Phương pháp xấp xỉ mềm lai ghép giải bài toán điểm bất động

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC——–o0o——– NGUYỄN MẠNH HÀ PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ MỀM LAI GHÉP GIẢI BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016... TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC——–o0o—

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——–o0o——–

NGUYỄN MẠNH HÀ

PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ MỀM LAI GHÉP GIẢI

BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——–o0o——–

NGUYỄN MẠNH HÀ

PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ MỀM LAI GHÉP GIẢI

BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCChuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60.46.01.12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TS NGUYỄN BƯỜNG

Thái Nguyên - 2016

Bảng ký hiệu

N tập hợp các số tự nhiên

N∗ tập hợp các số tự nhiên khác 0

n→∞

xn giới hạn trên của dãy số xnlim inf

n→∞ xn giới hạn dưới của dãy số xn

F ix(T ) tập điểm bất động của ánh xạ T

sự tồn tại điểm bất động; phương pháp lặp xấp xỉ mềm, phương pháplai ghép tìm điểm bất động Luận văn này nhấn mạnh đến cách kếthợp giữa phương pháp xấp xỉ mềm và phương pháp lai ghép trong việcgiải bài toán điểm bất động của một ánh xạ không giãn và của một họcác ánh xạ không giãn trong không gian Banach Luận văn được cấutrúc như sau:

Chương 1: Một số khái niệm cơ bản Chương này trình bày các nộidung sau: Khái niệm và một số đặc trưng của không gian Banach;Khái niệm điểm bất động và một số phương pháp tìm điểm bất độngcủa ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert và không gian Banach(Phương pháp lặp Mann, Phương pháp lặp Halpern, Phương pháp lặpIshikawa, Phương pháp xấp xỉ mềm, Phương pháp chiếu đường dốc).Chương 2: Phương pháp xấp xỉ mềm lai ghép giải bài toán điểm bấtđộng Chương này nêu Phương pháp xấp xỉ mềm lai ghép giải bài toánđiểm bất động nhiều cấp của một ánh xạ không giãn và của một họđếm được các ánh xạ không giãn

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại họcThái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của GS.TS Nguyễn Bường.Qua đây, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Thầy

đã dành thời gian và tâm huyết để hướng dẫn, tạo điều kiện cho tácgiả trong suốt thời gian làm luận văn

Thái nguyên, tháng 9 năm 2016Học viên: Nguyễn Mạnh Hà

Chương 1

Một số vấn đề cơ bản

Trong chương gồm 02 mục: Mục 1.1 trình bày không gian Banach

và một số đặc trưng của không gian Banach; mục 1.2 đề cập đến kháiniệm điểm bất động và một số phương pháp cơ bản tìm điểm bất động.Các kiến thức trong chương được tổng hợp từ các tài liệu [1]-[6].1.1 Không gian Banach và một số đặc trưng của không gian

Banach

Các không gian Banach được định nghĩa là các không gian địnhchuẩn đầy đủ Nghĩa là một không gian Banach là một không gian Xtrên trường số thực hay số phức với một chuẩn k.k sao cho mọi dãyCauchy có giới hạn trong X

Dưới đây, ta sẽ chỉ ra một số ví dụ về không gian Banach với K kýhiệu cho trường số thực hoặc số phức

Không gian Euclid quen thuộc Kn với chuẩn Euclid của x được chobởi x = (x1, x2, · · · , xn) là không gian Banach

Không gian của tất cả các hàm số liên tục f : [a, b] → K xác địnhtrên một đoạn đóng [a, b] trở thành một không gian Banach nếu tađịnh nghĩa chuẩn của hàm số như sau: kf k = sup{|f (x)| : x ∈ [a, b]}.Không gian này được ký hiệu là C[a,b]

Nếu V và W là các không gian Banach trên cùng một trường K,tập hợp các hàm K-tuyến tính liên tục A : V → W được ký hiệu làL(V, W ) Vì L(V, W ) là một không gian vectơ và bằng cách định nghĩachuẩn kAk = sup{kAxk : x ∈ V, kxk ≤ 1 Ta có L(V, W ) là một khônggian Banach Nếu V là một không gian Banach và K là một trườngnền (số thực hoặc số phức) thì bản thân K là một không gian Banach

và ta có thể định nghĩa không gian đối ngẫu V∗ như là L(V, K), không

gian của biến đổi tuyến tính liên tục vào K Không gian này lại làkhông gian Banach với chuẩn của toán tử.

Định nghĩa 1.1.1 Cho X là không gian Banach Gọi U = {x ∈ X :kxk = 1}

(i) X được gọi là lồi đều nếu với mỗi  ∈ (0, 2], tồn tại δ > 0 sao chovới mọi x, y ∈ U

tồn tại với mọi x, y ∈ U

X được gọi là trơn đều nếu giới hạn (1.1) đạt được đều với x, y ∈ U.(iii) Chuẩn của X gọi là khả vi Gâteaux đều nếu với mỗi y ∈ U , giớihạn (1.1) đạt được đều với x ∈ U

Định nghĩa 1.1.2 Cho số thực q > 1 Ánh xạ đối ngẫu tổng quát Jq

từ X vào X∗ được định nghĩa như sau

Jq(x) = x∗ ∈ X∗ : hx, x∗i = kxkq, kx∗k = kxkq−1

với mọi x ∈ X Ánh xạ J = J2 được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắcvà

Jq(x) = kxkq−2J (x) với mọi x ∈ XÁnh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J có các tính chất sau:

(i) Nếu X là không gian lồi chặt thì J là ánh xạ 1 − 1 và

hx − y, x∗− y∗i > 0 với (x, x∗), (y, y∗) ∈ J, x 6= y;

(ii) Nếu X là không gian phản xạ thì J là toàn ánh;

(iii) Nếu X là không gian trơn đều thì J liên tục đều theo chuẩn trênmỗi tập con bị chặn của X

Định nghĩa 1.1.3 Cho C là tập con lồi đóng, khác rỗng của X Ánh

xạ T : C → C được gọi là L-Lipshitzian nếu tồn tại hằng số L > 0 saocho kT x − T yk ≤ Lkx − yk, ∀x, y ∈ C

Nếu L = 1 thì T được gọi là không giãn

Định nghĩa 1.1.4 Cho C là tập con khác rỗng của không gian Banach

X Một ánh xạ A : C → X được gọi là:

(a) accretive nếu x, y ∈ C, ∃j(x − y) ∈ J (x − y) sao cho

hAx − Ay, j(x − y)i ≥ 0;

(b) α-accretive mạnh nếu x, y ∈ C, ∃j(x − y) ∈ J (x − y) sao cho

hAx − Ay, j(x − y)i ≥ αkx − yk2, α ∈ (0, 1);

(c) Giả co nếu x, y ∈ C, ∃j(x − y) ∈ J (x − y) sao cho

hAx − Ay, j(x − y)i ≤ kx − yk2;(d) β-giả co mạnh nếu x, y ∈ C, ∃j(x − y) ∈ J (x − y) sao cho

hAx − Ay, j(x − y)i ≤ βkx − yk2, α ∈ (0, 1);

(e) λ-giả co chặt nếu x, y ∈ C, ∃j(x − y) ∈ J (x − y) sao cho

hAx−Ay, j(x−y)i ≤ kx−yk2−λkx−y −(Ax−Ay)k2, λ ∈ (0, 1);

(f) Dương mạnh nếu tồn tại hằng số ¯γ > 0 sao cho hAx, J (x)i ≥

đến một điểm z nào đó sao cho z ∈ F ix(T ) là nghiệm duy nhất củabài toán bất đẳng thức biến phân sau:

h(A − f )z, J(z − p)i ≤ 0, ∀p ∈ F ix(T )

Cho C là tập con lồi đóng, khác rỗng của một không gian Banachtrơn đều X sao cho C ± C ⊂ C Cho T : C → C là một ánh xạkhông giãn với F ix(T ) 6= ∅ và f : C → C là ánh xạ giả co mạnhthỏa mãn điều kiện Lipschitzian với hệ số giả co β ∈ (0, 1) và hằng sốLipschitzian L > 0 Cho F : C → C là ánh xạ accretive mạnh và λ-giả

co chặt với α + λ > 1 và A : C → C là toán tử tuyến tính dương bịchặn Ta đưa vào lược đồ gắn kết lai ghép ẩn để giải bài toán điểm bấtđộng nhiều cấp của ánh xạ không giãn T :

xt = (I − θtA)T xt + θt[T xt − t(F (T xt) − f (xt))],

trong đó 0 < θt ≤ kAk−1, lim

t→0θt = 0 Ta chứng minh được khi t → 0,{xt} hội tụ mạnh đến một điểm z ∈ F ix(T ) là nghiệm duy nhất củabài toán bất đẳng thức biến phân:

h(A − I)z, J(z − p)i ≤ 0, ∀p ∈ F ix(T )

Mặt khác, cho {Tn}∞n=0 là một họ đếm được những ánh xạ không giãn

từ C vào chính nó sao cho Ω = ∩∞i=0F ix(Ti) 6= ∅

Người ta đề xuất phương pháp xấp xỉ mềm lai ghép ẩn để giải bàitoán điểm bất động của một họ ánh xạ không giãn {Tn}:

h(A − f )z, J(z − p)i ≤ 0, ∀p ∈ Ω

Ngoài ra, người ta còn đề xuất một phương pháp xấp xỉ mềm lai ghép

hiện để giải bài toán điểm bất động nhiều bậc của một họ ánh xạkhông giãn {Tn}:

h(A − I)z, J(z − p)i ≤ 0, ∀p ∈ Ω

Bổ đề 1.1.6 Cho dãy {sn} ⊂ R thỏa mãn:

Bổ đề 1.1.7 Cho dãy {an} ⊂ R sao cho an+1 ≤ (1 − γn)an+ γnβn,

∀n ≥ 0 Trong đó {γn} ⊂ (0, 1), {βn} ⊂ R thỏa mãn các điều kiện:(i)

Gọi LIM là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên l∞ và

(a0, a1, · · · ) ∈ l∞ Kí hiệu LIM an = LIM (a0, a1, · · · ) LIM được gọi là

giới hạn Banach nếu

kLIM k = LIM 1 = 1 và LIM an+1 = LIM an, ∀(a0, a1, · · · ) ∈ l∞.Đối với giới hạn Banach, ta có các khẳng định sau đây là đúng:

(i) ∀n ≥ 1, an ≤ cn ⇒ LIM an ≤ LIM cn;

(ii) LIM an+N = LIM an, ∀N ∈ N∗;

(iii) lim infn→∞an ≤ LIM an ≤ lim supn→∞an∀(a0, a1, · · · ) ∈ l∞

Bổ đề 1.1.9 Cho (a0, a1, · · · ) ∈ l∞ Nếu LIM an = 0 thì tồn tại dãycon {ank} của {an} sao cho ank → 0 khi k → ∞

Một không gian Banach X được gọi là thỏa mãn điều kiện Opial’s nếumọi dãy {xn} trong X hội tụ yếu đến x khi n → ∞ thì

I là ánh xạ đồng nhất, nếu {xn} là một dãy trong C sao cho

xn → x, (I − T )xn → y thì (I − T )x = y

Nhận xét 1.1.11 Nếu ánh xạ đối ngẫu J : x 7→ {x∗ ∈ X∗ : (x, x∗) =kxk2 = kx∗k2} từ X và X∗ là đơn trị và liên tục yếu thì X thỏa mãnđiều kiện Opial’s Cả không gian Hilbert và không gian dãy lp với

1 < p < ∞ đều thỏa mãn điều kiện Opial’s

Bổ đề 1.1.12 Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gianBanach trơn thực X và F : C → X là ánh xạ

(i) Nếu F : C → X là α-đơn điệu mạnh và λ-giả co chặt với α +λ ≥ 1thì I − F không giãn và F là liên tục thỏa mãn điều kiện Lipschitzvới hằng số 1 + λ1

(ii) Nếu F : C → X α-accretive mạnh và λ-giả co chặt với α + λ > 1thì ∃τ ∈ (0, 1), I − τ F là ánh xạ co với hệ số 1 − τ



1 −r 1 − α

λ

.Chứng minh

(i) Từ tính chất λ-giả co chặt của F , ta có ∀x, y ∈ C,

λk(I − F )x − (I − F )yk2 ≤ h(I − F )x − (I − F )y, J(x − y)i

≤ k(I − F )x − (I − F )ykkx − yk

Từ đó suy ra k(I − F )x − (I − F )yk ≤ 1

!

kx − yk

Do α + λ > 1 ⇔ r 1 − α

λ < 1 Ta có I − τ F là ánh xạ co với hệ

Bổ đề 1.1.13 Cho X là không gian Banach, C là tập con lồi, đóng,khác rỗng của X và T : C → C là ánh xạ liên tục giả co Khi đó T códuy nhất một điểm bất động trong C.

Bổ đề 1.1.14 Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gianBanach thực và T : C → C là ánh xạ liên tục giả co mạnh Khi đó cáckhẳng định sau đây đúng:

(i) Ánh xạ B := B = (2I − T )−1 là ánh xạ không giãn từ C vào chínhnó

(ii) Nếu lim

n→∞kxn− T xnk = 0 thì lim

n→∞kxn− Bxnk = 0

Bổ đề 1.1.15 Giả sử rằng A là toán tử tuyến tính dương mạnh, bịchặn trên không gian Banach trơn X với hệ số ¯γ > 0 và 0 < ρ ≤ kAk−1thì kI − ρAk ≤ 1 − ρ¯γ

1.2 Điểm bất động và một số phương pháp cơ bản tìm điểm

Dưới đây, chúng ta sẽ nhắc lại một số phương pháp cơ bản tìm điểmbất động

Bài toán: Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của khônggian Hilbert H, T : C → C là một ánh xạ không giãn Hãy tìm

x∗ ∈ C : T (x∗) = x∗

sự hội tụ mạnh của dãy {xn} về một điểm bất động của ánh xạ khônggiãn T trong không gian Hilbert nếu dãy số {αn} thỏa mãn các điềukiện sau

Trong đó, {αn}, {βn} là các dãy số thực trong đoạn [0, 1] thỏa mãn

= 0

Khi đó dãy {xn} xác định bởi (1.6) hội tụ mạnh tới p∗ ∈ F ix(T ), ở đây

p∗ = PF (T )f (p∗) Ngoài ra, nếu dãy {λn} thỏa mãn điều kiện (1) ở trênthì dãy {xn} xác định bởi (1.5) hội tụ tới p∗ Khi f (x) = u, ∀x ∈ Cthì phương pháp xấp xỉ gắn kết trên trở về phương pháp lặp Halpern B.Phương pháp chiếu đường dốc:

xn+1 = PC xn− µn[xn− T (xn)]
, ∀n ≥ 0 (1.7)Chương 1 đã đề cập đến một số khái niệm và các tính chất đặc trưngcủa không gian Banach Trong chương sau, chứng ta sẽ dùng nhữngnội dung này để chứng minh một số định lí liên quan đến bài toán tìmđiểm bất động của một ánh xạ không giãn và một họ đếm được nhữngánh xạ không giãn

Chương 2

Phương pháp xấp xỉ mềm lai

ghép cho bài toán điểm bất động

Chương này gồm hai mục: Mục 2.1 đề cập đến bài toán tìm điểmbất động của một ánh xạ không giãn; mục 2.2 trình bày bài toán tìmđiểm bất động của một họ đếm được các ánh xạ không giãn Các kiếnthức trong chương được tổng hợp từ tài liệu [3]

2.1 Tìm điểm bất động của một ánh xạ không giãn

Định lý 2.1.1 Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của không gianBanach trơn đều X thỏa mãn C ± C ⊂ C Cho T : C → C là ánh xạkhông giãn với F ix(T ) 6= ∅ và F : C → C là α-accretive mạnh và λ-giả

co chặt với α + λ > 1 Cho f : C → C là ánh xạ giả co mạnh thỏa mãnđiều kiện Lipschitzian với hệ số giả co β ∈ (0, r0), r0 = 1 −r 1 − α

h(A − I)z, J(z − p)i ≤ 0, ∀p ∈ F ix(T ) (2.1)

Chứng minh Đầu tiên ta chỉ ra rằng dãy {xt} được định nghĩa đúng.Thật vậy, định nghĩa ánh xạ St : C → C xác định bởi:

Stx = (I − θtA)T x + θthT x − t F (T x) − f (x)
, ∀x ∈ C.Chú ý rằng:

Do đó, theo Bổ đề 1.1.13, tồn tại duy nhất một điểm trong C (kýhiệu là xt) là nghiệm duy nhất của phương trình:

h(A − I)z2, J (z2 − z1)i ≤ 0theo vế hai bài toán bất đẳng thức biến phân trên ta nhận được:

h(A − I)z1 − (A − I)z2, J (z1− z2)i ≤ 0

+ θth(I − A)p, J(xt − p)i

≤ (I − θtA)T xt− (I − θtA)T p kxt − pk + θth(1 − tγ0)kxt − pk2+ t βkxt − pk2+ kf (p) − F (p)kkxt − pk

K = x ∈ C : µ(x) = min

x∈C LIM kxn− x0k2

Dễ dàng thấy rằng K là tập con lồi đóng khác rỗng của X Chú ý rằng

kxn− T xnk = θnkT xn− tn(F (T xn) − f (xn)) − AT xnk → 0 khi n → ∞.Theo Bổ đề 1.1.14, ta biết rằng ánh xạ B = (2I −T )−1 là ánh xạ khônggiãn và F ix(T ) = F ix(B), lim

n→∞kxn − Bxnk = 0 Trong đó, I là toán

tử đồng nhất Từ đó ta có

µ(Bx) = LIM kxn−Bxk2 = LIM kBxn−Bxk2 ≤ LIM kxn−xk2 = µ(x).Suy ra B(K) ⊂ K; K là tập bất biến trên B Từ tính trơn đều củakhông gian Banach có tính chất điểm bất động cho ánh xạ không giãn,

B có điểm bất động z ∈ K Từ z cũng là một cực tiểu hóa của µ trên

Từ X là không gian trơn đều, ta kết luận rằng ánh xạ đối ngẫu J làchuẩn liên tục đều trên tập con bị chặn bất kỳ của X Cho t → 0, tathấy rằng hai giới hạn có thể hoán đổi và chúng ta thu được

LIM (x − Az, J (xn− z)) ≤ 0, ∀x ∈ C (2.2)Mặt khác ta có

xn − z =(I − θnA)T xn− (I − θnA)T z



.Vậy ta có

có điều dưới đây với điểm cố định bất kỳ z ∈ F ix(T ),

0 ≤ t − (I − T )p, J(xt − p) t, J (xt − p)

=θt t, J (xt − p) + θtt t) − F (T xt), J (xt − p)

=θt t, J (xt− p) + θt t, J (xt − p)+ θtt t) − F (T xt), J (xt − p)

F ix(T ) là nghiệm của bất đẳng thức biến phân (2.1) Khi z = z, ta

có {xn} hội tụ về z khi tn → 0 Ta có điều phải chứng minh

2.2 Tìm điểm bất động cho họ đếm được ánh xạ không giãn

Bổ đề 2.2.1 Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của không gianBanach X Cho T1, T2, · · · là dãy các ánh xạ từ C vào C Giả sử rằng

co mạnh thỏa mãn điều kiện Lipschitzian với hệ số giả co β ∈ (0, 1)

và hằng số Lipschitzian L > 0 Cho A : C → C là γ −toán tử tuyếntính dương mạnh bị chặn với hệ số γ Giả sử rằng C ± C ⊂ C và{xt} hội tụ mạnh đến z ∈ F ix(T ) khi t → 0, trong đó xt được địnhnghĩa bởi xt = tf (xt) + (I − tA)T xt Giả sử rằng {xt} ⊂ C bị chặn vàlim

f : C → C là một ánh xạ co với hệ số co β ∈ (0, γ0), γ0 = 1 −r 1 − α

λ

và hằng số Lipschitzian L > 0 Cho A : C → C là ˜γ-toán tử tuyến tínhdương mạnh bị chặn với hệ số ˜γ ∈ (β, 1 + β) Với điểm tùy ý x0 ∈ C,cho dãy {xn} lặp xác định bởi

(ii) lim sup

kTn+1x − Tnxk < ∞ với mọi tập con bị chặn D của

C Cho T : C → C là ánh xạ được xác định bởi T x = lim

n→∞Tnx, ∀x ∈ C

và giả sử rằng F ix(T ) = ∩∞i=0F ix(Ti) thì {xn} hội tụ mạnh đến điểm

z ∈ Ω sao cho z là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân

Chứng minh Từ điều kiện (i), không mất tính tổng quát, chúng ta cóthể giả sử

≤αnβkyn − pk2 + (1 − βn− αn˜γ)kyn− pk2

+ αn n− p) + βnkxn− pkkyn− pk

= 1 − βn− αn(˜γ − β)
kyn − pk2 + αnkf (p) − Apkkyn− pk+ βnkxn− pkkyn − pk

≤σnkf (yn) − f (p)k + k(I − σnF )Tnyn− I(I − σnF )Tnpk+ σnkf (p) − F (p)k

≤σnβkyn− pk + (1 − σnγ0)kTnyn − Tnpk+ σnkf (p) − F (p)k

≤σnβkyn− pk + (1 − σnγ0)kyn− pk + σnkf (p) − F (p)k

kyn− zk2 =αn n− z) + βn n− z, J(yn− z)

+D (1 − βn)I − αnA
(Tnyn− z), J(yn− z)E

≤(1 − βn− αn˜γkyn− zk2 + βnkxn − zkkyn− zk+ αn n) − f (z), J (yn− z)

≤(1 − βn− αn(˜γ)kyn− zk2+ βnkxn− zkkyn− zk+ αnβkyn− zk2+ αn n− z)

≤(1 − βn− αn(˜γ)kyn− zk2+ βn

2 kxn− zk2 + βn

2 kyn− zk2+ αnβkyn− zk2+ αn n− z)

≤σnβkyn − zk + (1 − σnγ0)kyn− zk2

C ± C ⊂ C Cho {Ti}∞i=0 là một họ đếm được các ánh xạ không giãncủa từ C vào C sao cho Ω = ∩∞i=0F ix(Ti) 6= ∅ Cho F : C → C làα−đơn điệu mạnh và λ−giả co chặt với α + λ > 1 và f : C → C làmột ánh xạ co với hệ số co β ∈ (0, γ0), γ0 = 1 −r 1 − α

λ và hằng sốLipschitzian L > 0 Cho A : C → C là ˜γ-toán tử tuyến tính dươngmạnh bị chặn với hệ số ˜γ ∈ (1, 2) Với mọi x0 ∈ C, cho dãy {xn} đượcxác định bởi

xn+1 = (I − βnA)Tnxn + βn

h

Tnxn− αn F (Tnxn) − f (xn)

i, ∀n ≥ 0,

(2.5)trong đó {αn}, {βn} là các dãy trong (0, 1) thỏa mãn các điều kiệnsau:

kTn+1x − Tnxk < ∞ với mọi tập con D của C Cho

T : C → C là ánh xạ được xác định bởi T x = lim

n→∞Tnx, ∀x ∈ C vàgiả sử rằng F ix(T ) = ∩∞i=0F ix(Ti) thì dãy {xn} hội tụ mạnh đến mộtđiểm z ∈ Ω sao cho z là nghiệm duy nhất trong Ω của bất đẳng thứcbiến phân sau :

h(I − A)z, J(p − z)i ≤ 0, ∀p ∈ Ω

Chứng minh Từ A là ˜γ-toán tử tuyến tính dương mạnh bị chặn trên

C, từ (1.2), ta thu được

kAk = supn

: u ∈ C, kuk = 1}