PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VỎ CẦU NHẪN VẬT LIỆU CƠ TÍNH BIẾN THIÊN (LUẬN VĂN THẠC SĨ)

PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VỎ CẦU NHẪN VẬT LIỆU CƠ TÍNH BIẾN THIÊN (LUẬN VĂN THẠC SĨ)PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VỎ CẦU NHẪN VẬT LIỆU CƠ TÍNH BIẾN THIÊN (LUẬN VĂN THẠC SĨ)PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VỎ CẦU NHẪN VẬT LIỆU CƠ TÍNH BIẾN THIÊN (LUẬN VĂN THẠC SĨ)PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VỎ CẦU NHẪN VẬT LIỆU CƠ TÍNH BIẾN THIÊN (LUẬN VĂN THẠC SĨ)PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VỎ CẦU NHẪN VẬT LIỆU CƠ TÍNH BIẾN THIÊN (LUẬN VĂN THẠC SĨ)PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VỎ CẦU NHẪN VẬT LIỆU CƠ TÍNH BIẾN THIÊN (LUẬN VĂN THẠC SĨ)PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VỎ CẦU NHẪN VẬT LIỆU CƠ TÍNH BIẾN THIÊN (LUẬN VĂN THẠC SĨ)PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VỎ CẦU NHẪN VẬT LIỆU CƠ TÍNH BIẾN THIÊN (LUẬN VĂN THẠC SĨ)PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VỎ CẦU NHẪN VẬT LIỆU CƠ TÍNH BIẾN THIÊN (LUẬN VĂN THẠC SĨ)PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VỎ CẦU NHẪN VẬT LIỆU CƠ TÍNH BIẾN THIÊN (LUẬN VĂN THẠC SĨ)PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VỎ CẦU NHẪN VẬT LIỆU CƠ TÍNH BIẾN THIÊN (LUẬN VĂN THẠC SĨ)PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VỎ CẦU NHẪN VẬT LIỆU CƠ TÍNH BIẾN THIÊN (LUẬN VĂN THẠC SĨ)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

NGUYỄN THỊ DUNG

PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VỎ CẦU NHẪN VẬT LIỆU CƠ TÍNH BIẾN THIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - Năm 2014

MỤC LỤC

Trang

Mở đầu……… 4

Chương 1: Các phương trình và hệ thức cơ sở

1.1: Quan hệ biến dạng chuyển vị của vỏ cầu……… 6

1.2: Quan hệ nội lực biến dạng của vỏ cầu……… 8

1.3: Phương trình cân bằng……… 10

Chương 2: Phân tích ổn định của vỏ cầu

2.1: Trạng thái màng trước khi mất ổn định………12

2.2: Phương trình ổn định………13

2.3: Phương pháp giải ……….15

Chương 3: Khảo sát số về ổn định của vỏ cầu bằng vật liệu

có cơ tính biến thiên

3.1: Khảo sát ổn định của vỏ cầu chỉ chịu tác dụng của lực tới hạn 25

3.2: Khảo sát ổn định của vỏ cầu chỉ chịu tác dụng của lực tới hạn q 27

3.3: Khảo sát ổn định của vỏ cầu chịu tác dụng đồng thời của p và q 30

Tài liệu tham khảo……… 32

Phụ lục……… ……….…

Mở đầu

VẬT LIỆU CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN ( FGM )

Vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) là lớp vật liệu mới được tạo ra nhằm để cải thiện tính kết cấu trong cấu trúc không gian FGM là một loại vật liệu composite có đặc điểm là những thuộc tính của chúng thay đổi từ từ và liên tục từ mặt này sang mặt khác của kết cấu do đó làm giảm ứng suất tập trung, giảm ứng suất nhiệt và ứng suất dư Những vật liệu này thường được sản xuất từ hỗn hợp gốm và kim loại hoặc là tổ hợp của nhiều kim loại khác nhau Loại vật liệu này có thể chịu được sự thay đổi nhiệt độ lớn, đảm bảo ổn định hình dạng, chịu va chạm, mài mòn hay rung động Với những đặc điểm

ưu việt đó mà lớp vật liệu này đang được nghiên cứu và ứng dụng rộng rãi trong thực tế đặc biệt là trong các nghành công nghiệp đóng tàu, hàng không,

vũ trụ, cơ khí, xây dựng v.v

Đáp ứng những đòi hỏi của thực tiễn, trong những năm gần đây, đã có nhiều công trình nghiên cứu cho kết quả về sự ổn định của kết cấu bằng loại vật liệu này Đối tượng được nghiên cứu nhiều về ổn định và dao động thường là bản hoặc vỏ V Birman [13] đã đưa ra các hệ thức về ổn định của bản composite FGM, E Feldman và J Abouli [5] nghiên cứu về ổn định đàn hồi của bản FGM bị nén, J N Reddy [6] đưa ra phương pháp nghiên cứu về

sự uốn của bản tròn và bản hình vành khăn FGM Đối với vỏ nón, Tani đã nghiên cứu tính mất ổn định động của vỏ nón cụt đẳng hướng dưới tải dọc trục tuần hoàn khi đã bỏ qua biến dạng uốn trước khi mất ổn định [10] và dưới áp lực thay đổi chu kỳ có tính đến các biến dạng này [11] bằng việc sử dụng lý thuyết vỏ Donnell và phương pháp sai phân hữu hạn Cũng sử dụng phương pháp này ông đã phân tích ảnh hưởng của độ võng ban đầu đến ổn định nhiệt của vỏ nón cụt đẳng hướng [12] Xu và đồng sự sử dụng phương

pháp Galerkin và phương pháp cân bằng điều hòa để nghiên cứu dao động tự do của vỏ nón cụt dày bằng vật liệu composite lớp [14] Paczos và Zielnica áp dụng phương pháp Ritz để nghiên cứu sự ổn định của panel vỏ nón có lớp kép đàn hồi dẻo dưới tác động của tải nén và áp suất [9] Đào Huy Bích và đồng sự đã sử dụng phương pháp Bubnov – Galerkin giải bài toán theo chuyển vị và nghiên cứu ổn định của panel nón FGM dưới tác dụng của lực nén và áp suất đều [1] Nath và Alwar [7] đã sử dụng phương pháp khai triển chuỗi Chebyshev

để nghiên cứu và phân tích đáp ứng phi tuyến tĩnh và động của vỏ cầu được ngàm Dumir đã tìm được đáp ứng cực đại tức thời trong dao động phi tuyến của chỏm cầu trên nền đàn hồi dưới tác dụng của tải phân bố đều song song với trục đối xứng [8] Phân tích phi tuyến về ổn định của vỏ cầu thoải FGM chịu áp suất ngoài bằng phương pháp giải tích gần đúng được trình bày trong công trình của Đào Huy Bích [3] Gần đây, Đ H Bích cùng Đ.V.Dũng và L.K Hòa tiến hành phân tích ổn định phi tuyến tính tĩnh và động của vỏ cầu FGM có tính đến ảnh hưởng của nhiệt độ [4] Trong bài viết đó, các tác giả đã

sử dụng lý thuyết vỏ cổ điển và phương pháp Bubnov – Galerkin để xác định lực tới hạn tác dụng lên vỏ trong trường hợp ổn định tĩnh và phương pháp số Runge – Kutta để nghiên cứu ổn định động của vỏ Ngoài ra, Đ.H.Bích và H.V Tùng cũng đã công bố kết quả phân tích phi tuyến vỏ cầu đối xứng trục bằng vật liệu có cơ tính biến thiên dưới tác dụng của lực phân bố đều đồng thời chịu ảnh hưởng của nhiệt độ [2]

Luận văn nghiên cứu sự ổn định của vỏ cầu nhẫn có cơ tính biên thiên dưới tác dụng của lực song song với trục đối xứng và áp suất ngoài Phương pháp được sử dụng trong bài là phương pháp Bubnov – Galerkin và áp dụng tiêu chuẩn tĩnh về ổn định từ đó xác định lực tới hạn của vỏ cầu Tác giả cũng

đã sử dụng phần mềm Matlab để tính toán số nhằm khảo sát lực tới hạn khi

các yếu tố về tính chất vật liệu, kích thước kết cấu thay đổi và đưa ra một vài nhận xét tương ứng

Chương 1: CÁC PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ THỨC CƠ SỞ

Trong phần này trình bày mối quan hệ biến dạng, chuyển vị, mối quan hệ nội lực biến dạng, phương trình cân bằng của bài toán vỏ cầu nhẫn chịu lực phân bố đều song song trục đối xứng và áp suất ngoài

1.1 Quan hệ biến dạng, chuyển vị của vỏ cầu

Xét vỏ cầu với độ dày h, bán kính đáy , bán kính vỏ cầu là R Vỏ cầu được làm từ hỗn hợp kim loại và gốm

Gắn hệ trục tọa độ φ, theo hướng kinh tuyến và vĩ tuyến tương ứng và

z theo hướng bán kính của vỏ cầu như hình 1

Hình 1

Chất liệu của bề mặt ngoài và bề mặt trong của vỏ cầu tương ứng là gốm

và kim loại Cấu tạo gốm của vật liệu đã cải thiện được khả năng chịu nhiệt độ cao nhờ tính dẫn nhiệt thấp Thành phần kim loại dễ uốn giúp vật liệu tránh bị đứt gẫy bởi ứng suất nhiệt gây ra do sự biến thiên nhiệt độ cao trong thời gian rất ngắn Hỗn hợp này gồm các phân tố thể tích của vật liệu thành phần thay đổi liên tục theo độ dày của vỏ Theo Javaheri và Eslami, modul đàn hồi E và

hệ số Poisson thay đổi theo chiều dày z, theo quy luật hàm lũy thừa

Gọi và tương ứng là các phân tố thể tích của kim loại và gốm Chúng liên hệ với nhau bởi hệ thức:

do φ nhỏ nên , Bằng cách này các điểm ở mặt giữa có thể được biểu diễn theo 2 tọa độ và

Theo lý thuyết Kirchoff-Love mối quan hệ tuyến tính giữa chuyển vị và biến dạng được biểu diễn bởi:

trong đó:

với: u, v, w là chuyển vị của các điểm ở mặt giữa theo hướng các tọa

độ , 𝜃 và z tương ứng ; ; là biến dạng ở mặt giữa

tương ứng là sự thay đổi độ cong và độ xoắn

1.2 Quan hệ nội lực biến dạng của vỏ cầu

Theo định luật Hooke ta có liên hệ ứng suất biến dạng của vỏ cầu:

Tích phân các phương trình sức căng và momen theo độ dày của vỏ cầu

ta được biểu thức nội lực và momen tổng hợp

trong đó:

Với:

Từ (1.4) và (1.5) ta có :

Ngược lại từ (1.4) ta có :

1.3 Phương trình cân bằng

Xét vỏ cầu với độ dày h, bán kính đáy , bán kính vỏ cầu là R chịu

tác dụng của áp suất ngoài q và lực P song song với trục đối xứng

Phương trình cân bằng cho vỏ cầu mỏng theo lý thuyết Love có dạng :

Trong đó q là áp suất ngoài tác động lên vỏ

Sử dụng (1.10) và (1.11) phương trình (1.12) được viết lại dưới dạng :

Сhương 2: PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH CỦA VỎ CẦU

Trong chương này nghiên cứu trạng thái màng trước khi vỏ cầu mất ổn định Từ đó xây dựng phương trình ổn định, tiến hành giải bài toán bằng cách

áp dụng tiêu chuẩn tĩnh và phương pháp Bubnov – Galerkin

2.1 Trạng thái màng trước khi mất ổn định

Trạng thái lực màng trước khi mất ổn định của vỏ cầu chịu lực phân bố P song song với trục đối xứng và áp suất phân bố đều q được xác định từ hệ phương trình sau:

trong đó tải trọng tác dụng lên toàn vòm cầu có dạng:

Thay vào (2.1) ta được:

Ký hiệu là chuyển vị ở trạng thái cân bằng xuất phát, ứng với trạng thái cân bằng lân cận ta có chuyển vị

(u;v;w) là chuyển vị ở trạng thái cân bằng lân cận tương ứng cùng dạng tải trọng như dạng cân bằng , là gia số chuyển vị nhỏ tùy ý 𝛿 là gia số lực tổng hợp và momen tổng hợp ứng với

Các lực tổng hợp và momen ; ; 𝛿 và 𝛿 đều thỏa mãn các phương trình (1.10); (1.11); (1.12), lấy hiệu hai phương trình nhận được tương ứng và tuyến tính hóa phương trình mới nhận này ta có:

Thay (1.1) vào (1.4) và (1.5) ta được các lực tổng và momen theo chuyển

vị ở hai trạng thái, qua đó xác định được gia số chuyển vị, gia số lực và momen, giữ lại các đại lượng tuyến tính đối với và Tiếp tục thay các đại lượng này vào (2.4); (2.5) và (2.6) ta thu được phương trình ổn định

với các ẩn và Để đơn giản và không nhầm lẫn, từ đây ta ký hiệu

(2.7)

trong đó:

Điều kiện biên: Giả thiết cầu nhẫn tựa đơn tại ta có:

2.3 Phương pháp giải

Để giải quyết bài toán ta sử dụng phương pháp Bubnov – Galerkin, với

Thay (2.10) vào (2.7) ta được hệ phương trình tương ứng:

trong đó:

Vì nên , ta nhân cả hai vế của phương trình (2.11) và (2.12) với , phương trình (2.13) với rồi lấy tích phân trên khoảng

:

trong đó lần lượt là vế trái của các phương trình (2.11), (2.12), (2.13) Từ đó ta được hệ phương trình:

Với:

Hệ phương trình (2.14) có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi định

chịu tác dụng của áp suất q:

3 Vỏ chịu tác dụng đồng thời của lực p và áp suất q:

Đặt khi đó ta có:

Trong các công thức (2.17) – (2.19) các giá trị p, q phụ thuộc vào các số

sóng m, n có mặt trong các hệ số Lực tới hạn được xác định bởi các giá

trị nhỏ nhất p, q ứng với số sóng m, n tương ứng:

Đặt :

Biểu diễn lại các hệ số ta được:

Chương 3: KẾT QUẢ TÍNH TOÁN SỐ

Mặc dù đã xác định được dạng hiển của lực tới hạn nhưng việc tìm giá trị nhỏ nhất gặp nhiều khó khăn về mặt toán học vì vậy để khắc phục chúng ta tiến khảo sát tính toán số bằng phần mềm Matlab trong từng trường hợp riêng: Khi vỏ cầu chỉ chịu tác dụng của lực p, chỉ chịu tác dụng của áp suất q

và chịu tác dụng đồng thời của hai lực p, q

3.1 Khảo sát lực tới hạn khi vỏ cầu chỉ chịu tác dụng của lực p

Để nghiên cứu tính ổn định của vỏ cầu ta xét vỏ cầu bằng vật liệu là hỗn hợp của nhôm (kim loại) có modun đàn hồi và oxit nhôm (gốm) có modun đàn hồi , để đơn giản ta lấy hệ số Poiison

1000 Sử dụng phần mềm Matlab ta xây dựng chương trình tìm giá trị nhỏ nhất đối với lực p (xem phụ lục), từ đó tìm được lực p đạt giá trị nhỏ nhất tại (m, n) = (4, 1) Lực p ứng với n = 1 được biểu thị trong hình 2 và bảng 1

Hình 2 Đồ thị biểu diễn lực p theo m khi n=1 với R/h = 1000; ;

Bảng 1 Giá trị cực tiểu của lực tới hạn

k p (m,n), GPa

0 1,0852

(2,1)

0,6580 (3,1)

0,6233 (4,1)

0,7378 (5,1)

0,9392 (6,1)

1 0,6358

(2,1)

0,3710 (3,1)

0,3350 (4,1)

0,3834 (5,1)

0,4790 (6,1)

2 0,4908

(2,1)

0,2871 (3,1)

0,2601 (4,1)

0,2983 (5,1)

0,3732 (6,1)

3 0,4200

(2,1)

0,2492 (3,1)

0,2298 (4,1)

0,2671 (5,1)

0,3366 (6,1)

Nhận xét: Từ hình 2 và các giá trị trong bảng 1 cho thấy với n = 1 giá trị

lực nhỏ nhất tương ứng với m = 4 Khi số mũ đặc trưng k tăng tức là tỉ phần thể tích của gốm giảm nên lực tới hạn p cũng giảm

Khảo sát ảnh hưởng của tỉ số R/h đến lực tới hạn p thu được kết quả thể

hiện trong bảng 2

Bảng 2 Ảnh hưởng của tỷ số R/h đến lực tới hạn với ;

p (m,n), GPa R/h

k 800 1000 1200 1400 1500

(4,1)

0,6233 (4,1)

0,5458 (4,1)

0,4991 (4,1)

0,4824 (4,1)

(4,1)

0,3350 (4,1)

0,2890 (4,1)

0,2613 (4,1)

0,2514 (4,1)

(4,1)

0,2601 (4,1)

0,2246 (4,1)

0,2032 (4,1)

0,1956 (4,1)

(4,1)

0,2298 (4,1)

0,1997 (4,1)

0,1815 (4,1)

0,1750 (4,1)

Nhận xét: Kết quả khảo sát trong bảng 2 cho thấy khi tỷ số R/h tăng thì

lực tới hạn p giảm Trên thực tế khi tỉ số này tăng tức là bán kính vỏ cầu tăng hoặc độ dày giảm thì vỏ cầu dễ bị biến dạng hơn Điều này cũng phù hợp với tính chất của kết cấu

Tiếp tục khảo sát ảnh hưởng của các tỉ số ; tới lực tới hạn p ta

nhận được kết quả thể hiện trong bảng 3:

Bảng 3 Ảnh hưởng của tỷ số ; đến lực tới hạn theo m,

n với

p (m,n), GPa

r 1 /R

r 0 /R 0,3 0,4 0,5

0,1 0,7083 (4,1) 1,2307 (6,1) 1,9021 (2,22) 0,15 0,4126 (4,1) 0,5949 (4,1) 0,8763 (6,1) 0,2 0,2105 (2,1) 0,3350 (4,1) 0,4993 (6,1)

là bề rộng của cầu nhẫn hẹp lại dẫn đến lực tới hạn p giảm

3.2 Khảo sát lực tới hạn khi vỏ cầu chỉ chịu tác dụng của áp suất q

Khi vỏ cầu chỉ chịu tác dụng của áp suất q, với R/h = 1000; ;

Trong đó R = 5m; h = 0.005m, sử dụng chương trình Matlab tìm giá trị nhỏ nhất ta tìm được lực q đạt nhỏ nhất tại m = 2, n = 18 (với k = 1 hoặc k = 2) và n = 17 (với k = 0 hoặc k = 3) Kết quả khảo sát được thể hiện

cụ thể trên hình 3 và bảng 4

Hình 3 Đồ thị biểu diễn lực tới hạn q theo n khi m=2

4,0394 (2,18)

4,0882 (2,19)

4,1652 (2,20)

1 2,2063

(2,16)

2,1812 (2,17)

2,1760 (2,18)

2,1882 (2,19)

2,2161 (2,20)

2 1,7127

(2,16)

1,6945 (2,17)

1,6916 (2,18)

1,7023 (2,19)

1,7250 (2,20)

3 1,5066

(2,16)

1,4951 (2,17)

1,4968 (2,18)

1,5102 (2,19)

1,5342 (2,20)

Nhận xét: Do tính chất của vật liệu có thể thấy rằng khi chỉ số k giảm thì

giá trị lực tới hạn q tăng lên Tương tự như khi khảo sát lực p, ta cũng kiểm tra ảnh hưởng của các đại lượng ; ; và thu được các kết quả trong bảng 5 và bảng 6

Bảng 5 Ảnh hưởng của tỷ số đến lực tới hạn theo m, n;

;

q (m,n), 10 5 R/h

k 800 1000 1200 1400 1500

1,1647 (2,15)

1,0263 (2,14)

0,9053 (2,15)

0,7974 (2,14)

0,8.010 (2,14)

0,7066 (2,14)

Từ các kết quả đạt được ở trên ta thấy giá trị lực tới hạn giảm khi tăng tỉ

số R/h và tăng chỉ số k Trong trường hợp k = 0, vỏ cầu là vật liệu đồng chất bằng oxit nhôm (gốm) có modun đàn hồi cao Đây là nguyên nhân làm cho

giá trị lực tới hạn có giá trị cao hơn

Bảng 6 Ảnh hưởng của tỷ số ; đến lực tới hạn với

Từ bảng 6 ta thấy khi thay đổi các tỉ số và lực tới hạn không thay đổi theo quy luật xác định

3.3 Khảo sát lực tới hạn khi vỏ cầu chịu tác dụng đồng thời của lực p và q

Bằng cách đặt và khi đó, tiếp tục khảo sát ổn định của vỏ cầu theo q ta thu được các kết quả trong bảng 7 khi α và k thay đổi

Bảng 7 Giá trị cực tiểu của lực tới hạn theo m, n khi α thay đổi với

p,q (m,n), 10 5 , 𝜆=1/2

α

0 (0;4,0221)

(2,17)

(4,0236;4,0236) (2,17)

(8,0502;4,0251) (2,18)

(0,6233;0) (4,1)

1 (0;2,1760)

(2,18)

(2,1768;2,1768) (2,18)

(4,3552;2,1776) (2,18)

(0,3350;0) (4,1)

2 (0;1,6916)

(2,18)

(1,6923;1,6923) (2,18)

(3,3858;1,6929) (2,18)

(0,2601;0) (4,1)

3 (0;1,4951)

(2,17)

(1,4956;1,4956) (2,17)

(2,9922;1,4961) (2,17)

(0,2298;0) (4,1) Bảng 8 cho kết quả của lực tới hạn khi vỏ chịu tác dụng đồng thời

của tỉ số R/h với α=1,5 khi thay đổi

Bảng 8 Ảnh hưởng của tỷ số R/h đến lực tới hạn với

2,8715 (2,15)

2,1671 (2,14)

1,9158 (2,13)

(2,20)

2,1772 (2,18)

1,5469 (2,16)

1,1646 (2,15)

1,0262 (2,14)

(2,20)

1,6926 (2,18)

1,2021 (2,16)

0,9052 (2,15)

0,7973 (2,14)

(2,20)

1,4959 (2,17)

1,0639 (2,16)

0,8009 (2,14)

0,7065 (2,14)

Rõ ràng trong trường hợp này quy luật thay đổi của lực tới hạn cũng tương tự như ở các trường hợp tác dụng đơn lực, có nghĩa là các lực này giảm khi chỉ số k tăng và tỉ số R/h tăng

Bảng 9 Ảnh hưởng của tỷ số ; đến lực tới hạn với