Lý thuyết độ từ hóa của các hệ spin giả hai chiều (luận văn thạc sĩ vật lý)

Lý thuyết độ từ hóa của các hệ spin giả hai chiều (luận văn thạc sĩ vật lý) Lý thuyết độ từ hóa của các hệ spin giả hai chiều (luận văn thạc sĩ vật lý) Lý thuyết độ từ hóa của các hệ spin giả hai chiều (luận văn thạc sĩ vật lý) Lý thuyết độ từ hóa của các hệ spin giả hai chiều (luận văn thạc sĩ vật lý) Lý thuyết độ từ hóa của các hệ spin giả hai chiều (luận văn thạc sĩ vật lý) Lý thuyết độ từ hóa của các hệ spin giả hai chiều (luận văn thạc sĩ vật lý) Lý thuyết độ từ hóa của các hệ spin giả hai chiều (luận văn thạc sĩ vật lý) Lý thuyết độ từ hóa của các hệ spin giả hai chiều (luận văn thạc sĩ vật lý) Lý thuyết độ từ hóa của các hệ spin giả hai chiều (luận văn thạc sĩ vật lý) Lý thuyết độ từ hóa của các hệ spin giả hai chiều (luận văn thạc sĩ vật lý)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc nhất tới GS TS Bạch Thành Công Cảm ơn thầy đã nhiệt tình giúp đỡ để em hoàn thành đề tài luận văn đạt kết quả tốt nhất Em chân thành cảm ơn thầy!

Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến GS TS Nguyễn Quang Báu cũng các thầy cô trong

bộ môn Vật lý lý thuyết và Vật lý toán đã ủng hộ và tạo điều kiện để em thuận lợi hoàn thành luận văn

Xin chân thành cám ơn đề tài NAFOSTED 103.02.2012.37 đã hỗ trợ nghiên cứu Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã luôn bên cạnh, động viên và là hậu phương vững chắc cho con trong giai đoạn này

Xin chân thành cảm ơn!

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 HÀM GREEN NHIỆT ĐỘ HAI THỜI ĐIỂM 5

1.1 HÀMTƯƠNGQUANTHỜIGIANVÀHÀMGREEN 5

1.1.1 Hàm tương quan thời gian 5

1.1.2 Hàm Green 7

1.2 BIỂUDIỄNFOURIERCHOHÀMGREEN 9

1.3 BIỂUDIỄNPHỔCHOHÀMGREEN 11

1.3.1 Biểu diễn phổ cho hàm tương quan 11

1.3.2 Biểu diễn phổ cho hàm Green 13

1.4 HAMILTONIANSẮTTỪVÀCÁCTOÁNTỬSPIN 17

1.5 SÓNGSPIN:GẦNĐÚNGPHANGẪUNHIÊN(RANDOM–PHASE– APPROXIMATION) 20

CHƯƠNG 2 28

ĐỘ TỪ HÓA VÀ PHỔ SÓNG SPIN TRONG MÀNG MỎNG TỪ TRONG GẦN ĐÚNG BOGOLYUBOV - TIABLIKOV 28

2.1CHUỖIHÀMGREENSPINCHOMÀNGMỎNGTỪ 28

2.2PHƯƠNGTRÌNHCHOĐỘTỪHÓAVÀPHỔSÓNGSPIN 32

CHƯƠNG 3 35

ĐỘ TỪ HÓA VÀ PHỔ SÓNG SPIN TRONG MÀNG MỎNG ĐƠN LỚP VÀ HAI LỚP SPIN NGUYÊN TỬ 35

3.1 MÀNGMỎNGĐƠNLỚPSPINNGUYÊNTỬCÓTRAOĐỔIDỊHƯỚNG……35

3.2 ĐỘTỪHÓAVÀPHỔSÓNGSPINTRONGMÀNGMỎNGTỪHAILỚP 41

3.2.1 Hệ phương trình cho hàm Green phụ thuộc chỉ số lớp spin 41

3.2.2 Trường hợp trao đổi dị hướng cả trong các lớp và giữa hai lớp spin 47

KẾT LUẬN 53

TÀI LIỆU THAM KHẢO 54

PHỤ LỤC 54

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Vật liệu nano (nano materials) là một trong những lĩnh vực nghiên cứu đỉnh cao sôi động nhất trong thời gian gần đây Điều đó được thể hiện bằng số các công trình khoa học, số các bằng phát minh sáng chế, số các công ty có liên quan đến khoa học, công nghệ nano gia tăng theo cấp số mũ Con số ước tính về số tiền đầu tư vào lĩnh vực này lên đến 8,6 tỷ đô la vào năm 2004 Khi ta nói đến nano là nói đến một phần tỷ của cái gì đó, ví dụ, một nano giây là một khoảng thời gian bằng một phần tỷ của một giây Còn nano mà chúng ta dùng ở đây có nghĩa là nano mét, một phần tỷ của một mét Nói một cách rõ hơn là vật liệu chất rắn có kích thước nm vì yếu tố quan trọng nhất mà chúng ta sẽ làm việc là vật liệu ở trạng thái rắn

Vật liệu nano là vật liệu trong đó ít nhất có một chiều có kích thước nano mét (nm) Về trạng thái của vật liệu, người ta phân chia thành ba trạng thái rắn, lỏng và khí Vật liệu nano được tập trung nghiên cứu hiện nay, chủ yếu là vật liệu rắn, sau đó mới đến chất lỏng và chất khí Về hình dáng vật liệu, người ta phân ra thành các loại sau:

Vật liệu nano không chiều (cả ba chiều đều có kích thước nano), ví dụ: đám nano, hạt nano, …

Vật liệu nano một chiều là vật liệu trong đó một chiều có kích thước nano, ví dụ: dây nano, ống nano, …

Vật liệu nano hai chiều là vật liệu trong đó hai chiều có kích thước nano, ví dụ: màng mỏng, …

Ngoài ra còn có vật liệu có cấu trúc nano hay nanocomposite trong đó chỉ có một phần của vật liệu có kích thước nano, hoặc cấu trúc của nó có nano không chiều, một chiều, hai chiều đan xen lẫn nhau

Hiện nay màng mỏng đang là một lĩnh vực nghiên cứu mạnh mẽ của khoa học

và công nghệ vật liệu, vật lý chất rắn với nhiều khả năng ứng dụng to lớn trong đời

sống hàng ngày, trong sản xuất Màng mỏng (tiếng Anh: Thin film) là một hay nhiều

lớp vật liệu được chế tạo sao cho chiều dày nhỏ hơn rất nhiều so với các chiều còn lại

(chiều rộng và chiều dài) Khái niệm "mỏng" trong màng mỏng rất đa dạng, có thể chỉ

từ vài lớp nguyên tử, đến vài nanomet, hay hàng micromet Khi chiều dày của màng mỏng đủ nhỏ so với quãng đường tự do trung bình của điện tử hoặc các chiều dài tương tác thì tính chất của màng mỏng hoàn toàn thay đổi so với tính chất của vật liệu khối Hiệu ứng thay đổi tính chất rõ rệt nhất về tính chất của màng mỏng là hiệu ứng

bề mặt Khi vật liệu có kích thước nm, các số nguyên tử nằm trên bề mặt sẽ chiếm tỉ lệ đáng kể so với tổng số nguyên tử Chính vì vậy, các hiệu ứng có liên quan đến bề mặt, gọi tắt là hiệu ứng bề mặt sẽ trở nên quan trọng làm cho tính chất của vật liệu có kích thước nm khác biệt so với vật liệu ở dạng khối Ví dụ như trong các vật liệu sắt từ, ở vật liệu dạng khối, dị hướng từ tinh thể ảnh hưởng rất lớn đến tính chất từ, nhưng khi chế tạo ở các màng đủ mỏng, dị hướng từ tinh thể có thể biến mất mà thay vào đó là dị hướng từ bề mặt

Màng vật liệu từ tính có trạng thái vật lý ở thể rắn là với chiều dày khoảng vài

μm (nhỏ hơn 5μm), còn được biết với tên gọi màng sắt từ hay màng từ Màng từ có thể là đơn tinh thể, đa tinh thể, vô định hình hoặc là đa lớp Ứng dụng bao gồm các lĩnh vực bộ lưu trữ quang từ, đầu ghi cảm ứng, cảm biến từ trở, các thành phần xử lý

và lưu trữ của máy tính Màng mỏng từ tính và tính chất của nó đã thu hút rất nhiều sự quan tâm chú ý của nhiều nhà khoa học trong suốt 30 năm qua Đặc biệt là những hiệu ứng liên quan đến sự phụ thuộc vào độ dày màng mỏng [3], [8] Ví dụ: hình 1 (xem [3]) cho thấy nhiệt độ Curie giảm khi độ dày màng mỏng giảm và tỷ số hằng số mạng

a

c

tăng khi độ dày màng mỏng giảm

Một số tác giả đã nghiên cứu và chỉ ra được sự phụ thuộc độ từ hóa và nhiệt độ Curie vào độ dày màng mỏng bằng phương pháp phiếm hàm mật độ (DFT) và phương pháp tích phân phiếm hàm [6], [7]

Dựa trên những ý tưởng đó, luận văn này sẽ đi sâu nghiên cứu về độ từ hóa và sóng spin màng từ siêu mỏng với vài lớp spin nguyên tử bằng phương pháp hàm Green nhiệt độ hai thời điểm và phương pháp gần đúng ngắt chuỗi của Bogolyubov và

Tiablikov Với tên luận án là: “Lý thuyết độ từ hóa của các hệ spin giả hai chiều”

2 Phương pháp nghiên cứu:

Trong luận văn này, chúng ta sử dụng phương pháp hàm Green nhiệt độ hai

thời điểm và phương pháp ngắt chuỗi của Bogolyubov và Tiablikov để nghiên cứu tính

toán Đồng thời, công cụ Matlab cũng được sử dụng để tính toán số và vẽ đồ thị

3 Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm 3 chương chính

- Chương 1: Hàm Green nhiệt độ hai thời điểm Chương này là lý thuyết

về phương pháp hàm Green nhiệt độ hai thời điểm; về Hamiltonian sắt từ và các toán

tử spin, về phương pháp gần đúng pha ngẫu nhiên Đây là cơ sở lý thuyết để ta đi thiết lập phương tình tổng quát cho màng mỏng từ tính trong chương 2

- Chương 2: Độ từ hóa và phổ sóng spin trong màng mỏng từ trong gần

đúng Bogolyubov và Tiablikov Dựa trên cơ sở lý thuyết ở chương 1, ta sẽ tính toán để

nhận chuỗi móc xích cho hàm Green xây dựng trên các toán tử spin trong màng mỏng

và ngắt chuỗi hàm Green trong gần đúng Bogolibov-Tiablikov Đưa ra phương trình xác định phổ năng lương sóng spin và độ từ hóa phụ thuộc nhiệt độ

- Chương 3: Độ từ hóa và phổ sóng spin trong màng mỏng đơn lớp và hai lớp spin nguyên tử Áp dụng biểu thức được thiết lập cho màng mỏng từ gồm vài lớp spin nguyên tử ở chương 2 để tìm biểu thức độ từ hóa và biểu thức phổ năng lượng của sóng spin trong các trường hợp cụ thể: trường hợp màng mỏng đơn lớp với trao đổi dị hướng trong mặt màng; trường hợp màng mỏng gồm hai lớp nguyên tử với sự ảnh hưởng của tích phân dị hướng trong mặt lớp và giữa các lớp lên độ từ hóa và phổ sóng spin

CHƯƠNG 1 HÀM GREEN NHIỆT ĐỘ HAI THỜI ĐIỂM

Chương 1 đưa ra tổng quan về phương pháp hàm Green nhiệt độ hai thời điểm, Hamiltonian từ và phương pháp gần đúng pha ngẫu nhiên (RPA) làm cơ sở khoa học cho việc tính toán ở các chương sau

Phương pháp hàm Green nhiệt độ hai thời điểm có ứng dụng rất rộng rãi trong vật lý thống kê đó là một công cụ hữu hiệu để tính toán các đặc trưng vĩ mô và vi mô (ví dụ năng lượng kích thích cơ bản, thời gian sống của hạt …) Trong các bài toán động học như tính độ dẫn điện, độ cảm từ, hệ số động học … người ta cũng thường sử dụng phương pháp hàm Green Phương pháp hàm Green hai thời điểm cho các hệ từ tính được mô tả trong [9]

1.1 Hàm tương quan thời gian và hàm Green

1.1.1 Hàm tương quan thời gian

Cho A(t) và B(t’) là các toán tử trong biểu diễn Heisenberg

 t e iHt A 0 e iHt;B t' e iHt'B t'e iHt'

A     (1.1)

Ở đây H là Hamiltonian của hệ (ta coi H chứa cả số hạng -λN, với λ là hoá thế

và Nlà toán tử số hạt tổng cộng trong hệ) Trong trường hợp tổng quát A, B có thể là tích của các hàm sóng lượng tử hoá hay các toán tử sinh huỷ hạt Phương trình chuyển động cho các toán tử có dạng:

e iH A iHA

e dt

t

  A t H A t H HA t dt

t dA

FAB(t,t’)= A   t B t'

(1.3) Ngoặc nhọn <…> biểu thị trung bình thống kê với Hamiltonian H

Do tính chất bất biến của vết – Tr với hoán vị tuần hoàn các toán tử dưới dấu

vết Tr nên hàm tương quan (1.3) chỉ phụ thuộc vào hiệu thời gian (t – t’) Thật vậy

t iH t

t iH

H iHt t

t iH iHt

H

e B e

A e

Tr e

e B e

A e Tr e

t B t A

t iH

e e

B e

A

Hay F AB (t,t’) = F AB (t-t’) (1.6)

Khi thời gian trùng nhau t = t’ hàm tương quan thời gian trở thành trung bình thống kê thông thường

)0()0()0()

',

AB

(1.7) Lấy đạo hàm của hàm tương quan thời gian (1.3) theo một biến thời gian (t chẳng hạn) ta sẽ có phương trình mô tả sự biến đổi của nó theo thời gian (xem (1.2))

dt

t dA t

B t A dt

d dt

t t

d

(1.8)

Phía bên phải của (1.8) chứa giao hoán tử của A(t) với H nói chung chứa một

số toán tử lớn hơn bên phải – đó là hàm tương quan bậc cao hơn Hoàn toàn tương tự nếu lấy đạo hàm bên phải của (1.8) theo t ta được hệ các phương trình chuyển động kiểu móc xích

Ở đây ký hiệu giao hoán tử   ,  và trật tự thời gian T cũng như hàm bậc 

0,1

x

x x

Một trong các tính chất của hàm Green là do chúng được biểu thị qua các hàm tương quan (1.3) nên chúng cũng chỉ là hàm số của hiệu thời gian (t – t’)

   t,t' G  t t'

G AB j  AB j  (j = r, a, c) (1.12) Theo định nghĩa hàm Green A|B (j) phụ thuộc tuyến tính vào các tham số trước toán tử A, B hay

B A B

A B

Bây giờ ta sẽ lập phương trình chuyển động cho hàm Green bằng cách đạo hàm (1.10a), (1.10b), (1.10c) theo t Khi đó chúng ta phải biết cách đạo hàm hàm bậc thang θ(t) Để làm việc này ta dùng biểu diễn tích phân sau của hàm gián đoạn θ(t)

t dt

t

d 

(1.15)

Sử dụng (1.15), phương trình chuyển động cho toán tử (1.2), ta được phương trình chuyển động (viết chung cho cả ba loại hàm Green)

t B H t A t

B t A t t i t

B t

Tương tự như khi nhận được chuỗi phương trình móc xích cho hàm tương quan thời gian, ta có thể lấy đạo hàm theo t tiếp đối với hàm Green bậc cao ở vế bên phải của (1.16) (số hạng thứ hai)

B(t') ,H

A(t),H B(t')

A(t),H t')

(t i B(t')

(1.17) là phương trình chuyển động cho hàm Green   (j)

B(t') A(t),H Nếu lấy đạo hàm theo t tiếp cho hàm Green bậc cao hơn nữa (số hạng thứ hai trong bên phải của (1.17)) và tiếp tục quá trình đó ta sẽ nhận được chuỗi phương trình móc xích cho các hàm Green

1.2 Biểu diễn Fourier cho hàm Green

Vì hàm Green là hàm của biến (t – t’) (cũng như các hàm tương quan) ta có thể phân tích các hàm đó theo tích phân Fourier

)

(

E

G AB j gọi là ảnh Fourier của nguyên hàm G(AB j)(tt')

Biến đổi Fourier ngược cho ta mối liên hệ giữa ảnh Fourier và nguyên hàm

dE t') iE(t e π

i dE t') iE(t e (j)

A,H là hàm Green ảnh của hàm Green bậc cao tương ứng Ngoài ra, ta đã

sử dụng biểu diễn sau cho hàm delta – Dirac

Để giải phương trình cho hàm Green (1.16) ta cũng cần biết điều kiện biên theo

t của các hàm đó, điều kiện này khác nhau cho từng loại hàm Green nhanh, chậm, nguyên nhân Dạng các điều kiện biên xuất phát ngay từ định nghĩa của chúng (1.10a), (1.10b), (1.10c) Một cách tiện lợi hơn là ta sử dụng ảnh Fourier của hàm Green

thức tán sắc (hệ thức tán sắc xác định cách đi vòng cực của hàm Green ảnh, điều đó có nghĩa là điều kiện biên cho chính hàm Green)

Chúng ta cần thấy rằng sự xuất hiện chuỗi phương trình móc xích (1.16), (1.17)… cho hàm Green là tất yếu cho hệ các hạt tương tác với nhau: ta không thể xét một hạt này tách rời khỏi các hạt khác Nhiệm vụ chính là phải tìm một cách gần đúng

để giải chuỗi phương trình móc xích vô hạn đó Cách thông thường là ngắt chuỗi hàm Green ở một bước nào đó để nhận được hệ phương trình hữu hạn cho các hàm Green rồi giải

1.3 Biểu diễn phổ cho hàm Green

1.3.1 Biểu diễn phổ cho hàm tương quan

Ta biểu thị một cách hình thức Eν và Cν là các giá trị riêng và hàm riêng của Hamiltonian H của hệ

Q là tổng thống kê (1.4c) Chú ý rằng

iE t iHt

e C e  C (1.23)

Và theo định nghĩa (1.1) về các toán tử trong biểu diễn Heisenberg, (1.22) trở thành:

Tính toán hoàn toàn tương tự cho hàm tương quan A t B t   '

e e

e C A C C B C Q

0,0

,'

Thì hàm tương quan (1.24), (1.25) được biểu diễn trong dạng tích phân Fourier

1.3.2 Biểu diễn phổ cho hàm Green

Hàm Green chậm trong biểu diễn năng lƣợng ((1.18b), (1.11a))

e i

01

)

(

t khi

t khi t

 như sau: Sử dụng tính chất của hàm biến phức cho rằng E là đại lượng phức Áp dụng định lý về thặng dư:

z 0 là cực của hàm f(z)

f(z) là hàm holomorphic trong

mặt phẳng phức trừ ở các cực

γ là đường chu tuyến bao

quanh cực z 0, có chiều ngược chiều

kim đồng hồ

Khi t > 0 ta có thể chọn đường

lấy tích phân γ khép kín trong mặt

phẳng phức E ở bên dưới bao quanh cực

e dE i t

iEt

.2

)

(

 iEt

e s i

i

t  2 Re 

2)





θ(t) = 1

Khi t < 0 đường lấy tích phân

nằm khép kín trong nửa mặt phẳng phía

bên trên (hình 1.b) Khi đó đường lấy tích phân không chứa điểm cực E = -iε, hàm dưới dấu tích phân là hàm giải tích trong nửa mặt phẳng phức phía trên và θ(t) = 0, đó

là điều phải chứng minh

Tích phân theo t trong công thức (1.30) trở thành:

e

i E

e

i E

((1.35) chỉ khác (1.34) khi thay +iε → -iε)

Trong (1.33)  (1.35) E được coi là thực Bây giờ nếu ta coi E là đại lượng phức thì (1.34), (1.35) có thể viết chung làm một công thức

) (

E E

G

E E

G E

d I

e

i E G

a AB

r AB AB

(1.34)  (1.36) được gọi là biểu diễn phổ cho hàm Green

Hàm Green chậm G(AB r)(E) và nhanh G(AB a)(E) là các hàm giải tích trong nửa mặt phẳng trên (ImE > 0) và dưới (ImE < 0) tương ứng Cả hai hàm đó có thể xem như một hàm giải tích GAB(E) có một cực trên trục thật (cho nên trong tính toán nhiều khi ta không viết ký hiệu hàm Green chậm, nhanh – r hoặc a)

Cũng tương tự ta có thể thiết lập biểu diễn phổ cho hàm Green nguyên nhân

i E

e I

i E

P i

P I

e

i E

Hàm Green nguyên nhân (1.39) chỉ xác định trên trục thật (E thực) ở nhiệt độ hữu hạn θ ≠ 0 không thể khai triển vào mặt phẳng phức được, do đó người ta ít sử dụng nó Từ nay về sau ta sẽ sử dụng hàm Green nhanh hoặc chậm mà thôi

Một ứng dụng quan trọng của biểu diễn phổ (1.36) là ta có thể xác định cường

độ phổ IAB(ω) nếu biết ảnh Fourier GAB(E)

i G

d I

e

i i

G i

'

1'

1'

'2

  AB     AB 

Đó là điều phải chứng minh

Biết IAB(ω) (1.19) ta dễ dàng tính được trung bình thống kê tích các toán tử theo (1.8a) hoặc (1.8b) Thí dụ (1.8b) được viết là

i G

e

e B

(1.41)

Nếu A là toán tử sinh hạt A = a+, B là toán tử huỷ hạt B = a thì (1.20) cho ta cách tính giá trị trung bình số hạt nˆ aa ở một nhiệt độ xác định

1.4 Hamiltonian sắt từ và các toán tử spin

Hamiltonian Heisenberg:Trước hết chúng ta nghiên cứu hiện tượng sắt từ trong

tinh thể từ trật tự gồm các nguyên tử từ có spin Sj đứng tại nút j của mạng tinh thể hoàn hảo (j là chỉ số nút mạng, ta cũng kí hiệu j là vectơ chỉ vị trí nút mạng trong hệ toạ độ tinh thể) Các spin tại nút i và j tương tác trao đổi với nhau và độ lớn của tương

tác đó được đặc trưng bởi tích phân trao đổi J ij Xét về mặt vi mô, nguyên nhân của tương tác trao đổi là sự phủ của các hàm sóng quỹ đạo của các điện tử thuộc các lớp

vỏ điện tử không chiếm đầy hoàn toàn của các nguyên tử từ (ở đây nói về tương tác trao đổi trực tiếp, ngoài ra còn có thể có cơ chế trao đổi gián tiếp qua các ion hoặc điện tử trung gian)

Hamiltonian mô tả hệ spin định xứ tương tác trao đổi với nhau và được đặt trong trường ngoài được viết là:

 Magneton Bohr Số hạng thứ hai là số hạng Zeeman

mô tả tương tác của hệ spin với từ trường ngoài h hướng song song với trục z Vì Jij

giảm rất nhanh khi khoảng cách giữa i và j tăng lên nên trong tính toán người ta thường dùng các phép gần đúng sau:

+ Gần đúng lân cận gần nhất (nearest neigbour approximation – viết tắt là n.n)

J ij = J 1 khi i và j là lân cận gần nhất, J ij = 0 khi i ≠ j không là lân cận gần nhất

+ Gần đúng đến lân cận thứ hai (n.n.n – next nearest neigbour)

j

J H



S S

(1.43)

Chỉ số α chỉ các loại spin (α=1 là n.n, α=2 là n.n.n…) là lân cận loại nào tương

ứng với tích phân trao đổi J 1 , J 2 …δ vectơ kể từ nút j tới các nút lân cận biến α

Hamiltonian (1.42), (1.43) có thể mô tả một số loại trật tự từ

- Sắt từ (ferromagnetism – F) khi J1> 0

- Phản sắt từ (Antiferromagnetism – AF) khi J1< 0

- Cấu trúc từ xoắn (Helimagnetism – H) khi tính tới cả tương tác n.n.n, ngoài ra

J 1 , J 2 khác dấu nhau

Trật tự từ được đặc trưng bởi “tham số trật tự” Thí dụ trong trường hợp sắt từ

ở trạng thái cơ bản tất cả các moment spin nguyên tử song song với nhau nên ta chọn tham số trật tự là S z Điều đó có thể thấy rõ ngay vì thành phần z của moment từ tổng cộng



j

z B

z j B

z

S Ng S

g

(1.44)

S S Ng

Tham số trật tự trong trường hợp AF được chọn là độ từ hoá của một trong hai phân mạng

Trường hợp cấu trúc spin xoắn tham số trật tự có thể chọn là ảnh Fourier của spin Sj ở vecto sóng Q ứng với bước của cấu trúc xoắn

Các toán tử spin (Spin operators): Toán tử spin nguyên tử tại nút j (Sj) có ba thành phần là S x j,S y j ,S z j Các thành phần đó tuân theo định luật giao hoán (tương tự

như các định luật giao hoán cho moment cơ học quỹ đạo)

' '

'

' '

'

' '

'

jj

y j

z j

x j

x j

z j

jj

x j

y j

z j

z j

y j

jj

z j

x j

y j

y j

x j

iS S S S S

iS S S S S

iS S S S S

'1

'

j j khi

j j khi

, ,

2

1,





S S

y j

x j

'

' '

jj j j

z j

z j j

jj

z j j

j j j

S S

S S S

S S

S S S

z j j

j

z j

z j j

j

S S S

S S S

S S S

S S S

- nguyên tử làm xuất hiện “sóng mạng” ở nhiệt độ thấp và khi lƣợng tử sóng đó ta có

chuẩn hạt phonon Tương tự như vậy ở T ≠ 0, vectơ spin của nguyên tử ở một nút mạng nào đó sẽ lệch khỏi định hướng của nó khi T = 0, vì tương tác trao đổi giữa các spin ở nút mạng khác nhau có xu hướng giữ các vectơ spin song song với nhau (trường hợp sắt từ) cho nên định hướng của các spin lân cận cũng bị ảnh hưởng Hệ quả là sẽ lan truyền “sóng spin” trong tinh thể sắt từ và nếu lượng tử hoá ta có khái niệm magnon Gần đúng TTB là định xứ (HMF là tổng của các số hạng đơn ion) không

mô tả được trạng thái tập thể kiểu “sóng spin” kể trên

Để nghiên cứu sóng spin ta viết Hamiltonian (1.42) trong gần đúng lân cận gần nhất

y j

y j

x j

x j

z j

z

S J

j j j

j

z j

z

S J

jj j j E

1 1

12

1

z δ j

z j j

S

z j

z δ j

z j j

z δ j

z j

1 1

1 1 1

1

(ở đây ta sử dụng đẳng thức [a,bc] = [a,b]c + b[a,c])

1 1

1

1 z j δ j z j j,j z j j j,j

z j

S

b            

1 1

1 1

j

z j j j

j j j E

j j

z j E

j

z j

j j

z j j

j j j E

Chúng ta có thể lập tiếp phương trình chuyển động cho các hàm Green bậc cao

hơn như

E j j

z

S  | '

  … và như vậy nhận được chuỗi móc xích cho các hàm Green Ở đây ta sử dụng cách ngắt chuỗi hàm Green của

Bogolyubov - Tiablikov thể hiện hàm Green bậc cao trong (1.58) qua hàm Green ban

đầu như sau:

E j j

z E

j j

z j

E j j z E

j j

z j

B S

S B

S S

B S S B

S S

' '

' '

Trong phép gần đúng (1.59) thăng giáng của thành phần z spin (S ) đã bị bỏ z j

qua (S được thay bằng giá trị trung bình z j S z ) S z được xác định một cách tự hợp trong hình thức luận hàm Green Phương trình (1.59) chính xác hơn khi nhiệt độ càng thấp vì khi đó S = S Cách ngắt chuỗi (1.59) của Bogolyubov - Tiablikov được z j

gọi là “Random phase approximation”_ RPA gần đúng pha ngẫu nhiên do nguyên nhân là nó bỏ qua sự tương quan giữa thành phần dọc (S ) và thành phần ngang của z j

z j

j j j E j j

(1.60)

Số hạng cuối cùng của (1.60) cho thấy sự lệch với hướng ban đầu của spin ở nút mạng j ảnh hưởng đến định hướng của spin ở nút mạng jδ Số hạng này bị bỏ qua trong phép gần đúng TTB Bây giờ chúng ta sử dụng tính chất đối xứng tịnh tiến của mạng tinh thể từ lý tưởng và phân tích hàm Green trong (1.60) vào chuỗi Fourier không gian

k

) j' k(j

E j

N B

S | ' 1 ( ) (1.61)

(E

Gk là ảnh Fourier của hàm Green phụ thuộc vị trí không gian của nút mạng

E j

S | ' N là số spin tổng cộng trong mạng

klà vectơ sóng có các giá trị độc lập nằm trong vùng Brillouin thứ nhất Nhớ rằng S ,j B j không phụ thuộc vào chỉ

k

j' k(j ) '

S E

 k

RPA g B h2J S z z1 (1.66) Tổng k (1.63) phụ thuộc vào đối xứng của mạng tinh thể spin Đối với mạng lập phương đơn giản z = 6, lập phương tâm khối (z = 8), lập phương tâm mặt (z = 12)

cos2

2

[cos3

k

mặt) (1.67a)

Trong (1.67a) a là độ dài cạnh ô cơ sở lập phương Theo lý thuyết chung cực của hàm Green cho ta năng lượng của kích thích cơ bản kRPA chính là “định luật tán sắc cho sóng spin”

Nếu k là nhỏ so với bờ của vùng Brillouin ta có khai triển sau

j i

j j j

e

d S

N S

k

j' k(j