Nhưng được đực biệt chú ý là các công trình nghiên cứu về năng lực toán học của nhà tâm lý học Mỹ vĩ đại E.Tooc dai, một phần lớn các công trình này đến nay vẫn được quan tâm... A.Blăcoe
Trang 1VỀ CẤU TRÚC NĂNG LỰC TOÁN HỌC CỦA HỌC SINH
Trần Luận
Viện Khoa học giáo Giáo dục Việt Nam
I Phát hiện và bồi dưỡng nhân tài có tầm quan trọng đặc biệt Vì thế, nhiều ý kiến
của các đồng chí lãnh đạo Đảng và Nhà nước cũng như trong các văn kiện của Đảng
và Chính phủ rất nhiều lần đề cập đến vấn đề này (bài viết cố GS Phạm Văn Hoàn trong tạp chí thông tin Khoa học Giáo dục, số 15/1989)
Trong thư gửi cán bộ, công nhân viên, thầy cô giáo, sinh viên nhân dịp bắt đầu năm học 1968 – 1969, Bác viết “Để đảm bảo cho một thời gian không xa, chúng ta phải đạt được những đỉnh cao của Khoa học kỹ thuật, ngay từ bây giờ trong các nhà trường phải phát hiện, bồi dưỡng những thầy dạy xuất sắc, những học sinh xuất sắc cho từng nghành học, từng môn học” (xã luận Báo Nhân dân ngày 16.081968)
Khi bàn về cải cách giáo dục, đồng chí Trường Chinh đã nói “vấn đề phát triển nănng khiếu học sinh rất quan trọng…học sinh cần phải có kiến thức phổ thông toàn diện, nhưng đối với các em có năng khiếu cần có kế hoạch phát triển riêng…”
Nghị quyết 37 của Bộ Chính trị (Khóa IV) về chính sách khoa học và kỹ thuật có dạo nêu: “…cần có những biện pháp để sớm phát hiện những mầm mống các tài năng từ những trường phổ thông cơ sở, tiếp tục đào tạo những học sinh xuất sắc nhanh chóng trở thành những cán bộ khoa học kỹ thuật giỏi và trẻ tuổi”
Tại trại nghiên cứu cải cách giáo dục tháng 4 năm 1996, đồng chí Phạm Văn Đồng
đã nói: “Phải chú trọng đào tạo nhân tài.phải chọn từ các em cấp 1, nhất là từ cấp hai, những em có khả năng, năng khiếu đặc biệt, nhất là về Toán, Lý, Hóa, Nhạc, Thể dục và phát hiện ngay, phát hiện sớm rồi mình đào tạo đặc biệt, trong 10 đến 15 năm nữa mình sẽ có những nhà Bác học giỏi Không có cách nào khác đâu Nếu
Trang 2mình cứ để nó bình thường thì sẽ mai một đi uổng công lắm”
II Đây là vấn đề hầu hết các nước tiên tiến trên thế giới đều có sự quan tâm đặc
biệtcả trong lĩnh vực nghiên cứu và thực hiện, trong đó đặc biệt chú ý hơn là cả việc phát hiện và bồi dưỡng cho học sinh năng khiếu về toán Tuy nhiên, cho đến nay vẫn chưa có được định nghĩa thống nhất về năng lực chung cũng như năng lực Toán học nói riêng Vì vậy, ở đây chúng tôi lựa chọn trên các quan niệm sau đây:
(1) Năng lực là đặc điểm tâm lý cá nhân của con người đáp ứng được yêu cầu của một loại hoạt động nhất định là điều kiện cần thiết để hoàn thành có kết quả tốt đẹp loại hoạt động đó
Năng khiếu được hiểu là mầm mống của tài năng Năng khiếu được phát hiện sớm
và bồi dưỡng có hệ thống sẽ phát triển và có thể đạt tới đỉnh cao của nó là tài năng Năng khiếu là tín hiệu của tài năng tương lai (theo Phạm Văn Hoàng – Nguyên Cảnh Nam – Về vấn đề phát hiện, bồi dưỡng chính sách đối với năng khiếu, tài năng – Thông tin Khoa học Giáo dục số 15 năm 1999)
(2) Khái niệm năng lực toán học sẽ được giải thích trên hai phương diện:
Như là năng lực sáng tạo (khoa học) – năng lực hoạt động khoa học toán mà hoạt động này tạo ra được những kết quả, thành tựu mới có ý nghĩa khách quan đối với loài người, sản phẩm quý giá trong quan hệ xã hội
Như là năng lực học tập – năng lực nghiên cứu (học tập, lĩnh hội) toán học (trong trường hợp này là giáo trình toán phổ thông), lãnh hội nhanh chóng có kết quả cao các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực toán học tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc trong những điều kiện như nhau (theo V.A.Krutexki trong “Tâm lý năng lực toán học của học sinh”
III Các năng lực Toán học đã lôi cuốn sự chú ý rộng rãi của giới khoa học và các
nhà giáo dục từ đầu thế kỉ này Nhà toán học Pháp A.Poăng ca rê là một trong những người đầu tiên đề xướng việc nghiên cứu vấn đề này Ông công nhận có tính
Trang 3đặc thù của các năng lực sáng tạo toán học và đã chỉ ra những thành phần quan
trọng nhất của chúng là trực giác toán học Từ đó, các nhà tâm lý học bắt đầu
nghiên cứu các năng lực toán học của học sinh, họ đưa ra ba dạng năng lực là: Năng lực số học; năng lực đại số; năng lực hình học Và đã có nhiều cuộc tranh luận về viẹc tồn tại các năng lực toán học chung hay không
Các kết luận từ các nghiên cứu thực nghiệm cũng cực kì mâu thuẫn: một số khẳng định có tồn tại các năng lực toán học chung; một số khác phủ nhận điều đó khi xét thấy các năng lực toán học riêng ở trên dường như không liên quan với nhau và ngoài các năng lực toán học riêng đó, họ chỉ thấy các năng lực trí tuệ chung
Cùng với các công trình nghiên cứu theo phương pháp phân tích nhân tố, các nhà tâm lý học còn vận dụng phương pháp quan sát Nhờ phương pháp này, vào đầu những năm 20, các nhà toán học đã cố gắng nêu ra các thành phần của năng lực toán học Chúng tôi xin dẫn ra một số ví dụ:
A.Kâymerôn; (1) Năng lực phân tích các cấu trúc toán học và phối hợp lại các yếu
tố của chúng; (2) Năng lực so sánh và phân loại cá dữ kiện số và không gian; (3) Năng lực vận dụng các nguyên tắc chung và sử dụng các con số trừu tượng; (4) Trí tưởng tượng
V.Commerel;(1) Tư duy logic rõ ràng; (2) Sức trừu tượng hóa; (3) Năng lực tổ
hợp; (4) Năng lực về các phép toán và biểu tượng không gian; (5) Tính phê phán của tư duy; (6) Trí nhớ
G.Tômác; (1) Năng lực trừu tượng hóa; (2) Năng lực suy luận logic; (3) Tri giác
đặc thù; (4) Có kỹ năng sử dụng các công thức; (5) Năng lực trực giác; (6) Trí tưởng tượng toán học
Nhưng được đực biệt chú ý là các công trình nghiên cứu về năng lực toán học của nhà tâm lý học Mỹ vĩ đại E.Tooc dai, một phần lớn các công trình này đến nay vẫn được quan tâm
Trang 4Trong cuốn “Tâm lý học đại số”, trước tiên E.Tooc dai đã đưa ra các năng lực tổng
quát: (1) Năng lực tiếp xúc với các kí hiệu; (2) Năng lực lựa chọn và tiếp xúc với các kí hiệu; (3) Năng lực khái quát hóa và hệ thống hóa; (4) Năng lực lựa chọn các
dữ kiện và các yếu tố cơ bản một cách hợp lý; (5) Năng lực quy các thói quen và ý
đồ thành hệ thống
Sau đó ông mới đưa ra các năng lực đại số trực tiếp: (1) Năng lực hiểu và thiết lập công thức; (2) Năng lực biểu diễn các tương quan số lượng thành dạng các công thức; (3) Năng lực biến đổi các công thức; (4) Năng lực thiết lập các phương trình biểu diễn các quan hệ số lượng đã cho; (5) Năng lực giải các phương trình; (6) Năng lực thực hiện các phép biến đổi đại số đồng nhất; (7) Năng lực biểu diễn bằng đồ thị, sự phụ thuộc hàm của hai đại lượng,…
V.Haker và T Sighen đã nêu ra bốn thành phần phức hợp cơ bản gọi là “nhân” của
năng lực toán học: (1) Thành phần không gian; (2) Thành phần logic; (3) Thành phần số; (4) Thành phần kí hiệu
Vào giữa những năm 30, G.Hem ly đã đưa ra 3 thao tác với tư cách là các yếu tố cơ
bản của tư duy toán học: (1) Phân loại – phân tư liệu thành các nhóm với cùng tính chất; (2) Phân bậc – bên trong các nhóm tách ra thành một thứ tự trội đặc trưng cho nội dung của chúng; (3) Tương ứng – làm rõ tương ứng của các quan hệ giữa các phần tử của các nhóm khác nhau
Theo tác giả, tính hiệu quả của việc thực hiện các thao tác đó trên các đối tượng số học, đại số và hình học sẽ xác định năng lực toán học
A.Blăcoel cho rằng: Ngoài thành phần cơ bản của tư duy toán học, tức là với năng
lực tư duy lựa chọn, năng lực suy diễn trong các lĩnh vực số và kí hiệu, năng lực tư duy trừu tượng còn nhấn mạnh đến năng lực sử dụng các đối tượng không gian, năng lực diễn đạt bằng lời cũng như năng lực lưu trữ trong trí nhớ các dữ kiện trong nghĩa chính xác và chặt chẽ của chúng
Trang 5E.Misen cho rằng: Tư duy toán học được đặc trưng bởi các quá trình sau: (1) Phân
loại; (2) Hiểu và sử dụng được các kí hiệu; (3) Suy diễn; (4) Sử dụng được các tư tưởng và các khái niệm trong dạng trừu tượng không cần dựa vào các cứ liệu cụ thể
Trong những năm 50, M.Hemsơ lại quay về với các hệ thống thao tác tư duy của
G.Hemly và nhờ đó đã thiết lập được rằng: sự yếu kém của trẻ em trong phát triển toán học được bọc lộ thông thường trong tất cả 3 phân môn số học, đại số và hình học Tác giả xem đó như là một chứng cứ cho sự tồn tại của một nhân tố toán học
có tính chất nhóm
Cũng đi tới cùng một kết luận như thế còn có D.Ly Ông đa áp dụng các thao tác
của G.Hemly vào các dạng toán sau ( theo ý của tác giả là đặc trưng cho cả 3 phân môn toán): tính phần trăm, giải phương trình bậc hai, chứng minh nhóm cá định lý
về đường tròn Nhờ có những bộ Test đó, người ta nghiên cứu năng lực của 100 học sinh ở các độ tuổi khác nhau Các kết quả thử nghiệm bằng Test đã được nghiên cứu bằng phương pháp phân tích nhân tố
Năm 1950, ở Mỹ đã tổ chức một hội nghị về chuyên đề: “Các cách thức phát hiện
và giáo dục học sinh có tiềm năng trong khoa học” Riêng các tiềm năng trong Toán học được các nhà tâm lý học xác định bằng các bộ Test theo các thành phần sau: trí tuệ chung, năng lực suy luận trừu tượng, năng lực biểu tượng không gian, năng lực đọc và hiểu các bài khóa khoa học, năng lực minh họa các quan hệ, … Các
giáo viên đã đưa vào các tiềm năng đó: (1) Trí nhớ phi thường; (2) Tính ham hiểu biết về mặt trí tuệ; (3) Năng lực tư duy trừu tượng; (4) Năng lực áp dụng kiến thức vào các tình huống mới; (5) Năng lực nhanh chóng “nhìn thấy” kết quả khi giải bài tập
Tâm lý học Ghecstan, mặc dù đã đánh đồng tư duy với sự phát triển của tình
huống có vấn đề bên ngoài hoạt động của chủ thể tư duy và bỏ qua kinh nghiệm đã
có của con người, vẫn có nhiều kết quả lý thú trong việc nghiên cứu quá trình suy
Trang 6luận sáng tạo khi giải toán Chẳng hạn, K.Duncơ đã kết luận rằng: Lời giải sẽ xuất
hiện từ việc xem xét các dữ kiện của bài toán dưới góc độ của điều cần tìm, từ một cấu trúc lại tình huống, và tính dễ dàng tương đối của việc thực hiện cấu trúc lại sẽ đặc trưng cho tài năng của cá nhân Con người bao quát càng nhiều khía cạnh dưới cùng một quan điểm và các khía cạnh đó càng khác nhau thì anh ta càng có năng lực Để giải quyết được các bài toán đòi hỏi phải có các năng lực như tầm rộng lớn
và tính linh hoạt của tư duy, năng lực trừu tượng hóa từ những cái cụ thể N.Mayơ
cũng nhấn mạnh đến tầm quan trọng của tính linh hoạt của tư duy được thể hiện khi kết hợp lại các dữ kiện của bài toán phù hợp với khuynh hướng của quá trình tư duy khi giải nó Các cách giải quen thuộc, theo tác giả, sẽ kìm hãm việc tìm ra lời giải đúng đắn
Nhà tâm lý học hiện đại G Piagiê rất coi trọng các thao tác tư duy Ông đã phân
ra các giai đoạn trong sự phát triển trí tuệ, bao gồm: giai đoạn các thao tác cụ thể gắn liền với các dữ kiện cụ thể ít hình thức hóa và giai đoạn các thao tác hình thức hóa và khái quát hóa khi các cấu trúc thao tác đã được hình thành Ông đã gắn cấu
trúc thao tác này với ba cấu trúc toán học cơ bản [cấu trúc đại số; cấu trúc thứ tự; cấu trúc tôp] Ông đã phát hiện ra được tất cả các kiểu cấu trúc này trong sự phát
triển của các thao tác hình học và số học trong ý thức của đứa trẻ và trong đặc điểm của các thao tác logic Từ đó, ông đưa ra kết luận về sự cần thiết phải tổng hợp các cấu trúc toán học và cấu trúc thao tác của tư duy trong quá trình dạy toán
Nhà tâm lý học Thụy Điển Y.Vecdelin đưa ra một định nghĩa rọng về năng lực
toán học, trong đó bao gồm các khía cạnh tái tạo và sáng tạo, hiểu và vận dụng, nhưng ông tập trung chú ý nhất vào khía cạnh quan trọng là sáng tạo trong quá trình giải toán Theo ông, phương pháp dạy học có thể dựa vào đặc điểm của các năng lực toán học Y.Vecdelin xây dựng được 5 bộ Test và mỗi bộ đều có giá trị
lớn theo một trong các nhân tố sau: nhân tốtổng quát; nhân tố tính toán; nhân tố ngôn ngữ; nhân tố hình ảnh và nhân tố suy luận cũng như một nhóm các Test riêng
về toán (nhóm các bài toán) Công trình nghiên cứu cơ bản của ông, đã có sử dụng
Trang 736 Test cho 217 học sinh trong độ tuổi 14 – 15, đã chỉ ra rằng: các Test toán học
không có ý nghĩa đối với ba nhân tố tính toán, ngôn ngữ và hình ảnh Ông đề nghị,
tiếp tục nghiên cứu ý nghĩa của nhân tố này đối với năng lực toán học và tác giải
cũng chỉ mới rút ra một kết luận là năng lực toán học được xác định bởi nhân tố cơ bản – nhân tố suy luận toán học tổng quát, và ông thấy rằng mọi Test toán đều có ý nghĩa lớn đối với nhân tố này Ngoài ra, khi nhận thấy có một mối quan hệ cực kì mật thiết giữa R – nhân tố suy luận toán học tổng quát với G – nhân tố trí tuệ chung trong quá trình nghiên cứu, ông đã kết luận rằng nhân tố R nằm trong cơ sở của năng lực trí tuệ chung và nhân tố R có một nền năng lực trí tuệ chung
Nhà Tâm lý học Liên Xô A.Côvaliốp và V.N.Miaxiexep, khi nghiên cứu các năng
lực toán học đã đưa ra các đặc điểm sau đây của tư duy toán học: (1) Có thiên hướng về các thao tác với các con số, về giải toán và mức cao hơn nữa là có thiên hướng và hứng thú đến các vấn đề toán học; (2) Lĩnh hội nhanh chóng các quy tắc đếm và số học; (3) Biểu lộ đặc biệt mạnh sự phát triển tư duy trừu tượng, năng lực phối hợp và phân tích – tổng hợptrong lĩnh vực về sử dụng các biểu tượng về dấu
và số; (4) Tính độc lập và độc đáo phát triển trong khi giải quyết các vấn đề toán học và sự tăng cường tư duy sáng tạo; (5) Tính tích cực về mặt ý chí và sức làm việc cao trong lao động toán học; (6) Chuyển thiên hướng và nhu cầu thành say mê khi việc nghiên cứu toán học trở thành sứ mệnh: sự hoạt động có hiệu quả về số lượng và chất lượng cho phép phát hiện các chỉ số ngày càng trội hơn các bạn cùng lứa
Nhà Toán học Xô viết Ta Khin Chin, đưa ra ý kiến khá hay khi chỉ ra các nét sau
đây của tư duy toán học: (1) Tính chủ đạo của sơ đồ logic của suy luận; (2) Tính cơ động (khát vọng tìm kiếm con đường đạt mục đích ngắn nhất); (3) Tính phân chia rành mạch tiến trình suy luận; (4) Tính chính xác ( mỗi biểu tượng toán học có một
ý nghĩa hoàn toàn xác định)
Viện sĩ A.N.Cônmôgôrôp trong tác phẩm: “ Về nghề nghiệp của các nhà toán học”
Trang 8đã chỉ ra rằng năng lực ghi nhớ một cách máy móc một số lượng các sự kiện công thức, cộng và nhân nhẫm hàng dãy các số có nhiều chữ số không quan hệ gì đến
năng lực toán học Trong thành phần các năng lực toán học, ông nêu ra: (1) Năng lực biến đổi thành thạo các biểu thức chữ phức tạp, năng lực tìm kiếm các cách hay
để giải các phương trình không phù hợp với các quy tắc thông thường, hoặc như các nhà toán học gọi là năng lực tính toán hay năng lực “angorit”; (2) Trí tưởng tượng hình học hoặc “trực giác hình học”; (3) Nghệ thuật suy luận logic, được phân nhỏ hợp lý, tuần tự: có thể nói rằng tiêu chuẩn của sự trưởng thành logic cần thiết cho các nhà toán học là hiểu nguyên nhân quy nạp toán học và các kỹ năng vận dụng nó một cách đúng đắn; (4) Ông còn nhấn mạnh: Các khía cạnh khác nhau của năng lực toán học thường được gặp trong các tổ hợp khác nhau và năng lực này thường được bộc lộ rất sớm đòi hỏi phải luyện tập liên tục chúng tôi nghĩ rằng điều này có ý nghĩa rất lớn
Viện sĩ B.V Ghownhedenco ttrong một loạt bài báo đăng trong tạp chí “ toán học
trong nhà trường” các năm 1962 – 1965 đã đưa các tính chất sau của tư duy toán
học: (1) Năng lực nhìn thấy tính không ra ràng của suy luận: thấy được sự thiếu vắng các mắt xích cần thiết của chứng minh; (2) Có thói quen lý giải logic một cách đầy đủ; (3) Chia rõ một cách rõ ràng tiến trình suy luận; (4) Sự cô đọng; (5) Sự chính xác của kí hiệu
Viện sĩ A.T.Maccuxêvich trong khi nhấn mạnh đến đòi hỏi quen thuộc nhất đối với
chúng ta về năng lực biểu tượng không gian và số lượng đã chỉ ra các phẩm chất sau
đây của trí tuệ và tính cách cần được giáo dục cùng với việc dạy toán: (1)Có kỹ năng biết tách ra cái bản chất của vấn đề và loại bỏ các chi tiết không cơ bản (kỹ năng trừu tượng hóa); (2) Kỹ năng xây dựng được sơ đồ của hiện tượng sao cho trong đó chỉ giữ lại những gì cần thiết cho việc giải thích vấn đề về mặt toán học,
đó chính là các quan hệ thuộc, thứ tự, số lượng và độ đo, phân bổ không gian(kỹ năng sơ đồ hóa); (3)Kỹ năng rút ra các hệ quả logic từ các tiêu chí đã cho(tư duy suy diễn); (4) Kỹ năng phân tích vấn đề đã cho thành các trường hợp riêng, kỹ năng
Trang 9phân biệt được khi nào chúng bao quát được mọi khả năng, khi nào chúng chỉ là các ví dụ chứ không bao quát hết mọi khả năng; (5)Kỹ năng vận dụng các kết quả rút ra được từ các suy luận lý thuyết cho các vấn đề cụ thể và đối chiếu các kết quả
đó với các kết quả dự kiến, kỹ năng đánh giá ảnh hưởng của việc thay đổi điều kiện đến độ tin cậy của các kết quả; (6)Khái quát hóa các kết quả nhận được và đặt ra những vấn đề mởi dạng khái quát
X.L Sưvacbuôc sau khi khái quát hóa ý kiến của các nhà toán học đã nghiên cứu
các yếu tố sau đây trong sự phát triển toán học: (1) Các biểu tượng không gian; (2)
Tư duy trừu tượng; (3) Chuyển thành sơ đồ toán học; (4) Tư duy suy diễn; (5) Phân tích, xem xét các trường hợp riêng; (6) Áp dụng các kết luận; (7) Tính phê phán; (8) Ngôn ngữ toán học; (9) Kiên trì khi giải toán
IV Công trình nghiên cứu tâm lý năng lực Toán học của V.A.KRUTECXKI
[Quyển_ Tâm lý năng lực toán học của học sinh; năm 1967; GS Phạm Văn Hoàn
và các công sự trích dịch sang Tiếng Việt năm 1973]
Quyển sách gồm 18 chương Trong chương “Giả thuyết các thành phần của năng
lực học toán với tư cách là cơ sở của nghiên cứu thực nghiệm”, tác giả nêu ra các
thành phần sau đây: (1) Năng lực hình thức hóa tư liệu toán học, năng lực tách hình thức ra khỏi nội dung, năng lực trừu tượng hóa từ các quan hệ số lượng cụ thể và các hình dạng không gian và sử dụng các cấu trúc hình thức, các cấu trúc của các quan hệ và các liên hệ; (2) Năng lực khái quát hóa tư liệu toán học, tách cái chính
và bỏ qua những cái không cơ bản, nhìn thấy cái chung trong sự khác nhau bên ngoài; (3) Năng lực sử dụng hệ thống dấu và số; (4) Năng lực suy luận logic, được phân nhỏ hợp lí, tuần tự, (A.N Cônmôgôrôp), có liên qua đến nhu cầu phải chứng minh, biện chứng (luận), kết luận; (5) Năng lực rút gọn quá trình suy luận, tư duy bằng các cấu trúc thu gọn; (6) Năng lực tư duy thuận nghịch (năng lực chuyển hóa
từ quá trình thuận sang đảo của tư duy); (7) Tính linh hoạt của tư duy, năng lực chuyển hóa từ thao tác trí tuệ này sang thao tác trí tuệ khác, thoát được sự ràng
Trang 10buộc vào các khuôn mẫu, công thức (đặc điểm này của tư duy có tầm quan trọng trong công việc sáng tạo của các nhà toán học); (8) Trí nhớ toán học(trí nhớ các khái quát hóa, các các cấu trúc hình thức, các sơ đồ logic); (9) Năng lực của biểu tượng không gian
Tác giả khẳng định rằng: Các năng lực này ông rút ra từ các đặc trưng cơ bản của tư duy toán học và đã cố gắng loại bỏ những phạm trù có tính chất khái quát nhất (chẳng hạn năng lực tư duy trừu tượng), “cố gắng biểu diễn chúng bằng những cái
đã được khai triển thành những phạm trù rõ ràng và xác định hơn” Tuy nhiên, chính điều đó theo ý chúng tôi, ông đã đạt được, vì năng lực liệt kê ở trên cũng mang tính khái quát Loại bỏ tư duy năng lực trừu tượng, có lẻ là không hợp lý lắm Năng lực này, như chúng tôi đã kể đến ở trên, hầu như đều có mặt trong các phương
án cấu trúc năng lực toán học Nhấn mạnh đến kỹ năng trừu tượng hóa A.I
Mác-ci-xê-vích đã nói: “Chúng tôi nhấn mạnh đến điều đó, đó chính vì phương pháp cơ bản của toán học – đó chính là trừu tượng hóa”[A.I.Mác-cu-xê-vích; Về nhiệm vụ trước mắt của việc giảng dạy toán ở trường phổ thông; tạp chí toán họctrong nhà trường, số 2 năm 1962] Cùng với ý kiến trên, chúng tôi nghĩ rằng, sự phản ánh rõ
nét các thao tác tư duy tương ứng với các phương pháp toán học phải nhất thiết có trong mọi sơ đồ cấu trúc năng lực toán học Tất nhiên không có một khoa học nào thiếu được sự trừu tượng hóa để trên cơ sở đó xây dựng các khái niệm làm cơ sở cho khoa học đó Nhưng trong toán học, sự trừu tượng hóa – đó là phương pháp cơ bản và đạt đến mức mới cao nhất về chất
Tổng kết các công trình nghiên cứu, V.A Krutecxki đã đi đến sơ đồ tổng quát sau
đây về cấu trúc năng lực toán học của học sinh: (1) Thu nhận thông tin toán học:
Năng lực tri giác hình thức hóa tài liệu toán học, năng lực cấu trúc hình thức của
bài toán; (2) Chế biến thông tin toán học: (a) Năng lực tư duy logic trong lĩnh vực
các quan hệ số lượng và hình dạng không gian, hệ thống kí hiệu số và dấu Năng lực tư duy bằng các kí hiệu toán học, (b)Năng lực khái quát hóa nhanh và rộng các đối tượng, quan hệ toán học và các phép toán, (c) Năng lực rút gọn các quá trình