả có thể do nhiều nguyên nhân sinh ra Thí dụ, nguyên nhân của mấtmùa có thể do hạn hán, có thể do lũ lụt, có thể do sâu bệnh, có thể do chămbón không đúng kỹ thuật, v.v Mặt khác, một nguyên nhân trong những điềukiện khác nhau cũng có thể sinh ra những kết quả khác nhau Thí dụ, một mặtphẳng cắt hình chóp S.ABCD thì thiết diện tạo thành có thể là một tam giác,

tứ giác hay ngũ giác Nếu nhiều nguyên nhân cùng tồn tại và tác động cùngchiều trong một sự vật thì chúng sẽ gây ảnh hưởng cùng chiều đến sự hìnhthành kết quả, làm cho kết quả xuất hiện nhanh hơn Ngược lại nếu những

nguyên nhân tác động đồng thời theo các hướng khác nhau, thì sẽ cản trở tácdụng của nhau, thậm chí triệt tiêu tác dụng của nhau Điều đó sẽ ngăn cản sựxuất hiện của kết quả

Kết quả do nguyên nhân sinh ra, nhưng sau khi xuất hiện, kết quả lại cóảnh hưởng trở lại đối với nguyên nhân Sự ảnh hưởng đó có thể diễn ra theohai hướng: Thúc đẩy sự hoạt động của nguyên nhân (hướng tích cực), hoặccản trở sự hoạt động của nguyên nhân (hướng tiêu cực) Thí dụ, trình độ dântrí thấp do kinh tế kém phát triển, ít đầu tư cho giáo dục Nhưng dân trí thấplại là nhân tố cản trở việc áp dụng tiến bộ khoa học kỹ thuật vào sản xuất, vìvậy lại kìm hãm sản xuất phát triển Ngược lại, trình độ dân trí cao là kết quảcủa chính sách phát triển kinh tế và giáo dục đúng đắn Đến lượt nó, dân trícao lại tác động tích cực đến sự phát triển kinh tế và giáo dục

Nguyên nhân và kết quả có thể thay đổi vị trí cho nhau, điều này cónghĩa là một sự vật, hiện tượng nào đó trong mối quan hệ này là nguyên nhân,nhưng trong mối quan hệ khác lại là kết quả và ngược lại Vì vậy,Ph.Ăngghen nhận xét rằng: Nguyên nhân và kết quả là những khái niệm chỉ

có ý nghĩa là nguyên nhân và kết quả khi được áp dụng vào một trường hợpriêng biệt nhất định Chuỗi nhân quả là vô cùng, không có bắt đầu và không

có kết thúc Một hiện tượng nào đấy được coi là nguyên nhân hay kết quả baogiờ cũng ở trong một quan hệ xác định cụ thể

1.2.2.8 Cặp phạm trù tất nhiên và ngẫu nhiên

- Tất nhiên (tất yếu) là cái do những nguyên nhân cơ bản bên trong củakết cấu vật chất quyết định và trong điều kiện nhất định nó phải xảy ra nhưthế chứ không thể khác được

- Ngẫu nhiên là cái không do mối liên hệ bản chất, bên trong kết cấu vậtchất, bên trong sự vật quyết định mà do các nhân tố bên ngoài, do sự ngẫuhợp nhiều hoàn cảnh bên ngoài quyết định Do đó nó có thể xuất hiện, có thểkhông xuất hiện, có thể xuất hiện như thế này, hoặc có thể xuất hiện như thếkhác

Thí dụ gieo một con xúc sắc sẽ có một trong sáu mặt úp và một trongsáu mặt ngửa là tất nhiên, nhưng mặt nào sấp, mặt nào ngửa ở mỗi lần gieo lại

là ngẫu nhiên

Tất nhiên và ngẫu nhiên đều tồn tại khách quan, độc lập với ý thức củacon người và đều có vị trí nhất định đối với sự phát triển của sự vậtKhông phải chỉ có cái tất nhiên mới đóng vai trò quan trọng mà cả tất nhiên

và ngẫu nhiên đều có vai trò quan trọng Nếu cái tất nhiên có tác dụng chiphối sự phát triển của sự vật thì cái ngẫu nhiên có tác dụng làm cho sự pháttriển của sự vật diễn ra nhanh hoặc chậm

Tất nhiên và ngẫu nhiên đều tồn tại, nhưng chúng không tồn tại biệt lậpdưới dạng thuần tuý cũng như không có cái ngẫu nhiên thuần túy.Tất nhiên vàngẫu nhiên tồn tại trong sự thống nhất hữu cơ với nhau Sự thống nhất hữu cơnày thể hiện ở chỗ: cái tất nhiên bao giờ cũng thể hiện sự tồn tại của mìnhthông qua vô số cái ngẫu nhiên, còn cái ngẫu nhiên là hình thức biểu hiện củacái tất nhiên, đồng thời là cái bổ sung cho cái tất nhiên

Ph.Ăngghen nhận xét: sự xuất hiện các nhân vật xuất sắc trong lịch sử

là tất nhiên do nhu cầu xã hội phải giải quyết những nhiệm vụ chín muồi củalịch sử tạo nên Nhưng nhân vật đó là ai lại không phải cái tất nhiên, vì cái đókhông phụ thuộc vào tiến trình chung của lịch sử Nếu gạt bỏ nhân vật này thìnhân vật khác sẽ xuất hiện thay thế Người thay thế này có thể tốt hơn hoặcxấu hơn, nhưng cuối cùng nhất định nó phải xuất hiện Như vậy ở đây cái tấtyếu như là khuynh hướng chung của sự phát triển Khuynh hướng đó khôngtồn tại thuần tuý, biệt lập, mà được thể hiện dưới hình thức cái ngẫu nhiên.Cái ngẫu nhiên cũng không tồn tại thuần tuý mà luôn là hình thức thể hiện củacái tất nhiên Trong cái ngẫu nhiên ẩn giấu cái tất yếu

Tất nhiên và ngẫu nhiên có thể chuyển hoá cho nhau Tất nhiên và ngẫunhiên không nằm yên ở trạng thái cũ mà thay đổi cùng với sự thay đổi của sựvật và trong những điều kiện nhất định tất nhiên có thể chuyển hoá thànhngẫu nhiên và ngược lại Sự chuyển hoá giữa tất nhiên và ngẫu nhiên còn thể

hiện ở chỗ, khi xem xét trong mối quan hệ này, thông qua mặt này thì sự vật,hiện tượng đó là cái tất yếu Như vậy, ranh giới giữa tất nhiên và ngẫu nhiênchỉ có ý nghĩa tương đối.

Nội dung và hình thức luôn gắn bó chặt chẽ với nhau trong một thể thốngnhất Không có hình thức nào tồn tại thuần túy không chứa đựng nội dung,ngược lại cũng không có nội dung nào lại không tồn tại trong một hình thứcxác định Nội dung nào có hình thức đó

Nội dung và hình thức không tồn tại tách rời nhau, nhưng không phải vìthế mà lúc nào nội dung và hình thức cũng phù hợp với nhau Không phải mộtnội dung bao giờ cũng chỉ được thể hiện ra trong một hình thức nhất định, vàmột hình thức luôn chỉ chứa một nội dung nhất định, mà một nội dung trongquá trình phát triển có thể có nhiều hình thức thể hiện, ngược lại, một hìnhthức có thể thể hiện nhiều nội dung khác nhau Nội dung giữ vai trò quyếtđịnh đối với hình thức trong quá trình vận động phát triển của sự vật vìkhuynh hướng chủ đạo của nội dung là biến đổi, còn khuynh hướng chủ đạocủa hình thức là tương đối bền vững, chậm biến đổi hơn so với nội dung.Dưới sự tác động lẫn nhau của những mặt trong sự vật, hoặc giữa các sự vậtvới nhau trước hết làm cho các yếu tố của nội dung biến đổi trước còn nhữngmối liên kết giữa các yếu tố của nội dung, tức hình thức thì chưa biến đổingay, vì vậy hình thức sẽ trở nên lạc hậu hơn so với nội dung và sẽ trở thànhnhân tố kìm hãm nội dung phát triển Để sự vật phát triển được, đến một lúc

nào đó, hình thức nhất định phải thay đổi cho phù hợp với sự phát triển củanội dung

Hình thức do nội dung quyết định nhưng hình thức có tính độc lập tươngđối và tác động trở lại nội dung Sự tác động của hình thức đến nội dung thểhiện ở chỗ: Nếu phù hợp với nội dung thì hình thức sẽ tạo điều kiện thuận lợithúc đẩy nội dung phát triển; nếu không phù hợp với nội dung thì hình thức sẽngăn cản, kìm hãm sự phát triển của nội dung

1.2.2.10 Bản chất và hiện tượng

- Bản chất là tổng hợp tất cả những mặt, những mối liên hệ tất nhiên,tương đối ổn định bên trong sự vật, quy định sự vận động và phát triển của sựvật

- Hiện tượng là biểu hiện ra bên ngoài của bản chất

Chủ nghĩa duy vật biện chứng cho rằng, cả bản chất và hiện tượng đềutồn tại khách quan là cái vốn có của sự vật không do ai sáng tạo ra, bởi vì sựvật nào cũng được tạo nên từ những yếu tố nhất định Những yếu tố này liênkết với nhau bằng những mối liên hệ khách quan, đan xen, chằng chịt Trong

đó có những mối liên hệ tất nhiên, tương đối ổn định Những mối liên hệ tấtnhiên đó tạo thành bản chất của sự vật; hiện tượng là biểu hiện ra bên ngoàicủa bản chất, cũng là cái khách quan không phải do cảm giác của chủ quancon người quyết định

Chủ nghĩa duy vật biện chứng không chỉ thừa nhận sự tồn tại khách quancủa bản chất và hiện tượng, mà còn cho rằng, giữa bản chất và hiện tượng cóquan hệ biện chứng vừa thống nhất gắn bó chặt chẽ với nhau, vừa mâu thuẫnđối lập nhau

Sự thống nhất giữa bản chất và hiện tượng trước hết thể hiện ở chỗ bảnchất luôn luôn được bộc lộ ra qua hiện tượng; còn hiện tượng nào cũng là sựbiểu hiện của bản chất ở mức độ nhất định Không có bản chất nào tồn tạithuần túy ngoài hiện tượng; đồng thời cũng không có hiện tượng nào hoàn

toàn không biểu hiện bản chất V.I Lênin viết: "Bản chất hiện ra, hiện tượng

là có tính bản chất"

Sự thống nhất giữa bản chất và hiện tượng còn thể hiện ở chỗ bản chất vàhiện tượng về căn bản là phù hợp với nhau Bản chất được bộc lộ ra ở nhữnghiện tượng tương ứng Bản chất nào thì có hiện tượng ấy, bản chất khác nhau

sẽ bộc lộ ở những hiện tượng khác nhau Bản chất thay đổi thì hiện tượngbiểu hiện nó cũng thay đổi theo Khi bản chất biến mất thì hiện tượng biểuhiện nó cũng mất theo

Tính chất mâu thuẫn của sự thống nhất giữa bản chất và hiện tượngBản chất và hiện tượng thống nhất với nhau, nhưng đây là sự thống nhất củahai mặt đối lập Do vậy không phải bản chất và hiện tượng phù hợp nhauhoàn toàn mà luôn bao hàm cả sự mâu thuẫn nhau Mâu thuẫn này thể hiện ởchỗ: Bản chất phản ánh cái chung, cái tất yếu, quyết định sự tồn tại và pháttriển của sự vật, còn hiện tượng phản ánh cái riêng, cái cá biệt Vì vậy hiệntượng phong phú hơn bản chất, còn bản chất sâu sắc hơn hiện tượng Bản chất

là cái tương đối ổn định, ít biến đổi, còn hiện tượng là cái thường xuyên biếnđổi V.I Lênin viết: "Cái không bản chất, cái bề ngoài, cái trên mặt thườngbiến mất, không bám "chắc", không "ngồi vững" bằng "bản chất"

Mâu thuẫn giữa bản chất và hiện tượng còn thể hiện ở chỗ, bản chất làmặt bên trong ẩn giấu sâu xa của hiện thực khách quan; còn hiện tượng là mặtbên ngoài của hiện thực khách quan đó Bản chất không được biểu lộ hoàntoàn ở một hiện tượng mà biểu hiện ở rất nhiều hiện tượng khác nhau Hiệntượng không biểu hiện hoàn toàn bản chất mà chỉ biểu hiện một khía cạnh củabản chất, biểu hiện bản chất dưới hình thức đã biến đổi, nhiều khi xuyên tạcbản chất

1.2.2.11 Khả năng và hiện thực

- Phạm trù hiện thực được dùng để phản ánh những gì hiện có, hiệnđang tồn tại thực sự

- Phạm trù khả năng được dùng để chỉ những gì hiện chưa có, nhưng sẽ

có, sẽ tới khi có các điều kiện tương ứng

Ngoài những khả năng vốn sẵn có, trong những điều kiện mới thì sự vật

sẽ xuất hiện thêm những khả năng mới, đồng thời bản thân mỗi khả năngcũng thay đổi theo sự thay đổi của điều kiện Để khả năng biến thành hiệnthực, thường cần không phải chỉ một điều kiện mà là một tập hợp nhiều điềukiện Trong đời sống xã hội, hoạt động có ý thức của con người có vai trò hếtsức to lớn trong việc biến khả năng thành hiện thực Nó có thể đẩy nhanhhoặc kìm hãm quá trình biến khả năng thành hiện thực; có thể điều khiển khảnăng phát triển theo chiều hướng nhất định bằng cách tạo ra những điều kiệntương ứng Không thấy vai trò của nhân tố chủ quan của con người sẽ rơi vàosai lầm hữu khuynh chịu bó tay, khuất phục trước hoàn cảnh Tuy nhiên cũngkhông được tuyệt đối vai trò của nhân tố chủ quan mà xem thường nhữngđiều kiện khách quan Như vậy chúng ta dễ rơi vào sai lầm chủ quan, mạohiểm, duy ý chí

1.2.3 Phát triển tư duy biện chứng cho học sinh

Thuật ngữ tư duy biện chứng xuất hiện nhiều lần trên các sách báo tạpchí và ấn phẩm khoa học, tuy nhiên hầu như chưa có một tài liệu nào đưa ramột định nghĩa tường minh về loại hình tư duy này Có tài liệu thay vì địnhnghĩa tư duy biện chứng thì lại nhấn mạnh vai trò của nó; có tài liệu khôngđịnh nghĩa tư duy biện chứng mà chỉ nói rằng tư duy biện chứng dựa vàolôgic biện chứng, thực ra chẳng riêng gì tư duy biện chứng mới dựa vào lôgicbiện chứng mà nói như Ilencô “Tư duy toán học đáng giá nhất thiết phải là tưduy biện chứng” Câu này có thể hiểu mọi loại hình tư duy toán học trongmình nó đều có hàm lượng của tư duy biện chứng, tuy nhiên hàm lượng ấychỗ này chỗ kia có thể khác nhau và cũng không nên hiểu rằng tư duy biệnchứng đủ để bao quát tất cả các tình huống Toán học mặc dù nó là cần thiết Nhà sư phạm xô viết A X Macarencô đã từng chỉ ra rằng “ Trong dạyhọc và giáo dục chúng ta phải theo kịp những yêu cầu mà xã hội chúng ta sẽ