Tài liệu toán 10 trường học trực tuyến Sài Gòn

Nếu có số thực x0 sao cho fx0 = gx0 là mệnh đề đúng thì x0 được gọi là một nghiệm của phương trình.. Điều kiện của phương trình Điều kiện xác định của phương trình hay gọi tắt là điều k

MỆNH ĐỀ

I MỆNH ĐỀ - MỆNH ĐỀ PHỦ ĐỊNH

1 Mệnh đề

Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai

Một câu khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng, một câu khẳng định sai gọi là mệnh

đề sai

Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai

Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai

Ví dụ 1:Trong các câu sau câu nào là mệnh đề? Nếu là mệnh đề hãy xác định đúng

Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là không P, ký hiệu P

P đúng khi P sai, P sai khi P đúng

P : “Dơi là một loài chim” A : “2013 là số nguyên tố”

B : “2002 không chia hết cho 4” C :   3,14

“Vì 8 chia hết cho 4 nên 8 chia hết cho 2”

“Nếu 2 là số vô tỉ thì 2 2 là số vô tỉ”

“Nếu ABCD là hình chữ nhật thì ABCD là hình bình hành”

2 Mệnh đề đảo

Mệnh đề Q  P là mệnh đề đảo của mệnh đề P  Q

Mệnh đề đảo của mệnh đề đúng thì chưa chắc là mệnh đề đúng

Ví dụ 5:Phát biểu mệnh đề đảo và xét tính đúng sai của mệnh đề sau:

“Nếu ΔABC đều thì ΔABC cân”

“Nếu ABCD là hình bình hành có một góc vuông thì ABCD là hình chữ nhật”

3 Mệnh đề tương đương

Nếu cả 2 mệnh đề P  Q và Q  P đều đúng, ta nói P và Q là hai mệnh đề

tương đương Kí hiệu: P  Q

(đọc là: P tương đương Q; P khi và chỉ khi Q; P nếu và chỉ nếu Q)

“ABCD là hình bình hành có một góc vuông khi và chỉ khi ABCD là

hình chữ nhật”

“a.b = 0 tương đương a = 0 hay b = 0”

“Tam giác có hai góc bằng 600 tương đương tam giác đó đều”

4 Điều kiện cần, điều kiện đủ

Cho định lý PQ: P là giả thiết, Q là kết luận,

P là điều kiện đủ để có Q, Q là điều kiện cần để có P

Cho PQ: P là điều kiện cần và đủ để có Q, Q là điều kiện cần và đủ để có P

III MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN

Mệnh đề chứa biến là một câu mà bản thân nó chưa phải là mệnh đề, nhưng khi ta thay

các biến đó bởi các phần tử thuộc tập xác định X thì nó trở thành mệnh đề

Ví dụ 7:Xét các mệnh đề chứa biến sau:

P(n): “n là số chia hết cho 3”, với n ∈ ℕ Q(x; y): “x – y > 3”; x, y ∈ ℝ

“Có một học sinh trong lớp em chưa biết sử dụng máy tính”

Có mệnh đề phủ định là: “Mọi học sinh trong lớp em đều biết sử dụng máy tính”

x  , x2  0 Có mệnh đề phủ định là  x ,x2 0

Ví dụ 12:Cho mệnh đề chứa biến P(n): “(n2 – 1) chia hết cho 4” với n là số nguyên

Xác định tính đúng sai của các mệnh đề:

P(3); P(2);  n  , P(n);  n  , P(n)

TẬP HỢP

I TẬP HỢP

1 Tập hợp và phần tử

Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học,không định nghĩa Giả sử đã cho

tập hợp X Nếu a là phần tử của tập hợp X, ta viết: a  X (đọc là: a thuộc X)

Nếu a không là phần tử của tập X, ta viết a  X (đọc là: a không thuộc X)

Tập hợp không có phần tử nào cả gọi là tập rỗng , kí hiệu là: 

2 Các cách xác định tập hợp

a Phương pháp liệt kê: Các phần tử của tập hợp được viết trong dấu { }, cách nhau

bởi dấu phẩy (hay dấu chấm phẩy), mỗi phần tử chỉ viết 1 lần

Ví dụ 1:Tập gồm 8 số nguyên tố đầu tiên là: A= {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19}

A ={n x chia hết cho 6}, B = {n x chia hết cho 12}

Ví dụ 6:Cho tập hợp X = {a; b; c; d} Hãy liệt kê tất cả các tập con của X có:

a) 2 phần tử b) 3 phần tử c) không quá một phần tử

2 Tập hợp bằng nhau

Hai tập A và B được gọi là bằng nhau nếu mọi phần tử thuộc A đều thuộc B và

mọi phần tử thuộc B đều thuộc A Kí hiệu A = B

Ta có: A = B  A  B và B  A

Ví dụ 7: Cho hai tập hợp:

a) A = {n x là bội chung của 4 và 6}

B = {n x là bội của 12}

b) A là tập tất cả các điểm cách đều hai đầu đoạn thẳng MN

B là tập hợp các điểm nằm trên đường trung trực đoạn MN

3 Biểu đồ Venn

Để minh hoạ trực quan, ta dùng một đường cong phẳng khép kínđể biểu diễn một

tập hợp Các điểm bên trong chỉ các phần tử của tập hợp

III MỘT SỐ TẬP CON CỦA TẬP SỐ THỰC

IV CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP

Giao của hai tập hợp:A B x xA vàx B 

Hợp của hai tập hợp:A B x x A hay x B  

Hiệu của hai tập hợp:A \ Bx x A và x B 

Ví dụ 9:Tìm hợp của hai tập sau:

ÔN TẬP CHƯƠNG I

I MỆNH ĐỀ

Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai

Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai

Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai

Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là không P, ký hiệu P

Mệnh đề kéo theo, ký hiệu AB

AB chỉ sai khi A đúng và B sai

Ví dụ 3:Cho P: “Tứ giác ABCD là hình vuông”

Q: “ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc”

a) Phát biểu mệnh đề P  Q và Q  P đồng thời cho biết tính đúng sai

b) Cho biết mệnh đề P  Q đúng hay sai

Ví dụ 4:Cho các mệnh đề kéo theo:

a) Nếu a và b cùng chia hết cho c thì (a + b) chia hết cho c (với a, b, c là các số nguyên)

b) Các số nguyên có tận cùng bằng 0 đều chia hết cho 5

Hãy phát biểu mệnh đề đảo và xét tính đúng sai?

Ví dụ 6:Viết tập hợpP{n * /3n2 40}bằng cách liệt kê các phần tử

Tìm các tập con của P có chứa số 3 và không chứa số 4

Ví dụ 9:Cho Bx / x2 1,Cx / 0 x 2  

Xác định B  C, C\B, \ B C và   biểu diễn kết quả trên trục số

Ví dụ 10:Cho Ax / x – x 2x 2  27x 6 0,Bx / x2  1 

Xác định: A B, A B, A \ B, B \ A, C B 

Ví dụ 11:Cho A là tập các số tự nhiên có một chữ số; B = {xA /x là số nguyên tố}

a) Liệt kê các phần tử của B, CAB

b) Xác định tập con của A gồm 2 phần tử là 2 số x, y thỏa mãn bất phương trình: x2 + y2 < 10

Ví dụ 12:Cho A = (1; 2] và B = [m; m+2), (m là tham số) Định m để B  CRA

Ví dụ 13:Thu gọn

m 1a)

HÀM SỐ

I KHÁI NIỆM HÀM SỐ

1 Định nghĩa

Cho D (D ) Hàm số f xác định trên D là một quy tắc tương ứng mỗi số x  D

với một và chỉ một số yR, kí hiệu là y = f(x); số f(x) là giá trị của hàm số f tại x

Cho hàm số y = f(x) xác định trên D Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị của hàm số

f là tập hợp (G) gồm các điểm có tọa độ (x; f(x)) với mọi x  D

Ví dụ 2:Trong các điểm A(0; -2); B( 2; 10); C(1; 1); D(-1; 0) điểm nào thuộc,

điểm nào không thuộc đồ thị hàm số y x  x x 2 (1)

II SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ

1 Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến

Với K là 1 khoảng (nửa khoảng, đoạn) nào đó của 

Hàm số f gọi là đồng biến (tăng) trên K, nếu:

2 Khảo sát sự biến thiên của hàm số

Khảo sát sự biến thiên của hàm số là xét xem hàm số đó đồng biến, nghịch biến hay

không đổi trên các khoảng (nửa khoảng, đoạn) nào trong tập xác định của nó

Ví dụ 5:Chứng minh rằng: y x23nghịch biến trên khoảng (-; 0)

Ví dụ 6:Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f(x) = x2 + 2x

trên mỗi khoảng (-∞; -1) và (-1; +∞)

Ví dụ 9:Xét tính chất chẵn lẻ của hàm số

a) y f(x) 2x 3   b) y g(x)  x 1  3 x

3 Phương pháp lập phương trình đường thẳng

Lập phương trình đường thẳng (d) qua M(xM; yM) và có hệ số góc a có dạng:

 Giải hệ phương trình tìm được a, b

Ví dụ 1:Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1; –1) và có hệ số góc bằng 2

Vẽ (d)

Ví dụ 2:Cho đường thẳng (d) đi qua A(2; 1) và cắt trục Ox tại điểm có

hoành độ bằng 1 1) Viết phương trình của (d) và vẽ (d) 2) Vẽ đồ thị của hàm số y = |x – 1|

Ví dụ 3:Viết phương trình đường thẳng (d) sao cho (d) cắt đường thẳng (d1):

y = x + 3 tại điểm có tung độ bằng 2 và cắt đường thẳng (d2): y = x - 1 tại 1 điểm trên trục hoành

  , bề lõm hướng lên khi a > 0 và hướng xuống khi a < 0

Ví dụ 4:Không vẽ đồ thị, hãy mô tả đồ thị (P) của mỗi hàm số bằng cách điền vào

chỗ trống trong bảng

Ví dụ 5:Cho hàm số y = ax2 + bx + c có đồ thị là (P)

Tính a, b, c biết (P) đi qua 3 điểm A(–1;2), B(2; –1) và C(1; –2)

Ví dụ 6:Viết phương trình parabol (P): y = ax2 + bx + c biết (P) đi qua M(3; - 4),

cắt Oy tại điểm có tung độ bằng 2, và có trục đối xứng x = 3

a) Xác định tọa độ đỉnh, trục đối xứng của đồ thị (P)

b) Xét sự biến thiên của hàm số trên Vẽ đồ thị (P)

c) Xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số và giá trị tương ứng của x

d) Tìm tập hợp các giá trị x sao cho y < 0

Ví dụ 10:Cho hàm số y = - x2 + bx + c (P)

a) Tính b, c biết rằng hàm số đạt GTLN bằng 1 khi x = 1

b) Vẽ đồ thị (P) với b, c vừa tìm được ở câu trên

Ví dụ 4:Tìm m sao cho hàm số y 2x 3m 1  xác định với mọi x > 1

II SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ

Ví dụ 5:a) Xét sự biến thiên của y = x + 3

b) Tìm m để hàm số y =(m - 1)x + m luôn đồng biến trên tập xác định

Ví dụ 6:Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f(x) = –2x2 + 4x + 3

Ví dụ 9:Chứng minh rằng:y f x  0x 2 khi xkhi 2 x 22

Phương pháp lập phương trình đường thẳng

Phương trình đường thẳng d qua điểm M(xM; yM) có hệ số góc a là:

Giải hệ phương trình tìm được a, b

Ví dụ 10:Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) đi qua M(2; 1) và hợp với

trục hoành một góc bằng 450

Ví dụ 11:Tìm m sao cho 3 đường thẳng (d1): y = 2x, (d2): y = x – 3

và (d3): y = mx + 3 phân biệt và đồng quy

V HÀM SỐ BẬC NHẤT

Ví dụ 12:Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1; 2) và cắt tia Ox tại A,

cắt tia Oy tại B sao cho OAB vuông cân tại O

Ví dụ 13:Viết phương trình parabol (P): y = f (x) = ax2 + bx + c, biết (P) đi qua

gốc tọa độ O (0, 0) và có đỉnh S (1; –2)

Ví dụ 14:Cho hàm số y = ax2 – 4x + c có đồ thị (P) Tìm a và c biết (P) cắt trục tung

tại điểm có tung độ bằng 5 và hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 1

ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH

I KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG TRÌNH

1 Phương trình một ẩn

Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng f(x) = g(x)

f(x), g(x) là biểu thức của x

Nếu có số thực x0 sao cho f(x0) = g(x0) là mệnh đề đúng thì x0 được gọi là một

nghiệm của phương trình

Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó (tìm tập nghiệm)

Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm

(tập nghiệm là )

2 Điều kiện của phương trình

Điều kiện xác định của phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của phương trình) là

điều kiện của ẩn số x để f(x) và g(x) cùng có nghĩa

Chú ý:

Khi phép toán ở hai vế của một phương trình đều thực hiện được với mọi x, thì ta

có thể không ghi điều kiện của phương trình

Tìm điều kiện của phương trình, đôi khi ta có thể biết được nghiệm của phương

trình hoặc biết được phương trình này vô nghiệm

Các nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ các giao điểm của hai đồ thị

hàm số y = f(x) và y = g(x) Số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) bằng số giao

điểm của hai đồ thị nói trên

Ví dụ 1:Tìm điều kiện xác định của các phương trình:

Nếu phương trình hai ẩn x và y trở thành mệnh đề đúng khi x = x0 và y = y0 (x0, y0 là

số) thì ta gọi cặp số (x0; y0) là một nghiệm của phương trình

4 Phương trình chứa tham số

Trong một phương trình ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có chữ khác,

được xem như những hằng số và được gọi là tham số

Giải và biện luận phương trình chứa tham số nghĩa là xét xem với giá trị nào của tham

số thì phương trình vô nghiệm, có nghiệm và tìm các nghiệm đó

II PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG - PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ

1 Phương trình tương đương

Cho hai phương trình f1(x) = g1(x) (1) có tập nghiệm T1

f2(x) = g2(x) (2) có tập nghiệm T2

Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm

Ta viết f1(x) = g1(x)  f2(x) = g2(x) (T1 = T2)

Để giải một phương trình ta thường dùng các phép biến đổi tương đương để biến

đổi phương trình đó thành một phương trình tương đương đơn giản hơn

2 Phép biến đổi tương đương

Quy đồng bỏ mẫu là thực hiện phép nhân hai vế phương trình cho một biểu thức

Ví dụ 3:Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

a) 3x x 2 x  2 3x x 2  x 2

b) x x 2 x  2  x 2  x x2

Các phép biến đổi tương đương thường gặp

Nếu hai vế của phương trình cùng dấu thì bình phương hai vế của nó ta được một

phương trình tương đương

g(x)f(x)

Nếu mọi nghiệm của phương trình (1) đều là nghiệm của phương trình (2) thì phương

trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1) (tức là tập nghiệm

T2 chứa T1)

f1(x) = g1(x)  f2(x) = g2(x) (T1  T2) Chú ý

Khi bình phương hai vế của một phương trình, ta được phương trình hệ quả của

phương trình đã cho, tức là: f(x) = g(x)  2(x)= g2(x)

Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình

ban đầu, ta gọi đó là nghiệm ngoại lai Lúc đó để loại nghiệm ngoại lai, ta phải thử

lại các nghiệm vừa tìm được (thường gặp khi bình phương hai vế, nhân hai vế của

phương trình với một đa thức,…)

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT – BẬC HAI

I GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẠNG ax + b = 0

Nếu a 0: (1) có nghiệm duy nhất x = b

a



Nếu a = 0 và b 0: phương trình (1) vô nghiệm

a = 0 và b = 0: phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x ∈ 

Ví dụ 1:Giải và biện luận phương trình: m2x + 2 = 4x + m (1)

Ví dụ 2:Cho phương trình: m(mx – 2) = x + 2 () Tìm m sao cho:

a) phương trình () vô nghiệm b) phương trình () thỏa  x   c) phương trình () có nghiệm

Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu  P < 0

Phương trình (1) có 2 nghiệm dương (0 < x1 ≤ x2) 

Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của phương trình bậc hai

Ví dụ 7:Tìm m để x2– 2(m + 1)x + m2 + 1 = 0 có hai nghiệm thỏa x12 + x22 = 27

Ví dụ 8:Cho phương trình x2 – (3m + 2)x + m2 = 0 () Tìm m để phương trình

có hai nghiệm phân biệt thỏa x1 = 9x2

Ví dụ 9:Cho phương trình mx2 – (2m – 1)x + m + 2 = 0 Xác định m để

phương trình có 2 nghiệm Khi đó hãy tìm một hệ thức giữa 2 nghiệm độc lập đối với m

IV PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHÂT – BẬC HAI

Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Phương trình chứa ẩn trong dấu trị tuyệt đối, phương trình chứa ẩn trong căn

Đặt điều kiện 2 vế cùng dấu Bình phương 2 vế ta được phương trình

dễ hơn hoặc có công thức

Nếu điều kiện phức tạp, ta có thể bình phương 2 vế để đưa về

phương trình hệ quả Giải xong nhớ thử lại

PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN

I ÔN TẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng ax + by = c

Nghiệm của phương trình là cặp số (x0, y0) thỏa ax0 + by0 = c Ghi chú: Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn có vô số nghiệm Biểu diễn hình học: Tập nghiệm của phương trình ax + by = c là đường thẳng (d)

Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình trở thành by = c hay y c

b

= , và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục hoành

Ví dụ 1:Giải và biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình: 2x – y = 2

II HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẤC NHẤT HAI ẨN

D = 0

Dx  0 hoặc Dy  0: Hệ phương trình vô nghiệm

Dx = Dy = 0: Hệ có vô số nghiệm (x; y) thỏa: ax0 + by0 = c

Biểu diễn hình học: Nghiệm (x; y) của hệ (I) là tọa độ của điểm M(x; y) thuộc cả 2

đường thẳng (d1): a1x + b1y = c1 và a2x + b2y = c2

Hệ (I) có nghiệm duy nhất  (d1) và (d2) cắt nhau

Hệ (I) vô nghiệm  (d1) và (d2) song song với nhau

Hệ (I) có vô số nghiệm  (d1) và (d2) trùng nhau

ÔN TẬP CHƯƠNG 3

I PHƯƠNG TRÌNH

Phương trình dạng ax + b = 0

Phương trình dạng ax2 + bx + c = 0

Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Phương trình chứa căn

Ví dụ 1:Giải và biện luận phương trình: m(mx – 1) – 1 = – (4m + 3)x

Ví dụ 2:Định m và p để phương trình sau có tập nghiệm :

phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa x1 = 2x2

Ví dụ 7:Cho phương trình: 2x2 + (m – 1)x + 4 – m2 = 0 Định m để phương trình

có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương

Định m để hệ phương trình vô nghiệm

ÔN TẬP HỌC KÌ 1

I VIẾT PHƯƠNG TRÌNH PARABOL

Câu 1: Viết phương trình parabol (P) qua A(–1; –1) và đạt giá trị lớn nhất là 3 khi x = 1

Câu 1.1: Viết phương trình parabol (P): y = ax2 + bx + c, biết (P) có đỉnh I(2, –1) và

cắt đường thẳng (D): y = x + 3 tại điểm A có hoành độ bằng 5

II KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM BẬC HAI

b) Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [–2; 0]

c) Tìm x để y > 0 Suy ra tập nghiệm của bất phương trình: x2 + 3x + 2 > 0

III GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Câu 3: Giải phương trình và hệ phương trình sau:

a) 2x2+3x 11 3x 1+ = - b)

2 2

IV GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

2m

x m

-=-

II CHỨNG MINH TƯƠNG ĐƯƠNG, CHỨNG MINH HỆ QUẢ

Phương pháp chứng minh tương đương

Để chứng minh một bất đẳng thức, ta biến đổi bất đẳng thức ấy tương đương với một

bất đẳng thức khác mà ta biết là đúng

Ví dụ 1:Cho ba số a, b, c tùy ý Chứng minh: a2 + b2 + c2 ab + bc + ca (1)

Ví dụ 2:Với mọi x, y   Chứng minh rằng: x4 + y 4 xy3 + x3y (1)

Phương pháp chứng minh hệ quả

Xuất phát từ những bất đẳng thức đúng đã biết hoặc bất đẳng thức mà ta có thể

chứng minh được, sử dụng các tính chất và hệ quả ta suy ra bất đẳng thức cần

b) Từ đó, chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)

III BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN

CÁC HỆ QUẢ CỦA BẤT ĐẲNG THỨC CÔ – SI

Nếu 2 số x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích x.y lớn nhất

khi và chỉ khi x = y

Ý nghĩa hình học:

Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, thì hình vuông có diện tích lớn nhất

Nếu 2 số x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng (x + y) nhỏ nhất

2 Điều kiện của một bất phương trình

Điều kiện mà ẩn số x phải thỏa mãn để các biểu thức ở hai vế có nghĩa gọi là điều kiện của một bất phương trình

3 Nghiệm của bất phương trình một ẩn

a Số thực x0 thỏa f(x0)<g(x0) là mệnh đề đúng được gọi là một nghiệm của f(x)<g(x)

b Giải một bất phương trình là tìm tất cả các nghiệm (tập nghiệm) của bất phương trình đó

Câu hỏi: Trong các số 1; ; ; 53

2

  , số nào là nghiệm của 2x  3

II BẤT PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG

1 Định nghĩa

Hai bất phương trình tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm Nếu f1(x)<g1(x) tương đương với f2(x)<g2(x) thì ta viết f x1 g x1 f x2 g x 2 

2 Biến đổi tương đương các bất phương trình

Phép biến đổi mà biến một bất phương trình thành một bất phương trình tương đương với nó được gọi là một phép biến đổi tương đương

Ví dụ 3: Giải bất phương trình:  x x2   1 2 x21

3 Biến đổi tương đương các bất phương trình

Cho bất phương trình f(x)<g(x) Các phép biến đổi sau đây (mà không thay đổi điều kiện của bất phương trình) là phép biến đổi tương đương

           

1 f x g x f x h x g x h x

DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT

I ĐỊNH LÝ VỀ DẤU NHỊ THỨC BẬC NHẤT

1 Nhị thức bậc nhất

Nhị thức bậc nhất đối với x là biểu thức dạng f x a x b trong đó a, b là

hai số cho trước với a 0

Nghiệm của nhị thức f(x) = ax + b là nghiệm của phương trình ax + b = 0

Ví dụ 1:Các biểu thức sau biểu thức nào là nhị thức bậc nhất, hãy chỉ ra nghiệm

của nhị thức đó?

a) 2x – 4 b) x2 – 5 c) x 7

2

2 7x

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

I BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là ax + by < c

(hoặc ax + by  c, ax + by > c, ax + by  c) trong đó a, b,c là các số thực cho trước,

a2 + b2 0 Mỗi cặp số (x0;y0) sao cho ax0 + by0 < c là nghiệm của bất phương trình

ax + by < c

Ví dụ 1:a) 3x + 2y < –1 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y

b) 2x – y2 0 không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y

II BIỂU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

1 Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm bất phương trình

ax + by < c được gọi là miền nghiệm của nó

2 Quy tắc biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình ax + by < c

Trên mặt phẳng Oxy, vẽ đường thẳng (d): ax + by = c

Lấy một điểm M(x0; y0) không thuộc (d) (thường chọn gốc tọa độ O(0; 0))

Tính ax0+ by0 và so sánh ax0+ by0 với c

Kết luận:

 Nếu ax0+ by0< c thì miền nghiệm của ax + by < c là nửa mặt phẳng

(không kể bờ (d)) chứa M

 Nếu ax0+ by0> c thì miền nghiệm của ax + by < c là nửa mặt phẳng

(không kể bờ (d)) không chứa M

Ví dụ 2:Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn x – y < 3

III HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Một hệ bất phương trình mà mỗi bất phương trình của hệ là bất phương trình bậc nhất

hai ẩn x, y gọi là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Tập hợp tất cả các điểm có tọa độ thỏa mọi bất phương trình của hệ được gọi là

miền nghiệm của hệ bất phương trình

Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Xác định miền nghiệm của mỗi bất phương trình (tô màu miền còn lại)

Sau khi xác định tất cả các miền nghiệm của từng bất phương trình thì

miền không tô màu chính là miền nghiệm của hệ

Ví dụ 4:Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

IV ÁP DỤNG VÀO BÀI TOÁN KINH TẾ

Một phân xưởng có hai máy đặc chủng M1, M2 sản xuất hai loại sản phẩm, kí hiệu là

I và II Một tấn sản phẩm loại I lãi 2 triệu đồng, một tấn sản phẩm loại II lãi 1,6 triệu

đồng Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại I phải dùng máy M1 trong 3 giờ và máy M2

trong 1 giờ Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại II phải dùng máy M1 trong 1 giờ và

máy M2 trong 1 giờ Một máy không thể dùng để sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm

Máy M1 làm việc không quá 6 giờ trong một ngày, máy M2 một ngày chỉ làm việc không

quá 4 giờ Hỏi mỗi ngày phải sản xuất bao nhiêu tấn sản phẩm loại I và bao nhiêu

tấn sản phẩm loại II để số tiền lãi nhiều nhất?

DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

I ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

Các biểu thức  = b2 – 4ac và ’= b’2 – ac theo thứ tự được gọi là biệt thức và biệt

thức thu gọn của tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c

Ví dụ 1:Những biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai? Xác định các hệ số a, b, c;

biệt thức ; nghiệm (nếu có):

a) f(x) = x2 - 6x+5 b) f(x) = -2x + 1

c) f(x) = x2 d) f(x) = mx2 - 2x + 3m – 1 (Với m là tham số)

2 Dấu của tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a  0),  = b2– 4ac

Nếu  < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với x R

Nếu  = 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, trừ khi x b

2a

 

Nếu  > 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi x < x1 hoặc x > x2, trái dấu với hệ số a

khi x1 < x < x2 trong đó x1, x2 (x1 < x2) là hai nghiệm của f(x)

Các bước xét dấu tam thức bậc hai

Bước 1: Tính  và xét dấu của , tìm nghiệm (nếu có)

Bước 2: Xét dấu của hệ số a

Bước 3: Dựa vào định lí để kết luận về dấu của f(x)

II BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

Khái niệm

Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình dạng ax2 + bx +c < 0

(hoặc ax2 + bx + c ≤ 0, ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c ≥ 0 ),

trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a ≠ 0

Giải bất phương trình bậc hai

Giải bất phương trình bậc hai ax2 + bx +c < 0 thực chất là tìm các khoảng mà trong

đó f(x) = ax2 + bx + c cùng dấu với hệ số a (trường hợp a < 0) hay trái dấu với

Dấu “=” xảy ra khi a=b

Ví dụ 2:Chứng minh với a>0, b>0, c>0, ta có: 1 a 1 b 1 c 8

Dấu “=” xảy ra khi nào?

II GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH

IV TÌM THAM SỐ m THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

1 Tìm m để phương trình ax 2 +bx+c=0 (1) thỏa các điều kiện về nghiệm

Với ax2bx c 0 1    có hai nghiệm x , x1 2 thì

 1 có hai nghiệm dương

0c

ab

ab

 1 có hai nghiệm trái dấu P 0

Ví dụ 6:Cho phương trình mx2 - 2(m-1)x + 4m - 1=0 (1) Tìm m để phương trình có

a) Hai nghiệm phân biệt

b) Hai nghiệm dương

2 Tìm m để tam thức bậc hai ax 2 +bx+c không đổi dấu trên

Chú ý:Nếu a chứa tham số thì xét thêm trường hợp a 0 (suy ra m và nhận, loại)

Ví dụ 7:Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x: mx210x 5 0 

Ví dụ 8:Cho f(x)=(m+1)x2-2(m-1)x+3m-3 Tìm m để

a) f(x)<0 vô nghiệm b) f(x)<0 có nghiệm

CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

I KHÁI NIỆM CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

a Đường tròn định hướng

Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó

ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương

và chiều ngược lại là chiều âm

Chiều dương là chiều ngược với chiều kim đồng hồ

Qui ước:

b Cung lượng giác

Trên đường tròn định hướng cho hai điểm A và B Một điểm M di động trên đường tròn theo một chiều (âm hoặc dương) từ A đến B tạo nên một cung lượng giác có điểm đầu là A và điểm cuối là B Kí hiệu AB



Góc lượng giác có tia đầu là OC, tia cuối là OD Kí hiệu là: (OC, OD)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường tròn định hướng tâm O, bán kính R = 1 Điểm A(1; 0) gọi là điểm gốc

Đường tròn xác định như trên được gọi là đường tròn lượng giác (gốc A)

II SỐ ĐO CỦA CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

a Đơn vị rađian

Trên đường tròn tùy ý, cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có số đo bằng 1 rad