Chứng minh tam giác ABC vuông.. b Viết phương trình đường tròn C có tâm I1;-1 và tiếp xúc với đường thẳng ∆.. Gọi D, E lần lượt là chân các đương cao kẻ từ B và C.. Tìm tọa độ các đỉnh c
Trang 1TRƯỜNG THPT LẠNG GIANG SỐ 1
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH KHÁ GIỎI LẦN 2
Môn: TOÁN 10 Năm học : 2015-2016 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2 điểm) Cho hàm số y=x2+ −x 6 (1) có đồ thị (P)
a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số (1)
b) Tìm m để đường thẳng (d): y=2x+m cắt đồ thị (P) tại hai điểm A và B Tìm tọa độ trung điểm
của A và B
Câu 2 ( 2 điểm)
a) Giải phương trình: 9 5 3 6
3
−
x
b) Giải bất phương trình: x2+4x− ≤ +5 x 3
Câu 3 ( 1,5 điểm)
a) Biết cos 2 2
3
= −
α Tính giá trị của biểu thức ( 2 )( 2 )
1 3sin 1 4 cos
P= + α − α
b) Các góc trong tam giác ABC thỏa mãn: sin cosB cosC
sin sin
+
=
+
A
B C Chứng minh tam giác ABC vuông
Câu 4 ( 1,5 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng : 2 2
1 2
= − −
∆
= +
y t và điểm M(3;1)
a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M và song song với đường thẳng ∆
b) Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(1;-1) và tiếp xúc với đường thẳng ∆
c) Tìm điềm A nằm trên ∆ sao cho điểm A cách điểm M một khoảng bằng 13
Câu 5 (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(3;0) và trung điểm của BC là
điểm I(6;1) Đường thẳng AH có phương trình x+2y− =3 0 Gọi D, E lần lượt là chân các đương cao
kẻ từ B và C Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết đường thẳng DE có phương trình x− =2 0 và
điểm D có tung độ dương
,
ℝ
x y
Câu 7 (1 điểm) Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn a+2b+3c≥20 Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức 3 9 4
2
Q a b c
a b c
………Hết………
Họ và tên thí sinh:……… SBD………
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI KHẢO SÁT LẦN 2 MÔN TOÁN 10 NĂM HỌC 2015-2016
1
Cho hàm số y=x2+ −x 6 (1) có đồ thị (P)
a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số (1)
- Chỉ đúng tập xác định và lập đúng bảng biến thiên
- Vẽ đúng đồ thị
0.5đ 0.5đ
b) Tìm m để đường thẳng (d): y=2x+m cắt đồ thị (P) tại hai điểm A và B Tìm
tọa độ trung điểm của A và B
x + − =x x+m⇔x − −x m+ =
- Pt (2) có 2 nghiệm 0 25
4
m
⇔ ∆ ≥ ⇔ ≥ − (*)
2
; , ;
2
⇒
và x x là hai nghiệm của (2)1, 2
Khi đó trung điểm I của AB có tọa độ
( )
1
I
I
x x x
y
hay I 1 1; 2
m
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
2
a) Giải phương trình: 9 5 3 6
3
−
x
- Đ/k: 9
5
x≤ (*)
- Pt (9 5 )(3 ) 9 9 2
4 6 54 0
x
≤
9
9 9
2 2
3 3
x
x x
x x
≤
⇔ = ⇔
= −
Đối chiếu với đ/k thì phương trình có nghiệm x= − 3
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
b) Giải bất phương trình: x2+4x− ≤ +5 x 3
Trang 3Bpt
( )
2
2 2
3 0
x
+ ≥
3 5 1 7
x x x x
≥ −
≤−
⇔
≥
≥−
⇔ ≥ Vậy bpt có tập nghiệm x 1 T=[1;+∞)
0.5đ
0.25đ
0.25đ
3
a) Biết cos 2 2
3
= −
α Tính giá trị của biểu thức ( 2 )( 2 )
1 3sin 1 4 cos
- Ta có 1 3.1 cos 2 1 4.1 cos 2
P − α + α
= 5 3cos 2 (3 2 cos 2 )
2 2
= 5 1 3( 3) 21
2
- Vậy P=21
0.5đ
0.25đ
0.25đ
b) Các góc trong tam giác ABC thỏa mãn: sin cosB cosC
sin sin
+
=
+
A
B C Chứng minh tam
giác ABC vuông
- Vì sinA 2 sin cos
và
cos
sin
A
π
π
- Do đó sin cosB cosC 2 cos2 1 cos 0
A
+
+
0
90
⇔ = ⇔ ∆ vuông tại A
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng : 2 2
1 2
= − −
∆
= +
y t và điểm M(3;1)
a)Viết pttq của đường thẳng d đi qua điểm M và song song với đường thẳng ∆
Ta thấy ∆ có vtcp u= −( 1;1)
Trang 44
Vì d song song với ∆⇒ có vtcp d u= −( 1;1)⇒ có vtpt d n=( )1;1
Mà d đi qua M(3;1)⇒d:1(x−3)+1(y− =1) 0 hay d x: + − = y 4 0 0.25đ
0.25đ
b)Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(1;-1) và tiếp xúc với đường thẳng ∆
∆ có pttq là: x+ + = y 1 0
Vì đường tròn (C) có tâm I(1;-1) và tiếp xúc với đường thẳng ∆ ,do đó bán kính của
(C) là
( , ) 1
2
R=d I ∆ =
Vậy phương trình đường tròn (C) là: ( 1)2 ( 1)2 1
2
x− + y+ =
0.25đ
0.25đ
c)Tìm điềm A nằm trên ∆ sao cho điểm A cách điểm M một khoảng bằng 13
Theo đầu bài thì: A(− −2 2 ;1t +2t) và 2 2
1
2
t
t
= −
= −
Vậy có hai điểm A có tọa độ lần lượt là: (0;-1) và 1; 2
2
− −
0.25đ
0.25đ
5
Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(3;0) và trung điểm của
BC là điểm I(6;1) Đường thẳng AH có phương trình x+2y− =3 0 Gọi D, E lần
lượt là chân các đương cao kẻ từ B và C Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC,
biết đường thẳng DE có phương trình x− =2 0 và điểm D có tung độ dương
H A
D E
K
I
Gọi K là trung điểm của AH Tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn tâm K và tứ giác
Trang 5BCDE nội tiếp đường tròn tâm I ⇒IK⊥DE⇒IK y: − = 1 0
Khi đó K( )1;1 ⇒A(−1; 2)
Gọi D(2; a) Ta có KA=KD 5 1 ( 1)2 3 (2;3)
1( )
a
=
= −
Pt AC: x−3y+ = 7 0
Pt BC: 2x− −y 11= 0
(8;5 ,) (4; 3)
0.25đ 0.25đ
0.25đ
0.25đ
6
,
ℝ
x y
4 2 5 2 (1)
2 1 0(2)
⇔
⇔
Đ/k: 2x− ≥ y 0
Pt (1) ⇔2x− +y 4 2x− − =y 5 0
Đặt t= 2x−y t, ≥0 Khi đó ta tìm được t= ⇒ =1 y 2x− thay vào (2) ta tìm được 1
x= x= −
Vậy hệ pt có nghiệm: (0;1 ;) (− −2; 5)
0.25đ
0.25đ
0.25đ 0.25đ
7
Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn a+2b+3c≥20 Tìm giá trị nhỏ nhất
2
Q a b c
a b c
4
Dấu = xẩy ra ⇔ = a 2
Tương tự 9 6 1 9 3
2
+ ≥ ⇒ + ≥
Dấu = xẩy ra ⇔ = b 3
16 8 1 16 2
4
+ ≥ ⇒ + ≥
Dấu = xẩy ra ⇔ = c 4
( )
8 1
a b c
a b c
0.25đ
Trang 6Mặt khác, do 2 3 20 3 5 2( )
a b c
a+ b+ c≥ ⇒ + + ≥
2
Q a b c
a b c
⇒ = + + + + + ≥ Dấu = xấy ra khi a=2,b=3,c= 4
Vậy maxQ=13 khi a=2,b=3,c= 4
0.25đ
0.25đ
0.25đ
……… HẾT………