PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG (LUẬN VĂN THẠC SĨ)

PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG (LUẬN VĂN THẠC SĨ)PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG (LUẬN VĂN THẠC SĨ)PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG (LUẬN VĂN THẠC SĨ)PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG (LUẬN VĂN THẠC SĨ)PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG (LUẬN VĂN THẠC SĨ)PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG (LUẬN VĂN THẠC SĨ)PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG (LUẬN VĂN THẠC SĨ)PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG (LUẬN VĂN THẠC SĨ)PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG (LUẬN VĂN THẠC SĨ)PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG (LUẬN VĂN THẠC SĨ)PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG (LUẬN VĂN THẠC SĨ)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

ĐÀO THỊ BÍCH THẢO

PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

MỤC LỤC

TỔNG QUAN 1

Chương 1 - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ 3

1.1 Một số khái niệm cơ bản 3

1.2 Phép biến đổi tọa độ 5

1.2.1 Hệ tọa độ Đề các 5

1.2.2 Hệ tọa độ cong 7

1.2.3 Phép biến đổi tọa độ 8

1.2.4 Tenxơ metric trong không gian Euclide 14

1.3 Thành phần vật lý của tenxơ 20

1.3.1 Tenxơ hạng nhất 20

1.3.2 Tenxơ hạng hai 21

1.3.3 Khai triển cụ thể 21

1.4 Đạo hàm hiệp biến 23

1.4.1 Đạo hàm véctơ cơ sở 23

1.4.2 Kí hiệu Christoffel 25

1.4.3 Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng nhất 31

1.4.4 Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng hai 32

Chương 2 - MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TENXƠ 33

2.1 Ứng dụng tenxơ xác định phương trình cân bằng- chuyển động 33

2.2 Ứng dụng tenxơ xác định các thành phần liên hệ biến dạng- chuyển vị 42

2.3 Ứng dụng tenxơ trong bài toán vỏ mỏng 48

2.3.1 Trình bày lý thuyết vỏ mỏng đàn hồi 48

2.3.2 Thành phần biến dạng của vỏ mỏng 49

2.3.3 Phương trình cân bằng 52

2.3.4 Khai triển cho vỏ trụ, vỏ cầu 53

TỔNG QUAN

Tenxơ là một khái niệm trong toán học phục vụ cho việc thiết lập và giải quyết các vấn đề vật lý trong nhiều lĩnh vực như cơ học môi trường liên tục, lý thuyết đàn hồi, lý thuyết tương đối rộng… Tenxơ lần đầu tiên được nghiên cứu bởi các nhà toán học Tullio Levi-Civita và Gregorio Ricci- Curbastro cùng một số nhà toán học khác Trong luận văn này tenxơ được sử dụng để biểu diễn quan hệ ánh xạ giữa các tập véctơ hình học

Để giải các bài toán trong lý thuyết đàn hồi người ta thường sử dụng hệ các phương trình cân bằng, phương trình chuyển động, hệ thức Côsi liên hệ biến dạng - chuyển vị Việc thiết lập các phương trình đó dựa trên các hệ tọa độ cong như hệ tọa

độ trụ, hệ tọa độ cầu ,….là tương đối phức tạp Vì vậy trong các bài báo hay các giáo trình cơ học nói chung thường chỉ nêu ra trực tiếp phương trình cân bằng, hệ thức Côsi mà không nói rõ các bước biến đổi để thu được kết quả

Luận văn trình bày rõ ràng các khái niệm, phép tính cơ bản, các phép biến đổi của tenxơ Trên cơ sở đó vận dụng các phép tính của tenxơ để xác định các phương trình liên hệ biến dạng - chuyển vị, các phương trình cân bằng- chuyển động trong

hệ tọa độ cong bất kỳ Từ kết quả trên sau khi biến đổi, tác giả đã thu được các phương trình liên hệ biến dạng – chuyển vị cũng như hệ phương trình cân bằng trong hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu

Luận văn bao gồm phần mục lục, tổng quan, hai chương, phần kết luận và tài liệu tham khảo Nội dung chính của luận văn bao gồm:

- Chương 1 trình bày khái niệm, thành phần vật lý của tenxơ, một số phép tính của tenxơ và đạo hàm hiệp biến của ten xơ hạng nhất, hạng hai Đồng thời tác giả cũng trình bày cách biến đổi để thu được hệ véctơ cơ sở, tenxơ mêtric hiệp biến và phản biến, các thành phần của kí hiệu Christoffel, hệ số Lamé trong hệ tọa độ cong, cụ thể là hệ tọa độ trụ và cầu, từ đó giúp ích cho việc xác định các phương trình cân bằng- chuyển động, phương trình liên hệ biến dạng- chuyển vị ở chương 2

- Chương 2 vận dụng các hệ thức cơ sở của phép tính tenxơ để xây dựng các phương trình cân bằng- chuyển động và xây dựng các phương trình liên hệ biến dạng- chuyển vị Đồng thời cũng trình bày ứng dụng của tenxơ trong bài toán vỏ mỏng, cụ thể hơn là áp dụng khai triển cho vỏ trụ và vỏ cầu

Nội dung của luận văn sẽ được trình bày chi tiết dưới đây:

Chương 1 - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ

1.1 Một số khái niệm cơ bản

Nếu thay đổi vị trí của 2 chỉ số cho nhau, thành phần của hệ thống chỉ thay đổi dấu

mà không thay đổi giá trị tuyệt đối thì hệ thống là hệ thống phản đối xứng

khi là hoán vị lẻ của các số 1, 2, 3

Cụ thể: ,

,

Cách thành phần còn lại của

Loại tenxơ

Loại tenxơ (phản biến, hiệp biến, hỗn hợp) đƣợc xác định bởi vị trí của chỉ số

Hệ thống hạng hai gọi là tenxơ hiệp biến hạng hai

Hệ thống hạng hai gọi là tenxơ phản biến hạng hai

Hệ thống hạng hai gọi là tenxơ hỗn hợp hạng hai

1.2 Phép biến đổi tọa độ

1.2.1 Hệ tọa độ Đề các

Xét trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc với véc tơ cơ sở { ⃗ ⃗ ⃗ } (Hình 1)

⃗⃗ ⃗⃗ là véctơ bán kính của điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ Đềcác

Véc tơ ⃗⃗ được biểu diễn dưới dạng

⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ (1.1) Xét điểm Q là lân cận của điểm P

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

là độ dài bình phương vô cùng nhỏ của ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

Do trong hệ tọa độ Đềcác hệ các véctơ cơ sở { ⃗ ⃗ ⃗ } là các véctơ đơn vị và trực giao nên tích vô hướng ⃗ ⃗=0 nếu , ⃗ ⃗ nếu nên ⃗ ⃗ Suy ra:

⃗ ⃗

a Các phép tính đối với tenxơ hạng nhất ( vectơ )

Xét một hệ thống ⃗ có các thành phần trong hệ cơ sở ⃗

Phép cộng

⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Nhân với một số

O

Hình 1

⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗

Nhân vô hướng ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

Nhân véctơ ⃗ ⃗⃗ | ⃗ ⃗ ⃗ |

⃗ ⃗ ⃗

Hay viết dưới dạng: ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⏟

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗

Tích hỗn hợp ( ⃗ ⃗⃗) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

Tích tenxơ ( ký hiệu tích tenxơ là ) ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

b Các phép tính đối với tenxơ hạng hai Tenxơ hạng cao Đối với tenxơ hạng hai và tenxơ hạng cao, các phép tính cũng được thực hiện tương tự như đối với tenxơ hạng nhất Chú ý là phép tính cộng, trừ chỉ áp dụng được với các tenxơ cùng hạng và cùng loại Phép nhân có thể thực hiện với hai tenxơ có hạng bất kỳ Ví dụ: xét tenxơ hạng hai : ⃗ ⃗

Phép cộng

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ( ) ⃗ ⃗

Phép trừ

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ( ) ⃗ ⃗ Phép nhân vô hướng

⃗ ⃗ ⃗ ⃗( ⃗ ⃗ ) ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗( ⃗ ⃗ ) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Tích tenxơ

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Phép nhân( tích tenxơ) của các ten xơ dẫn đến tenxơ hạng cao hơn với chú ý sau các phép cộng và nhân tenxơ, chỉ số dưới vẫn là chỉ số dưới, chỉ số trên vẫn là chỉ số

Biểu diễn véc tơ ⃗⃗ dưới dạng : ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Lấy điểm là lân cận của điểm

Độ dài bình phương của véc tơ vô cùng nhỏ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ được xác định bằng

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Trong đó ⃗ ⃗

Phép tính đối với vectơ

Cho hai véctơ ⃗ ⃗ ⃗ và ⃗⃗ ⃗ ⃗

Phép cộng, trừ

⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ Tích vô hướng

⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

1.2.3 Phép biến đổi tọa độ

Bán kính ⃗⃗ của điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ Đềcác ⃗ ⃗ ⃗ biểu diễn dưới dạng:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Với các véc tơ cơ sở ⃗ là không đổi

Trong tọa độ cong bất kỳ, các biến liên hệ với tọa đồ Đề các trong miền đang xét bằng phép biến đổi thuận nghịch liên tục vi phân được, đơn trị

và Jacôbiên của 2 phép biến đổi thuẩn nghịch đều khác không

|

| ̅ |

|

Ta có:

⃗⃗ (1.3) Các véctơ ⃗ ⃗ ⃗ thay đổi từ điểm này sang điểm khác gọi là

hệ véctơ cơ sở hiệp biến của hệ tọa độ cong Trong đó

⃗ là véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ ;

⃗ là véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ ;

⃗ là véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ

Cùng với hệ véctơ cơ sở ⃗, ta đưa vào hệ véctơ cơ sở phản biến ⃗ liên hệ theo hệ thức sau

Nếu xét một lân cận vô cùng nhỏ của điểm P trong tọa độ cong, thì chuyển dịch vô cùng nhỏ từ tới điểm cho ta vi phân vô cùng nhỏ của véc tơ bán kính ⃗⃗ của điểm

Phép biến đổi đơn trị, thuận nghịch vi phân được từ hệ tọa độ cong này sang hệ tọa độ cong khác ( )

|

Khai triển cụ thể sẽ đƣợc kết quả:

⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗

⃗⃗

Đối với tenxơ hạng hai

Một tenxơ hạng hai bất kỳ có thể biểu diễn dưới dạng:

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Trong đó là các thành phần 2 lần phản biến của tenxơ

là các thành phần 2 lần hiệp biến của tenxơ

là các thành phần 1 lần phản biến, 1 lần hiệp biến của tenxơ

Khi biến đổi từ hệ tọa độ cong này sang hệ tọa độ cong khác với cơ sở { ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ } tenxơ hạng 2 sẽ được biểu diễn trong hệ cơ sở mới với các thành phần 2 lần phản biến như sau:

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗

⃗⃗

⃗⃗

Nếu biểu diễn dưới dạng các thành phần hiệp biến, tenxơ bậc 2 sẽ có dạng:

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗

⃗ ⃗

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

Vậy:

Hệ thống gồm có 9 phần tử

Biểu diễn tenxơ hạng 2 với các thành phần 1 lần phản biến, 1 lần hiệp biến:

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗⃗

⃗

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

Vậy:

Tương tự đối với tenxơ hạng cao ta có:

Tenxơ kết hợp

Do các véc tơ ⃗ ⃗ đều là các véctơ cơ sở nên véctơ ⃗ có thể biểu diễn thông qua

hệ véctơ cơ sở ⃗ và ngược lại

Thay (1.21) và ( 1.20) có

Làm tương tự, ta nhân hai vế của ( 1.19) với ⃗

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

Tương tự tính được

Thay các vào ( 1.19) suy ra

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Ngược lại véc tơ ⃗ có thể biểu diễn qua các cơ sở ⃗ Ví dụ

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Nhân cả 2 vế của ( 1.23) với ⃗ sẽ được

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

Do ⃗ ⃗ ⃗ nên ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

Thực hiện tương tự, nhân hai vế của ( 1.23) với ⃗ sẽ có

Nhân 2 vế của ( 1.23) với ⃗

Thay vào ( 1.23)

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Hay

⃗ ⃗

Từ ( 1.22) và ( 1.24) ta có phép nâng, hạ chỉ số như sau:

⃗ ⃗ ( phép nâng chỉ số)

⃗ ⃗ ( phép hạ chỉ số)

1.2.4 Tenxơ metric trong không gian Euclide

a Tenxơ mêtric hiệp biến

Xét trong hệ tọa độ Đềcác Gọi là độ dài bình phương của véctơ vô cùng nhỏ là

Từ biểu thức ( 1.25) ta biến đổi

Đồng nhất (1.26) với (1.27) nhận được

Từ đó ta có các thành phần của tenxơ mêtric hiệp biến như sau

(

) (

) (

)

(

) (

) (

)

(

) (

) (

)

b Xác định tenxơ mêtric phản biến

Hệ véctơ cơ sở phản biến ⃗ liên hệ với các véctơ cơ sở hiệp biến qua biểu thức

⃗ ⃗ - tenxơ Kronecker Với hệ cơ sở ⃗ ⃗ ⃗ đã biết ta xác định đƣợc

√ ⃗ ⃗ ⃗ hay | | Đặt:

√ ̃ ⃗ ⃗ ⃗

√ Nếu trong hệ tọa độ cong trực giao ( ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ , các véc tơ cơ

Sử dụng biểu thức (1.4) thay vào phép tính ta đƣợc:

⃗ √ ⃗ √ ⃗ √ ⃗ √ ⃗ √ ⃗ √

Suy ra từ công thức (1.31)

⃗

⃗

Thay (1.31) vào (1.29) ta có các thành phần của tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa độ trụ

Vậy: | |

Suy ra √

Thay (1.32) vào (1.30) ta sẽ thu đƣợc các thành phần của tenxơ metric phản biến trong hệ tọa độ trụ ⃗ ⃗

⃗ ⃗

⃗ ⃗

Suy ra : ⃗

⃗ ( *

⃗

Vậy: ,

Trong hệ tọa độ cầu (Hình 4)

Phép biến đổi tọa độ:

Ta tính đƣợc các đạo hàm riêng

Vậy từ (1.3) ta có ⃗

⃗

⃗

Thay (1.33) vào (1.29) ta có các thành phần tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa độ cầu

| |

√

Hình 4

Từ đó ta có các thành phần của tenxơ mêtric phản biến trong tọa độ cong

gọi là hệ số Lamé Thành phần vật lý của véctơ ⃗ có dạng :

√ ( không tổng theo i )

1.3.2 Tenxơ hạng hai

Một tenxơ hạng 2 bất kỳ có thể biểu diễn dưới dạng:

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ √ ⃗ √ √ √ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Suy ra:

( không tổng theo )

là thành phần vật lý của tenxơ hạng hai

Tương tự như trên ta có thể xác định được thành phần vật lý của tenxơ hạng bất kỳ

Tổng kết lại ta có bảng giá trị sau:

Tọa độ trụ (Hình 3) Tọa độ cầu (Hình 4)

⃗

⃗

⃗

⃗ ⃗ ⃗

Bảng 1

1.4 Đạo hàm hiệp biến

1.4.1 Đạo hàm véctơ cơ sở

Sử dụng công thức (1.3) thu đƣợc đạo hàm hiệp biến của véctơ cơ sở

⃗ ⃗ ⃗⃗

Ta biểu thị ⃗ qua các véctơ cơ sở nhƣ sau :

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Vậy :

Các đại lƣợng là hệ số liên quan hay Christoffel loại 1 và loại 2

Để xác định các thành phần của Christoffel ta dựa trên công thức biến đổi hệ véctơ

⃗ Xét

⃗

⃗

⃗

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

Nhân 2 vế của (1.41) với ⃗ Do hệ cong trực giao nên ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ , nên

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Suy ra:

⃗ ⃗ ⃗⃗

⃗ ( ⃗⃗

⃗⃗

⃗⃗

) ⃗ (

⃗

⃗

⃗ ) ⃗

⃗

Tiến hành tương tự, ta nhân lần lượt hai vế của (1.41) với ⃗ ⃗ sẽ thu được

⃗ ⃗

⃗ ⃗

Suy ra:

⃗

⃗

⃗ Công thức tổng quát là

⃗

⃗

⃗ ⃗ Suy ra

⃗

⃗ Đạo hàm ⃗ theo biến

1.4.2 Kí hiệu Christoffel

Kí hiệu Christoffel đã đƣợc xuất hiện ở biểu thức (1.39) Và trong mục này sẽ đi vào xác định các thành phần của kí hiệu đó thông qua tenxơ mêtríc và đạo hàm véctơ cơ sở

a Xác định biểu thức qua tenxơ mêtríc

Suy ra:

(

(

(

Suy ra:

( ) Đạo hàm véctơ cơ sở phản biến

Để xác định đạo hàm véctơ cở sở phản biến ta xuất phát từ biểu thức (1.22): ⃗ ⃗ suy ra

⃗ ⃗ ⃗

Trong đó: ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

Thay (1.49) vào (1.48), (1.48) trở thành:

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ( ) Xét tổng

( ) Với:

(

* Thay (1.52) vào (1.51) cho kết quả

Lại có:

{

Vậy

Hay:

Thay (1.53) vào (1.50) ta nhận đƣợc:

⃗ ⃗

Biểu thức (1.54) là biểu thức xác định thành phần của đạo hàm véctơ cơ sở phản biến

b Biểu thức liên hệ giữa các thành phần và đạo hàm của véctơ cơ sở

Do ta đã xác định đƣợc biểu thức

⃗

⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗

Để xét ⃗ ⃗ ta thay ⃗ ở biểu thức (1.45) vào tích ⃗ ⃗ sẽ có

⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗ (

)

*

( ) Vậy tổng hợp 3 biểu thức trên ta đƣợc kết quả nhƣ sau:

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

Trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc các véctơ cơ sở ⃗ không đổi,

Suy ra:

Hay

Trong hệ tọa độ cong trực giao, với thì ⃗ ⃗ ⃗

Suy ra

Thay vào công thức (1.47) suy ra:

Thay vào biểu thức (1.40) suy ra

Sử dụng biểu thức (1.47) tính đƣợc các hạng tử

( ) ( )

c Ví dụ

Để tính các thành phần của kí hiệu Christoffel trong hệ tọa độ trụ và cầu, ta sử dụng bảng giá trị ở bảng 1, ta tính ra đƣợc các ⃗ ⃗ rồi thay vào (1.58) sẽ cho ta kết quả

Trong hệ tọa độ trụ,cầu có 27 thành phần nhƣng do tính chất (9 cặp) nên ta chỉ cần tính 18 thành phần Christoffel

Trong hệ tọa độ trụ ( Christoffel loại hai )

Do

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

Nên:

⃗ ⃗ ⃗