skkn hướng dẫn học sinh tránh sai lầm khi giải một số dạng toán đại số lớp 9

Qua các kỳ thi thì số điểm môn Đại số chiếm tỉ lệ rất cao: 2/3 số điểm bài thi.Vì vậy việc dạy học sinh giải các bài toán Đại số có vai trò đặc biệt quan trọng bởi lẽ qua đó vừa củng cố,

Cùng với sự phát triển của đất nớc, sự nghiệp giáo dục cũng đổi mới khôngngừng Các nhà trờng càng chú trọng đến chất lợng toàn diện bên cạnh sự đầu tthích đáng cho giáo dục Với vai trò là môn học công cụ, bộ môn toán đã góp phầntạo điều kiện cho các em học tốt các môn khoa học tự nhiên khác.

Để đào tạo ra những con ngời nghiên cứu về Toán học thì trớc hết phải đàotạo ra những con ngời có kiến thức vững vàng về môn toán Đây là nhiệm vụ hếtsức quan trọng, lâu dài đối với ngành Giáo dục và đào tạo

Trong chơng trình bộ môn Toán THCS, phân môn Đại số là môn học đặcbiệt quan trọng, dùng định nghĩa, tính chất và các quy tắc để chứng minh, tínhtoán Qua các kỳ thi thì số điểm môn Đại số chiếm tỉ lệ rất cao: 2/3 số điểm bài thi.Vì vậy việc dạy học sinh giải các bài toán Đại số có vai trò đặc biệt quan trọng bởi

lẽ qua đó vừa củng cố, khắc sâu mở rộng kiến thức cho học sinh đồng thời rènluyện đợc kỹ năng, phơng pháp toán học, rèn luyện các thao tác t duy, phân tích,tổng hợp, phát hiện và bồi dỡng các năng lực trí tuệ Dạy học sinh giải toán là ph-

ơng pháp, phơng tiện để kiểm tra việc học của học sinh, đánh giá đợc các khả năng

độc lập toán học và trình độ phát triển trí tuệ của học sinh

Để học sinh có thể học tốt môn Đại số thì ngoài việc giúp học sinh hiểu đ ợctài liệu sách giáo khoa, ngời giáo viên phải nghiên cứu các phơng pháp giảng dạy,

ôn tập, luyện tập để hớng dẫn học sinh biết vận dụng các định nghĩa, định lý, tínhchất, quy tắc, nắm đợc phơng pháp chứng minh một cách nhanh chóng, chính xác

Đáp ứng yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu học tập của học sinh,nâng cao chất lợng dạy học toán nói chung và phát hiện bồi dỡng t duy Toán họccho học sinh nói riêng là cả một vấn đề nan giải đòi hỏi ngời giáo viên phải thờngxuyên nghiên cứu trăn trở Dạy nh thế nào để học sinh không những nắm chắc kiếnthức cơ bản một cách có hệ thống mà phải đợc nâng cao, phát triển để các em cóhứng thú, say mê học tập là một câu hỏi khó mà bản thân mỗi thầy cô giáo luôn đặtra

II Thực trạng của vấn đề nghiên cứu:

1 Thực trạng:

Học toán và trình bày lời giải một bài toán là một vấn đề khó khăn đối vớinhiều học sinh có lực học cha vững, số đông các em biết cách giải toán nhng khi đivào trình bày lời giải thì còn nhiều sai sót, hoặc nếu trình bày đợc nhng vẫn mắcnhiều lỗi nhỏ Do đó kết quả của bài làm không cao

Việc trình bày lời bài giải toán đối với học sinh còn nhiều lúng túng, nhiềuhọc sinh thụ động, biết cách tìm ra lời giải bài toán nhng khi trình bày lại bỏ sótcác điều kiện của bài, hoặc không biết kết hợp các điều kiện lại để loại bỏ nhữngkết quả cha hợp lý, cha biết phân tích tìm hiểu đề bài để tìm đờng lối chứng minhnên các em không biết trình bày nh thế nào và bắt đầu từ đâu Trong khi đó các bàitập mẫu trong sách giáo khoa thờng là những bài tập rất đơn giản, còn tài liệu thamkhảo chỉ trình bày lời giải hoặc ghi kết quả nên nhiều lúc học sinh thờng bị thụ

động, nhiều bài không giải thích đợc tại sao lại làm nh vậy Chỉ một số học sinhgiỏi mới biết trình bày lời giải bài toán nhng việc đánh giá lời giải, tìm giải pháphay, đề xuất bài toán mới tơng tự hoặc đa ra các bài toán đặc biệt hơn và giải nhữngbài toán đó hầu nh rất khó khăn

Thông qua các bài kiểm tra định kỳ, các kỳ thi chất lợng và kỳ thi vào trunghọc phổ thông bản thân tôi nhận thấy rằng các em cha có kỹ năng khi trình bày lờigiải một bài toán Đại số, mà còn có nhiều sai sót khi trình bày lời giải mặc dù bàitoán đó các em đã biết cách giải

2 Kết quả của thực trạng trên:

Với kinh nghiệm giảng dạy tôi nhận thấy rằng nhiều học sinh rất ngại họctoán Trong giờ học các em tỏ ra mệt mỏi, lời suy nghĩ Nếu nh các em không có

kỹ năng tránh những sai lầm khi trình bày lời giải bài toán khi làm bài kiểm tracũng nh thi vợt cấp vào THPT, số học sinh đạt điểm cao môn Toán là rất ít.

Từ thực tế nguyên nhân trên và bằng kinh nghiệm giảng dạy của bản thân, đểnâng cao chất lợng dạy học bộ môn tôi đã tìm ra những một số dạng bài toán màkhi trình bày lời giải học sinh rất dễ mắc sai lầm và chỉ ra cho các em thấy nhữngsai lầm thông thờng mà các em hay mắc phải, đề ra các biện pháp thực hiện và

khắc phục, mạnh dạn nghiên cứu tìm hiểu Với đề tài "Hớng dẫn học sinh tránh

sai lầm khi giải một số dạng toán Đại số lớp 9" tôi đã hệ thống một số dạng bài

tập học sinh thờng dễ mắc sai lầm khi trình bày lời giải Với mỗi dạng tôi đều đa rakiến thức cơ bản cần sử dụng và các ví dụ minh hoạ phù hợp Ngoài ra còn có cácdạng bài tập liên quan nhằm mục đích nâng cao chất lợng dạy học bộ môn toán,kích thích lòng say mê hứng thú trong toán học, phát triển t duy độc lập sáng tạo vànăng lực tự học cho học sinh 9 bậc THCS Trong đề tài này tôi xin đợc đa ra cácgiải pháp, biện pháp thực hiện mà tôi đã áp dụng thành công trong quá trình giảngdạy

B Giải quyết vấn đề:

1 Các dạng toán.

Dạng 1: Bài toán rút gọn biểu thức có chứa căn thức.

Để làm đợc dạng bài toán rút gọn biểu thức chứa căn học sinh cần nắm vững kiếnthức: Điều kiện để căn thức có nghĩa, các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứacăn và đa thừa số vào trong căn, đa thừa số ra ngoài dấu căn, hằng đẳng thức

A

A2  , 7 hằng đẳng thức đáng nhớ ngoài ra các em còn phải nắm vững kỹ năngbiến đổi các biểu thức vận dụng hợp lý các hằng đẳng thức đã học một cách linhhoạt Nếu bỏ qua một điều kiện nhỏ thì dẫn đến kết quả bài toán đó sẽ bị sai

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau:  

y x 0, y 0, x

y x y x

Giáo viên: Bài toán này có 2 cách giải cách thứ nhất đa biểu thức vào trong căn,

căn thứ hai đa biểu thức ra ngoài dấu căn ở bài toán này nếu áp dụng cách giải đabiểu thức ra ngoài dấu căn thì học sinh không mắc sai lầm nhng khi áp dụng cáchthứ 2 học sinh rất dễ mắc sai lầm đó là

x

y x y

2

2 3 2

3

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

x

y x y

x y

6 2

2 3 2

3 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

x

y x y

6 2

2 3 2

3

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

Vậy x  0, y  0, x  y Thì  

y x

y x y





6 2

3

2 2

Với những bài toán rút gọn cha cho điều kiện cho biến học sinh rất dễ mắc sai lầm

là không xét hết các điều kiện của biến

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức sau: 25  7  a 2 học sinh sẽ giải

 7  a  5 7  a  5  7  a

Phân tích sai lầm: Nguyên nhân của sai lầm của bài này là học sinh không chú ý

xét điều kiện của biến khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối

7 a nếu a a

7 5 7

Nh vậy bài toán sẽ có hai đáp số phụ thuộc vào điều kiện của biến

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức sau 2

2

9

7 7

3

x

y y

3 3

7 7

3 9

49 7

x x

y y

x x

y y x

Lời giải sai do học sinh không chú ý đến điều kiện là y < 0 đã cho ở đầu bài

3

7 7

3 3

7 7

3 3

7 7

3 9

49 7

x x

y y

x x

y y

x x

y y

Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức 6

2

121 11

11

1 11

11

1 121

11

1

y y

x xy y

x xy

Sai lầm của học sinh là không chú ý đến điều kiện x < 0, y > 0

Lời giải đúng là:

4 3

3 2

3 6

11

1 11

11

1 11

11

1 121

11

1

y y

x xy y

x xy y

x xy

2 2

2 2

x x

x

x

Phân tích sai lầm: Nguyên nhân của sai lầm của bài này là học sinh không chú ý

xét điều kiện của biến khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối

Vậy lời giải đúng là:

-2 x nếu 1

1 2

2 2

2 2

x x

x

x

Nh vậy bài toán sẽ có hai đáp số phụ thuộc vào điều kiện của biến

Ví dụ 6: Khi rút gọn biểu thức: 2 2

4 3 2 2 3

2

2

y xy x

xy y x y x y

y x

y x y

x

y x xy y

y x y

xy x

xy y x y

2

2

2 2

2 2

4 3 2 2

x

y x xy y

y x y

xy x

xy y x y x y

y x

2

2

2 2

2 2

4 3 2 2 3

y x y

x

y x xy y

y x y

xy x

xy y x y x y

y x

2

2

2 2

2 2

4 3 2 2 3

Ví dụ 7: Rút gọn biểu thức   x  x

x

x x

y 3 2 12 2 2 8

2 2 2

4 4 9

6 8

4 4 12

9 6

2 2 2

2

2

2 2

2 4 2

2

2 2

x x

x

x

x x x

x x x x

x x

x x

x

y

Phân tích sai lầm: Bài toán này có chứa hai dấu giá trị tuyệt đối nên học sinh rất

dễ mắc sai lầm ở chỗ không xét các khoảng giá trị của biến, chỉ xét x>0; x<0 hoặcx>2; x<2 mà không biết kết hợp các khoảng giá trị đó lại

Vậy lời giải đúng của bài toán là:

Nếu x< 0 ta có  

x

x x x

2 2 1

x x x

x

Phân tích sai lầm: Kết quả của bài toán này không sai tuy nhiên nếu trình bầy nh

vậy sẽ thiếu các bớc giải và lài giải không chặt chẽ Vì học sinh đã không xét đến

điều kiện của biến để x 1  2 x 2 có nghĩa

2

0 1 2 2 0

1 2

0 2 2 1 0 2

2

x x

x x x

x x

3 1

1 2

1 2 1

2

1

x khi

x khi x

x x

x A

Phân tích sai lầm: Sai lầm của học sinh ở đây là không phân biệt đợc bài toán vừa

có chứa căn thức vừa có chứa dấu giá trị tuyệt đối, khi kết luận kết quả cuối cùngcác em không kết hợp với điều kiện của căn thức có nghĩa đề loại đi giá trị khôngthích hợp

1

3 1

1 2

1 2 1

2

1

x khi

x khi x

x x

x A

Dạng 2: Tìm giá trị của biến thoả m n điều kiện của biểu thức.ãn điều kiện của biểu thức.

1

1 1

1 :

a a a

1 :

a a a

a

a a

a a

a a

a a

a a

a a a a

a

a a a a

1 1 1

1

1

1 1

1 : 1 1 2

1 2

1

:

1

1 1

1 1

1

1 1

:

1

2

2 2

2 2

Phân tích sai lầm: Bài toán này học sinh không bị mắc sai lầm khi rút gọn biểu

thức nhng dễ mắc sai lầm câu b tìm các giá trị của a để A  A là khi giải xong kếtluận luôn là a≤1 thì A  A mà không kết hợp với điều kiện xác định đã cho ở đềbài

Lời giải đúng phải là: Muốn A  A thì A≥0 12 01 0 1

3 3 3 3

x x

x x

3

3 3

3 2 3 3

1 : 9

9 3 3 6

2

3

3 2

2 : 9

3 3 3 3

x x

x

x x x

x x

x x x x x

x

x x

x

x x

x x

3 0

6 4 0 3

6 4 0 3

0 3

6 4 0 1 3

3 3 1 3

3 3

x x

x

x

x x

x x

x

n Nê x

Phân tích sai lầm: Sai lầm của học sinh ở đây là khi kết luận không kết hợp với

điều kiện của x đã cho ở đầu bài là x≥ 0

Vậy khi giảng cho học sinh chúng ta phải chú ý để học sinh không mắc phải sailầm này

Kết luận đúng của bài là Vậy với

4 9

0 x thì R ≤ -1

2

a

a a

x

x x P

1

1 1

a Tìm điều kiện của biến thoả mãn các điều kiện về nghiệm của phơng trình.

Phơng pháp chung để giải dạng toán này là:

- Để phơng trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi chúng thoả mãn

đồng thời hai điều kiện đó là: 





 0 0

a

Ví dụ 1: Cho phơng trình (m2 – m – 2) x2 + 2(m+1)x + 1 = 0 (*)

a Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

b Tìm các giá trị của m để tập nghiệm của phơng trình chỉ có 1 phần tử

Giải:

a Để phơng trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi chúng thoả mãn

đông thời hai điều kiện đó là: 





 0 0

a

Phân tích sai lầm: Phơng trình đã cho ở bài toán này có hệ số a = m2 – m – 2khi giải học sinh thờng bỏ qua điều kiện để a ≠ 0 mà chỉ chú ý đến điều kiện ∆ > 0

∆ = (m+1)2 – (m2 – m – 2) > 0  3m + 3 > 0  m > - 1

Và học sinh kết luận: Khi m > - 1 thì phơng trình (m2 – m – 2) x2 + 2(m+1)x+1=

0 có hai nghiệm phân biệt

Vậy lời giải đúng ở đây là:

Phơng trình (m2 – m – 2)x2+2(m+1)x+1=0 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉkhi:    

m m

b Để giải dạng toán này chúng ta phải xét 2 trờng hợp.

Thứ nhất hệ số chứa ẩn x2 bằng 0

Thứ hai hệ số chứa ẩn x2 khác 0

Phân tích sai lầm: Sai lầm học sinh ở đây cho rằng

Phơng trình (m2 – m – 2) x2 + 2(m+1)x + 1 = 0 đã là phơng trình bậc hai Tậpnghiệm của phơng trình đó chỉ có 1 phần tử khi và chỉ khi ∆ = 0 mà không xét tr-ờng hợp phơng trình (m2- m-2) x2 + 2(m+1)x+1 = 0 có thể là phơng trình bậc nhất

Nh vậy học sinh sẽ bỏ sót các trờng hợp

Học sinh giải là: Phơng trình m2 – m – 2) x2 + 2(m+1)x + 1 = 0 có 1 nghiệm khi

và chỉ khi ∆ = 0  3m + 3 = 0  m = - 1 và kết luận

Phơng trình m2 – m – 2) x2 + 2(m+1)x + 1 = 0 tập nghiệm có 1 phần tử khi và chỉkhi m = - 1

Vậy tập nghiệm của phơng trình chỉ có 1 phần tử khi và chỉ khi m = 2

Bài toán này học sinh cũng rất dễ mắc sai lầm nữa là khi kết luận không loại bỏ

điều kiện m ≠ - 1

Ví dụ 2: Cho phơng trình mx2 + 6(m – 2)x + 4m – 7 = 0

Tìm các giá trị của m để phơng trình đã cho

a Có hai nghiệm phân biệt

b Vô nghiệm

Giải:

∆ = 9(m – 2)2 – m(4m – 7) = 9(m2 – 4m + 4) – 4m2 + 7m

= 9m2 – 36m + 36 – 4m2 + 7m = 5m2 – 29m + 36 = (m – 4)(5m – 9)

Phân tích sai lầm: Học sinh thờng mắc phải ở dạng toán này cho rằng phơng trình

(*) đã cho là phơng trình bậc hai khi giải chỉ chú ý đến xét điều kiện của biệt số ∆

Câu a: Phơng trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 





 0 0

nh vậy bài toán này bị sai vì còn điều kiện m ≠ 0 cha đợc xét đến

Lời giải đúng: Để phơng trình mx2 + 6(m – 2)x + 4m – 7 = 0 có hai nghiệmphân biệt khi:

m m

Câu b: Phân tích sai lầm: ở câu b học sinh dễ mắc hai sai lầm.

Sai lầm thứ nhất không xét đến điều kiện của hệ số a có chứa biến

Sai lầm thứ 2 nếu xét đến thì chỉ xét điều kiện hệ số a ≠ 0 tức là các em cho rằngphơng trình đó đã là phơng trình bậc 2

∆ < 0 tức là (m – 4)(5m – 9) < 0 nh vậy lời giải bài toán không chặt chẽ

Học sinh giải là: Phơng trình mx2 + 6(m – 2)x + 4m – 7 = 0 vô nghiệm khi

0 9 5 0 4 0 9 5 0 4 0

9 5

4

m m

m m m

m thoã mãn điều kiện m ≠ 0

Ví dụ 3: Tìm các giá trị của k để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt.

a kx2 – 2(k – 1) x + k + 1 = 0

b x2 – 4x + k = 0 ( k nguyên dơng)

c 2x2 – 6x + k + 7 = 0 (k nguyên âm).

Giải:

Phân tích sai lầm: ở câu a khi giải bài toán dạng này học sinh thờng mắc những

sai lầm là không chú ý đến điều kiện để phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai

ở câu b và câu c học sinh thờng không chú ý đến điều kiện k là số nguyên dơng và

 thì phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt

Lời giải đúng là: Phơng trình kx2 – 2(k – 1) x + k + 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệtkhi và chỉ khi 

k k k

Kết luận: Với mọi giá trị của k >

3

1

 và k ≠ 0 thì phơng trình (*) có hai nghiệmphân biệt

b Phơng trình x2 – 4x + k = 0 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ∆’>0

∆’ = 4 – k > 0  k < 4

Kết lụân: Với mọi k< 4 thì phơng trình x2 – 4x + k = 0 có hai nghiệm phân biệt Sai lầm ở đây không kết hợp điều kiện k là số nguyên dơng

Lời giải đúng là: Vì k<4 mà k là số nguyên dơng nên k 1 ; 2 ; 3 thì phơng trình

x2 – 4x + k = 0 có hai nghiệm phân biệt

Ví dụ 4: Tìm các giá trị của m để phơng trình sau có nghiệm:

(m2 – m)x2 + 2mx + 1 = 0 (*)

Giải:Phân tích sai lầm: Sai lầm của học sinh thờng mắc phải ở dạng bài toán này

là cho rằng phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai mà không xét đến điều kiệncủa hệ số a để có thể phơng trình là phơng trình bậc nhất

a Phơng trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi ∆’≥0

Nếu m = 0 phơng trình (*) có dạng 0x + 1 = 0 Vô nghiệm

Kết luận: Phơng trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi m>0.

Ví dụ 5: Tìm các giá trị của n để phơng trình sau có nghiệm:

2 0 2 0 2 0 2 0 2

n n

0 2 0 2 0 2 0 2 0 2

2

0

n n n n n n n

Bài toán này học sinh có thể mắc sai lầm ở chỗ cho rằng phơng trình đã cho là

ph-ơng trình bậc hai có nghiệm khi ∆’ ≥ 0 rồi kết luận

Lời giải đúng là:

Với a ≠ -1 Phơng trình (*) là phơng trình bậc hai nó có nghiệm nếu

2 2

Giáo viên: Cho phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a≠0)

Nếu a.c ≤ 0 mà a ≠ 0 ta cũng có ∆ ≥ 0 Vì ∆ = b2 – 4ac do b2 ≥ 0 nếu ac <0  4a.c> 0 thì ∆ = b2 – 4ac >0

-Nh vậy để chứng minh cho phơng trình bậc hai có nghiệm ta có thể vận dụngchứng minh tích a.c <0

Với bài toán này ta có thể vận dụng chứng tỏ a.c < 0 thì phơng trình có nghiệmvới mọi giá trị của m

Giáo viên: Tuy nhiên chỉ với điều kiện a.c ≤ 0

cha đảm bảo phơng trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm

Ví dụ ta xét phơng trình m2 x2 – mx – 2 = 0

Ta có a.c = -2m2≤ 0 nhng với m = 0 thì phơng trình trở thành 0x = 2 vô nghiệm

Nh vậy khi gặp trờng hợp a.c≤ 0 ta phải xét cả hai trờng hợp a a ≠ 0 và a = 0

Bài tập áp dụng:

Bài 1: Cho phơng trình (m – 1) x2 + 2m x + m – 2 = 0

Tìm tất cả các giá trị của m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt.

Bài 2: Cho phơng trình mx2 – 2(m + 1) x + (m – 4) = 0

Tìm m để phơng trình có nghiệm

Bài 3: Chứng minh rằng phơng trình sau có nghiệm với mọi giá trị a và b.

a 3x2 – 2(a + b + c)x + (ab + bc + ca) = 0

b x

Nếu a – b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm là x1 = - 1; x2 =

P

Ví dụ 1: Cho phơng trình mx2 – 2(m + 1) x + (m – 4) = 0 (*)

a Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu Khi đó trong hai nghiệm nghiệmnào có giá trị tuyệt đối lớn hơn

b Xác định m để các nghiệm x1, x2 của phơng trình thoả mãn x1 + 4x2 = 3

c Tìm 1 hệ thức giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m

Giải:

∆’=(m + 1)2 – m(m – 4) = 6m + 1