Giảm bậc của mô hình phụ thuộc tham số dựa trên không gian con Krylov suy rộng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCLÊ THỊ TRÀ MY GIẢM BẬC CỦA MÔ HÌNH PHỤ THUỘC THAM SỐ DỰA TRÊN KHÔNG GIAN CON KRYLOV SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016... TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LÊ THỊ TRÀ MY

GIẢM BẬC CỦA MÔ HÌNH PHỤ THUỘC THAM SỐ DỰA TRÊN KHÔNG GIAN

CON KRYLOV SUY RỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LÊ THỊ TRÀ MY

GIẢM BẬC CỦA MÔ HÌNH PHỤ THUỘC THAM SỐ DỰA TRÊN KHÔNG GIAN

CON KRYLOV SUY RỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGUYỄN THANH SƠN

Thái Nguyên - 2016

Mục lục

1 Hệ điều khiển và giảm bậc sử dụng không gian con Krylov 5

1.1 Sơ lược về hệ điều khiển 5

1.1.1 Khái niệm mở đầu 5

1.1.2 Công thức nghiệm 7

1.1.3 Biểu diễn trong miền thời gian 8

1.1.4 Biểu diễn trong miền tần số, hàm truyền 8

1.1.5 Moment của hàm truyền 10

1.2 Không gian con Krylov 10

1.2.1 Định nghĩa 10

1.2.2 Tính chất 11

1.2.3 Xây dựng cơ sở - Thuật toán Arnoldi 11

1.3 Phương pháp không gian con Krylov 12

1.3.1 Ý tưởng 12

1.3.2 Giảm bậc thông qua phép chiếu 13

1.3.3 Định lí Grimme 15

2 Giảm bậc của mô hình phụ thuộc tham số dựa trên không gian

2.1 Giảm bậc dựa trên không gian con Krylov suy rộng 18

2.1.1 Ý tưởng 18

2.1.2 Định lý mở rộng 24

2.2 Một số phiên bản cải biên 26

2.2.1 Phương pháp Arnoldi 2 hướng 26

2.2.2 Thống kê phương pháp khác 30

Lời cảm ơn

Trước tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn ThanhSơn - Giảng viên khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học TháiNguyên, người thầy đã hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho tôi trong suốt quátrình hoàn thành luận văn này Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thànhđến các thầy, cô đã và đang tham gia giảng dạy tại trường Đại học Khoa học,Đại học Thái Nguyên Thầy cô đã nhiệt tình giảng dạy và tạo mọi điều kiệnthuận lợi cho tôi hoàn thành khóa học tại trường Tôi cũng xin được bày tỏlòng biết ơn tới tất cả bạn bè, đồng nghiệp và người thân đã động viên, giúp

đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Thái Nguyên, ngày 28 tháng 05 năm 2016

Học viên

Lê Thị Trà My

• span{a1, a2, , aj} không gian sinh bởi các véctơ a1, a2, , aj.

• colsp(A) không gian sinh bởi các véctơ cột của

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Mô phỏng số cho những hệ điều khiển là bước không thể thiếu đượctrong hoạt động nghiên cứu và chế tạo thiết bị công nghệ cao Do yêu cầucao về tính chính xác, những hệ điều khiển này thường có bậc rất lớn và vìthế mà gây khó khăn cho việc mô phỏng vì thời gian mô phỏng quá lâu hoặcđòi hỏi bộ nhớ quá lớn Do đó, ta cần xấp xỉ mô hình này bởi một mô hình

có bậc nhỏ hơn Công việc đó được gọi đó là giảm bậc của mô hình

Đã có nhiều phương pháp giảm bậc mô hình nhưng nổi trội lên là 3phương pháp: Chặt cân bằng, Phân tích trực giao và Không gian con Krylov.Tuy nhiên, những phương pháp này không áp dụng được cho mô hình phụthuộc tham số, vốn xuất hiện rất nhiều như là các tham số của môi trường,của tính chất vật liệu hay của cấu trúc hình học Nếu áp dụng một cách trựctiếp các phương pháp kể trên, trước tiên ta cần phải cố định giá trị của tham

số Nhưng điều đó cũng có nghĩa là, hệ giảm bậc được sinh ra chỉ xấp xỉ hệban đầu trong một lân cận nhỏ của giá trị tham số đã chọn Yêu cầu đặt ra là

hệ giảm bậc đó phải xấp xỉ hệ ban đầu trên toàn bộ miền tham số Đó chính

là chủ đề của luận văn Tuy nhiên, chúng tôi không định và cũng không thểtrình bày hết các phương pháp trong khuôn khổ của một quyển luận văn.Thay vào đó, chúng tôi tập trung vào trình bày phương pháp dựa trên kháiniệm không gian con Krylov suy rộng

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Xây dựng phương pháp không gian con Krylov suy rộng cho giảm bậccủa mô hình phụ thuộc tham số; áp dụng phương pháp này cho ví dụ thực tế.

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu cơ sở lý thuyết của hệ phụ thuộc tham số, phương phápkhông gian con Krylov suy rộng

4 Phương pháp nghiên cứu

• Sử dụng các phép biến đổi của đại số tuyến tính, các kết quả của đại sốtuyến tính và giải tích

• Sử dụng các tài liệu liên quan đến phương pháp giảm bậc bao gồm: cácbài báo khoa học, sách chuyên khảo và các luận án về thuật toán Arnoldi,phương pháp không gian con Krylov, phương pháp không gian con Krylovsuy rộng Sử dụng các dữ liệu đã được công nhận trong cộng đồng nhữngnhà khoa học nghiên cứu về lý thuyết giảm bậc để làm ví dụ minh họa chophương pháp

5 Bố cục của luận văn

Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm ba chương:

Chương 1 Hệ điều khiển và giảm bậc sử dụng không gian con Krylov

- Giới thiệu sơ lược về hệ điều khiển

- Xây dựng cơ sở thuật toán Arnoldi

- Trình bày phương pháp không gian con Krylov

Chương 2 Giảm bậc của mô hình phụ thuộc tham số dựa trên không gian con Krylov suy rộng

- Trình bày phương pháp giảm bậc mô hình sử dụng không gian con Krylovsuy rộng

- Trình bày một số phương pháp cải biên như: Phương pháp Arnoldi 2 hướng

và một số phương pháp khác

Chương 3 Ví dụ số

Trình bày ví dụ số với các dữ liệu được lấy từ một mô hình thiết bị vi nhiệt và thực hiện trên MATLAB.

điện-Thái Nguyên, ngày 28 tháng 05 năm 2016

Học viên

Lê Thị Trà My

Chương 1

Hệ điều khiển và giảm bậc sử dụng không

gian con Krylov

1.1 Sơ lược về hệ điều khiển

1.1.1 Khái niệm mở đầu

Hệ điều khiển là hệ mà trạng thái hiện tại của một số thành phần đượcxác định bởi không chỉ những thành phần ở thời điểm hiện tại mà còn củanhững thành phần khác trong quá khứ

Hệ điều khiển xuất hiện thường xuyên trong vật lý, sinh học, kinh tế, cơkhí và vận chuyển,

Đối tượng chính của luận văn này là hệ điều khiển tuyến tính, ô-tô-nôm,thời gian liên tục có dạng sau:

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t),y(t) = Cx(t) + Du(t),

(1.1)

trong đó

t ∈ (0, +∞) là biến thời gian

x(t) ∈ RN là véctơ trạng thái

u(t) ∈ Rm là hàm điều khiển hoặc thông tin đầu vào

y(t) ∈ Rl là thông tin cần quan sát từ trạng thái x(t)

A ∈ RN ×N là được gọi là ma trận điều khiển.

B ∈ RN ×m được gọi là ma trận đầu vào

C ∈ Rl×N được gọi là ma trận đầu ra

D ∈ Rl×m là ma trận cặp đầu vào-đầu ra

Cỡ của véctơ trạng thái được gọi là bậc của hệ điều khiển

Nếu l = m = 1, hệ chỉ gồm một đầu vào và một đầu ra vì vậy hệđược gọi là đơn đầu vào-đơn đầu ra (single input-single output, SISO) Nếu

m > 1, l > 1,hệ được gọi là đa đầu vào-đa đầu ra (multi input-multi output,MIMO)

Phương trình ˙x(t) = Ax(t) + Bu(t) được gọi là phương trình trạng thái

Để thuận tiện khi trình bày, ta ký hiệu: Σ = (I, A, B, C, D) cho hệ (1.1).Đôi khi ta cũng xét hệ điều khiển dạng

E ˙x(t) = Ax(t) + Bu(t),y(t) = Cx(t) + Du(t)

Nhưng để đơn giản, trong phần này, ta giả sử E = I nghĩa là ma trận E cótính chất không kỳ dị

Hệ trên thường xuất hiện khi ta rời rạc hóa theo không gian một phươngtrình vi phân đạo hàm riêng bằng phương pháp phần tử hữu hạn hoặc phươngpháp sai phân hữu hạn Do yêu cầu của tính chính xác trong quá trình môphỏng, véctơ x(t) thông thường có cỡ rất lớn, có thể trên 104

Yêu cầu đặt ra: xấp xỉ hệ (1.1) theo một nghĩa nào đó, bởi một hệ có cấutrúc tương tự nhưng bậc thấp hơn Ta gọi công việc đó là giảm bậc của môhình (MOR-moder order reduction)

1.1.2 Công thức nghiệm

Giả sử hệ phương trình trạng thái (1.1) có điều kiện ban đầu x(t0) = x0,

sử dụng phương pháp biến thiên hằng số trạng thái x(t) được biểu diễn nhưsau

x(t) = eA(t−t0 )x0 +

t 0Z

u(τ )dτ

=(G ∗ u)(t),trong đó G(t) = Dδ(t) + CeAtB G(t) được gọi là đáp ứng xung của hệ Σ

1.1.3 Biểu diễn trong miền thời gian

Nếu A là ma trận Hurwitz, Re(λ) < 0, ∀λ ∈ Λ(A) thì L là toán tử tuyếntính bị chặn từ Lq

(R+, Rm) vào Lq

(R+, Rl), q ≥ 1 Phương trình trạng tháitương ứng ổn định Khi đó ta cũng nói hệ điều khiển ổn định Các giá trịriêng của A đôi khi được gọi là cực điểm của hệ

1.1.4 Biểu diễn trong miền tần số, hàm truyền

Nghiên cứu tương ứng đầu vào-đầu ra trong miền tần số là xuất phát từ

áp dụng biến đổi Laplace của L trong L1

Những lợi thế khi sử dụng biến đổi Laplace là biến tích chập thành tíchthông thường của hai hàm, nghĩa là L(f ∗ g) = L(f)L(g) Chú ý rằng tíchphân này chỉ hội tụ khi f(t)e−αt ∈ L1

Một cách khác để xây dựng hàm truyền của hệ (1.1) là sử dụng biến đổiLaplace cho hệ (1.1)

sˆx(s) = Aˆx(s) + B ˆu(s),ˆ

y(s) = C ˆx(s) + Dˆu(s)

Vì vậy,

ˆy(s) = [C(sI − A)−1B + D]ˆu(s) := H(s)ˆu(s) (1.3)

So sánh (1.2) và (1.3) ta có ˆG(s) = H(s) = D + C(sI − A)−1B

Cho φ là phép biến đổi tọa độ từ x tới ˜x trong không gian trạng thái

X, x = φ˜x Khi đó, mô tả không gian trạng thái của hệ Σ trở thành ˜Σ =( ˜A, ˜B, ˜C, ˜D), trong đó ˜A = φ−1Aφ; ˜B = φ−1B; ˜C = Cφ; ˜D = D Ký hiệu

˜

H là hàm truyền của ˜Σ, dễ dàng kiểm tra được

˜H(s) ≡ H(s)

1.1.5 Moment của hàm truyền

Sử dụng khai triển Neumann, tức là khai triển tại s = ∞, ta có thể viết

Chú ý rằng CAiB cũng được gọi là tham số Markov

1.2 Không gian con Krylov

1.2.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.3 Cho ma trận vuông A ∈ RN ×N và véctơ b ∈ RN Ký hiệucolsp của một ma trận là không gian con sinh bởi các cột của ma trận đó

n- không gian con Krylov Kn(A, b) là không gian con sinh bởi các véctơ{b, Ab, A2b, , An−1b}, tức là

1.2.3 Xây dựng cơ sở - Thuật toán Arnoldi

Để có thể sử dụng trong tính toán, ta cần định lượng cho không gian conKrylov Kn(A, b) Theo định nghĩa, một cách tự nhiên, ta có thể chọn hệ sinh{b, Ab, A2b, , An−1b} là đặc trưng cho nó Tuy nhiên, hệ này có thể phụthuộc tuyến tính khi n lớn Ngoài ra, ngay cả trong trường hợp hệ này độclập tuyến tính về mặt lý thuyết, nhưng các véctơ có thể "gần phụ thuộc tuyếntính" Điều này xảy ra khi các véctơ "gần" cùng phương với nhau Tính toánvới các véctơ như vậy có thể gây ra sự mất chính xác Để khắc phục điềunày, người ta luôn mong muốn sử dụng một cơ sở trực chuẩn của khônggian con Krylov Như vậy, nhiệm vụ đặt ra là, cần tìm ma trận V thỏa mãn

VTV = I và colsp(V ) = span{b, Ab, A2b, , An−1b} Thuật toán Arnoldi

là giải pháp cho nhiệm vụ này

Algorithm 1 Thuật toán Arnoldi cơ sở

hệ gốc Điều này có thể thực hiện thông qua việc hợp hóa một số hệ số đầu

trong khai triển Laurent của hàm truyền gốc tại một điểm

Định nghĩa 1.4 Hợp hóa một hàm truyền là xây dựng hệ giảm bậc sao cho

một số hệ số đầu trong khai triển của hàm truyền giảm bậc tại một điểm chotrước trùng với hệ số tương ứng của hàm truyền ban đầu

Phụ thuộc vào chọn điểm khai triển mà bài toán giảm bậc được đặt tênkhác nhau như sau:

- Thực hóa từng phần (Partial realization): hợp hóa các số hạng của khaitriển quanh ∞

- Xấp xỉ Padé (Padé approximation): hợp hóa các số hạng của khai triểntại 0

- Nội suy hữu tỉ (Rational interpolation): hợp hóa các số hạng của khaitriển tại s0 6= 0.

Nếu A là ma trận không kỳ dị, hàm truyền H(s) = C(sE − A)−1B cókhai triển tại 0 như sau

H có cùng q(n) moment đầu tiên với H(s) Ta có thể viết

H(s) = ˆH(s) + O((s − s0)q(n))

Ý tưởng này đã từng được thực hiện theo cách tính trực tiếp các hệ sốkhai triển của hàm truyền gốc rồi tạo ra một hệ mới có hệ số khai triển là các

hệ số tìm được Tuy nhiên, người ta sớm nhận ra rằng cách tiếp cận đó không

ổn định về mặt tính toán và do đó có thể cho sai lệch lớn khi áp dụng cho hệlớn Bởi vậy ta nên thực hiện một cách gián tiếp thông qua phép chiếu

1.3.2 Giảm bậc thông qua phép chiếu

Cho hệ điều khiển bậc N

E ˙x(t) = Ax(t) + Bu(t),y(t) = Cx(t) + Du(t)

(1.4)

Ta sẽ chiếu hệ này lên một không gian có số chiều thấp hơn Chọn khônggian chiếu có số chiều n sinh bởi các véctơ cột của ma trận V ∈ RN ×n.Thông thường V là ma trận trực giao hàng, tức là VTV = In Ta xấp xỉ xbởi V ˆx, ˆx ∈ Rn, n < N Trong (1.4) thay x bởi V ˆx ta được

EV ˆ˙x(t) = AV ˆx(t) + Bu(t) + Rˆ

y(t) = CV ˆx(t) + Du(t),

(1.5)

trong đó R là sai số của phép xấp xỉ Ta buộc sai số R trong phép xấp xỉ trêntrực giao với một không gian con n-chiều sinh bởi ma trận W ∈ RN ×n Tức

là WTR = 0 hay WTEV ˆx = WTAV ˆx + WTBu

Đặt ˆE = WTEV, ˆA = WTAV, ˆB = WTB Ta có hệ điều khiển

ˆ

E ˙x(t) = ˆAˆx(t) + ˆBu(t),ˆ

y(t) = CV ˆx(t) + Du(t)

(1.6)

Định nghĩa 1.5 Hệ (1.6) được gọi là hệ giảm của hệ (1.4) xây dựng bằng

phương pháp chiếu bởi hai ma trận chiếu W và V

Chú ý: Ma trận D không bị ảnh hưởng trong quá trình hạ bậc nên từ nay

ta giả sử D = 0

Sau đây, chúng tôi sẽ trình bày tóm lược phương pháp không gian conKrylov để giảm bậc của hệ thông qua phép chiếu qua một vài kết quả chính.Trước tiên là định lí về hợp hóa tham số Markov

Định lí 1.1 Cho hệ điều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời gian bậc N

có dạng

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t),y(t) = Cx(t),

giả sử rằng tồn tại các ma trận đủ hạng V, W ∈ RN ×r thỏa mãn

colsp(V ) = Kr(A, B),colsp(W ) = Kr(AT, CT),

Với xấp xỉ Padé và nội suy hữu tỉ ta có mệnh đề tương tự, chỉ thay thế

V, W trong (1.7) bởi:

colsp(V ) = Kr(A−1, B),colsp(W ) = Kr(A−T, CT),đối với xấp xỉ Padé và thay

colsp(V ) = Kr((A − s0I)−1, B),colsp(W ) = Kr((A − s0I)−T, CT),cho nội suy hữu tỉ

Trong thực tế, ta thường chọn s là iω với ω ∈ R+ là tần số nào đó Theo

đó, Hω trở thành hệ số khuếch đại

Định lí trên đã nêu ra một phương pháp hiệu quả để tìm xấp xỉ của hàmtruyền đối với hệ bậc cao trong miền tần số Tuy nhiên, xấp xỉ trên chỉ tìmđược quanh điểm s0, nếu khoảng rộng hơn s0 thì định lý trên không cònđúng

Để khắc phục tình trạng trên, người ta phải chọn nhiều điểm nội suy cùngmột lúc Tuy nhiên khi đó, việc xây dựng các không gian chiếu chưa đượchiểu rõ ràng Và câu trả lời toàn diện, triệt để cho vấn đề này được giải quyếttrong kết quả sau đây

với Ji = 1, 2, , Jbi + Jci, trong đó ˆE = WTEV, ˆA = WTAV, ˆB =

WTB, ˆC = CV Khi đó, các moment đầu tiên Jbi + Jci của hàm truyền của

hệ Σ và ˆ Σ tại si bằng nhau.

Để chứng minh định lí trên ta sử dụng hai bổ đề sau:

Bổ đề 1.1 ([3], Bổ đề 3.1)

Nếu KJ b((A − sE)−1E; (A − sE)−1b) ⊆ colsp{V } thì

{(A − sE)−1E}j−1(A − sE)−1b = V {( ˆA − s ˆE)−1E}ˆ j−1( ˆA − s ˆE)−1b

với j = 1, 2, , Jb .

Bổ đề 1.2 ([3], Bổ đề 3.2)

Nếu KJc((A − sE)−TET; (A − sE)−Tc) ⊆ colsp{Z} thì

cT(A − sE)−1{E(A − sE)−1}j−1(A − sE)−1b

= ˆcT( ˆA − s ˆE)−1{ ˆE( ˆA − s ˆE)−1}j−1Z,

với j = 1, 2, , Jc

Chứng minh. Trường hợp ji = 1 được suy từ Bổ đề 1.1

Trường hợp ji ≥ 2, với jbi và jci nguyên, không âm luôn thỏa mãn jbi ≤

Theo Bổ đề 1.1 và 1.2, (1.10) tương đương:

ˆ

cT( ˆA−siE)ˆ −1{ ˆE( ˆA−siE)ˆ −1}jci −1WTAV {( ˆA−siE)ˆ −1}jbi −1( ˆA−siE)ˆ −1b

và có thể đơn giản hơn bằng

ˆ

cT{ ˆE( ˆA − siE)ˆ −1E}ˆ ji −1( ˆA − siE)ˆ −1b (1.11)

Lượng (1.11) là moment tương ứng hệ giảm bậc Các điều trên đúng với mỗigiá trị của i giữa 1 và k vì V và Z chứa không gian con tương ứng trongphạm vi này

Định lí Grimme cho hiệu quả cao hơn các kết quả trước ở sự linh hoạttrong cách chọn ma trận chiếu Trong trường hợp hai ma trận V và W khôngcùng số cột ta có thể bổ sung số cột thiếu

Nếu ta chọn V = W và V thỏa mãn (1.8) ta được Phương pháp Arnoldimột bên Hệ giảm thu được là ˆΣ = (VTEV, VTAV, VTb, cV )

2.1 Giảm bậc dựa trên không gian con Krylov suy rộng

(2.1)

trong đó E, A, Ai ∈ RN ×N

, B ∈ RN ×m, C ∈ Rl×N, pi ∈ Ωi với Ωi ∈ Ri làmiền tham số Hệ cho bởi công thức (2.1) thường xảy ra khi rời rạc hóa cácphương trình vi phân từng phần loại parabolic với tham số là các điều kiệnbiên hoặc hệ số của đạo hàm bậc nhất của ẩn hàm Hàm truyền của (2.1)phụ thuộc trên cả miền tần số và tham số được cho bởi

gọi là moment suy rộng.

Ý tưởng của giảm bậc mô hình bởi khớp moment cho hệ (2.1)được tiếnhành tương ứng với các phương pháp thông thường được trình bày trongChương 1 Nó bao gồm việc xây dựng hai ma trận cỡ N × r là V và Z màtrên đó hệ điều khiển ban đầu được chiếu Hệ giảm là

trong đó ˆE = ZTEV, ˆA = ZTAV, ˆAi = ZTAiV, ˆB = ZTB, ˆC = CV Matrận V và Z được xây dựng sao cho hàm truyền của hệ giảm

ˆH(p0, p1, , pk) = ˆC ˆE − ˆA +Xk

i=0

piAˆi)−1B,ˆ

được chọn khớp điểm từ 0 của hàm truyền (2.3)

Từ đây trở đi, để dễ dàng cho việc trình bày, ta chỉ xét trường hợp k = 1,tham số tần số vẫn được kí hiệu bởi p0 và một tham số thực tế p1 Khi đó,(2.3) trở thành